các bài TOÁN về đồ THỊ

Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐỒ THỊ Nhím Còi Trước vào tốn tài liệu xin giới thiệu tới bạn viết thú vị nhà bác học tiếng Archimedes Archimedes Syracuse nhà toán học, nhà vật lý, kỹ sư, nhà phát minh, nhà thiên văn học người Hy Lạp Dù chi tiết đời ông biết, ông coi nhà khoa học hàng đầu thời kỳ cổ đại Tiểu sử Acsimet (284 - 212 trước Công nguyên) nhà giáo, nhà bác học vĩ đại Hy Lạp cổ đại, ông sinh thành phố Syracuse, thành bang Hy Lạp cổ đại Cha Acsimet nhà thiên văn tốn học tiếng Phidias, đích thân giáo dục hướng dẫn ông sâu vào hai môn Năm tuổi ông học khoa học tự nhiên, triết học, văn học Mười tuổi ông du học Ai Cập, học sinh nhà toán học tiếng Ơclit; Tây Ban Nha định cư vĩnh viễn thành phố Cyracuse, xứ Sicile Ðược hồng gia tài trợ tài chính, ơng cống hiến hồn tồn cho nghiên cứu khoa học ACSIMET Acsimet có nhiều đóng góp to lớn lĩnh vực Vật lý, Toán học Thiên văn học  Về Vật lý, ông người sáng chế máy bơm dùng để tưới tiêu nước cho đồng ruộng Ai Cập, người sử dụng hệ thống đòn bẩy ròng rọc để nâng vật lên cao, người tìm định luật sức đẩy nước  Về Toán học, Acsimet giải tốn tính độ dài đường cong, đường xoắn ốc, đặc biệt ơng tính số Pi cách đo hình có nhiều góc nội tiếp ngoại tiếp  Về Thiên văn học, ông nghiên cứu chuyển động Mặt Trăng Acsimet suốt đời say sưa học tập, nghiên cứu Tương truyền ơng tìm định luật sức đẩy nước tắm Ông sung sướng nhảy khỏi bồn tắm, chạy thẳng phòng làm việc mà quên mặc quần áo, miệng kêu lớn: "Ơrêca! Ơrêca (Tìm thấy rồi! Tìm thấy rồi!) Trong chiến tranh Hy Lạp chống quân xâm lược Rơma, Acsimet sáng chế nhiều loại vũ khí máy bắn đá, móc thuyền, đặc biệt có thứ vũ khí quang học để đốt thuyền giặc Thành Xicacudo Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE bảo vệ đến năm bị thất thủ Khi bọn xâm lược hạ thành, chúng thấy ông say sưa ngồi nghiên cứu hình vẽ đất Ơng thét lên: "Khơng xóa hình vẽ ta", trước bị giáo kẻ thù đâm vào ngực Acsimet anh dũng hi sinh chiến sĩ kiên cường Acsimet người yêu nước thiết tha Trong giai đoạn cuối đời mình, ơng tham gia bảo vệ q hương chống lại bọn xâm lược La Mã Ông lãnh đạo việc xây dựng cơng trình có kỹ thuật phức tạp chế tạo vũ khí kháng chiến Hơn hai nghìn năm trơi qua từ Acsimet bị quân La Mã giết hại, song người đời ghi nhớ hình ảnh nhà bác học thiết tha yêu nước, đầy sáng kiến phát minh lý thuyết thực hành, hình ảnh người hiến dâng đời cho khoa học, cho tổ quốc đến tận phút cuối Những công trình ơng tìm  Cơng thức tính diện tích thể tích hình lăng trụ hình cầu  Số thập phân số Pi Năm -250, ông chứng minh số Pi nằm 223/7 22/7  Phương pháp tính gần chu vi vòng tròn từ hình lục giác nội tiếp vòng tròn  Những tính chất tiêu cự Parabole  Phát minh đòn bẩy, đinh vis Acsimet (có thể Archytas de Tarente), bánh xe cưa  Chế máy chiến tranh Cyracuse bị quân La Mã vây  Chế vòng xoắn ốc khơng ngừng Acsimet (có thể Conon de Samos)  Tính diện tích parabole cách chia thành tam giác vô tận  Nguyên lý Thủy tĩnh (hydrostatique), sức đẩy Acsimet, Trọng tâm Barycentre  Những khối Acsimet (Solides Acsimet)  Những dạng tích phân Nhiều cơng trình ông đến kỷ XVIIe, kỷ XIXe, Pascal , Monge Carnot làm cơng trình họ dựa cơng trình Acsimet Tác phẩm ông viết  Sự cân vật  Sự cân mặt phẳng ký thuyết học  Phép cầu phương hình Parabole Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Một số toán tổng hợp đồ thị  HỌC VIỆN LIVE Hình cầu khối cầu cho Tốn Tác phẩm xác định diện tích hình cầu theo bán kính, diện tích bề mặt hình nón từ diện tích mặt đáy  Hình xoắn ốc (đó hình xoắn ốc Acsimet, có nhiều loại xoắn ốc)  Hình nón hình cầu (thể tích tạo thành xoay tròn mặt phẳng quanh trục (surface de révolution), parabole quay quanh đường thẳng hay hyperbole  Tính chu vi đường tròn (Ơng cho cách tính gần số Pi mà Euclide khám phá  Sách chuyên luận phương pháp để khám phá Toán học Sách khám phá vào năm 1889 Jérusalem  Về trọng tâm mặt phẳng: sách viết trọng tâm barycentre (ý nghĩa văn chương "tâm nặng") Acsimet - Tôi phát Một hôm Quốc vương sứ cổ Hy Lạp muốn làm vương miện thật đẹp Vua cho gọi người thợ kim hoàn tới, đưa cho thỏi vàng óng ánh yêu cầu phải làm nhanh cho vua vương miện Không lâu sau vương miện làm xong, làm tinh vi đẹp, Quốc vương hài lòng đội lên đi lại lại trước mặt đại thần Lúc có tiếng thầm: "Vương miện bệ hạ đẹp q khơng biết có vàng thật không?" Quốc vương nghe xong liền cho gọi người thợ kim hoàn tới, hỏi: "Chiếc vương miện làm cho ta có tồn vàng khơng?" Người thợ kim hồn đỏ mặt, cúi xuống thưa với vua rằng: "Thưa bệ hạ tơn kính, số vàng Người đưa dùng hết, vừa đủ không thừa không thiếu, không tin bệ hạ cho cân lại thử xem có nặng thỏi vàng Người đưa cho không ạ." Các đại thần đem vương miện cân thử, không thiếu, vua đành phải thả người thợ kim hoàn Nhưng vua biết lời nói người thợ kim hồn khó tin dùng bạc để thay vàng với trọng lượng tương đương mà nhìn bề ngồi khơng thể phát Quốc vương buồn phiền chuyện nói với Acsimet, Acsimet nói với Quốc vương: "Đây tốn khó, xin giúp người làm rõ chuyện này." Về đến nhà, Acsimet cân lại vương miện thỏi vàng, trọng lượng Ông đặt vương miện lên bàn ngắm nghía suy nghĩ đến mức người phục vụ gọi ăn cơm mà Ông nghĩ: "Vương miện nặng thỏi vàng, bạc lại nhẹ vàng, vương miện có trộn lượng bạc nặng lượng vàng lấy ra, vương miện phải lớn vương miện làm hoàn toàn vàng Làm để biết thể tích vương miện thể tích vương miện làm toàn vàng lớn, nhỏ? Chẳng lẽ phải làm nữa, thật tốn cơng tốn sức." Acsimet lại nghĩ: "Đương nhiên nấu lại mũ đúc thành vàng thỏi để xem to thỏi vàng Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE cũ không, chắn nhà vua không đồng ý, tốt phải nghĩ cách khác để so sánh thể tích chúng Nhưng cách đây?" Acsimet thơng minh trở lên trầm lặng, ơng vắt óc suy nghĩ mà chưa tìm cách Ơng thường lặng lẽ ngồi buổi, người nói ơng "đang bí" Một hơm Acsimet tắm, mải suy nghĩ để nước chảy đầy bồn tắm, tràn ngồi Ơng bước vào bồn tắm, nước tràn ngồi, ơng chìm người vào bể nhiều nước tràn nhiều Acsimet bừng tỉnh, mắt sáng lên, ơng nhìn nước tràn ngồi bể nghĩ rằng: Số nước tràn với thể tích phần thể ông chiếm bể nước không? Ông vui, cho đầy nước vào bồn tắm lại bước vào bồn, sau lại làm lại lần Đột nhiên, ông chạy ngồi vỗ tay reo lên: "Tơi phát rồi, phát rồi!"mà quên mặc quần áo Ngày thứ hai, Acsimet làm thực nghiệm trước mặt Quốc vương đại thần có người thợ kim hồn để người xem Ơng thả vương miện thỏi vàng trọng lượng vào hai dụng cụ đựng nước tích chứa đầy nước, sau thu nước tràn vào hai bình đựng Kết cho thấy nước bên vương miện tràn nhiều bên thả thỏi vàng nhiều Acsimet nói: "Mọi người nhìn thấy Rõ ràng vương miện chiếm chỗ nước nhiều so với thỏi vàng, vương miện vàng lượng nước tràn hai bên nhau, tức thể tích chúng nhau" Người thợ kim hồn khơng để minh nữa, Quốc vương bực tức trừng phạt Nhưng rui Acsimet giúp vua giải tốn khó Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE Sau toán mà chuyên đề muốn giới thiệu cho bạn Trong tài liệu có số sáng tác, sưu tầm từ đề thi thử, diễn đàn, bên cạnh cảm ơn bạn Nguyễn Kim Anh đóng góp số tốn hay để chuyên đề thêm hoàn thiện y Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ đồng thời f  x    f  x   x  x   x   *  Biết hàm số f  x   ax  bx  c ; g  x   mx  nx  p 11 f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  C 2 A  D 4 x O B  1 Lời giải Từ  *  ta thay x   f    f   a  b  Ta có x   y  1  c  1, f    f    a  b  c  1   c  1 x  2, y  11  f  x   x  x  Mặt khác x  x   g  x    m  x    n  x  1  p  mx  2mx  m  nx  n  p m  m  1    2  n  1  n   g  x   x  x  1; g '  x   x  1; g '  x    x   1  n  p  m  p  1   Vậy giá trị nhỏ g  x    Chọn ý A Câu Cho hàm số f  x   mx  nx  px  qx  r  r  1, 25  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ Tổng số phần tử S tập số nghiệm có phương trình f  x   r là? y 1 O Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng x Một số toán tổng hợp đồ thị A HỌC VIỆN LIVE B Ta có g  x   f  x   r  g '  x   f '  x   2r C Lời giải D 5 13 15  Từ đồ thị ta đặt f '  x    x  1  x    x    x  x  x  4 4   13  193 x  13 12 Lại có f ''  x   3x  x  Mà f ''  x     2  13  193 x   12 13  193 12 Vì r  1, 25 nên tịnh tiến đồ thị f '  x  xuống 2,5 đơn vị thấy đồ thị g '  x  cắt trục Nên cực đại hàm số f '  x   1, 08 x  hoành điểm nên đồ thị g  x  có điểm cực trị! Nên f  x   r có 1, có nghiệm Chọn ý C Câu Cho hàm số bậc x f  x  có cực trị x  thỏa mãn điều kiện  x  f  x    f  x   x  Cho hàm số g  x   x  So sánh f '    g '   g '6  f ' 4 Lời giải Đạo hàm vế   x   f  x    f '  x    x  x   f '  x  f  x   3x Thay x   f    f '    Hàm số có dạng y  a.x  bx  c với x  cực trị nên a.x  b   b  f     a  c  Thay x  1 f    1 ( hàm số có dạng ax  c nên f    f  1  )   f '  6   g '     6   4.4  Ta có   f '  6   g '    f '    g '  6  f '  g '   2.4    16         Câu Cho đồ thị hàm số f  x  hình vẽ y 2 O x 15 Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE x  8x  n  m Để hàm số h  x   có số tiệm cận đứng lớn n ( với m,n nguyên f  f  x   m dương).Tính giá trị nhỏ S = m  n A 14 B 74 D C 50 Lời giải  f  x   m  2  f  x   2  m   Để g  x  có số tiệm cận đứng f  f  x   m     f  x   m    f  x    m  f x  m   f x   m    6  m   m5    m   15  Để hàm số có số TCĐ lớn   15   2  m  m1    m   Có g '  x   x  đồng biến  4,   nên m  đường thẳng y  7 giáp với f x điểm có hồnh độ lớn 4 nên g  x   với x thuộc  4;   nên x  8x  n  m  Nên S  74 50  Smin  50 Chọn ý C Câu Cho f  x  , f ''  x  d tiếp tuyến f  x  hình vẽ Hàm số f  x  có dạng mx  nx  p Tính 43n  45 p y d 26 O f x x f ''  x  A  285 B 450 Phương trình f ''  x  y ''  6mx  n C 201 D 182 Lời giải Tiếp tuyến điểm có hồnh độ là y   3m  2n  x    m  n  p Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE  26    3m  2n   m  n  p Ta có   26  36 m  2n  5 18m  13 86m  39 Tìm n  ;p  25 Chọn ý D Câu Cho đồ thị hàm số f '  x  hình vẽ Tổng giá trị nguyên x  1 y m   3; 20  để hàm số g  x   f  x   m có cực trị Biết tử số f  x  có hệ số tự dương A 64 B 58 C 75 D 88 x O y  2 13 Lời giải Đặt h  x   f  x   mx  h '  x   f '  x   m Vì hệ số tự tử số f  x  dương Và mẫu có x  Tức f    Ta thấy đường nét đứt giao với trục Oy y  điểm cực trị cực đại x M f  x M   f     Đường đỏ tạo điểm cực trị cho g  x  cắt trục Ox  Trường hợp : Cả đường đỏ vàng nằm Ox g  x  có điểm cực trị  Trường hợp : Đường màu vàng cắt Ox điểm khác cực trị f '  x  (hoặc   điểm) có điểm cực trị đường đỏ có điểm cực trị (loại) Trường hợp : Đường màu vàng cắt Ox điểm (loại) Trường hợp : Đường màu vàng cắt Ox điểm cực trị f '  x  (  không cắt điểm nào) để có cực trị ta tịnh tiến đồ thị f '  x  cho 13  m  Khi tổng giá trị m 75 Chọn ý C Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp liên tục  1;  thỏa mãn có đồ thị hình vẽ Tính giá trị tích phân I   f ''  x  x   x   dx ? Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE y O x 1 A 4 B 5 D 7 C 6 Lời giải u   x   x    du   x   dx  Sử dụng tính chất nguyên hàm phần ta đặt   v  f '  x   v   f ''  x  dx u  x   du  dx   I     x   f '  x  dx Đến đặt tiếp   v   f '  x  dx  v  f  x   I    x   f  x    f  x  dx Đến ta tính  f  x  dx Đặt A  1; 1 , B  2;  , C  3; 1 , D  4;  1 , E  5;  đồng thời M  1;0  , N 2;0 , P 3;0 , Q 4;0 , S 5;0   Phương trình đường thẳng BC y  3x  suy giao điểm BC với trục 8  hoành điểm I  ;  3  4  Tọa độ giao điểm DE với trục hoành H  ;  5  Ta có  f  x  dx  SMABN  SBNI  SICDH  SHSE  Vậy I  5 Câu Cho đồ thị hàm g  x  hàm bậc hình vẽ, biết g  x   f  x   f   x   f    g   Tính tích phân x  xf '   dx ? y O A 1 20 B 1 10 x C 1 30 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng D 40 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE Lời giải Từ đồ thị ta suy g  x   x   x   x   x   f  x   f   x  3 Từ  *  tích phân hai vế ta 1  f  x  dx  40 Thay x  vào  *  ta f    0 2  x x Tích phân phần  xf '   dx   x f      2 20 0   x   1 f   dx  =    10 Chọn ý B y Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm x2   số y  bao nhiêu?  x  1  f  x   1 A C B D O x Lời giải Hàm số có dạng f  x    k.x p  x  x1  y q 1 ; x1  6; p  1; q  x2   x2   q  q 1 f x  k.x p  x  x1  x   k.x p   x  x1  x   Trường hợp TCĐ p    p  đó: y x2   x2   q 1 q  p  f x  k.x  x  x1  x   k  x  x1  x2   Suy có TCĐ x  x1 Câu 10 Biết đồ thị hàm số bậc : y  f  x  y cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox A C B D 4 O x Lời giải Số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox số nghiệm phương trình:  f   x    f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng 10 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE Giả sử đồ thị hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e ,  a , b , c , d , e  ; a  0, b   cắt trục hoành Ox điểm phân biệt x , x , x , x Đặt A  x  x1 , B  x  x2 , C  x  x3 , D  x  x ta có: f  x   a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x   a.ABCD  TH1: Nếu x  xi với i  1, 2, 3, g  xi    f   xi    Do x  xi , i  1, 2, 3, khơng phải nghiệm phương trình g  x    TH2: Nếu x  xi với i  1, 2, 3, ta viết lại 1 1 1 f   x   a  BCD  ACD  ABD  ABC   f  x        A B C D 1  1 1 1  f   x   f   x        f  x       D   A B C D A B C 1  1 1 1   f  x        f  x       D   A B C D A B C 1  1 1 1  Suy ra, f   x  f  x   f  x        f  x       D   A B C D A B C 1   Khi g  x    f   x    f   x  f  x   f  x        x  xi  i  1, 2, 3,  D  A B C Từ suy phương trình g  x   vô nghiệm Vậy đồ thị hàm số y  g  x  không cắt trục hoành y Câu 11 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f x hình vẽ bên Xét hàm f ' x  số g  x   f  x   x  4x  3m  với m số thực Để g  x   x    ;  điều kiện m 2 A m  f B m  f 3 2 C m  f    D m  f   3        B O 13 x A Lời giải Ta có g  x    g  x   f  x   x  4x  3m    3m  f  x   x  4x  Đặt h  x   f  x   x  x  Ta có h  x   f   x   6x  Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng 11 Một số toán tổng hợp đồ thị      HỌC VIỆN LIVE  h   f    6.5    h  f   6.5     Suy h    f          h    f    6.1   h  1   f   1   6.1     Từ ta có bảng biến thiên x h     h     h 0 h h Từ bảng biến thiên ta có 3m  h  5 m Câu 12 Cho hàm số f  x  liên tục xác định f  5  5 y có đồ thị f '  x  hình vẽ Tìm số điểm y  f  x2  x  ? cực trị hàm số A 10 B 11 C 12 D 13 O  x Lời giải Ta có y '   x   f '  x  x  , x  x  m có nghiệm m   Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f '  x  cắt trục hoành điểm điểm có hồnh độ nhỏ 1  có tiệm cận Khi ứng với giao điểm có hồnh độ lớn  điểm 4 khơng xác định y '  có nghiệm Từ dễ dàng suy hàm y  f  x  x  có 11 cực trị! Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 12 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE y Câu 13 Cho hình vẽ đồ thị hàm số xc y  x a ; y  x b ; y  x c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ 2m xb giá trị lớn biểu thức T 3a2   2b  a  c  A 31 C 33 m 0, a2  5c  ac B 32 D 34 O xa  x Hướng dẫn Nhận thấy x   , ta có  c  2 b  c log    b log    c  b  log    a  0.5  a log   1  ac  b Đến thay vào biểu thức ta hàm biến đặt ẩn đưa khảo sát hàm biến! y Câu 14 Hình vẽ bên đồ thị hai hàm y  log a x số y  log a x y  f  x  Đồ thị chúng đối xứng với qua thẳng y  x  Tính f  log a 2018  đường a 2018 B f  log a 2018   1  2018a a C f  log a 2018   1  2018 D f  log a 2018   1  2018a O x A f  log a 2018   1  y  f x y  x  Lời giải Gọi  b ; c   C  : y  log a x ;  e ; f   C  : y  f  x  Ta có hệ điều kiện c  f    b  e    b  c   f  e  b   f     b  c  e  f c   e  1  b  e    c  f     e   log a   f     f   a  e 1  f  1  a  e 1  f  x   1  a  e 1 Vậy f  log a 2018  1  a log a 2018  1  2018a Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng 13 Một số toán tổng hợp đồ thị Câu 15 Cho hàm số bậc g  x   f  mx  nx  p   m , n , p  HỌC VIỆN LIVE ba  f x y g x có đồ thị hình dưới, đường nét liền đồ thị hàm f  x  , đồ thị hàm nét đứt đồ thị hàm g  x  , trục đối xứng hàm g  x  Giá trị biểu thức P   n  m   m  p  p  2n  bao f x đường x   nhiêu? A C 12 O 2  B 24 D 16 x 2 Lời giải Ta có f  x   ax  bx  cx  d  f '  x   3ax  2bx  c Hàm số đạt cực trị x  0; x  đồ thị qua điểm  1;  ,  0;  nên ta có  f '    a     f '    b  3   f  x   x  3x   c  f       f 0  d   Ta có g  x    mx  nx  p    mx  nx  p   Hệ số tự p  p  Đồ thị hàm số g  x  qua điểm  0;  nên p  p    p  Đồ thị hàm số g  x   f  mx  nx  p  có trục đối xứng x   nên đồ thị hàm số y  mx  nx  p có n     m  n 2m Đồ thị hàm số g  x  qua điểm  2;  nên trục đối xứng x   m  n  g  2    g  x    m     m       m  n    Do đồ thị có hướng quay lên nên ta suy m   m  n  p  Câu 16 Cho  a   b   a hàm số y  g  x    0;   Biết đồ thị hàm số f x f   x  1  có đạo hàm y  f  x  hình vẽ Khẳng định sau với x   a  1; b   Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 14 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE y y  f x n m a O A g  x   f  b 1  m B g  x   f  a 1 n  x b C g  x   f  b 1  m D 10  g  x   Lời giải Ta có x   a  1; b  1   x     a ; b  , dựa vào đồ thị ta có 1 m  f  x  1  n    n f  x  1 m     Mặt khác  a   b   a dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đồng biến  a  1; b  1 nên ta có f   a   f x  f   b   g x  f  Câu 17 Cho hàm số f  x  có đạo hàm \b hàm số g  x  có đạo hàm b 1 m  y Biết y  f x đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hình vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  S    h  x  b    h  b  x    h  c     h  c   2 với a,b,c số thực biết Khẳng định với x  là? y  g  x  O a b c x A S   h  c  ; h  a  c   B S  h  c  C S   h  c  ; h  a  b   D S   h  a  ; h  c   Lời giải x  a Từ đồ thị cho ta suy h '  x   f '  x   g '  x  ; h '  x    f '  x   g '  x    x  c Lập bảng biến thiên ta có Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 15 Một số toán tổng hợp đồ thị x h ' x    HỌC VIỆN LIVE a b + + c   h c  h x h  a   Lại có S   h  b  x   h  c   h  b  x   h  x  b   h  c  Câu 18 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định tập số thực có đồ thị hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m   20; 20  để hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị? x  2 y 3 O x 2 A 210 B 212 C 211 D 209 Lời giải Chúng ta tính nhanh theo công thức hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị dương hàm số phải liên tục x0  Dựa vào đồ thị hàm số ta suy 1  m  m    m  20, 19, 18, , 3, 1, 0  2  m  m  2 Câu 19 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  Đồ thị hàm số y  f   x  , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ dưới, đường đậm đồ 3  thị hàm số y  f   x  Hàm số k  x   f  x    g  5x    h  4x   đồng biến 2  khoảng ? Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 16 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE y  g ' x  y 10 y  f ' x  O 34 x y  h ' x   15  A   ;    1  B   ;  4  3  3  C  ;  D  ;   8  8  Lời giải 15  3   Ta cần giải bất phương trình k '  x   f '  x    g '  x    4h '  4x     2   Không thể giải trực tiếp bất phương trình Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  , y  g '  x  , y  h '  x  ta nhận thấy f '  x   10, x   3;  ; g '  x   5, x , h '  x   5, x   3;  Do f '  a   g '  b   4h '  c   10  2.5  4.5  0, a , c   3;  , b  3  x      x  Đối chiếu với đáp án ta chọn ý C Vì ta cần chọn    x   Câu 20 Cho hàm số f  x  , g  x  có đồ thị hình vẽ bên Biết x  1, x  điểm cực trị hàm số f  x  , g  x  đồng thời f    g   , f 6   g 1   f  5x  16   g  5x     *  Gọi M,m giá trị nhỏ biểu thức S  f  x   f  x   g  x     g  x   g  x  Tính tổng P  M  m ? y g x f x O A 27 B 23 x C Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng D 11 17 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE Lần lượt thay x  2, x  vào  *  đồng thời kết hợp điều kiện ban đầu ta có hệ phương 2 f  2 f trình  2 f 2 f   1  g       g  1   f  1  g        g  1   f    , g  1    1  g    Từ giả thiết kết hợp đồ thị ta nhận thấy g  x  nghịch biến  1;  f  x  đồng biến  5  1; 6  g  x   1;  , f  x   1;  để đơn giản ta đặt u  f  x  , y  g  x   2 Ta có S  u2  2uy  y  u  y  f  u ; y  Coi hàm số theo ẩn u ta có 2y  35 5  Ta có f  1; y    y  y  y   y  y  2; f  ; y   y  y  2  f u '  u ; y   2u  y    u  5   f  ; y   f  1; y   0, y  1;  2  2y    2y     3 3  Xét y  1;   u   1;  y   ;   u   1;  2  2 2   2  2  3  5 Với y  1;    khảo sát hàm số f  u ; y  theo biến u  1;   2  2 35 23 5   f u  u ; y   f  1; y   y  y   ,và f u  u; y   f  ; y   y  y   4 2  3   5 Với y   ;    Lập bảng biến thiên cho hàm số f  u ; y  theo biến u  1;  ta có  2 2  2y  8y   2y    2y    f u  u; y   f  ;y    y  y  1  y  y    2     35 23 5  Và f u  u; y   f  ; y   y  y   4 2  23 23 27 Từ      max S  M  , S  m   P  M  m  1 4 y Câu 21 Cho hàm số y  f  x  liên tục y  f x đoạn  2;  có đồ thị đoạn  2;  hình vẽ Hỏi phương trình f x  f x   f  x    có nghiệm thực đoạn  2; 3 ? A C 1 2 B D O x 1 Lời giải Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 18 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE Ta có đồ thị hàm y  f  x   hình vẽ ( phần trục Ox) y O Xét hàm số y  f  x    đoạn  0;  ta có y  Xét hàm số y  f  x  đoạn  2;  ta có x f x  2   , f x  f x    f  x   1 8  x   f  x     Suy VT  VP dấu “=” xảy  x   f  x   Câu 22 Cho đồ thị hàm số f  x  f '  x  hình vẽ Diện tích tạo f '  x  f  x  gần ? y 2 O x 5 A 23 B 65 C 50 D 43 Lời giải Đặt f  x   ax  bx  cx  d  f  x   3ax  2bx  c 2  f  x   f '  x   ax   b  3a  x   c  2b  x  d  c x  2  12 a  4b  c  Nhìn vào đồ thị ta có  (1) x   27 a  b  c   f '  x  có cực trị -4 , gọi x hoành độ điểm cực trị f ''  x0    ax0  2b   x0  b 3a.x0  bx0  c  5 3a 2 b b b  3a  2b  c  4    c  5 (2) 9a 3a 3a Từ (1)  a  2 b c  4b  12 a , thay vào (2) ta Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 19 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE b b 2 24   4b  12 a  5   4b  8b  5  b  a c 3a 2b 15 6 24  f  x   f ' x   x3  x  4x   có nghiệm x1 , x2 15 5 x2 Vậy diện tích cần tìm  15 x x1  6 24 x  4x   65, 5 Chọn ý B Câu 23 Cho đồ thị hàm số nguyên hàm f  x  có dạng F  x   ax  bx  5x  d Tính diện tích tạo f  x  trục hoành? y 4 A 80 B 20 x O C 50 D 70 Lời giải Ta có F  x  '  3ax  2bx  nên F '     f    Từ điểm cực trị có hồnh độ -4 ta vẽ đại khái đồ thị f  x  sau f  x   mx  nx  x  4  16m  4n   5 5 Có  m  f x  x 5 16 16 x   16m  4n   4  5  80  5   4 4 80 Vậy diện tích cần tìm Chọn ý A Suy  f  x     16 x Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 20 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE Câu 24 Cho hai đồ thị C1  : y  f  x   x  ax  b đồ thị hàm số C  : y  g  x   x  mx  nx  p y A hình vẽ Gọi B, D hai điểm cực trị C  , A C hai điểm cực đại cực tiểu C  , (A C đối xứng qua điểm I U  Oy Biết hoành độ A B nhau, hoành độ C D Có giá trị nguyên a để AB  ? A B C D x1 x2 O B D x C Lời giải x  a  x1    , vói a  0,   , Ta có f '  x   4x  ax ; f '  x     a x    g '  x   3x  2mx  n Ta có x1 , x2 nghiệm phương trình g '  x   Vì điểm U  0; b  trung điểm AC nên x1  x2   m  n  n  3x12 ,   , n a 3a Từ   ,   ta suy     n  2 Ngoài U  0; b   C  nên suy b  p Mặt khác x1  x2  x12  x1 x2    a 3  y A  x1  nx1  p  2 x1  p   a    p Ta có   y  x  ax  b   a  b 1  B Do AB   y B  y A   a  Đặt t   a a2   3,  *  a  a  2t  t   Từ  *   t  2t   t  2t    t     t    t  3t  3t      t   2t  2  2  a  Câu 25 Cho hàm số f  x  xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ Có   giá trị nguyên m để phương trình f  x  x  m  có nghiệm Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 21 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE y O1 4 3 2 1 x 1 5 B 14 A 13 C 15 D 16 Lời giải Điều kiện 6x  9x    x  1   2 Với x  0;  ta có  6x  9x  9  x     3  3    4 6x  9x  4    x  x  1   Dựa vào đồ thị ta suy 5  f  6x  9x    Khi phương trình f  6x  9x  m  có nghiệm  5  Vì m  nên m  7; 6; 5; 4; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 m3   7  m  Vậy có 13 giá trị m thỏa mãn Truy cập Fanpage https://www.facebook.com/hocvienlive.vn/ Group https://www.facebook.com/groups/2290961627581800/ Để nhận thêm nhiều tài liệu bổ ích mơn tốn lý hóa Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng 22 ... Một số toán tổng hợp đồ thị Câu 15 Cho hàm số bậc g  x   f  mx  nx  p   m , n , p  HỌC VIỆN LIVE ba  f x y g x có đồ thị hình dưới, đường nét liền đồ thị hàm f  x  , đồ thị hàm...  Đồ thị hàm số g  x  qua điểm  0;  nên p  p    p  Đồ thị hàm số g  x   f  mx  nx  p  có trục đối xứng x   nên đồ thị hàm số y  mx  nx  p có n     m  n 2m Đồ thị. .. khơng có dấu chân kẻ lười biếng 12 Một số toán tổng hợp đồ thị HỌC VIỆN LIVE y Câu 13 Cho hình vẽ đồ thị hàm số xc y  x a ; y  x b ; y  x c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ 2m xb