Tính toán dao động riêng vòm rỗng theo phương pháp nguyên lý cực trị gauss

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC TUẤN TÍNH TỐN DAO ĐỘNG RIÊNG VỊM RỖNG THEO PHƯƠNG PHÁP NGUN LÝ CỰC TRỊ GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP HÀ NỘI - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC TUẤN KHĨA: 2017-2019 TÍNH TỐN DAO ĐỘNG RIÊNG VỊM RỖNG THEO PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình dân dụng Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM VĂN TRUNG HÀ NỘI - NĂM 2019 Lời cảm ơn Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành TS Phạm Văn Trung tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn Khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn nâng cao lực Khoa học tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn Thầy cô nhà Khoa học trường quan tâm góp ý làm cho luận văn hồn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cô giáo, Bộ môn Sức bền Cơ học kết cấu, Khoa Xây dựng, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi hợp tác trình nghiên cứu Tác giả luận văn Nguyễn Đức Tuấn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Hà nội, ngày 10 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Đức Tuấn MỤC LỤC Lời cam đoan…… …………………………………… …… …………… Lời cảm ơn…… …………………………………… …… …………… Mục lục …… …………………………………………………… Danh mục hình vẽ luận văn……………………………………… Danh mục bảng biểu luận văn………………………………… Danh mục ký hiệu luận văn …………………………………… MỞ ĐẦU * Lý chọn đề tài……… ………………… ……………… .1 * Mục đích nghiên cứu đề tài * Đối tượng phạm vi nghiên cứu…….………………… … ….2 * Phương pháp nghiên cứu * Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài * Cấu trúc luận văn:……….…………………………… … NỘI DUNG……….…………………………… … CHƢƠNG I TỔNG QUAN VỀ KẾT CẤU VÒM RỖNG .4 1.1 Kháı niệm hệ kết cấu vòm rỗng…….………… ………….4 1.1.1 Đặc điểm kết cấu thép nhà nhịp lớn………………………… ….4 1.1.2 Phạm vi sử dụng đặc điểm kết cấu thép nhịp lớn…………… 1.2 Tổng quan cấu tạo kết cấu nhịp lớn dạng vòm… … … 1.2.1 Đặc điểm làm việc .9 1.2.2 Phân loại……………………………………………………… ……10 1.3 Các giải pháp triệt tiêu lực xơ ngang chân vòm… ………….… 14 1.4 Tổng quan cấu tạo vòm rỗng……… ……………………….… 17 1.5 Tổng quan tính tốn kết cấu vòm rỗng… …………….……… 20 1.5.1 Các phương pháp tương tự kết cấu dàn……………………… …….20 1.5.2 Các phương pháp xác định nội lực chuyển vị tương tự kết cấu vòm……………………… ………………………………….…………….25 1.5.3 Các phƣơng pháp xác định trị riêng véc tơ riêng hệ kết cấu kết cấu vòm……… …………………………….… .………….28 CHƢƠNG XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA HỆ KẾT CẤU VÒM RỖNG 36 2.1 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss ….………… … 36 2.1.1 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss GS TSKH Hà Huy Cương 36 2.1.2.Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss toán học……………………………………………………… ………… … .37 2.2 Xây dựng giải tốn vòm rỗng chịu tải trọng thân .39 2.2.1 Đặt toán .39 2.2.2 Xây dựng toán .41 2.2.3 Điều kiện biên:…………………………………………….…….… 45 2.2.4 Giải toán……………………………………………….…….… 46 2.3 Xây dựng giải toán dao động riêng vòm rỗng .47 2.3.1 Đặt tốn…………………………………………….……………47 2.3.2 Xây dựng toán…………………………………………….…… 49 2.3.3 Điều kiện biên………………………………………………………53 2.3.4 Giải tốn……………………………………………………… 53 2.4 Lập trình tính tốn Matlap 55 2.4.1 Lập trình tốn vòm rỗng chịu tải trọng thân……………… 55 2.4.2 Lập trình tốn dao động riêng vòm rỗng……………… 58 CHƢƠNG CÁC VÍ DỤ TÍNH TỐN VỊM RỖNG 62 3.1 Ví dụ 1: Vòm rỗng chịu tải thân .62 3.1.1 Xét vòm có sơ đồ hình 3.1.…………………………….….62 3.1.2 Mơ hình hóa kết cấu đặt tên cấu kiện………………… ….62 3.1.3 Kết tính tốn……………………………………………….……63 3.2 Ví dụ 2: Dao động riêng hệ kết cấu vòm rỗng 66 3.2.1 Xét vòm có sơ đồ hình 3.4……………………………… 66 3.2.2 Mơ hình hóa kết cấu đặt tên cấu kiện……………………… 67 3.2.3 Kết tính tốn…………………………………………….………67 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………………………………75 Kết luận…………………………………………………………….…… 75 Kiến nghị…………………………………………… …………….….… 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC HÌNH VẼ TRONG LUẬN VĂN Số hiệu hình Tên hình Trang Hình 1.1 Nhà thi đấu Phú Thọ, thành phố Hồ Chí Minh Hình 1.2 Mái vòm khổng lồ, an tồn cho Chernobyl Hình 1.3 Cầu Newcastle sơng Tyne Hình 1.4 Vòm đặc vòm rỗng 10 Hình 1.5 Vòm phẳng vòm khơng gian 11 Hình 1.6 Sơ đồ kết cấu vòm 12 Tương quan biểu đồ mơ men ba loại vòm Hình 1.7 chịu tải phân bố 14 Triệt tiêu lực xô ngang dây căng nối ngầm Hình 1.8 đất 15 Hình 1.9 Triệt tiêu lực xơ ngang khơng đặt dây căng 15 Hình 1.10 Triệt tiêu lực xô ngang dây căng dây treo 16 Triệt tiêu lực xô ngang cấu tạo trục vòm gần đường Hình 1.11 áp lực 17 Hình 1.12 Vòm cánh song song hình lưỡi liềm 17 Hình 1.13 Cấu tạo tiết diện vòm rỗng 18 Hình 1.14 Cấu tạo khớp gối 18 Hình 1.15 Cấu tạo khớp đỉnh 20 Hình 1.16 Sơ đồ tính vòm đặc hai khớp 25 Hình 1.17 Sơ đồ phân nội lực cho vòm rỗng 27 Sơ đồ tính dầm đơn giản có bậc tự đặt vị trí Hình 1.18 30 Hình 2.1 Sơ đồ tính vòm rỗng hai khớp 40 Hình 2.2 Sơ đồ tên nút, tên tính vòm rỗng hai khớp 40 Hình 2.3 Ký hiệu tên gọi đại lượng vòm rỗng 41 Hình 2.4 Sơ đồ chuyển vị phần tử dây cứng 42 Hình 2.5 Sơ đồ tính dao động riêng vòm rỗng hai khớp 47 Sơ đồ tên nút, tên tính dao động riêng vòm Hình 2.6 rỗng hai khớp 48 Hình 2.7 Ký hiệu tên gọi đại lượng vòm rỗng 49 Hình 2.8 Sơ đồ chuyển vị phần tử dây cứng 50 Hình 2.9 Sơ đồ khối chương trình 58 Hình 2.10 Sơ đồ khối chương trình 61 Hình 3.1 Sơ đồ tính vòm rỗng chịu tải trọng thân 62 Hình 3.2 Sơ đồ mơ hình hóa vòm rỗng chịu tải trọng thân 63 Sơ đồ chuyển vị vòm rỗng chịu tải trọng Hình 3.3 thân 66 Hình 3.4 Sơ đồ động lực học vòm rỗng 66 Hình 3.5 Sơ đồ mơ hình hóa động lực học vòm rỗng 67 Hình 3.6 Dạng dao động riêng thứ 68 Hình 3.7 Dạng dao động riêng thứ hai 69 Hình 3.8 Dạng dao động riêng thứ ba 70 Hình 3.9 Dạng dao động riêng thứ tư 72 Hình 3.10 Dạng dao động riêng thứ năm 73 DANH MỤC BẢNG BİỂU TRONG LUẬN VĂN Số hiệu bảng Tên bảng Trang Bảng 3.1 Nội lực (kN) 64 Bảng 3.2 Chuyển vị nút 65 Bảng 3.3 Giá trị véc tơ riêng (m) 68 Bảng 3.4 Giá trị véc tơ riêng (m) 69 Bảng 3.5 Giá trị véc tơ riêng (m) 71 Bảng 3.6 Giá trị véc tơ riêng (m) 72 Bảng 3.7 Giá trị véc tơ riêng (m) 74 DANH MỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Đại lượng Đơn vị A Diện tích tiết diện m2 E Mơ dun đàn hồi kháng kéo nén t/m2 F Phiếm hàm f Độ vồng vòm m G Mơ đun đàn hồi kháng cắt t/m2 I Mơ men qn tính tiết diện m4 62 CHƢƠNG CÁC VÍ DỤ TÍNH TỐN VỊM RỖNG 3.1 Ví dụ 1: Vòm rỗng chịu tải thân 3.1.1 Xét vòm có sơ đồ nhƣ hình 3.1: Nhịp L=90m, độ cao f = 31,50 m, chiều cao vòm h=2, 00 m, Diện tích tiết diện cánh cánh dƣới A1 = A2 = 0.004m2, Diện tích tiết diện xiên xiên A3 = 0.002m2, Môđun đàn hồi E= 2.108 kN m2 31.50 z A x B 90.00 Hình 3.1 Sơ đồ tính vòm rỗng chịu tải trọng thân Vòm chịu tải tập trung nút bên trên: Do thân vòm kết cấu mái truyền vào Pt =30kN chịu tải tập trung nút bên dƣới: Do thân vòm kết cấu treo vào mái truyền vào Pt =10kN Yêu cầu: Xác định nội lực vòm chuyển vị nút 3.1.2 Mơ hình hóa kết cấu đặt tên cấu kiện Đánh số thứ tự điểm nút là: 00, 01, 02,…, 22 63 Đánh số thứ tự phần tử là: 01, 02, 03,… , 43 nhƣ hình 3.2 Nội lực tƣơng ứng là: Thanh trên: N2i-1; ( i= 1÷13) Thanh dƣới:N2i; ( i= 1÷12) Thanh xiên:Ni; ( i= 50÷99) Chuyển vị theo trục x :xi ( i= 1÷50) Chuyển vị theo trục z :zi ( i= 1÷50) z 09 05 07 04 28 05 27 29 30 31 06 32 11 33 10 34 18 17 07 12 35 13 19 08 36 08 14 16 37 15 20 06 38 09 16 15 39 17 21 40 03 10 04 18 26 41 03 19 14 22 25 42 02 11 02 20 24 43 x 01 13 01 21 23 12 00 22 B A Hình 3.2 Sơ đồ mơ hình hóa vòm rỗng chịu tải trọng thân 3.1.3 Kết tính tốn Sử dụng phần mềm Matlab lập trình tính tốn, Chƣơng trình tính tốn tác giả có tên tuanvrbt.m Kết nội lực phần tử đƣợc tổng hợp bảng 3.1: Kết chuyển vị nút đƣợc tổng hợp bảng 3.2: 64 Bảng 3.1 Nội lực (kN) Cánh Cánh dƣới Xiên N01 0.103 N13 10.450 N24 2.300 N34 0.038 N02 4.332 N14 11.239 N25 1.649 N35 0.458 N03 2.547 N15 4.744 N26 0.206 N36 0.220 N04 0.010 N16 0.390 N27 2.708 N37 0.679 N05 3.108 N17 0.347 N28 0.215 N38 1.372 N06 7.434 N18 1.080 N29 1.372 N39 0.215 N07 7.434 N19 0.347 N30 0.679 N40 2.708 N08 3.108 N20 0.390 N31 0.220 N41 0.206 N09 0.010 N21 4.744 N32 0.458 N42 1.649 N10 2.547 N22 11.239 N33 0.038 N43 2.300 N11 4.332 N23 10.450 N12 0.103 65 Bảng 3.2 Chuyển vị nút Các nút dƣới Các nút x -0.2605 z 0.0233 x -0.4002 z 0.1745 x -0.4203 z 0.1649 x -0.4123 z 0.1342 x -0.2738 z 0.0286 x -0.2281 z -0.1692 x -0.0736 z -0.3335 x -0.067 z -0.5675 x 0.017 z -0.6969 x -0.0059 z -0.8385 x z -0.8463 x 0.0059 z -0.8385 x -0.017 z -0.6969 x 0.067 z -0.5675 x 0.0736 z -0.3335 x 0.2738 z 0.0286 x 0.2738 z 0.0286 x 0.4123 z 0.1342 x 0.4203 z 0.1649 x 0.4002 z 0.1745 x 0.2605 z 0.0233 66 Sơ đồ chuyển vị vòm rỗng Hình 3.3 Sơ đồ chuyển vị vòm rỗng chịu tải trọng thân 3.2 Ví dụ 2: Dao động riêng hệ kết cấu vòm rỗng 3.2.1 Xét vòm có sơ đồ nhƣ hình 3.4: Nhịp L=90m, độ cao f = 31,50 m, chiều cao vòm h=2, 00 m, Diện tích tiết diện cánh cánh dƣới A1 = A2 = 0.004m2, Diện tích tiết diện xiên xiên A3 = 0.002m2, Mơđun đàn hồi E= 2.108 kN m2 31.50 z A x 90.00 Hình 3.4 Sơ đồ động lực học vòm rỗng Vòm chịu khối lƣợng tập trung điểm nút m=10 kN B 67 Yêu cầu: Xác định trị riêng véc tơ riêng 3.2.2 Mơ hình hóa kết cấu đặt tên cấu kiện Đánh số thứ tự điểm nút là: 00, 01, 02,…, 22 Đánh số thứ tự phần tử là: 01, 02, 03,… , 43 nhƣ hình 3.5 z 09 05 07 04 28 05 27 29 30 31 11 06 32 33 10 34 18 07 12 17 35 13 19 08 36 08 14 16 37 15 20 06 38 09 16 15 39 17 21 40 03 10 04 18 26 41 03 19 14 22 25 42 02 11 02 20 24 43 x 01 13 01 21 23 12 00 22 B A Hình 3.5 Sơ đồ mơ hình hóa động lực học vòm rỗng Nội lực tƣơng ứng là: Thanh trên: Ni; ( i= 1÷12) Thanh dƣới:N2i; ( i= 13÷23) Thanh xiên:Ni; ( i= 24÷43) Chuyển vị theo trục x :xi ( i= 1÷21) Chuyển vị theo trục z :zi ( i= 1÷21) 3.2.3 Kết tính tốn Sử dụng phần mềm Matlab lập trình tính tốn, Chƣơng trình tính tốn tác giả có tên tuanvrdd.m 68 Dạng dao động thứ nhất: Hình 3.6 Dạng dao động riêng thứ Trị riêng: Véc tơ riêng Bảng 3.3 Giá trị véc tơ riêng ( biên độ dao động riêng) (m) Các nút Các nút u01 -0.266 w01 -0.090 u02 -0.249 w02 -0.148 u03 -0.502 w03 -0.211 u04 -0.543 w04 -0.308 u05 -0.433 w05 -0.392 u06 -0.383 w06 -0.490 u07 -0.168 w07 -0.591 u08 -0.139 w08 -0.716 u09 -0.062 w09 -0.837 u10 0.013 w10 -0.987 u11 w11 -1 u12 -0.13 w12 -0.987 u13 -0.062 w13 -0.837 u14 -0.139 w14 -0.716 69 u15 -0.168 w15 -0.591 u16 -0.383 w16 -0.490 u17 -0.433 w17 -0.392 u18 -0.543 w18 -0.308 u19 -0.502 w19 -0.211 u20 -0.249 w20 -0.148 u21 -0.266 w21 -0.090 Dạng dao động thứ hai: Hình 3.7 Dạng dao động riêng thứ hai Trị riêng: Véc tơ riêng Bảng 3.4 Giá trị véc tơ riêng ( biên độ dao động riêng) (m) Các nút Các nút u01 -0.442 w01 0.032 u02 -0.737 w02 0.376 u03 -1.089 w03 0.481 u04 -1.263 w04 0.792 70 u05 -1.408 w05 0.866 u06 -1.456 w06 1.000 u07 -1.385 w07 0.914 u08 -1.391 w08 0.776 u09 -1.223 w09 0.494 u10 -1.295 w10 0.152 u11 -1.163 w11 -0.218 u12 -1.316 w12 -0.574 u13 -1.271 w13 -0.861 u14 -1.412 w14 -1.072 u15 -1.409 w15 -1.145 u16 -1.372 w16 -0.997 u17 -1.372 w17 -0.997 u18 -1.188 w18 -0.886 u19 -1.034 w19 -0.556 u20 -0.682 w20 -0.423 u21 -0.422 w21 -0.063 Dạng dao động thứ ba: Hình 3.8 Dạng dao động riêng thứ ba Trị riêng: Véc tơ riêng 71 Bảng 3.5 Giá trị véc tơ riêng ( biên độ dao động riêng) (m) Các nút Các nút u01 0.266 w01 -0.040 u02 0.422 w02 -0.228 u03 0.520 w03 -0.260 u04 0.543 w04 -0.288 u05 0.433 w05 -0.212 u06 0.383 w06 -0.020 u07 0.168 w07 0.190 u08 0.139 w08 0.516 u09 -0.012 w09 0.737 u10 0.013 w10 0.987 u11 0.000 w11 1.000 u12 -0.013 w12 0.987 u13 0.012 w13 0.737 u14 -0.139 w14 0.516 u15 -0.168 w15 0.190 u16 -0.433 w16 -0.212 u17 -0.433 w17 -0.212 u18 -0.543 w18 -0.288 u19 -0.520 w19 -0.260 u20 -0.422 w20 -0.228 u21 -0.266 w21 -0.040 72 Dạng dao động thứ tƣ: Hình 3.9 Dạng dao động riêng thứ tư Trị riêng: Véc tơ riêng Bảng 3.6 Giá trị véc tơ riêng ( biên độ dao động riêng) (m) Các nút Các nút u01 0.555 w01 -0.101 u02 0.977 w02 -0.666 u03 1.397 w03 -0.856 u04 1.562 w04 -1.168 u05 1.482 w05 -1.119 u06 1.378 w06 -0.809 u07 0.910 w07 -0.363 u08 0.798 w08 0.313 u09 0.551 w09 0.668 u10 0.549 w10 1.000 u11 0.686 w11 0.376 u12 0.423 w12 -0.269 u13 0.456 w13 -0.855 u14 0.240 w14 -1.188 73 u15 0.246 w15 -1.128 u16 0.627 w16 -0.227 u17 0.627 w17 -0.227 u18 1.118 w18 0.178 u19 1.256 w19 0.472 u20 1.465 w20 0.622 u21 0.831 w21 0.042 Dạng dao động thứ năm: Hình 3.10 Dạng dao động riêng thứ năm Trị riêng: Véc tơ riêng 74 Bảng 3.7 Giá trị véc tơ riêng ( biên độ dao động riêng) (m) Các nút Các nút u01 -0.442 w01 0.032 u02 -0.737 w02 0.376 u03 -1.089 w03 0.481 u04 -1.263 w04 0.792 u05 -1.408 w05 0.866 u06 -1.456 w06 1.000 u07 -1.385 w07 0.914 u08 -1.391 w08 0.776 u09 -1.223 w09 0.494 u10 -1.295 w10 0.152 u11 -1.163 w11 -0.218 u12 -1.316 w12 -0.574 u13 -1.271 w13 -0.861 u14 -1.412 w14 -1.072 u15 -1.409 w15 -1.145 u16 -1.372 w16 -0.997 u17 -1.372 w17 -0.997 u18 -1.188 w18 -0.886 u19 -1.034 w19 -0.556 u20 -0.682 w20 -0.423 u21 -0.422 w21 -0.063 75 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận văn trình bày tổng qt vòm rỗng, cấu tạo, tính tốn phạm vi áp dụng nƣớc ta nói riêng giới nói chung Bằng phƣơng Pháp nguyên lý cực trị Gauss GS TSKH Hà Huy Cƣơng tác giả xây dựng giải thành cơng tốn: Vòm rỗng chịu tải thân, sở giải thành cơng tốn tìm trị riêng véc tơ riêng vòm rỗng Tác giả xây dựng thuật tốn tính tốn, thiết kế sơ đồ khối lập trình tính tốn Matlab thành cơng chƣơng trình tính cho tốn vòm rỗng dùng chƣơng trình tính để tính tốn ví dụ nghiên cứu Kiến nghị Phƣơng pháp tính tốn tác giả làm tài liệu nghiên cứu cho sinh viên, học viên cao học kỹ sƣ xây dựng chuyên ngành Áp dụng phƣơng pháp chƣơng trình tính vào thực tế xây dựng nƣớc ta TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Văn Hội (2006), Kết cấu thép cơng trình dân dụng cơng nghiệp tập 2, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội, trg 97-104 Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến Trúc Hà Nội, Hà Nội Đoàn Thu Hường (2018) Tính tốn vòm rỗng chịu tải thẳng đứng theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến Trúc Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Thị Thùy Liên (2006), Phương pháp nguyên lí cực trị Gauss tốn động lực học cơng trình, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội Lều Thọ Trình (2010), Cơ học kết cấu tập tập 2, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội Phạm Văn Trung (2006),Phương pháp tính tốn hệ kết cấu dây mái treo, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến Trúc Hà Nội, Hà Nội Phạm Văn Trung, Nguyễn Vũ Thiêm (2018), Tính tốn vòm rỗng hai khớp theo phương pháp ngun lý cực trị Gauss, Tạp chí Xây Dựng - Bộ Xây Dựng, số 602 tr.90-93 Lê Trọng Vinh, Trần Minh Tồn (2015), Giáo trình Phương pháp tính Matlab, NXB Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội Ха Зуй Кыонг (1984), Применение экстремьлного принципа Гаусса к задачам расчета жестких покрытий аэродромов и автомобильных дорог, Дисс, на соиск, учен, степени докт, техн наук, МАДИ, М 10.Н И Безухов, И В Лужин, Н И Колкунов (1987), Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах ... 2.1 Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss ….………… … 36 2.1.1 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss GS TSKH Hà Huy Cương 36 2.1.2 .Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss toán học………………………………………………………... tốn tính tốn dao động riêng hệ kết cấu vòm rỗng theo Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss - Ý nghĩa thực tiễn đề tài: Là góp thêm lý thuyết tính tốn dao động riêng hệ kết cấu vòm rỗng cơng trình... Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss phƣơng pháp đƣợc GS TSKH Hà Huy Cƣơng trình bày dựa nguyên lý chuyển vị ảo để nhận đƣợc biểu thức nguyên lý Gauss gọi phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss Nhiều nhà