1. Các định nghĩa • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB . • Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB . • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . • Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. • Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a, b ,... để biểu diễn vectơ. + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Mọi vectơ 0 đều bằng nhau. 2. Các phép toán trên vectơ a) Tổng của hai vectơ • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC . • Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC . • Tính chất: a b b a ; a b c a b c ; a 0 a b) Hiệu của hai vectơ • Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a b 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là a . • Vectơ đối của 0 là 0 . • a b a b . • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB . c) Tích của một vectơ với một số • Cho vectơ a và số k R. ka là một vectơ được xác định như sau: + ka cùng hướng với a nếu k 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. +
CHƯƠNG I VECTƠ I VECTƠ Các định nghĩa • Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB • Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ • Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB • Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu • Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng • Hai vectơ phương hướng ngược hướng • Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài Chú ý: + Ta sử dụng kí hiệu a, b , để biểu diễn vectơ + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ Mọi vectơ Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC = AC • Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB + AD = AC (a + b ) + c = a + (b + c ) ; a + = a • Tính chất: a+b= b+a; b) Hiệu hai vectơ • Vectơ đối a vectơ b cho a + b = Kí hiệu vectơ đối a −a • Vectơ đối • a − b = a + ( −b ) • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB − OA = AB c) Tích vectơ với số • Cho vectơ a số k ∈ R ka vectơ xác định sau: + ka hướng với a k ≥ 0, ka ngược hướng với a k < + ka = k a k ( a + b ) = ka + kb ; • Tính chất: (k + l)a = ka + la ; k ( la ) = (kl)a ka = ⇔ k = a = • Điều kiện để hai vectơ phương: a vµ b ( a ≠ 0) phương ⇔ ∃ k ∈ R : b = ka • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃ k ≠ 0: AB = k AC • Biểu thị vectơ theo hai vectơ khơng phương: Cho hai vectơ không phương a, b x tuỳ ý Khi ∃ ! m, n ∈ : x = ma + nb Chú ý: • Tọa độ trung điểm đoạn thẳng: M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = ⇔ OA + OB = 2OM (O tuỳ ý) • Tọa độ trọng tâm tam giác: G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý) Trang VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vecto Bài Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C, D? Bài Cho ∆ABC có A′ , B′ , C′ trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC′ = C′ A = A′ B′ b) Tìm vectơ B′ C′ , C′ A′ Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP = QN ; MQ = PN Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a)AC − BA = AD ; AB + AD = AC b) Nếu AB + AD = CB − CD ABCD hình chữ nhật Bài Cho hai véc tơ a, b Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a + b = a − b Bài Cho ∆ABC cạnh a Tính AB + AC ; AB − AC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB + AC + AD Bài Cho ∆ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA, HB, HC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB + AD , AB + AC , AB − AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB + DC = AC + DB b) AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: a) Nếu AB = CD AC = BD b) AC + BD = AD + BC = 2IJ c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA + GB + GC + GD = d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB + AI + JA + DA) = 3DB Bài Cho ∆ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ + IQ + PS = Bài Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI Bài Cho ∆ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH = 2OM b) HA + HB + HC = 2HO c) OA + OB + OC = OH Bài Cho hai tam giác ABC A′ B′ C′ có trọng tâm G G′ a) Chứng minh AA′ + BB′ + CC′ = 3GG′ b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Trang Bài Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM = AB + AC 3 Bài Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN = 2NA K trung điểm MN Chứng minh: 1 1 a) AK = AB +6 AC b) KD = AB + AC Bài 10 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: 1 a) AM = 2OB − OA b) BN = OC − OB c) MN = ( OC − OB) Bài 11 Cho ∆ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: 4 1 a) AB = −3 CM − BN c) AC = −3 CM − BN c) MN = BN − CM Bài 12 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G 1 a) Chứng minh: AH = AC − AB CH = − ( AB + AC ) 3 b)Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH = AC − AB 6 Bài 13 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a, AD = b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a, b Bài 14 Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC va BD theo vectơ AB va AF Bài 15 Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo vectơ OA, OB, OC Bài 16 Cho ∆ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB = 3MC, NA = 3CN , PA + PB = a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Bài 17 Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = b)Đặt BB1 = u, CC1 = v Tính BC, CA, AB theo u va v Bài 18 Cho ∆ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC a) Tính AI , AF theo AB vao AC b)Gọi G trọng tâm ∆ABC Tính AG theo AI vao AF Bài 19 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA − 5HB + HC = b)Đặt AG = a, AH = b Tính AB, AC theo a vao b VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM = a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … Trang Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA − MB + MC = Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI a) Chứng minh: BN − BA = MB b) Tìm điểm D, C cho: NA + NI = ND ; NM − BN = NC Bài Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3AM = AB + AC + AD Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Chứng minh: MN = ( AB + DC) b) Xác định điểm O cho: OA + OB + OC + OD = Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA + SB + SC + SD = 4SO Bài Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IB + 3IC = b) 2JA + JC − JB = CA Bài Bài c) KA + KB + KC = 2BC d) 3LA − LB + 2LC = Bài Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IA − 3IB = 3BC b) JA + JB + 2JC = c) KA + KB − KC = BC d) LA − 2LC = AB − 2AC Bài Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA + IB − IC = BC b) FA + FB + FC = AB + AC c) 3KA + KB + KC = d) 3LA − 2LB + LC = Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: a) IA + IB + IC = 4ID b) 2FA + 2FB = 3FC − FD c) 4KA + 3KB + 2KC + KD = Bài 10 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , MF = MB + CA Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b)So sánh véc tơ MA + MB + MC va MD + ME + MF Bài 11 Cho tứ giác ABCD a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA + GB + GC + GD = (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD) b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG = ( OA + OB + OC + OD) Bài 12 Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A′ , B′ , C′ , D′ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA′ , BB′ , CC′ , DD′ b) G trọng tâm của tứ giác A′ B′ C′ D′ Bài 13 Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k cho vectơ v k.MI với điểm M: a) v = MA + MB + 2MC b) v = MA − MB − 2MC c) v = MA + MB + MC + MD d) v = 2MA + 2MB + MC + 3MD Trang VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng • Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB = k AC , với k ≠ • Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM = ON , với O điểm MN = Bài Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA + 2OB − 3OC = Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: 1 BH = BC , BK = BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng HD: BH = AH − AB; BK = AK − AB Bài Cho ∆ABC với I, J, K xác định bởi: IB = 2IC , JC =− JA , KA = −KB a) Tính IJ , IK theo AB va AC (HD: IJ = AB − AC ) b)Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm ∆AIB) Bài Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = a) Tính PM , PN theo AB, AC b)Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho 1 AD = AF, AB = AE Chứng minh: 2 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b)Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành Bài Cho ∆ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA + 3IC = , JA + 2JB + 3JC = Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng Bài Cho ∆ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA + 4MB = , NB − 3NC = Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ∆ABC Bài Cho ∆ABC Lấy điểm M N, P: MB − 2MC = NA + 2NC = PA + PB = a) Tính PM , PN theo AB va AC b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm Bài 10 Cho tam giác ABC, A′ điểm đối xứng A qua B, B′ điểm đối xứng B qua C, C′ điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC A′ B′ C′ có chung trọng tâm Bài 11 Cho ∆ABC Gọi A′ , B′ , C′ điểm định bởi: 2A′ B + 3A′ C = , 2B′ C + 3B′ A = , 2C′ A + 3C′ B = Chứng minh tam giác ABC A′ B′ C′ có trọng tâm Bài 12 Trên cạnh AB, BC, CA ∆ABC lấy điểm A′ , B′ , C′ cho: AA′ BB′ = = CC′ AB BC AC Chứng minh tam giác ABC A′ B′ C′ có chung trọng tâm Bài 13 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A′ , B′ , C′ điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng qui điểm N Trang b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN qua trọng tâm G ∆ABC Bài 14 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA + 4MB = , CN = BC Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G ∆ABC Bài 15 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD = DE = EC a) Chứng minh AB + AC = AD + AE b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Bài 16 Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM = BC − 2AB , CN = x AC − BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính IM IN Bài 17 Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a + b + c ≠ a) Chứng minh có điểm G thoả mãn aGA + bGB + cGC = b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng Bài 18 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN = 2MA + 3MB − MC a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB − IC = b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 19 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN = 2MA − MB + MC a) Tìm điểm I cho 2IA − IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng không đổi đường tròn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi Bài Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA + MB = MA − MB b) 2MA + MB = MA + 2MB HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực AB Bài Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA + MB + MC = MB + MC b) MA + BC = MA − MB c) 2MA + MB = 4MB − MC d) 4MA + MB + MC = 2MA − MB − MC HD: a) Trung trực IG (I trung điểm BC, G trọng tâm ∆ABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp đường tròn tâm D, bán kính BA Bài Cho ∆ABC a) Xác định điểm I cho: 3IA − 2IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN = 2MA − 2MB + MC qua điểm cố định c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA − 2HB + HC = HA − HB Trang d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA + KB + KC = KB + KC Bài Cho ∆ABC a)Xác định điểm I cho: IA + 3IB − 2IC = b)Xác định điểm D cho: 3DB − 2DC = c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng d)Tìm tập hợp điểm M cho: MA + 3MB − 2MC = 2MA − MB − MC II TOẠ ĐỘ Trục toạ độ • Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e Kí hiệu ( O; e ) • Toạ độ vectơ trục: u = (a) ⇔ u = a.e • Toạ độ điểm trục: M (k ) ⇔ OM = k.e • Độ dài đại số vectơ trục: AB = a ⇔ AB = a.e Chú ý: + Nếu AB cung huong voi e AB = AB Nếu AB nguoc huong voi e AB = −AB + Nếu A(a), B(b) AB = b − a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB + BC = AC Hệ trục toạ độ • Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy i , j O gốc toạ độ, Ox trục hoành, Oy trục tung • Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u = (x; y) ⇔ u = x.i + y j • Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M (x; y) ⇔ OM = x.i + y j • Tính chất: Cho a = (x; y), b = (x ′ ; y′ ), k ∈ R , A(xA; yA), B(xB; yB ), C(xC ; yC ) : x = x′ + a = b ⇔ + a ± b = (x ± x′ ; y ± y ′ ) + ka = (kx; ky) y = ′y + b phương với a ≠ ⇔ ∃ k ∈ R: x′ = kx va y′ = ky ⇔ x′ = x y′ y (nếu x ≠ 0, y ≠ 0) + AB = (xB − xA; yB − yA ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: x = xA + xB I + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x = G yA + yB ;y= I xA 2+ xB + xC y + y B + yC ;y = A G xA − kxB y 3− kyB + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: x = ;y = A M M 1− k 1− k ( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA = k MB ) VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −2 a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB Trang c) Tìm tọa độ điểm M cho 2MA + 5MB = d) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA + 3NB = −1 Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −3 a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA − 2MB = b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = AB Bài Trên trục x'Ox cho điểm A(−2), B(4), C(1), D(6) 1 a) Chứng minh rằng: + = AC AD AB b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID = IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD = AB AJ Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB b) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB − MC = c) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA − 3NB = NC Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB.CD + AC.DB + DA.BC = b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Bài Viết tọa độ vectơ sau: a) a = 2i + j; b = i − j; c = 3i ; d = −2 j 3 b) a = i − j; b = i + j; c = −i + j; d = −4 j; e = 3i 2 Bài Viết dạng u = xi + yj biết toạ độ vectơ u là: a) u = (2; −3); u = (−1; 4); u = (2;0); u = (0; −1) b) u = (1;3); u = (4; −1); u = (1;0); u = (0;0) Bài Cho a = (1; −2), b = (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: b) u = 3a − 2b; v = + b; w = 4a − b 1 Bài Cho a = (2; 0), b = −1; , c = (4; −6) 2 a) Tìm toạ độ vectơ d = 2a − 3b + 5c b) Tìm số m, n cho: ma + b − nc = c) Biểu diễn vectơ c theo a, b Bài Cho hai điểm A(3; −5), B(1;0) a) x = a + b; y = a − b; z = 2a − 3b a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC = −3AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Bài Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Bài Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ vectơ AB, AC, BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM = 2AB − 3AC Trang d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN + 2BN − 4CN = Bài Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b)Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ AH va B′ C; AB′ va HC Bài Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC + BD = AD + BC = 2IJ b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA + GB + GC + GD = c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm Bài Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , MF = MB + CA Chứng minh điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA + MB + MC MD + ME + MF Bài Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ∆ABC Chứng minh: a) 2AI = 2AO + AB b) 3DG = DA + DB + DC Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a) Chứng minh: AI = 2( AD + AB) b) Chứng minh: OA + OI + OJ = c) Tìm điểm M thoả mãn: MA − MB + MC = Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD = 2AB , AE = AC a) Tính AG, DE, DG theo AB va AC b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng Bài Cho ∆ABC Gọi D điểm xác định AD = AC M trung điểm đoạn BD a) Tính AM theo AB va AC IB AM b) AM cắt BC I Tính IC AI Bài Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: a) MA = MB b) MA + MB + MC = c) MA + MB = MA − MB e) MA + MB = MA + MC d) MA + MB = MA + MB Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 11 Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC Trang Bài 10 c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 12 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh Trang 10 ... minh: M, N, P thẳng hàng Bài 17 Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = b)Đặt BB1 = u, CC1 = v Tính BC, CA, AB theo u va v Bài 18 Cho ∆ABC Gọi I điểm cạnh... MN Chứng minh: 1 1 a) AK = AB +6 AC b) KD = AB + AC Bài 10 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: 1 a) AM = 2OB − OA b) BN = OC − OB c) MN = ( OC − OB) Bài 11 Cho ∆ABC Gọi... −3); u = ( 1; 4); u = (2;0); u = (0; 1) b) u = (1; 3); u = (4; 1) ; u = (1; 0); u = (0;0) Bài Cho a = (1; −2), b = (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: b) u = 3a − 2b; v = + b; w = 4a − b 1 Bài Cho