Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9

Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9 Tổng hợp lí thuyết toán đại số hình học 9

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - ÔN TẬP KT CHƢƠNG I ĐẠI SỐ LÝ THUYẾT Điều kiện có nghĩa số biểu thức: 1) A(x) đa thức  A(x) ln có nghĩa 2) Khử mẫu biểu thức dƣới dấu bậc hai: Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số bình phương A( x) có nghĩa  B(x)  B( x) A(x) có nghĩa  A(x)  A( x) 4) có nghĩa  B(x) > B( x) 3) A  B A.B  B2 A.B ( với B  0, A.B  ) B Trục thức mẫu số: A A2  A    A DẠNG 1: Mẫu biểu thức dạng tích thức số, ta nhân tử mẫu với thức A A B A B   a.B a B a B Nếu A khơng âm A2  A  A A     A A.B  A B ( với A  ; B  ) Tổng quát: A1 A2 A n  A1 A2 An với Ai  (1  i  n) A  B  A (với A  0, B  0) B m  A B  A2 B  A B m  A B Đƣa thừa số vào dấu bậc hai: A B  A2 B ( với A  ) A B   A2 B ( với A < )     m m.( A  B ) m A  B   A2  B A  B ( A  B )( A  B ) m m.( A  B ) m A  B   A2  B A  B ( A  B )( A  B ) Đƣa thừa số A2 dấu bậc hai: ta đƣợc |A| Ta có: DẠNG 2: Mẫu biểu thức dạng tổng có thức, ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu  A – B A + B hai biểu thức liên hợp với  (A – B)(A + B) = A2 – B2        m A  B m A  B  A B A B A B  m A  B m A  B  A B A B A B       Phƣơng trình chứa thức bậc hai: 1) A2  | A |  A  2) B  (hoặc A A B  A  B ) 3) B  AB A  B 4) A  B  O  A = B = Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - A Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A  Các công thức biến đổi thức A2  A a b AB  A B ( A  0; B  0) c A  B d A2 B  A B e A B ( A  0; B  0) A B  A2 B ( A  0; B  0) A B   A2 B f A  B B ( B  0) AB ( A  0; B  0) ( AB  0; B  0) i A A B  B B k C C ( A B)  A  B2 AB m C C( A B)  A B A B ( B  0) ( A  0; A  B ) ( A  0; B  0; A  B ) CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT 1.1 Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số đƣợc cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho trƣớc a  b Tính chất :Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) đƣờng thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đƣờng thẳng y = ax, b  0, trùng với đƣờng thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) Bước Cho x = y = b ta đƣợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy -b -b Cho y = x = ta đƣợc điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành a a Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Bước Vẽ đƣờng thẳng qua hai điểm P Q ta đƣợc đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Cho hai đƣờng thẳng (d): y = ax + b (a  0) (d’): y = a’x + b’ (a’  0) Khi + d // d '   + a  a' b  b ' d ' d '   A  a  a ' + d  d '   a  a' b  b ' d  d '  a.a '  1 + e Hệ số góc đƣờng thẳng y = ax + b (a  0) *Góc tạo đƣờng thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đƣờng thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đƣờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đƣờng thẳng y = ax + b có tung độ dƣơng *Hệ số góc đƣờng thẳng y = ax + b - Hệ số a phƣơng trình y = ax + b đƣợc gọi hệ số góc đƣờng thẳng y = ax +b f Một số phƣơng trình đƣờng thẳng - Đƣờng thẳng qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 - Đƣờng thẳng qua điểm A(x0, 0) B(0; y0) với x0.y0  x y  1 x0 y0 2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB đƣợc tính cơng thức AB  ( xB  x A )  ( yB  y A ) - Tọa độ trung điểm M AB đƣợc tính cơng thức xM  xA  xB y  yB ; yM  A 2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I CÁC KHÁI NIỆM: Phƣơng trình bậc hai ẩn: +Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số biết( a  b  0) + Một nghiệm phƣơng trình cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phƣơng trình bậc hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm + Tập nghiệm đƣợc biểu diễn đƣờng thẳng (d): ax + by = c Nếu a  0; b  đƣờng a b c b thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất: y   x   Hệ hai phƣơng trình bậc hai ẩn: ax  by  c.(1) + Dạng:  , , , a x  b y  c (2) Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - + Nghiệm hệ nghiệm chung hai phƣơng trình + Nếu hai phƣơng trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đƣờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phƣơng trình (1) đƣợc biểu diễn đƣờng thẳng (d) -Phƣơng trình (2) đƣợc biểu diễn đƣờng thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm *Nếu (d) song song với (d') hệ vơ nghiệm *Nếu (d) trùng (d') hệ vơ số nghiệm Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng: Hai hệ phơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng với chúng có tập nghiệm II.PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH: Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bƣớc 1: Từ phƣơng trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phƣơng trình thứ hai để đƣợc phƣơng trình (chỉ ẩn) + Bƣớc 2: Dùng phƣơng trình để thay cho phƣơng trình thứ hai hệ (phƣơng trình thứ thƣờng đƣợc thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có đƣợc bƣớc 1)  Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bƣớc 1: Cộng hay trừ vế hai phƣơng trình hệ hệ phƣơng trình cho để đƣợc phƣơng trình + Bƣớc 2: Dùng phƣơng trình thay cho hai phƣơng trình hệ (và giữ nguyên phƣơng trình kia) Lƣu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn khơng khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đƣa hệ số ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi quy đồng hệ số) HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƢỜNG THẲNG ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƢỜNG THẲNG CẮT NHAU A Kiến thức Góc tạo đƣờng thẳng y = ax + b (a khác 0) trục Ox - Góc  tạo đƣờng thẳng y = ax + b (a khác 0) trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đƣờng thẳng y = ax + b với trục Ox; T điểm thuộc đƣờng thẳng y = ax + b có tung độ dƣơng Tư vấn giải pháp học tập tốt môn Toán lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Tốn IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 8 6 T 4 T A -15 -10    -5 10 15 -15 -10 -5  A y=ax+b 10 15 y=ax y=ax -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 y=ax+b Trƣờng hợp a > Trƣờng hợp a < 0 - với a >     90 , a lớn  lớn - với a <  900    1800 , a lớn  lớn y = ax + b (a khác 0) a đƣợc gọi hệ số góc đƣờng thẳng Với đƣờng thẳng  d  : y  ax  b  d '  : y  a' x  b'  a; a'   , ta có:    d d   a  a   d  / / d '  a  a ' ; b  b' ' '     d    d   a.a  1   d   d '  a  a ' ; b  b' ' ' - Chú ý: a khác a’ b = b’ đƣờng thẳng có tung độ gốc, chúng cắt điểm trục tung có tung độ b GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP THẾ A Kiến thức Quy tắc - từ phƣơng trình hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết cho x (hoặc y) pt lại thu gọn Cách giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp - dùng quy tắc biến đổi hệ phƣơng trình cho để đc hpt có pt ẩn - giải pt ẩn vừa tìm đc, suy nghiệm hpt cho GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A Kiến thức Quy tắc cộng đại số: gồm bƣớc - Cộng hay trừ vế pt hpt cho để đc pt - Dùng pt thay cho pt hệ (giữ nguyên pt kia) Tóm tắt cách giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn thành” - Nghĩa là: + nhân cho hệ số ẩn hai phƣơng trình + đổi dấu vế pt: hệ số ẩn đối + cộng vế với vế pt hệ, rút gọn tìm ẩn + thay vào tính nốt ẩn lại Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH A Kiến thức Để giải toán cách lập hệ phƣơng trình ta thực theo bƣớc sau : - bƣớc : lập hpt (bao gồm công việc sau) + chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn) + biểu diễn đại lƣợng chƣa biết theo ẩn đại lƣợng biết + lập hpt biểu thị tƣơng quan đại lƣợng - bƣớc : giải hpt vừa lập đc bƣớc - bƣớc : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ban đầu HÀM SỐ y  ax2  a   ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  ax2  a  0 A Kiến thức Tính chất hàm số y  ax2  a  0 a) Tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < b) Nhận xét: Nếu a > y > với x khác 0; y = x = giá trị nhỏ hàm số y = Nếu a < y < với x khác 0; y = x = giá trị lớn hàm số y = Tính chất đồ thị hàm số y  ax2  a  0 Đồ thị hàm số y  ax2  a   đƣờng cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy trục đối xứng đƣờng cong đƣợc gọi Parabol với đỉnh O Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía dƣới trục hồnh, O(0;0) điểm cao đồ thị PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A Kiến thức Định nghĩa: pt bậc hai ẩn pt có dạng: ax2  bx  c   a  0 b, c số cho trƣớc Cách giải (1), x ẩn; a, x  x  a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: ax  bx   x  ax  b      x   b ax  b   a  c b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: ax  c   ax  c  x   (2) a c -   pt (2) vơ nghiệm, suy pt (1) cung vô nghiệm a c c -    x    a a c) đầy đủ: ax  bx  c   a  0 Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn   b  4ac + Nếu   pt có nghiệm phân biệt: '  b'2  ac + Nếu '  pt có nghiệm phân biệt: b   b   ; x2  2a 2a +   pt có nghiệm kép: b x1  x2  2a +   pt vơ nghiệm b'   ' b'   ' ; x2  a a ' +   pt có nghiệm kép: b' x1  x2  a + '  pt vơ nghiệm x1  x1  d) Cho pt: ax2  bx  c   a  0 Điều kiện để phƣơng trình: - Vơ nghiệm:   ( '  ) - Nghiệm kép:   ( '  ) - Có nghiệm phân biệt:   ( '  ) a.c <    '   - Có nghiệm dấu:   P  x1.x2     '    - Có nghiệm dấu âm:  P  x1.x2  S  x  x      '    - Có nghiệm dấu dƣơng:  P  x1.x2  S  x  x      '   - Có nghiệm khác dấu:   P  x1.x2  Hệ thức Vi-ét ứng dụng b  x1  x2    a - Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt ax2  bx  c   a  0   x x  c  a - Ứng dụng nhẩm nghiệm hệ thức Vi-ét: + pt ax2  bx  c   a  0 có a  b  c  pt có nghiệm là: x1  1; x2  c a + pt ax2  bx  c   a  0 có a  b  c  pt có nghiệm là: x1  1; x2   c a u  v  S suy u, v nghiệm pt: x2  Sx  P  (điều kiện để tồn u, v u v  P  +    S  4P  ) PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Phƣơng trình trùng phƣơng - dạng tổng quát: ax4  bx2  c   a  0 - cách giải: dùng phƣơng pháp đặt ẩn phụ, đặt x2  t  t  0 Khi ta có pt: at  bt  c  (đây pt bậc hai ẩn) Phƣơng trình chứa ẩn mẫu: Các bƣớc giải - Tìm đk xác định pt - Quy đồng mẫu thức vế pt, khử mẫu - Giải pt vừa nhận đƣợc - Kết luận: so sánh nghiệm tìm đƣợc với đk xác định pt Phƣơng trình tích - dạng tổng quát: A x B x   A x   - cách giải: A x  B x      B x   Giải toán cách lập phƣơng trình, hệ phƣơng trình Bƣớc 1: Lập phƣơng trình hệ phƣơng trình Bƣớc 2: Giải phƣơng trình hệ phƣơng trình Bƣớc 3: Kiểm tra nghiệm phƣơng trình hệ phƣơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A  Để rút gọn biểu thức A ta thực bƣớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đƣa bớt thừa số ngồi thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài tốn tính tốn Bài tốn 1: Tính giá trị biểu thức A  Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a  Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B  Một số phƣơng pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B A-B=0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phương pháp 3: Phƣơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phương pháp 4: Phƣơng pháp tƣơng đƣơng A = B  A' = B'  A" = B"  (*) (*) A = B - Phương pháp 5: Phƣơng pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 6: Phƣơng pháp quy nạp - Phương pháp 7: Phƣơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B  Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1  a2  a3   an n  a1.a2 a3 an (với a1.a2 a3 an  ) n Tư vấn giải pháp học tập tốt môn Toán lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 Hệ thống phát triển Tốn IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Dấu “=” xảy khi: a1  a2  a3   an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn a1b1  a2b2  a3b3   anbn 2  (a12  a22  a32   an2 )(b12  b22  b32   bn2 ) Dấu “=” xảy khi: a a1 a2 a3     n b1 b2 b3 bn  Một số phƣơng pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B A-B>0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B + M2 > B M  - Phương pháp 3: Phƣơng pháp tƣơng đƣơng A > B  A' > B'  A" > B"  (*) (*) A > B - Phương pháp 4: Phƣơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B  A > B - Phương pháp 5: Phƣơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tƣơng đƣơng để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A > B - Phương pháp 6: Phƣơng pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 7: Phƣơng pháp quy nạp - Phương pháp 8: Phƣơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: toán liên quan tới phƣơng trình bậc hai Bài tốn 1: Giải phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0)  Các phƣơng pháp giải: - Phương pháp 1: Phân tích đƣa phƣơng trình tích - Phương pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x2 = a  x =  a - Phương pháp 3: Dùng cơng thức nghiệm Ta có  = b2 - 4ac + Nếu  > : Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1  b  b  ; x2  2a 2a + Nếu  = : Phƣơng trình có nghiệm kép x1  x2  b 2a + Nếu  < : Phƣơng trình vơ nghiệm - Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có ' = b'2 - ac với b = 2b' + Nếu ' > : Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 10 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - PhÇn II: HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ Hệ thức lƣợng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc a = b2 + c2 1  2 2 h b c A b c h B c' b' C H a Tỉ số lƣợng giác góc nhọn < sin < < coss < tg  sin  cos  tg.cotg = cos  sin  1  tg 2  cos  cot g  sin2 + cos2 = 1  cot g 2  sin  Hệ thức cạnh góc tam giác vuông b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B B a c A b C Đƣờng tròn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đƣợc đƣờng tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng : Đƣờng tròn có tâm đối xứng; có vơ số trục đối xứng - Quan hệ vng góc đƣờng kính dây Trong đƣờng tròn + Đƣờng kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Đƣờng kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đƣờng tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đƣờng tròn hay hai đƣờng tròn nhau: Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 18 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng đƣờng tròn: Vị trí tƣơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R dR - Đƣờng thẳng đƣờng tròn cắt - Đƣờng thẳng đƣờng tròn tiếp xúc - Đƣờng thẳng đƣờng tròn khơng giao - Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng đƣờng tròn: Vị trí tƣơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Hai đƣờng tròn cắt - Hai đƣờng tròn tiếp xúc + Tiếp xúc ngồi R - r < OO' < R + r OO' = R + r + Tiếp xúc OO' = R - r Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 19 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - - Hai đƣờng tròn khơng giao + (O) (O') OO' > R + r + (O) đựng (O') OO' < R - r + (O) (O') đồng tâm OO' = Tiếp tuyến đƣờng tròn - Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Đƣờng thẳng đƣờng tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đƣờng tròn đến đƣờng thẳng bán kính + Đƣờng thẳng qua điểm đƣờng tròn vng góc với bán kính qua điểm A - Tính chất tiếp tuyến cắt MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB O M + MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB - Tiếp tuyến chung hai đƣờng tròn: đƣờng B thẳng tiếp xúc với hai đƣờng tròn đó: Tiếp tuyến chung ngồi Tiếp tuyến chung d d d' O O' O O' d' Góc với đƣờng tròn Loại góc Hình vẽ Cơng thức tính số đo A B Góc tâm O AOB  sd AB Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 20 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - A B Góc nội tiếp O AMB  sd AB M x Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung A B xBA  O sd AB B A Góc có đỉnh bên đƣờng tròn M AMB  O C ( sd AB  sdCD) D M D C Góc có đỉnh bên ngồi đƣờng tròn AMB  ( sd AB  sdCD) O A B  Chú ý: Trong đƣờng tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đƣờng tròn góc vng ngƣợc lại góc vng nội tiếp chắn nửa đƣờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đƣờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đƣờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l  Rn 180 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 21 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n : S  Các loại đƣờng tròn Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác Đƣờng tròn nội tiếp tam giác A  R2n 360  lR Đƣờng tròn bàng tiếp tam giác A A B C O O F B E J C B C Tâm đƣờng tròn giao ba đƣờng trung trực tam giác Tâm đƣờng tròn giao Tâm đƣờng tròn bàng ba đƣờng phân giác tiếp góc A giao tam giác điểm hai đƣờng phân giác góc ngồi B C giao điểm đƣờng phân giác góc A đƣờng phân giác B (hoặc C) 10 Các loại hình khơng gian a Hình trụ - Diện tích xung quanh: Sxq = 2rh - Diện tích tồn phần: Stp = 2rh + r2 - Thể tích hình trụ: V = Sh = r2h b Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq = 2rl - Diện tích tồn phần: Stp = 2rl + r2 - Thể tích hình trụ: V = r: bán kính Trong h: chiều cao Trong  r 2h c Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - Thể tích: V =  h(r12  r22  r1 r2 ) d Hình cầu - Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d r: bán kính l: đƣờng sinh h: chiều cao r1: bán kính dáy lớn r2: bán kính đáy nhỏ Trong l: đƣờng sinh h: chiều cao R: bán kính Trong d: đƣờng kính Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 22 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - - Thể tích hình cầu: V =  R3 11 Tứ giác nội tiếp:  Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dƣới góc  B dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc  Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc góc thứ ba - Chứng minh hai góc với hai góc khác - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song vng góc - Hai góc ó le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc tƣơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng  Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tƣơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trƣơng hai cung đƣờng tròn hai đƣờng Dạng 2: Chứng minh hai đƣờng thẳng song song  Cách chứng minh: - Chứng minh hai đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc với đƣờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: + vị trí so le + vị trí so le ngồi + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đƣờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc  Cách chứng minh: - Chúng song song song song với hai đƣờng thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đƣờng cao tam giác Tư vấn giải pháp học tập tốt môn Toán lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 23 Hệ thống phát triển Tốn IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - - Đƣờng kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác hai góc kề bù Dạng 4: Chứng minh ba đƣờng thẳng đồng quy  Cách chứng minh: - Chứng minh chúng ba đƣờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 5: Chứng minh hai tam giác  Cách chứng minh: * Hai tam giác thƣờng: - Trƣờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trƣờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trƣờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vng: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vng đơi Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng  Cách chứng minh: * Hai tam giác thƣờng: - Có hai góc đơi - Có góc xen hai cạnh tƣơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tƣơng ứng tỷ lệ * Hai tam giác vng: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vng tƣơng ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học  Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: MAC  MDB MAD  MCB - Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đƣờng thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tức ta chứng minh: MAE  MFB MCE  MFD  MA.MB = MC.MD * Trƣờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA  MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp  Cách chứng minh: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 24 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dƣới góc  Dạng 9: Chứng minh MT tiếp tuyến đƣờng tròn (O;R)  Cách chứng minh: - Chứng minh OT  MT T  (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đƣờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc  Cách tính: - Dựa vào hệ thức lƣợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lƣợng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tích Vấn đề: định nghĩa xác định đƣờng tròn Tập hợp điểm cách O cho trƣớc khoảng R khơng đổi gọi đƣờng tròn tâm O bán kính R Kí hiệu: (O; R) Để xác định đƣợc đƣờng tròn ta có cách sau: 2.1 Biết tâm O bán kính R 2.2 Biết điểm khơng thẳng hàng nằm đƣờng tròn Cho (O; R) điểm M Khi có khả sau: 3.1 Nếu MO > R M nằm ngồi đƣờng tròn (O; R) 3.2 Nếu MO=R M nằm đƣờng tròn (O;R) Kí hiệu: M  (O; R) 3.3 Nếu MO < R M nằm đƣờng tròn (O; R) Dây cung đoạn thẳng nối hai điểm đƣờng tròn Đƣờng kính dây cung qua tâm Vậy đƣờng kính dây cung lớn đƣờng tròn Muốn c/m điểm nằm (O; R) ta khoảng cách từ điểm đến O R Các cách khác sau xét sau Đƣờng tròn qua hai điểm A B có tâm nằm trung trực AB đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đƣờng tròn Đƣờng tròn hình có tâm đối xứng tâm đƣờng tròn Đƣờng tròn có vơ số trục đối xứng đƣờng kính Đƣờng kính vng góc dây cung qua trung điểm ngƣợc lại Hai dây cung chúng cách tâm Dây cung gần tâm dài ngƣợc lại Vận dụng tính chất ta tính độ dài đoạn c/m tính chất nhƣ so sánh đoạn thẳng dựa vào đƣờng tròn Vấn đề: vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng đƣờng tròn Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng độ dài đƣờng vng góc từ điểm đến đƣờng thẳng Cho đƣờng tròn (O; R) đƣờng thẳng d có trƣờng hợp sau: Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 25 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Nếu d(O;d) = OH > R đƣờng thẳng đƣờng tròn khơng có điểm chung Ta nói đƣờng thẳng đƣờng tròn ngồi không cắt 2.2 Nếu d(O; d) = OH = R đƣờng thẳng đƣờng tròn có điểm chung H Khi ta nói đƣờngthẳng tiếp xúc đƣờng tròn (đƣờng thẳng gọi tiếp tuyến (O)) 2.3 Nếu d(O; d) = OH < R đƣờng thẳng d cắt đƣờng tròn (O; R) hai điểm phân biệt A B Đƣờng thẳng gọi cát tuyến với (O; R) Vậy muốn xác định vị trí đƣờng thẳng d đƣờng tròn ta cần tìm bán kính R khoảng cách d(O; d) so sánh kết luận 2.1 Vấn đề: tiếp tuyến đƣờng tròn Cho (O; R) tiếp tuyến (O; R) đƣờng thẳng tiếp xúc với (O; R) Vậy d tiếp tuyến (O; R) d  OA A A gọi tiếp điểm .O D A Nói cách khác : d tiếp tuyến (O; R) d(O; d) =R Ta có tính chất: từ điểm M nằm (O; R) ta kẽ đƣợc hai tiếp tuyến đến (O; R) hai tiếp điểm A B MA=MB Từ điểm A (O; R) ta kẽ đƣợc tiếp tuyến nhất, đƣờng thẳng qua A vng góc bán kính OA Từ hai điểm A B (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt M MA= MB A O M B Ngồi ta có : MO phân giác góc AOB OM phân giác góc AOB Phƣơng pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ điểm nằm (O) 8.1 Ta nối OM 8.2 Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) hai điểm A B 8.3 Nối MA MB đƣợc hai tiếp tuyến .Vấn đề: vị trí tƣơng đối hai đƣờng tròn Cho hai đƣờng tròn (O; R) (O’; R’) dựa vào khoảng cách OO’ R; R’ ta có khả sau: Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ hai đƣờng tròn tiếp xúc Nếu OO’ = R +R’ hai đƣờng tròn có điểm chung điểm giao điểm OO’ hai đƣờng tròn Ta gọi hai đƣờng tròn tiếp xúc ngồi Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 26 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Nếu OO’ < R+R’ hai đƣờng tròn cắt hai điểm Hai điểm nhận OO’ làm trung trực Nếu OO’ > R+R’ hai đƣờng tròn khơng cắt ngồi OO’ < R-R’ hai đƣờng tròn đựng (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa (O; R) Hai đƣờng tròn đồng tâm hai đƣờng tròn có tâm Nếu có hai đƣờng tròn tiếp tuyến chung chúng đƣờng nối tâm OO’ đồng quy - Nếu đồng quy bên đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung - Nếu đồng quy bên ngồi đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung - Điếm đồng quy chia OO’ theo tỉ lệ tỉ lệ hai bán kính Vấn đề: đƣờng tròn ngoại tiếp- nội tiếp bàng tiếp tam giác… đa giác Cho tam giác ABC, đƣờng tròn qua đỉnh A; B C tam giác gọi đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp điểm cách đỉnh nên giao điểm ba đƣờng trung trực ba cạnh tam giác Đƣờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi đƣờng tròn nội tiếp tam giác Tâm đƣờng tròn nội tiếp điểm cách cạnh nên giao điểm ba đƣờng phân giác Đƣờng tròn tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài hai cạnh (AB AC) gọi đƣờng tròn bàng tiếp góc A Vậy đƣờng tròn bàng tiếẩmtong góc A có tâm giao điểm phân giác góc A hai phân giác B C Một tam giác có ba đƣờng tròn bàng tiếp Tam giác nội tiếp đƣờng tròn đƣờng tròn gọi ngoại tiếp tam giác Tam giác ngoại tiếp đƣờng tròn đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác Vấn đề: Góc tâm- số đo độ cung—so sánh cung Góc tâm góc có đỉnh tâm đƣờng tròn Góc cắt đƣờng tròn A B cung AB cung bị chắn góc tâm AOB Ta có tính chất: số đo cung bị chắn số đo góc tâm chắn cung So sánh cung: cung lớn có số đo lớn ngƣợc lại Cung có góc tâm lớn lớn ngƣợc lại Vấn đề: Liên hệ cung dây Cho (O) cung AB đƣờng cong chạy từ A đến B theo đƣờng tròn Còn dây (dây cung) đoạn thẳng AB Ta ý với hai điểm A B (O) tạo hai cung lớn cung nhỏ Sau ta xét cung nhỏ Hai dây cung hai cung Dây lớn cung lớn Vấn đề: góc nội tiếp Góc nội tiếp (O) góc có đỉnh nằm đƣờng tròn (O) hai cạnh cắt (O) hai điểm phân biệt Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 27 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Để có góc nội tiếp thƣờng ta có ba điểm nằm đƣơng tròn Số đo góc nội tiếp chắn cung ½ số đo góc tâm chắn cung Chú ý cung Góc nội tiếp có số đo ½ số đo cung bị chắn Cùng cung có nhiều góc nội tiếp góc Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đƣờng tròn góc vng 900 Các cung góc nội tiếp chắn cung ngƣợc lại Cung lớn góc nội tiếp chắn cung lớn Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung Góc tạo bới tiếp tuyến tiếp điểm A dây cung AX gọi góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung Số đo góc ½ số đo góc tâm chắn cung AX Số đo góc ½ số đo cung AX Số đo góc số đo góc nội tiếp chắn cung Vấn đề: góc có đỉnh bên – bên ngồi đƣờng tròn Cho (O) M (O) có hai đƣờng thẳng qua M tạo thành góc Góc góc bên đƣờng tròn Hai đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn tạo thành cung Khi số đo góc đƣờng tròn tổng số đo hai cung chia hai A B M C AMB  CMD  D sd AB  sdCD Cho (O) M ngồi (O) góc mà cạnh ln tiếp xúc cắt (O) gọi góc ngồi đƣờng tròn (O) M Khi góc cắt đƣờng tròn tao thành hai cung; cung lớn cung nhỏ Số đo góc ngồi sđ cung lớn – cung nhỏ sau chia hai C A C A A M M n m M B D B B AMB  sdCD  sd AB AMB  sdCB  sd AB AMB  sd AmB  sd AnB Vấn đề: cung chứa góc Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 28 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Cho đoạn thẳng AB cố định quỹ tích điểm M cho: AMB   cho trƣớc cung Cung đƣợc gọi cung chứa góc  độ nhận AB làm dây Cho dây AB  độ ta có hai cung chứa góc  độ nhận AB làm dây hai cung đối xứng qua AB Cách vẽ cung chứa góc  độ nhận AB làm dây nhƣ sau: 3.1 Có AB: A vẽ tia At tạo AB góc  3.2 Tại A vẽ tia Ax  At cắt trung trực AB O 3.3 Vẽ cung tròn (O; OA) phía chứa O 3.4 Khi cung cung chứa góc  nhận AB làm dây 3.5 Ta lấy O’ đối xứng O qua AB vẽ cung tròn (O’; O’A) ta đƣợc cung thứ hai Vấn đề: tứ giác nội tiếp Tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đƣờng tròn Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa điểm A; B; C D nằm đƣờng tròn Tứ giác nội tiếp đƣờng tròn đƣờng tròn gọi ngoại tiếp tứ giác Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tứ giác giao điểm ba đƣờng trung trực ba cạnh tứ giác Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) OA= OB= OC = OD =R Chú ý: O nằm ngồi tứ giác; nằm nằm cạnh lúc nằm Cho ABCD tứ giác nội tiếp A+C= B+D = 1800 Ngƣợc lại tứ giác ABCD có A+C =1800 B+D=1800 ABCD nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: Chỉ A+C =1800 Chỉ B+D=1800 Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đƣờng tròn cụ thể Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc Vấn đề: đa giác ngoại tiếp nội tiếp đƣờng tròn Đa giác đa giác có tất cạnh góc Đa giác nội tiếp (O) đa giác có đỉnh nằm (O) Khi đƣờng tròn gọi ngoại tiếp đa giác Đa giác ngoại tiếp (O) đa giác có cạnh tiếp xúc (O) Khi (O) gọi ngoại tiếp đa giác Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 29 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Mỗi đa giác có đƣờng tròn ngoại tiếp đƣờng tròn nơị tiếp hai đƣờng đồng tâm Tâm giao điểm hai đƣờng trung trực hai cạnh hai đƣờng phân giác hai góc Bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA= Bán kính đƣờng tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh Khoảng cách gọi trung đoạn đa giác Cho n giác cạnh a đó: 7.1 Chu vi đa giác: 2p= na với p nửa chu vi (tên thƣờng dùng) 7.2 7.3 7.4 (n  2).1800 n a Bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp: R= (dùng tỉ số lƣợng giác) 1800 2sin n a Bán kính đƣờng tròn nội tiếp r= 1800 tan n Mỗi góc có số đo: A=B=…= 7.5 Ta có: R2-r2 = a2/4 7.6 Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r .Vấn đề: độ dài đƣờng tròn diện tích hình tròn Đƣờng tròn đƣờng biên ngồi hình tròn phần biên Cho (O; R) độ dài đƣờng tròn chu vi đƣờng tròn: C= 2R Nếu cho cung n0 (O; R) độ dài cung là: l  2 R nên 10 dài 2R R sau ta nhân lên  360 180 R.n0 Vì đƣờng tròn 3600 dài 180 Diện tích của(O; R) : S=  R2 Trên (O; R) cho cung AB có số đo n0 hình quạt OAB có diện tích: Squạt OAB = R n0 = lab.R/2 3600 Hình viên phân ta lấy phần quạt bỏ tam giác OAB đƣợc viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB Hình xuyến hình tạo có hai đƣờng tròn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Bằng cách lấy đƣờng tròn lớn bỏ đƣờng tròn nhỏ Phần hình xuyến Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = ( R2-r2)  =3.14… nhƣng thƣờng dùng =3.14 Vấn đề: phƣơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Ta ba điểm tạo thành góc bẹt (1800) Vận dụng tính chất đƣờng đồng quy C/m hai tia AB AC trùng theo tiên đề Ơclit(cùng song song đƣờng) Chỉ điểm nằm đƣờng Có thể AB+BC=AC Vấn đề: phƣơng pháp c/m hai đoạn thẳng Dùng hai tam giác Dùng tính chất tam giác; hình thang cân; hình bình hành;… Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Toán lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 30 Hệ thống phát triển Tốn IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Sử dụng tính chất đƣờng chéo hình Tính chất đƣờng trung bình Sử dụng tính chất bắc cầu Vấn đề:phƣơng pháp c/m hai đƣờng thẳng vng góc Hai đƣờng thẳng vng góc hai đƣờng thẳng cắt góc tạo thành có góc vng 900 Cho điểm O d có đƣờng thẳng qua O  d Cho a//b c  a c  b Ngồi ta dùng tính chất khác nhƣ xem hai đƣờng thẳng hai cạnh tam giác vng Xét tính chấtấtm giác cân; tam giác vng; hình thoi, hình chữ nhật;… Để c/m hai đƣờng thẳng vng góc Vấn đề: c/m hai đƣờng thẳng song song Hai đƣờng thẳng song song hai đƣờng thẳng khơng có điểm chung( khơng làm đƣợc gì) Hai đƣờng thẳng song song có đƣờng thẳng cắt qua tạo cặp: 2.1 So le 2.2 Đồng vị 2.3 Các góc phía đồng vị Hai đƣờng thẳng vng góc đƣờng thứ ba song song Hai cạnh đối hình bình hành song song Tính chất dƣờng trung bình tam giác hình thang Các tính chất hình khác nhƣ hình hộp chữ nhật… Tính chất bắc cầu: a//b b//c a//c Vấn đề: c/m đƣờng thẳng đồng quy Các đƣờng thẳng đồng quy đƣờng thẳng qua điểm Ta điểm O c/m đƣờng thẳng qua Ta gọi O giao điểm hai đƣờng thẳng đƣờng lại qua Ta dùng tính chất đƣờng chéo hình bình hành; hình chữ nhật để đƣờng qua trung điểm cạnh Vận dụng tính chất đƣờng đồng quy tam giác Ta vận dụng định lí Talet đảo đoạn song song Vấn đề: c/m hệ thức hình học Tức ta phải c/m đẳng thức từ kiện đề cho Ta thƣờng dùng công thức tam giác vuông xuất góc vng (xem phần trƣớc) Ta dùng phƣơng pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số từ tỉ số ta suy đẳng thức cần c/m Chú ý sử dụng tính chất bắc cầu nhiều tam giác đồng dạng Vận dụng cơng thức diện tích phân tích hình thành nhiều tam giác cộng diện tích lại Sử dụng tam giác để chuyển cạnh cần thiết Dùng tính chất đƣờng trung bình ,HBH; đoạn chắn bỡi đƣờng thẳng //… Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 31 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916 - Chỉ A+C =1800 Chỉ B+D=1800 Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đƣờng tròn cụ thể Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc Vấn đề: tính góc Để tính góc ta dùng tính chất góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ Các tính chất góc tam giác; góc góc ngồi Vận dụng tính chất tổng góc tam giác; tứ giác Vận dụng tính chất phân giác; phân giác phân giác ngồi vng góc Vạn dụng tính chất góc nội tiếp Vận dụng tính chất tam giác đồng dạng Các tính chất góc hai đƣờng thẳng song song Các tính chất hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi;… Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 32 ... pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 091 9.281 .91 6 17 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 091 9.281 .91 6 - PhÇn II: HÌNH HỌC... pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 091 9.281 .91 6 13 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 091 9.281 .91 6 - d Trƣờng hợp: ... nghiệm thích hợp với tốn kết luận Tư vấn giải pháp học tập tốt mơn Tốn lớp nâng cao | Thầy Thích - Tel: 091 9.281 .91 6 Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www.ToanIQ.com – Hotline: 091 9.281 .91 6