Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11

Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11

sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác cos α = x = OH ; sin α = y = OK sin α tan α = = AT cos α cos α cot α = = BS sin α tang ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC   π  α ≠ + kπ    K (α ≠ kπ ) B ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Hệ thức bản: sin2α + cos2α = ; T cotang S M α O H A + tan α = tanα cotα = 1 + cot α = cos α sin2 α Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù Góc phụ π  cos(−α ) = cos α sin(π − α ) = sin α sin  − α  = cos α cosin 2  π  cos  − α  = sin α 2  π  tan  − α  = cot α   Nhận xét: • ∀α , − ≤ cos α ≤ 1; − ≤ sin α ≤ • tanα xác định α ≠ π + kπ , k ∈ Z • cotα xác định α ≠ kπ , k ∈ Z • sin(α + k 2π ) = sin α • tan(α + kπ ) = tan α • cos(α + k 2π ) = cos α • cot(α + kπ ) = cot α Dấu giá trị lượng giác Phần tư I Giá trị lượng giác + Cosα + Sinα + Tanα + Cotα Giá trị lượng giác góc đặc biệt 0 π π π 0 IV – + – – – – + + + – – – 3π π 3π 2π 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 –1 –1 30 45 60 sin 2 cos 2 2 tan 3 3 3 cot III 2π π II − − 2 − –1 3 –1 − GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 0 cos(π − α ) = − cos α tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α π  cot  − α  = tan α 2  π Góc π Góc sin(π + α ) = − sin α π  sin  + α  = cos α   cos(π + α ) = − cos α π  cos  + α  = − sin α 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α  = − cot α 2  cot(π + α ) = cot α π  cot  + α  = − tan α   II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Hệ quả: Trang sin(−α ) = − sin α π  + tan α tan  + α  = ,   − tan α tan a + tan b − tan a.tan b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a.tan b π  − tan α tan  − α  =   + tan α tan(a + b) = GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I –HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Cơng thức nhân đơi • sin 2α = sin α cos α • tan 2α = tan α • cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin2 α • cot 2α = − tan α cot α − cot α Công thức hạ bậc − cos 2α sin2 α = TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ Cơng thức nhân ba (*) sin 3α = 3sin α − sin α + cos 2α cos2 α = − cos 2α tan α = + cos 2α cos3α = cos3 α − 3cos α tan 3α = 3tan α − tan3 α − 3tan2 α HÀM SIN HÀM COSIN y = sin x y = cos x *Tập xác định D = R; *TXĐ : D = R *Tập giá trị T =  −1, 1 ; hàm lẻ *Tập giá trị T =  −1, 1 ; hàm chẵn, *Chu kỳ T0 = 2π * Chu kỳ T0 = 2π *y = sin(ax + b) có CK : T0 = α Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : sin α = 2t + t2 cos α = 1− t + t2 tan α = − t2 a+b a−b cos 2 a+b a−b sin 2 a+b a−b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 cos a − cos b = − sin * y = cos(ax + b) có CK : T0 = HÀM TANG HÀM COTANG y = tan x y = cot x tan a + tan b = sin(a + b) cos a.cos b tan a − tan b = sin(a − b) cos a.cos b π  *TXĐ D = R \  + kπ , k ∈ Z  *TXĐ D = R \ {kπ , k ∈ Z } ; cot a + cot b = sin(a + b) sin a.sin b *Tập giá trị T = R, hàm lẻ, *Tập giá trị T = R, hàm lẻ * Chu kỳ T0 = π *Chu kỳ T0 = π 2 sin(b − a) cot a − cot b = sin a.sin b  *y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =   π π sin α + cos α = 2.sin  α +  = 2.cos  α −  4      π π sin α − cos α = sin  α −  = − cos  α +   4  4 *y = tan(f(x)) xác định ⇔ f (x) ≠ π + kπ (k ∈ Z ) 2π a * y = cos(f(x)) xác định ⇔ f ( x ) xác định * y = sin(f(x)) xác định ⇔ f ( x ) xác định 2t Cơng thức biến đổi tổng thành tích cos a + cos b = cos 2π a π a *y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 = π a *y = cot(f(x)) xác định ⇔ f ( x ) ≠ kπ (k ∈ Z ) Công thức biến đổi tích thành tổng  c o s ( a − b ) + c o s ( a + b )    c o s ( a − b ) − c o s ( a + b )  s in a s in b =   s in ( a − b ) + s in ( a + b )  s in a c o s b =  * co s a co s b = GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 hàm số y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) có chu kỳ T0 bội chung NN T1 T2 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 y ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) – – – y = sinx Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 hàm số Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0  T0 T0  , …  2  − − π π 3π π x 5π 2π –1 – chọn : x ∈  0, T0  x ∈  − −π 3π Tịnh tiến theo véctơ v = 2kπ i ta đồ thị y = sinx – Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh tiến theo vectơ v = k T0 i – bên trái phải song song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hồnh a đơn vị a < b) Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành c)  f ( x ), neáu f ( x ) ≥ − f ( x ), neáu f ( x ) < Đồ thị y = f ( x ) =   Hàm số ĐB khoảng  0,  – Tập xác định: D = R – Tập giá trị:  −1, 1 – Chu kỳ: T = π – x y π – Chu kỳ: T = π –Bảng biến thiên đoạn  0, 2π  x y 0 π π 3π 3π 2π –1 y y = cosx Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx Tập giá trị:  −1, 1 Bảng biến thiên  0, 2π  : π cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) phía Ox lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hồnh qua Ox Tập xác định: D = R – π   nghịch biến  , π  2   Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx suy từ đồ thị y = f(x) – π − 3π −π − π π π 3π 2π x 5π –1 2π – Nhận xét: – Đồ thị hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng  π  3π  – Hàm số ĐB khoảng  0,  NB khoảng  π ,  –1 Tịnh tiến theo véctơ v = 2kπ i ta đồ thị y = cosx  GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 2 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164   Trang ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx π  – – Tập xác định: D = R \  + kπ , k ∈ Z  2  lim y = ∞ – Giới hạn: – Chu kỳ: T = π ⇒x=± x →±π / π ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 – Tập giá trị: R Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên ynhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Hàm số giảm tập xác định D : tiệm cận đứng Tịnh tiến theo véctơ v = kπ i ta đồ thị y = cotx  π π – Bảng biến thiên  − ,  : y = cotx  2 x − π y π −2 π +∞ –∞y − 3π O −π − π 2π π 3π π π x Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx –Vẽ đồ thị y = sinx – Từ đồ thị y = sinx, ta suy đồ thị y = –sinx cách lấy đ/xứng qua Ox y = tanx y − 3π π − π O π π 3π 2π π 5π y = –sinx x –2 − 3π −π − O π 3π π π 2π π x –1 – Tịnh tiến theo véctơ v = kπ i ta đồ thị y = tanx Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Hàm số đồng biến tập xác định D Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx – Tập xác định: D = R \ {kπ , k ∈ Z } – Tập giá trị: R – Giới hạn: lim y = + ∞, lim y = − ∞ ,tiệm cận đứng: x = 0, x = π – Chu kỳ: T = π x→ x y sin x , neu sin x ≥ -sin x, neu sin x < Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sin x =  y y = /sinx/ π − π O π π 3π 2π π x x→ x – BBT đoạn  0, π  π/ Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = + cosx – Vẽ đồ thị y = cosx – Từ đồ thị y = cosx, ta suy đồ thị y = + cos x cách tịnh tiến đồ thị y = cos x lên trục hoành đơn vị π +∞ –∞ GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 – ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Bảng biến thiên đoạn  0, 2π  : x π 3π π Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x – y = cos2x có chu kỳ T = π 2π y = cosx Bảng biến thiên đoạn  0, 2π  : – –1 2 y = + cosx − 2x −π y π x π π − − y = cos2x y = + cosx y = cos2x π O π y = sin2x có chu kỳ T = π - BBT đoạn  0, 2π  : − π −π 2x − π π − π π 2 π • sin x = sin α ⇔  π  x = π − α + k 2π x  x = arcsin a + k 2π  x = π − arcsin a + k 2π • sin u = − sin v ⇔ sin u = sin(−v) y = sin2x π π 3π π 5π x • sin x = − ⇔ x = − Trang π + k 2π π  • sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v  • sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z )  π • sin u = − cos v ⇔ sin u = sin  v −  • sin x = ⇔ x = 2   2 π • sin x = ± ⇔ sin2 x = ⇔ cos2 x = ⇔ cos x = ⇔ x = –1 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 (k ∈ Z ) (−1 ≤ a ≤ 1) Các trường hợp đặc biệt O (k ∈ Z ) • sin x = a ⇔  y π − 3π Phương trình sinx = sinα α  x = α + k 2π –1 π − π II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN y = sin2x π –1 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x x –1 y –1 – π x 3π π π –1 y = cosx O π − π 1 −π π π GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 + k 2π (k ∈ Z ) π + kπ (k ∈ Z ) Trang 10 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Phương trình cosx = cosα α • cos x = cos α ⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z ) * Phương trình có mẫu số: • sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z ) • cos x ≠ ⇔ x ≠ • cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π (k ∈ Z )(−1 ≤ a ≤ 1) Các trường hợp đặc biệt • cos u = − cos v ⇔ cos u = cos(π − v) • cos x = ⇔ x = k 2π (k ∈ Z ) • tan x ≠ ⇔ x ≠ k • cos x = ⇔ x = π  • cos u = − sin v ⇔ cos u = cos  + v  • cos x = − ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z ) 2 2 + kπ (k ∈ Z )  Phương trình tan x = tanα α • tan x = tan α ⇔ x = α + kπ • tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ π  • tan u = cot v ⇔ tan u = tan  − v  2  π  • tan u = − cot v ⇔ tan u = tan  + v  2  Phương trình cotx = cotα α • cot x = cot α ⇔ x = α + kπ • tan x = ± ⇔ x = ± π • tan x = ± ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z ) π + kπ (k ∈ Z ) (k ∈ Z ) Khi tìm nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện: 1.Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị x vào điều kiện 2.Dùng đường trịn lượng giác 3.Giải phương trình vơ định • cot u = − cot v ⇔ cot u = cot(−v) π + kπ (k ∈ Z ) a cos2 x + b cos x + c = t = cosx −1 ≤ t ≤ a tan2 x + b tan x + c = t = tanx x≠ a cot x + b cot x + c = t = cotx • π + kπ (k ∈ Z ) • cot x = ± ⇔ x = ± π + kπ (k ∈ Z ) Một số điều cần ý: Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định π Phương trình chứa tanx điều kiện: x ≠ + kπ (k ∈ Z ) * Phương trình chứa cotx điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z ) * PT chứa tanx cotx điều kiện x ≠ k GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 π Điều kiện để PT có nghiệm : a + b ≥ c Cách 1: (1) ⇔ a a2 + b b sin x + ⇔ cos( x − α ) = (với sin α = a + b2 c a + b2 cos x = c a2 + b = cos β ⇔ x = α ± β + k 2π (k ∈ Z ) a a2 + b , cos α = Cách 2: a) Xét x = π + k 2π ⇔ b a2 + b2 (α ∈ 0, 2π  ) ) x π = + kπ có nghiệm hay khơng? 2 x b) Xét x ≠ π + k 2π ⇔ cos ≠ (k ∈ Z ) Trang + kπ (k ∈ Z ) x ≠ kπ (k ∈ Z ) Nếu đặt: t = sin x hay t = sin x ≤ t ≤ • cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ • cot x = ⇔ x = π III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) Các trường hợp đặc biệt * π II PT BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng Đặt Điều kiện − ≤ t ≤ t = sinx asin x + b sin x + c = Các trường hợp đặc biệt • tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(−v) • tan x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) a) • cot x ≠ ⇔ x ≠ k • cos x = ± ⇔ cos x = ⇔ sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) • cot x = ± ⇔ x = ± (k ∈ Z ) + kπ (k ∈ Z ) b) π  • cos u = sin v ⇔ cos u = cos  − v  2  π π π 11 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 12 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 x Đặt: t = tan , thay sin x = 2t + t2 , cos x = − t2 + t2 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG : TỔ HỢP – XÁC SUẤT I Qui tắc đếm , Qui tắc cộng: Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực ta PT bậc hai theo t: (b + c)t − 2at + c − b = (3) Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan x = t0 DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: • Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay không? π Lưu ý: cosx = ⇔ x = + kπ ⇔ sin2 x = ⇔ sin x = ± • Khi cos x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ ta được: a.tan x + b.tan x + c = d (1 + tan2 x ) • Cách 2: Dùng công thức hạ bậc (đây PT bậc sin2x cos2x) V PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c =  π • Đặt: t = cos x ± sin x = 2.cos  x ∓  ; t ≤ 4 Thay vào PT cho, ta PT bậc hai theo t Giải PT tìm t thỏa t ≤ Suy x Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = •   Đặt: t = cos x ± sin x = cos  x ∓ π  ; Ñk : ≤ t ≤ 4 n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (n − p)! n! n1 ! n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh : Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử.Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! III Chỉnh hợp Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A.Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = ⇒ sin x.cos x = ± (t − 1) n! (n − k )! • Cơng thức cho trường hợp k = k = n • Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý PT chứa dấu giá trị tuyệt đối GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 • n2, …, nk) k phần tử là: Pn(n1, n2, …, nk) = ⇒ t = ± sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t − 1) • n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! (với n>p) Hốn vị (khơng lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp : Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hốn vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, − cos x sin x + cos x + b + c = d 2 ⇔ b.sin x + (c − a).cos x = 2d − a − c (1) ⇔ a  Qui tắc nhân: Một công việc bao gồm hai cơng đoạn A B Nếu cơng đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực II Hốn vị Giai thừa: •n! = 1.2.3…n •Qui ước: 0! = • n! = (n–1)!n Trang 13 • Khi k = n Ann = Pn = n! GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 14 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank = n k IV Tổ hợp Tổ hợp (không lặp) : Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử: • Qui ước: Tính chất: Cn0 = Cnn Cnk = Ank k! = n! k !(n − k )! =1 Cn0 = Cnn = 1; Cnk = Cnn − k Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 Cnk = n − k + k −1 Cn k Tổ hợp lặp: Cho tập A = {a1; a2 ; ; an } số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk = Cnk+ k −1 = Cnm+−k1−1 Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: • Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank = k !Cnk + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cnk + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank + Có thứ tự, có hồn lại: Ank V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: (a + b) = n ∑ k =0 Tk+1 = 5) Cn0 = Cnn = , Cnk −1 + Cnk = Cnk+1 Nhận xét : Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n + C1n x n −1 + + Cnn ⇒ Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n (x–1)n = Cn0 x n − C1n x n −1 + + (−1)n Cnn ⇒ Cn0 − C1n + + (−1)n Cnn = VI Biến cố xác suất Biến cố • Khơng gian mẫu Ω: tập kết xảy phép thử • Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A ⊂ Ω • Biến cố khơng: ∅ • Biến cố chắn: Ω • Biến cố đối A: A = Ω \ A • Hợp hai biến cố: A ∪ B • Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B) • Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅ • Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất n( A) n(Ω) • ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = • Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) • P( A ) = – P(A) • Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B) II Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên rời rạc • X = {x1, x2, …,xn} • P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = Kì vọng (giá trị trung bình) µ = E(X) = Cnk a n − k b k n ∑ xi pi i =1 Phương sai độ lệch chuẩn Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Cnk a n − k b k nhau: Cnk = Cnn− k • Xác suất biến cố: P(A) = • Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự ⇒ Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp • Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n): n 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối • V(X) = n n i =1 i =1 ∑ ( xi − µ )2 pi = ∑ xi2 pi − µ • σ(X) = V ( X ) ( k =0, 1, 2, …, n) GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 15 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 16 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG : DÃY SỐ - CẤP SỐ I Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n ≥ p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k ≥ p phải chứng minh mệnh đề với n = k + II Dãy số Dãy số : u : »* → » Dãy số tăng, dãy số giảm • (un) dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 – un > với ∀ n ∈ N* • (un) dãy số giảm ⇔ un +1 un > với ∀n ∈ N* ( un > 0) ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< với ∀ n ∈ N* ⇔ un +1 un < với ∀n ∈ N* (un > 0) Dãy số bị chặn • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* Định nghĩa Số hạng tổng quát Tính chất số hạng Tổng n số hạng III Cấp số cộng IV Cấp số nhân un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (d: công sai) un = u1 + (n − 1)d với n ≥ un+1 = un.q với n ∈ N* (q: công bội) 2uk = uk −1 + uk +1 1 = (k ∈ » + ) = ; lim n→+∞ n k n Sn = u1 + u2 + + un = n 2u1 + (n − 1)d  Trang Định lí: Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b • lim (un + vn) = a + b • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b a)Nếu lim un = +∞ lim =0 un b) Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim un a • lim = (nếu b ≠ 0) b un =0 c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim = b) Nếu un ≥ 0, ∀n lim un= a a ≥ lim un = a lim c) Nếu un ≤ ,∀n lim = d) Nếu lim un = +∞, lim = a thì lim un = d) Nếu lim un = a lim un = a lim(un.vn) =  Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn * Khi tính giới hạn có u1 un neu a.vn < +∞ neáu a > −∞ neáu a < dạng vô định: 1− q neu a.vn > +∞ −∞ =  ∞ , , ∞ – ∞, 0.∞ ∞ phải tìm cách khử dạng vơ định Một số BÀI MẪU tìm giới hạn dãy số: 1 1+ − n + n − 3n n n =1 b) lim = lim =1 1 − 2n 2+ −2 n n   c) lim(n2 − 4n + 1) = lim n2  − +  = +∞  n n  n +1 a) lim = lim 2n + 1+ • Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức  Sn = nu1 q =  u1 (1 − q n )  q ≠  Sn = 1− q  GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 lim q n = +∞ (q > 1) ( q < 1) với k ≥ 2 lim n k = +∞ (k ∈ » + ) n→+∞ S = u1 + u1q + u1q + … = uk2 = uk −1.uk +1 n(u1 + un ) lim n = +∞ lim q n = ( q < 1) ; lim C = C n →+∞ un = u1.q n −1 với n ≥ với k ≥ = lim n →+∞ Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … u(n) n GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG – GIỚI HẠN I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim 17 ( ) n2 − 3n − n = lim −3n n − 3n + n =− GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 18 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 • Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ ,∀n lim = lim un = sin n sin n 1 sin n Vì ≤ ≤ lim = nên lim =0 n n n n n Khi tính g/hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết –∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu VD : Tính lim II Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; lim c = c (c: số) lim x k = +∞ ; x→x x→x 0 Định lí : Nếu lim f ( x ) = L lim g( x ) = M x → x0 x → x0 thì: lim [ f ( x ) ± g( x )] = L ± M b) Nếu f(x) ≥ lim f ( x ) = L x → x0 L ≥ lim x → x0 f (x) = L c) lim f ( x ) = L => lim f ( x ) = L x → x0 x → x0 Giới hạn bên : lim f ( x ) = L x → x0 lim − f ( x ) = lim + f ( x ) = L x → x0 x → x0 x →−∞ x2 + − x 2− = lim x →−∞ − 1+ x x2 = −1 −1 x →+∞ lim c = c ; lim c x →±∞ xk lim =0 1 = −∞ ; lim = +∞ + x →0 x x →0 x 1 lim = lim = +∞ x →0− x x →0+ x f ( x) L = (nếu M ≠ 0) g( x ) M b) lim 2x − 3 Dạng ∞ – ∞: Giới hạn thường có chứa lim [ f ( x ).g( x )] = L.M lim − ∞ x + 5x − x x2 Dạng : a) lim = lim =2 x →+∞ x + x + x →+∞ ∞ 1+ + x x2 2+ +∞ neu k chan lim x k =  x →−∞ −∞ neu k le x →±∞ x → x0  x + −1 1− 1− x  x +1 − 1− x  = lim  + x →0 x →0  x x x    1 1 = lim  + = + = x →0  3 1+ 1− x   ( x + 1) + x + +  c/ lim x →+∞ x → x0 x → x0 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 1 + x − x ) = lim x →+∞ Dạng 0.∞ ∞: lim+ ( x − 2) x →2 1+ x + x x x2 − =0 = lim x →2 + x − x x+2 = =0 III Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 ) lim − x → x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim+ f ( x ) = f (a), lim− f ( x ) = f (b) Định lí : Nếu lim f ( x ) = L ≠ x → x0 lim g( x ) = ±∞ :… x →a x → x0 * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: ( ∞ , , ∞ – ∞, 0.∞ ∞ phải tìm cách khử dạng vơ định • Hàm số y = Một số BÀI MẪU khử dạng vô định: x3 − ( x − 2)( x + x + 4) x + x + 12 = lim = lim = =3 Dạng : a/ lim x →2 x − x →2 x →2 ( x − 2)( x + 2) x+2 ( − − x )( + − x ) 2− 4− x 1 = lim = lim = x →0 x →0 x → x ( ) + − x x 2+ 4− x b lim x →b • Hàm số đa thức liên tục R • Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f (x) liên tục x0 g(x0) ≠ g( x ) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< ∃ c ∈ (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c∈ (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x ) , M = max f ( x ) Khi với T ∈ (m; M) ln tồn [ a;b] [ a;b] số c ∈ (a; b): f(c) = T GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 19 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 20 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG – ĐẠO HÀM HÌNH HỌC 11 - CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HEÄ SONG SONG Định nghĩa đạo hàm điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b): f '( x0 ) = lim f ( x ) − f ( x0 ) x → x0 x − x0 ∆y = lim ∆x → ∆x (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)) • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm Ý nghĩa đạo hàm • Ý nghĩa hình học : (C) : y = f(x) +) ktt = f′ (x0) +) PTTT : y = f′ (x0).(x – x0)+ y0 • Ý nghĩa vật lí : + Vận tốc tức thời chuyển động : s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s′(t0) + C/độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q′(t0) Qui tắc tính đạo hàm • (u ± v)′ = u′ ± v′  u ′ v •  = u′v − v′u v (v ≠ 0) • (C)′ = • (x n )′ = n x n –  ′ v •  = − y′ x = y′u.u′ x v2 II HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐẠO HÀM CÁC HÀM CƠ BẢN • (x)′ = => (u n )′= n.u n – 1.u’ => x Đạo hàm hàm số lượng giác •(sinx)′ = cosx • (cosx)′= – sinx • ( tan x ) ′ = • (ku)′ = ku′ • Đạo hàm hàm hợp v′ ′ •( x) = • (uv)′ = u′ v + v′ u cos x • ( cot x ) ′ = − sin x Vi phân : • dy = df ( x ) = f ′( x ).∆x Đạo hàm cấp cao ′ I ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Xác định mặt phẳng • Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC)) • Một điểm đ/thẳng không qua điểm thuộc mp(A,d) • Hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (mp(a, b)) Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn hình không gian • Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng • Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng //, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt • Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng • Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt ( u )′ = Định nghóa u' => (sin u)′ = u’ cosu => (cos u)′ = –u’ sinu u' cos2 u u' => ( cot u ) ′ = − sin2 u • f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ).∆x • f ''( x ) = [ f '( x )]′ • f '''( x ) = [ f ''( x )]′ • f ( n) ( x ) =  f ( n −1) ( x ) (n ∈N, n ≥ 4) • Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f′′(t0) GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang b P Tính chất • Nếu ba mp phân biệt cắt đôi theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng qui đôi song song • Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng • Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với x => ( tan u ) ′ = a a, b ⊂ (P ) a / /b ⇔  a ∩ b = ∅ 21 III ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghóa : a // (P) ⇔ a ∩ (P) = ∅ a b P GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 22 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Tính chất • Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng b nằm (P) a song song với (P) • Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) cắt theo giao tuyến // với d • Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng • Nếu hai đường thẳng a b chéo có mặt phẳng chứa a song song với b IV HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghóa : (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ • Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (P) (Q) song song với (P) P a Q b Tính chất • Nếu đường thẳng d song song với mp(P) có mp(Q) chứa d song song với (P) • Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với • Cho điểm A ∉ (P) đường thẳng qua A song song với (P) nằm mp(Q) qua A // với (P) • Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng giao tuyến chúng // với • Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng • Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ • Định lí Thales đảo: Giả sử hai đường thẳng d d′ lấy điểm A, B, C vaø A′, B′, C′ cho: AB BC CA = = A ' B ' B 'C ' C ' A ' Khi đó, ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song với mặt phẳng HÌNH HỌC 11 – CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa phép toán • Định nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có : IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ yù Ta coù: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có : MA = k MB; OM = OA − kOB 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a & b không phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb • Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 23 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 24 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Khi đó: ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc a ⁄⁄b •  ( P ) ⊥ a Tích vô hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: (P ) ⁄⁄ (Q) •  a ⊥ ( P) AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (0 ≤ BAC ≤ 180 ) • Tích vô hướng hai vectơ không gian: + Cho u , v ≠ Khi đó: u.v = u v cos(u , v ) + Với u = hay v = Qui ước: u.v = a ⁄⁄ ( P ) •  b ⊥ ( P) neáu 00 ≤ α ≤ 1800 180 − α neáu 900 < α ≤ 1800 (P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a a ⊄ (P ) ⇒b⊥a •  a ⊥ b,( P ) ⊥ b ⇒ (P ) ⁄⁄(Q) ⇒ a ⁄⁄( P ) IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng a ⊥ (P ) •  b ⊥ (Q) 0 ≤ ( a, b ) ≤ 900 ⇒ ( P ),(Q) = ( a, b ) ( ) • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, Hai đường thẳng vuông góc : a ⊂ ( P ), a ⊥ c dựng  • a ⊥ b ⇔ ( a, b ) = 900 • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u.v = Lưu ý: Hai đường thẳng v/góc với cắt chéo III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghóa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b ⊂ (P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ (P )   d ⊥ a, d ⊥ b Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164 •  Chú yù: 00 ≤ ( d ,(P )) ≤ 900 • Nếu a//b a ≡ b ( a, b ) = 00 Chú ý: (P ) ≠ (Q) ⇒ a ⊥ (Q) ⇒ a ⁄⁄b • Nếu d ⊥ (P ) ( d ,(P )) = ( d , d ' ) với d′ h/c d (P) • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) = α  a ⊥ (P ), b ⊥ (P ) • Nếu d ⊥ (P) ( d ,(P )) = 900 • a′//a, b′//b ⇒ ( a, b ) = ( a ', b ') ( a, b ) = α •  Định lí ba đường vuông góc Cho a ⊥ (P ), b ⊂ (P ) , a′ hình chiếu a (P) Khi : b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng + u ⊥ v ⇔ u.v = II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: Khi đó: a ≠ b ⇒ (P ) ⊥ b Trang 25 b ⊂ (Q), b ⊥ c Chú ý: ( ⇒ ( (P ),(Q) ) = ( a, b ) ) 0 ≤ (P ),(Q) ≤ 900 Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ = ( (P ),(Q)) Khi đó: S′ = S.cosϕ Hai mặt phẳng vuông góc : • (P) ⊥ (Q) ⇔ ( (P ),(Q)) = 900 • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( P ) ⊃ a ⇒ ( P ) ⊥ (Q)  a ⊥ (Q) Tính chaát (P ) ⊥ (Q),(P ) ∩ (Q) = c •  a ⊂ (P ), a ⊥ c ⇒ a ⊥ (Q) GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 26 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 (P ) ⊥ (Q)  (P ) ∩ (Q) = a  ⇒ a ⊂ ( P ) • ( P ) ⊥ ( R ) ⇒ a ⊥ ( R) a ∋ A, a ⊥ (Q) (Q) ⊥ ( R)   3/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng • Phương pháp : C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng  A , B ∈ mp α ⇒ Đường thẳng AB = mpα ∩ mpβ   A , B ∈ mpβ •  A ∈ (P ) IV KHOẢNG CÁCH K/cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) = MH ; d ( M ,( P )) = MH (trong H hình chiếu M a (P)) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đường thẳng ∆ cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b • Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b • Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với • Khoảng cách hai đờng thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng // chứa hai đường thẳng MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng • Phương pháp : M Để chứng minh điểm M ∈ mp α ta chứng minh : a    M ∈ Đường thẳng a ⇒ M ∈ mpα Đường thẳng a ⊂ mpα α 2/Tìm giao điểm đường thẳng mp • Phương pháp : Để tìm giao điểm đường thẳng a mp α ta thực bước sau : Bước : Chọn mặt phẳng phụ β chứa đường thẳng a Bước : Tìm giao tuyến ∆ α β a Bước : Gọi I = giao điểm a ∆ =>I giao điểm đường thẳng a vaø mp α α GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 β M : A B C2 : Tìm điểm chung hai mp phương giao tuyến α ( Giao tuyến // vuông góc với đường thẳng cố định cho trước ) Chú ý : Khi tìm phương giao tuyến ta cân quan tâm đến định lý : - Hai mặt phẳng cắt // với đường thẳng giao tuyến hai mạt phẳng // với đường thẳng - Nếu a // (P) a // giao tuyến d mp(P) mp(Q) qua a - Hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba giao tuyến // 4/ Chứng minh điểm thẳng hàng : • Phương pháp : Để chứng minh điểm : A, B, C thẳng hàng Ta chứng minh điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt ( α ) ( β ) ⇒ A, B, C thuộc giao tuyến A ( α ) ( β ) nên thẳng hàng B Thường CM sau: C (α ) ∩ ( β ) = AB   ⇒ C ∈ AB , nên A, B, C thẳng hàng C ∈ (α ) ∩ (β )  α β 5/ Chứng minh đường thẳng đồng quy : • Phương pháp : Để chứng minh đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực bước sau : Bước : Đặt I = giao điểm a b a c Bước : Tìm hai mặt phẳng α β cho c = giao tuyến α β  I ∈ mpα ⇒ I ∈ đường thẳng c  I ∈ mp β Bước : Chứng minh :  b I α β ⇒ đường thẳng a, b, c qua I nên đồng qui • Cách khác : Dùng định lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến // đồng quy’’ Như loại trừ khả // chúng đồng quy ∆ Trang β 27 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 28 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 6/ CM điểm chạy đường thẳng cố định : • Phương pháp : Ta chứng minh điểm M chạy đường thẳng d giao tuyến giao hai mặt phẳng cố định 7/ CM hai đường thẳng chéo : • Phương pháp : Ta chứng minh chúng không nằm mặt C6 : Dùng định lý giao tuyến: phẳng (dùng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử hai đường thẳng không chéo Suy luận để suy điều vô lý ) 8/ Chứng minh hai đường thẳng // C1 : Dùng quan hệ song song biết mặt phẳng C2 : Chứng minh chúng phân biệt // với đường thẳng thứ ba P a Q a // (P), (Q) qua a, (P ) ∩ (Q) = b ⇒ a // b b 9/ CM : đường thẳng // với mặt phẳng C1 : CM đường thẳng không nằm mặt phẳng // với đường thẳng nằm mặt phẳng a a a ⊄ (P ) , b ⊂ (P ) , b b a, b phân biệt & a // c, a // c ⇒ a // b P C2 : Dùng hệ quả: c C3 : Dùng định lý giao tuyeán: R (P) // (Q), ( R) ∩ ( P ) = a, ( R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b (P) // (Q), a ⊂ (Q) ⇒ a // (P ) P C3 : Duøng hệ quả: b Q a Q a P a // b , ⇒ a // (P ) a C4 : Dùng định lý giao tuyến: H (P) // a, (Q) // a, (P ) ∩ (Q) = a ⇒ a // b a ⊄ ( P ) , ( P ) ⊥ b, a ⊥ b ⇒ a // ( P ) P P b b a a // b, (P) qua a, (Q) qua b, (P ) ∩ (Q) = ∆ ⇒ ∆ // a, ∆ // b hoaëc ∆ trùng với a b Q C5 : Dùng định lý giao tuyến: 10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song C1 : C/m mp chứa hai đường thẳng cắt // với mặt phẳng a, b ⊂ (Q) , a P a ∆ ∆ b b a b ∆ a a Q P Q Q GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 P Q P Trang 29 cắt b, a // (P) b // (P) ⇒ (P ) // (Q) b GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 30 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 C2 : C/minh chúng phân biệt vuông góc với đường thẳng 12/ C/m đường thẳng vuông góc mặt phẳng a ( P ) , (Q) phân biệt, (P ) ⊥ a, (Q) ⊥ a C1 : Dùng định lý ⇒ ( P ) // (Q) P a b , c caét , b, c ⊂ ( P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P ) b Q c P C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt // với mặt phẳng thứ ba // với 11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc C1 : Dùng quan hệ vuông góc biết mặt phẳng C2 : a ⊥ b ⇔ goùc (a; b) = 90o a C3: Dùng hệ quả: C2 : Dùng hệ quaû: b a ⊥ (P)   ⇒ a ⊥ b ⇒ ( P ) // (Q) b ⊂ ( P ) b P C4: Dùng hệ quả: b a a // b , b ⊥ ( P ) ⇒ a ⊥ (P ) P C3 : Dùng hệ quả: a Q b // c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c c a C5 : Dùng hệ quả: b a a song song (P )  ⇒ a ⊥ b ⇒ ( P ) // (Q ) b ⊥ (P )  b (P ) ∩ (Q) = b   ⇒ a ⊥ (P ) a ⊂ (Q), a ⊥ b  P P C4 : Duøng hệ quả: C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc C7: Dùng hệ quả: ∆ ⊥ AB, ∆ ⊥ AC => ∆ ⊥ BC ∆ A  (α ) ∩ ( β ) = ∆  ⇒ ∆ ⊥ (P) (α ) ⊥ (P ),( β ) ⊥ ( P ) ∆ B (α α) C GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 (β β) P Trang 31 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 32 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc C1 : Chứng minh góc chúng vuông Góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng +)Chọn điểm A thuộc đường thẳng a +) Dựng hình chiếu B A lên ( α ) A +) Dựng O = a ∩(α) (nếu chưa có a ( OB hình chiếu a ( α )) +) => Góc (a;(α )) = Góc (OA, OB) O x • (α ) ∩ (β ) = ∆ , Ox ⊂ (α ), Ox ⊥ ∆ , Oy ⊂ ( β ), Oy ⊥ ∆ ∆ Khi đó: góc ((α );(β )) = goùc (Ox; Oy) = xOy = ϕ : ≤ ϕ ≤ 90o y ϕ • (α ) ⊥ (β ) ⇔ ϕ = 90o α β O ϕ C2 : Dùng hệ quả: B a ⊂ (β )  ⇒ (α ) ⊥ (β ) a ⊥ (α )  a = AOB = ϕ α β α KHOẢNG CÁCH CÁCH XÁC ĐINH GÓC Góc hai đường thẳng A a' a α =(a; b) O b' B b Chọn điểm O tuỳ ý Dựng qua O : a’ // a; b’ // b Goùc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB Thường chọn điểm O ∈ a O ∈ b Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng M H α Dùng: MH ⊥ (α α ), H thuéc (α α ) ta cã: d(M,(α α )) = MH K/cách hai đ/thẳng song song Góc hai mặt phẳng Chọn điểm O thuoäc ∆ = ( α ) ∩ ( β ) Dựng qua O : O OA ⊂ (α ) OB ⊂ ( β ) vaø   ⊥ ∆ OA  OB ⊥ ∆ ∆ ϕ B ∆ ∆ // ∆ ∆1 β H * ≤ ϕ ≤ 90o Nếu ϕ > 90o thi chọn (α ; β ) = 180o − ϕ GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang ∆ // (α α) H ∆2 Goùc (α , β ) = Goùc (OA, OB) = Chú ý: α M M AOB = ϕ A Khoảng cách mp đ/thẳng // 33 Chọn điểm M 1, dựng MH ( H thuéc ∆ 2) ta cã d(∆ ∆ 1,∆ ∆ 2) = MH α Chän ®iĨm M thc ∆ , dùng MH ⊥ ∆ ( H thuéc (α α )), ta cã d(∆ ∆ ,(α α )) = MH GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 34 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 Khoảng cách hai mặt phẳng song song (α α ) // (β β ), ∆ chøa (α α) M ∆ β H α Ta cã: d((α α ),(β β )) = d(∆ ∆ ,(α α )) = MH (M thuéc ∆ , MH ⊥ (α α ), H thuéc α ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo M a' α b H A B a • Dùng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a α ), M thuéc a, H thuéc (α α) • Dùng MH ⊥ (α • Dùng a' mặt phẳng ( ), a' // a đờng thẳng a' cắt đờng thẳng b B ã Dựng qua B // MH, cắt a A Khi ®ã: d(a,b) = d(a,(α α )) = d(M,(α α )) = MH = AB 2/ Hình chóp tứ giác S Hình chóp tứ giác đều: ∗ Đáy hình vuông ∗ Các mặt bên tam giác cân Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABCD ∗ Dựng giao điểm H hai đường A chéo AC & BD D Vẽ SH ⊥ (ABCD) ∗ β • Ta có : I H α ∗ SH chiều cao hình chóp B C ∗ Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH = α ∗ Góc mặt bên mặt đáy là: SIH = β 3/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ∗ SA ⊥ (ABC) S ∗ Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA = α • a vµ b chÐo ∗ Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA = β HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT β A 1/ Hình chóp tam giác S Hình chóp tam giác đều: ∗ Đáy tam giác ∗ Các mặt bên tam giác cân Đặc biệt: Hình tứ diện có: ∗ Đáy tam giác h α ∗ Các mặt bên tam giác A Cách vẽ: C β ∗ Vẽ đáy ABC ∗ Vẽ trung tuyến AI H I ∗ Dự n g trọ n g tâ m H ∗ Vẽ SH ⊥ (ABC) B C α B ∗ SA ⊥ (ABCD) ∗ Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA = α S ∗ Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA = β ∗ Góc cạnh bên SD mặt đáy là: SDA = ϕ ∗ SH chiều cao hình chóp α ∗ Góc mặt bên mặt đáy là: SIH = β B GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ϕ A ∗ Goùc cạnh bên mặt đáy là: SAH = α Trang 35 D β C GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 36 ... NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 16 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG : DÃY SỐ - CẤP SỐ I Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến...ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I –HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Cơng thức nhân đơi • sin...  π π π 11 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 12 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 x Đặt: t = tan , thay sin x = 2t + t2 , cos x = − t2 + t2 ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG