Tổng hợp các bài toán đại số THPT

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Sưu tầm chỉnh sửa Nguyễn Văn Sơn Tổng hợp tốn Đại số Sinh viên K59 – Máy tính Khoa học thông tin – Đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Tổng hợp toán Đại số Mục Lục Tổng hợp toán Đại số A- Các toán Hàm Số Bài Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua Hướng dẫn: Ta có: Gọi tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M : Do tiếp tuyến qua điểm nên ta có: nên ta : Phương trình tiếp tuyến : Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm tiệm cận đứng với trục hoành Hướng dẫn : Ta có : Giao điểm tiệm cận đứng với trục hoành điểm Gọi tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M : Do tiếp tuyến qua điểm nên ta có : Bài Tìm m ? Hướng dẫn: Ta có: Hàm số có cực trị Tổng hợp tốn Đại số Bài Tìm tất giá trị m để hàm số đồng biến khoảng Hướng dẫn : Hàm số đồng biến khoảng (1, 3) Bài Cho hàm số Tìm tất giá trị m cho từ ta vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số Hướng dẫn : Gọi tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm M : Phương trình tiếp tuyến : Do thuộc tiếp tuyến Yêu cầu tốn tương đương với phương trình (*) có hai nghiệm Xét tương giao đồ thị hàm với đường thẳng , ta tìm Tổng hợp tốn Đại số Bài Tìm m để đường thẳng cắt (C) hai điểm A, B cho tiếp tuyến (C) A, B song song với Hướng dẫn: Ta có: Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) với đường thẳng : Từ u cầu tốn phương trình (*) có nghiệm phân biệt Khi đó, phương trình (*) có nghiệm Theo định lý Vi – et, ta có: Hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B : Hai tiếp tuyến song song Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm : Hướng dẫn: Điều kiện: Phương trình trở thành: Tổng hợp tốn Đại số Do đó, với hàm đồng biến Bài Với giá trị m phương trình sau có nghiệm dương phân biệt: Hướng dẫn: Ta có: u cầu tốn phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt khác Bài Hướng dẫn: TXĐ: Ta có: Hàm số nghịch biến D Tổng hợp toán Đại số Bài 10 Tìm m để hàm số có cực trị cho Hướng dẫn: Ta có: Hàm số có hai điểm cực trị phương trình có hai nghiệm phân biệt Khi đó, có hai nghiệm là: Vậy Bài 11 Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn Hướng dẫn : Ta có : Tổng hợp tốn Đại số Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt Khi đó, phương trình có hai nghiệm Theo định lý Vi – et, ta có : Kết hợp với điều kiện, ta : Bài 12 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : Hướng dẫn : Ta có : Hàm số có điểm cực trị phương trình có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt Khi đó, có nghiệm thỏa mãn : Theo đề bài, Tổng hợp toán Đại số 10 Tổng hợp toán Đại số Bất phương trình trở thành : Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm : Hướng dẫn : Điều kiện : Bất phương trình Ta có : hàm đồng biến Vậy Bài 10 Giải phương trình : Hướng dẫn : Xét đồng biến R Phương trình cho tương đương với: 20 Tổng hợp tốn Đại số Bài 11 Giải hệ phương trình : Hướng dẫn : Điều kiện : Trừ vế với vế phương trình, ta : Xét hàm đồng biến Mà Thế vào phương trình (1), ta : Bài 12 Giải phương trình tập số thực : Hướng dẫn : Phương trình trở thành : Coi phương trình phương trình ẩn , tham số 21 Tổng hợp toán Đại số Xét hàm đồng biến Mà nghiệm phương trình Bài 13 Giải phương trình : Hướng dẫn: Bài 14 Giải phương trình phức: Hướng dẫn: Bài 15 Giải phương trình: 22 Tổng hợp tốn Đại số Hướng dẫn: Bài 16 Tìm số nguyên dương thỏa mãn phương trình sau: a b c Hướng dẫn: a Bài 17 Tìm số nguyên thỏa mãn phương trình sau: Hướng dẫn: Ta có: Phương trình có nghiệm Bài 18 Giải bất phương trình: 23 Tổng hợp toán Đại số Hướng dẫn: Bất phương trình trở thành: Bài 19 Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện: Phương trình trở thành: hàm đồng biến Thế vào phương trình ban đầu, ta : 24 Tổng hợp toán Đại số Bài 20 Giải bất phương trình : Hướng dẫn : Nhận xét : nghiệm BPT Xét Chia hai vế BPT cho , ta được: BPT trở thành : Bài 21( ?) Giải phương trình : Hướng dẫn : Điều kiện : Ta có : Thế vào phương trình ban đầu, ta : 25 Tổng hợp tốn Đại số Bài 22 Giải hệ phương trình : Hướng dẫn : Thế vào (2), ta : Bài 23 Giải phương trình : Hướng dẫn : Điều kiện : Đặt Phương trình trở thành : Bài 24 Giải bất phương trình : Hướng dẫn: 26 Tổng hợp toán Đại số Lập bảng xét dấu, ta được: Bài 25 Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện: Nhận xét: khơng nghiệm phương trình Phương trình trở thành: Chia hai vế phương trình cho , ta được: Bài 26 Giải hệ phương trình: 27 Tổng hợp toán Đại số Hướng dẫn: Thế vào (2), ta được: Thế vào (2), ta được: Bài 27 Giải hệ phương trình : Hướng dẫn : Điều kiện : Nhận xét : không nghiệm hệ Chia hai vế (2) cho , ta được: hàm đồng biến Thế vào (1), ta : hàm đồng biến có tối đa nghiệm nghiệm 28 Tổng hợp tốn Đại số Bài 28 Giải phương trình : Hướng dẫn : Điều kiện : Cách : Sử dụng tính đơn điệu hàm số hàm đồng biến Cách : Phân tích đa thức thành nhân tử Đặt Phương trình trở thành : Bài 29( ?) Giải hệ phương trình : Bài 30 Giải phương trình : Hướng dẫn : Ta có : 29 Tổng hợp tốn Đại số Lấy phương trình (*) trừ phương trình (**), ta : Thế vào (**), ta : Bài 31 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn : 30 Tổng hợp toán Đại số D- Các tốn Tích Phân Bài Tính tích phân sau : Hướng dẫn: a Tính b Tính Bài Tính tích phân: Hướng dẫn: Bài Tính tích phân: Hướng dẫn: Bài Tính tích phân sau: Hướng dẫn: Ta có: 31 Tổng hợp tốn Đại số 32 Tổng hợp toán Đại số E- Các toán Bất Đẳng Thức Bài Cho số thực dương Chứng minh : ta : Bài Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Hướng dẫn : Điều kiện đề biểu thức đối xứng với x y Nhưng biểu thức P, biến x, y khơng đối xứng cho Tuy nhiên, thay , hai thức lại trở thành đối xứng với x y Dự đoán Thay vào điều kiện ban đầu Khi đó: (Khử phân thức) Ta có : (Khử thức) (Chặn điều kiện x + y) Ta có: Dấu ‘=’ xảy Bài Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có: 33 Tổng hợp toán Đại số Bài Cho số thực không âm Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Xét bất đẳng thức phụ: Thật vậy: Áp dụng, ta được: Tương tự, ta có: Dấu ‘=’ xảy Bài Chứng minh rằng: Trong bất đẳng thức sau có bất đẳng thức sai: Hướng dẫn: Giả sử bất đẳng thức cho Khi ta có: Tương tự: Nhân vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: điều giả sử sai 34 .. .Tổng hợp toán Đại số Sinh viên K59 – Máy tính Khoa học thơng tin – Đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Tổng hợp toán Đại số Mục Lục Tổng hợp toán Đại số A- Các toán Hàm Số Bài Cho hàm số có... nghiệm thỏa mãn : Theo đề bài, Tổng hợp toán Đại số 10 Tổng hợp toán Đại số B- Các toán Lượng Giác Bài Chứng minh : Hướng dẫn : Bài Giải phương trình lượng giác : Hướng dẫn : Bài Giải phương trình... giác: Hướng dẫn: 11 Tổng hợp toán Đại số Bài Giải phương trình lượng giác: Hướng dẫn: Ta có: Bài Giải phương trình: Hướng dẫn: Bài Giải phương trình: 12 Tổng hợp toán Đại số Hướng dẫn: Nhận xét