Tìm bao lồi trực giao của một đa giác lưới trong mặt phẳng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Quyên TÌM BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT ĐA GIÁC LƯỚI TRONG MẶT PHẲNG SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Quyên TÌM BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT ĐA GIÁC LƯỚI TRONG MẶT PHẲNG SỐ Chuyên ngành: Mã số: Toán ứng dụng 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phan Thành An Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Phan Thành An Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Người cam đoan Nguyễn Thị Quyên LỜI CẢM ƠN Sau thời gian cố gắng, nỗ lực học tập nghiên cứu, đến tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Để có kết tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo tôi, PGS TS Phan Thành An, người định hướng nghiên cứu cho suốt trình thực luận văn Cảm ơn thầy mang đến cho học quý báu phương pháp nghiên cứu khoa học Đó tảng bản, hành trang vô q giá để tơi tiếp cận với khoa học thật Thầy dạy cho kiến thức khoa học mà học sống, tình người Xin cảm ơn thầy tất thầy mang đến cho Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Viện Tốn học ln giúp đỡ tận tình, theo dõi động viên tơi suốt q trình thực luận văn Xin cảm ơn người thân gia đình thông cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho tơi để tơi học tập, nghiên cứu hồn thành cơng việc Xin cảm ơn chị Phong Thị Thu Huyền, tất người thân yêu, người yêu mến, chia sẻ với tơi khó khăn vui buồn thực luận văn Nguyễn Thị Quyên Mục lục DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ MỞ ĐẦU TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ 1.1 TẬP LỒI VÀ BAO LỒI CỦA MỘT TẬP 1.2 TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ THUẬT TOÁN CỦA BISWAS, BHOWMICK, SARKAR VÀ BHATTACHARYA TÌM BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT ĐA GIÁC LƯỚI TRONG MẶT PHẲNG SỐ 12 2.1 CÁC QUY TẮC 12 2.2 THUẬT TOÁN 20 2.3 VÍ DỤ MINH HỌA 28 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Bảng tính đặc trưng bốn máy bay từ bao lồi trực giao chúng DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Tập lồi Hình 1.2 Tập khơng lồi Hình 1.3 Tập lồi trực giao (a), (b), (c) tập không lồi trực giao (d), (e) Hình 1.4 Bao lồi trực giao số tập Hình 2.1 Các loại đỉnh khác đa giác lưới Hình 2.2 Vùng lõm hai đỉnh loại liên tiếp tạo nhiều đoạn thẳng với đường thẳng đứng (trái) đường nằm ngang (phải) Hình 2.3 Quy tắc R11 cho mẫu 1331 Hình 2.4 Quy tắc R12 cho mẫu 1331 Hình 2.5 Quy tắc R13 cho mẫu 1331 Hình 2.6 Quy tắc R21 cho mẫu 1333 Hình 2.7 Quy tắc R22 cho mẫu 1333 Hình 2.8 Quy tắc R23 cho mẫu 1333 Hình 2.9 Bao lồi trực giao (đường nét liền đậm) đa giác lưới có đường viền nét liền nhạt Hình 2.10 Minh họa thuật tốn A Biswas, P Bhowmick, M Sarkar B B Bhattacharya cho đa giác lưới Hình 2.9 Hình 2.11 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) Sukhoi Su-35 Hình 2.12 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) Lockheed Martin F-22 Raptor Hình 2.13 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) X1 Hình 2.14 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) X2 MỞ ĐẦU Tìm bao lồi tốn quan trọng lĩnh vực hình học tính tốn ứng dụng phong phú Một số ứng dụng nhận dạng mẫu, xử lý hình ảnh, tìm đường cho robot, số liệu thống kê, tìm tam giác phân Delaunay, tìm đường kính tập hợp, tìm lớp lồi tập hợp, Vì tầm quan trọng nên nhiều nhà khoa học nghiên cứu đưa thuật tốn tìm bao lồi tập hợp Vào năm 1970, D R Chand S S Kapur lần xét toán ([1]) Đến năm 1972, R L Graham đưa thuật toán quét Graham để giải toán ([2]) Một năm sau đó, R A Jarvis đưa thuật tốn gói q ([3]) Không lâu sau, W Eddy năm 1977 ([4]) A Bykat năm 1978 ([5]) đưa thuật toán Quickhull, T M Chan năm 1996 với thuật toán Chan ([6]), Tuy nhiên, việc thực thuật tốn kể cho tập đủ lớn khơng nhanh yêu cầu thực tế Chẳng hạn, thuật tốn Graham, muốn xác định điểm pi có rẽ trái, rẽ phải hay không rẽ, cần xét điểm trước (pi−1 ) sau (pi+1 ) Khi đó, việc sử dụng phép so sánh cộng, trừ sử dụng thêm phép nhân tính tốn Cũng vậy, thuật tốn gói q, tọa độ cực điểm tính từ tọa độ Descartes chúng Do đó, ngồi sử dụng phép so sánh cộng, trừ thuật tốn sử dụng đến lượng giác Hơn nữa, thực tế, tập lồi trực giao bao lồi trực giao nghiên cứu ứng dụng đa dạng hóa nhiều lĩnh vực Đặc biệt, lĩnh vực hình ảnh kĩ thuật số, bao lồi trực giao sử dụng để khơi phục hình ảnh , che giấu lỗi hình ảnh , Mặt khác, bao lồi trực giao dùng để phân tích phân loại hình dạng, lĩnh vực nhận dạng thời gian thực, Do việc tìm bao lồi trực giao tập quan trọng Vào năm 1982, D Y Montuno A Fournier xét tốn tìm bao lồi trực giao tập đa giác trực giao ([7]) Sau đó, nhiều nhà khoa học đưa thuật tốn để tìm bao lồi trực giao tập: năm 1983 có T M Nicholl, D T Lee, Y Z Liao, C K Wong ([8]); năm 2012 có A Biswas, P Bhowmick, M Sarkar B B Bhattacharya ([9]); năm 2005 có J Wu Z Jiang ([10]) Đặc biệt, thuật toán Biswas, Bhowmick, Sarkar Bhattacharya ([9]) sử dụng phép so sánh cộng, trừ số nguyên nên chạy nhanh thời gian O(n) (ở n số đỉnh đa giác lưới xét, Chương 2, Mục 2.2) Với lý trên, mong muốn nghiên cứu tập lồi trực giao bao lồi trực giao tập mặt phẳng số Cụ thể, Chương 1, chúng tơi tìm hiểu tập lồi, bao lồi tập, tập lồi trực giao, bao lồi trực giao tập Trong Chương 2, trình bày lại quy tắc để tìm bao lồi trực giao đa giác lưới, thuật tốn tìm bao lồi trực giao Biswas, Bhowmick, Sarkar Bhattacharya ([9]), đưa ví dụ minh họa cụ thể cho thuật tốn Vì thời gian kiến thức có hạn, nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp quý báu từ phía bạn đọc CHƯƠNG TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ 1.1 TẬP LỒI VÀ BAO LỒI CỦA MỘT TẬP Định nghĩa 1.1.1 (xem [11]) Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b Rn tập hợp tất điểm (véc tơ) x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn |x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R} Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b Rn tập hợp tất điểm (véc tơ) x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn |x = (1 − λ)a + λb, ≤ λ ≤ 1} Định nghĩa 1.1.2 (xem [11]) Một tập S ⊆ Rn gọi tập lồi S chứa đoạn thẳng qua hai điểm (Hình 1.1) Tức S lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ (1 − λ)x + λy ∈ S Hình 1.1 Hình 1.2 cho ví dụ tập lồi tập khơng lồi Ta nói véc tơ x ∈ Rn gọi tổ hợp lồi véc tơ x1 , x2 , , xm ∈ Rn m i m λi x , λi ≥ 0, ∀i = 1, 2, , m, x= i=1 λi = i=1 ... TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ 1.1 TẬP LỒI VÀ BAO LỒI CỦA MỘT TẬP 1.2 TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ ... tơi tìm hiểu tập lồi, bao lồi tập, tập lồi trực giao, bao lồi trực giao tập Trong Chương 2, chúng tơi trình bày lại quy tắc để tìm bao lồi trực giao đa giác lưới, thuật tốn tìm bao lồi trực giao. .. báu từ phía bạn đọc 6 CHƯƠNG TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ 1.1 TẬP LỒI VÀ BAO LỒI CỦA MỘT TẬP Định nghĩa 1.1.1 (xem [11]) Một đường thẳng nối hai điểm (véc