Một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 8 THCS qua dạy học chương i phép nhân và phép chia các đa thứ

MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề Biện pháp Giáo viên phải học tập, lao động sáng tạo, nắm vững kiến thức bản, kiến thức nâng cao, khơng ngừng tích lũy kinh nghiệm, đổi nội dung, phương pháp dạy học Trang 2 2 3 7 Biện pháp Chú trọng bồi dưỡng thao tác tư trang bị cho học sinh tri thức phương pháp hoạt động nhận thức Biện pháp Rèn luyện cho HS biết nhìn tình đặt nhiều góc độ khác nhau, nhìn tốn nhiều hình thức khác nhau; biết giải vấn đề nhiều phương pháp khác lựa chọn cách giải tối ưu 10 Biện pháp Giúp HS sáng tạo toán dựa toán biết phát ứng dụng kết toán 12 Biện pháp Rèn luyện cho HS biết hệ thống hóa kiến thức phương pháp giải tốn 17 Biện pháp Quan tâm đến sai lầm HS, tìm nguyên nhân cách khắc phục 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng cấp Phòng GD&ĐT, cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên 19 20 20 21 23 24 1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong nhà trường phổ thơng, người giáo viên không đơn truyền thụ kiến thức cho học sinh, cung cấp cho học sinh tri thức phổ thơng, mà phải biết rèn luyện kĩ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo, linh hoạt cho học sinh Phát triển tư toán học nhiệm vụ giáo viên Toán đối tượng học sinh Là giáo viên trực tiếp dạy học Tốn nhiều năm, tơi thấy nhiều học sinh bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư sáng tạo: Nhìn đối tượng toán học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố toán học, không linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng cách máy móc kinh nghiệm có vào tình mới, điều kiện mới, toán chứa đựng yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo tìm lời giải tốn Từ dẫn đến hệ nhiều HS gặp khó khăn giải tốn, đặc biệt tốn đòi hỏi phải có sáng tạo lời giải Do vậy, việc rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh qua dạy học Toán yêu cầu cấp bách Nhận thức tầm quan trọng vấn đề nêu trên, tơi tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, tìm biện pháp để nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Trong viết muốn trao đổi với bạn đồng nghiệp “Một số biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp THCS qua dạy học Chương I – Phép nhân phép chia đa thức” mà tơi áp dụng thành cơng 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm biện pháp phát huy tính sáng tạo học sinh trình dạy học Chương I – Phép nhân phép chia đa thức (Đại số lớp 8) Phổ biến, áp dụng kinh nghiệm vào q trình giảng dạy mơn Tốn trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Tìm biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp THCS dạy học “Chương I – Phép nhân phép chia đa thức” 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Xây dựng đề tài sử dụng phương pháp: - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp thực nghiệm khoa học - Phương pháp điều tra - Phương pháp quan sát - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Luật Giáo dục số 38/2005/QH11, Điều 28 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Nghị Hội nghị Trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo xác định “Tiếp tục đổi mạnh mẽ đồng yếu tố giáo dục, đào tạo theo định hướng coi trọng phát triển phẩm chất, lực người học” Do đặc trưng cấp học, môn học, định hướng đổi phương pháp dạy học toán “Phương pháp dạy học toán nhà trường cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư duy” Tư trình tâm lý phản ánh thực khách quan cách gián tiếp khái quát, phản ánh thuộc tính chung chất, tìm mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật vật, tượng mà ta chưa biết Sáng tạo tạo giá trị vật chất tinh thần, tìm mới, cách giải mới, khơng bị gò bó, phụ thuộc vào có (Trích Tài liệu tập huấn Tổ chức hoạt động NCKH kỹ thuật HS trường trung học, 2013, trang 8) Đối với người học, sáng tạo tất em “tự tìm tòi nghĩ mới” mà giáo viên chưa dạy, em chưa đọc sách, chưa biết nhờ trao đổi với bạn học Sáng tạo tốn học khía cạnh sáng tạo Ở sáng tạo toán học yêu cầu HS giải tốn khơng đòi hỏi kiến thức khơng vượt q giới hạn chương trình, đòi hỏi tập trung ý định với kĩ suy luận hay giải toán vượt ngồi tiêu chuẩn thơng thường Biểu sáng tạo HS giải tốn khả tiếp thu nhanh chóng kiến thức mới, nắm vững cách hệ thống, sâu sắc toàn diện kiến thức cũ, biết vận dụng linh hoạt để giải tình vấn đề tốn phương thức Trên sở tìm tòi phát hơn, toàn diện để đến kết toán Tư sáng tạo dạng tư độc lập, tạo ý tưởng mới, độc đáo có hiệu cao định vấn đề Tư sáng tạo có tính chất sau: - Tính mềm dẻo: đặc trưng khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác - Tính nhuần nhuyễn: thể việc sử dụng nhiều loại hình tư đa dạng phát giải vấn đề - Tính độc đáo: đặc trưng khả tìm kiếm kiến thức chưa biết, đưa giải pháp tối ưu - Tính thăng hoa: thể sản phẩm tìm mang tính phát triển, ứng dụng rộng rãi Những biểu lực sáng tạo HS học tập mơn tốn: - Nhận vấn đề điều kiện biết, dự đoán sai lầm, hướng khắc phục - Nhìn thấy cấu trúc tốn, kết hợp phương thức giải biết, tạo thành phương thức để giải tốn - Nhìn tốn góc độ khác để tìm cách giải có, tìm nhiều cách giải, ln có ý tưởng tìm cách giải lạ, độc đáo ngắn gọn - Nhận chức việc mở rộng tốn, tìm tòi xác định hướng giải cho tập mở rộng - Biết kết hợp hoàn thiện phương pháp có, vận dụng vào tốn học, tốn học hóa tình thực tiễn - Biết hệ thống hóa tri thức giải xong, xây dựng phương pháp, quy tắc cho tốn - Biết khái qt hóa, đặc biệt hóa phương pháp giải cho tốn mở rộng Những cấp độ biểu lực sáng tạo HS học tập: - Mức độ thấp người học sáng tạo tính bắt chước, tái Học sinh làm tương tự: Có thể tương tự toán; tương tự phương pháp giải quyết; tương tự phương pháp lập luận hay vận dụng từ định lý, tập có áp dụng vào cách giải, cách chứng minh tập, định lý trường hợp khác Ở mức độ xuất tảc động kích thích bên ngồi (u cầu giáo viên), nhằm chuyển đối tượng từ vào theo chế “hoạt động bên ngồi bên có cấu trúc” Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động tích lũy thông qua kinh nghiệm người khác Tái bắt chước tính sáng tạo mức độ thấp lại tiền đề giúp em nắm nội dung giảng để có điều kiện nâng sáng tạo lên mức cao tìm cách chứng minh kết luận có, vận dụng vào định lý, tập khác tốn khác để có cải biên, cải tiến cách làm so với cách cũ - Mức độ cao lực sáng tạo tích cực tìm tòi Tìm hình thức mới, tính chất mới, phương pháp giải toán Khám phá tính chất mới, định lý mới, quy trình mới, dự báo hướng suy nghĩ, hướng giải Xuất với trình hình thành khái niệm, giải tình nhận thức, tìm tòi phương thức hành động sở có tính tự giác, có tham gia động cơ, nhu cầu, hứng thú ý chí học sinh Loại xuất không yêu cầu giáo viên mà hồn tồn tự phát q trình nhận thức Nó tồn khơng dạng trạng thái, cảm xúc mà dạng thuộc tính bền vững hoạt động Ở mức độ này, tính độc lập cao mức trên, cho phép HS tiếp nhận nhiệm vụ tự tìm cho phương tiện thực Ý thức tìm tòi giúp em say mê tìm kiến thức mới, khai thác kiến thức học theo nhiều hướng khác nhau, kiểm tra lại kiến thức học trước Ý thức tìm tòi phẩm chất trí tuệ Đó độc lập tư duy, tự phát vấn đề, tự xác định phương hướng tìm cách giải đáp, tự kiểm tra, thử lại, đánh giá kết đạt - Mức độ cao lực sáng tạo tích cực tìm Thể HS tìm kiến thức không nhờ vào gợi ý người khác, thực tốt yêu cầu giáo viên đưa có tính sáng tạo phương pháp Ở mức này, HS có khả tư phân tích, tổng họp, khái qt hóa, tương tự để tìm tòi phát kiến thức Tự thân xác định nhiệm vụ tìm cách giải Đây biến đổi chất, thể cao tính tích cực, tự giác, chủ động từ khám phá mà nhờ đề xuất hệ thống toán, hệ thống vấn đề mở hướng phát giải vấn đề Những điều kiện cần thiết cho việc rèn luyện lực sáng tạo HS học tập: Một là, điều quan trọng để nảy sinh sáng tạo hứng thú Cho nên, muốn rèn cho HS tính sáng tạo trước tiên GV phải giảng dạy, tập cho HS hứng thú học tập Hứng thú gây sáng tạo sáng tạo lại thúc đẩy hứng thú Học sinh cần có hứng thú để nhận thức cao, cần có khao khát nhận thức vận dụng vào thực tế Hai là, phải có kiến thức vững Một trình sáng tạo tái biết Trong toán học, cấu trúc nội dung kiến thức mạch liên tục, kiến thức trước tiền đề, mở rộng nội dung kiến thức sau Do đó, người HS phải biết vận dụng tri thức biết vào tình mới, vào giải tập, chứng minh định lý q trình học tốn, trường hợp khác Bởi sáng tạo khơng phải mảnh đất riêng người có tài năng, thiên tài, mà người bình thường có khả sáng tạo, nơi người biết phối kết hợp cũ, tạo sáng tạo Vì vậy, kiến thức vững yếu tố cần thiết cho rèn luyện lực sáng tạo Ba là, cần phải có tư phê phán Ln đặt câu hỏi; cách làm hay lời giải tối ưu chưa, có cách giải không? sử dụng hết giả thiết chưa? Học sinh cần phải có khả tư độc lập Đó khả người việc tự xác định phương hướng hoạt động tình mới, tự phát nêu lên vấn đề cần giải quyết, tự tìm đường giải thực Chuẩn kiến thức, kỹ Chương I – Phép nhân phép chia đa thức (Đại số 8) (Theo tài liệu “Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kỹ mơn Tốn Trung học sở”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009) Chủ đề Mức độ cần đạt Về kĩ năng: Vận dụng tính chất phân phối phép nhân đối Nhân với phép cộng: đa thức A(B + C) = AB + AC; (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD, A, B, C, D số biểu thức đại số Về kĩ năng: Hiểu vận dụng đẳng thức: 2 2 2 Những  A ± B  = A ± 2AB + B ; A – B = (A + B)(A – B) đẳng  A ± B   A3 �3A B + 3AB2 ± B3 thức đáng A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2); nhớ A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2), (trong A, B số biểu thức đại số) Về kĩ năng: Vận dụng phương pháp phân tích đa Phân thức thành nhân tử: tích đa + Phương pháp đặt nhân tử chung thức thành + Phương pháp dùng đẳng thức nhân tử + Phương pháp nhóm hạng tử + Phối hợp phương pháp phân tích thành nhân tử Về kĩ năng: Chia - Vận dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức đa thức cho đơn thức - Vận dụng phép chia hai đa thức biến xếp 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trong q trình dạy học, thơng qua dạy, dự qua ý kiến thăm dò, khảo sát số giáo viên, thấy thực trạng dạy học nhằm phát triển lực tư sáng tạo cho HS bên cạnh thuận lợi có khó khăn tồn Việc phát huy lực tư sáng tạo, tính tích cực chủ động HS chưa thực đạt hiệu quả, giáo viên nỗ lực điều hành, định hướng tổ chức trình lĩnh hội tri thức HS phương pháp dạy học tích cực Tuy nhiên, chất lượng dạy học Tốn khiêm tốn Điều nhiều nguyên nhân, khách quan chủ quan: - Thứ nhất, hệ xuất phát từ rơi rớt lại phương pháp dạy học cũ, nặng truyền thụ kiến thức chiều người dạy, lấy người dạy làm trung tâm, số giáo viên chậm đổi - Thứ hai, hệ thống tập đưa dạy học chưa thật đa dạng, phong phú nội dung, đơn giản hình thức - Thứ ba, việc thực hành làm tập lớp học sinh mang tính hình thức, đối phó - Thứ tư, việc tốn có khả sáng tạo chưa quan tâm nhiều nên chưa kích thích người học, chưa phù hợp với đối tượng học sinh - Thứ năm, lực làm tập em học sinh hạn chế Nhiều HS trả lời câu hỏi hay giải toán, chưa đọc kĩ đề bài, chưa hiểu rõ toán vội lao vào giải Bởi đâu, gặp khó khăn khơng biết làm để tìm lời giải Khi giải xong tốn theo cách em thường thỏa mãn, khơng chịu kiểm tra lại lời giải tìm được, đào sâu suy nghĩ, phát tính chất tốn, khơng biết diễn đạt tốn hình thức khác, sâu khai thác khía cạnh, thay đổi giả thiết, lật ngược vấn đề, tổng qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự…; khơng biết khai thác tốn để đề xuất nhiều toán Hầu hết học sinh khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn hay mở rộng lời giải tìm cho tốn khác, bị hạn chế việc rèn luyện lực giải toán Trong trình học tập, HS thường mắc sai lầm: �Về chiến lược Sử dụng phép biến đổi khơng tương đương; đưa kết luận sai; q trình giải khơng trọn vẹn �Về hình thức Do khơng nắm vững chất biểu thức kí hiệu tốn học: Sử dụng khơng kí hiệu � , � ; gạch ngang phân số không viết khoảng dấu “=”; viết lũy thừa không đúng, không phân biệt số mũ lũy thừa; tùy tiện thay số từ câu Tiếng Việt kí hiệu Tốn học … �Về cơng thức, Vận dụng khơng đẳng thức đáng nhớ �Về khái niệm khơng nắm vững khái niệm có liên quan, ví dụ khái niệm lũy thừa, giá trị tuyệt đối, … �Về tính tốn… - Thứ sáu, việc rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh chưa quan tâm mức, học HS chưa thực chủ động, tích cực tiếp nhận vận dụng tri thức học thực tế học tập Thực trạng đặt yêu cầu cấp thiết phải trọng phát huy lực tư sáng tạo, tính tích cực, chủ động học sinh học tập Có thế, GV thực tốt nhiệm vụ đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực người học, học sinh trở thành chủ thể tích cực học tập đời sống xã hội, phát triển tồn diện đóng góp sức cho đất nước 2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM, CÁC GIẢI PHÁP Đà SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Biện pháp Giáo viên phải học tập lao động sáng tạo, nắm vững kiến thức bản, kiến thức nâng cao, khơng ngừng tích lũy kinh nghiệm, đổi nội dung, phương pháp dạy học Việc tự làm chủ mơn học hình thành từ việc tích lũy nhiều kiến thức kỹ có Các kĩ khơng thể có khơng có cá tính độc lập suy nghĩ, suy nghĩ độc đáo sáng tạo Ai biết kĩ vận dụng sáng tạo toán quan trọng Tuy nhiên ta chưa yêu cầu điều tốt đẹp người thầy giáo tốn Nếu thầy giáo khơng học tập lao động sáng tạo gây hứng thú, hướng dẫn học sinh tư sáng tạo Người thầy giáo tiếp thu kiến thức toán học phương pháp thụ động khơng thể thúc đẩy học sinh nghiên cứu tích cực mơn học Từ suy nghĩ đó, để giúp học sinh rèn luyện lực sáng tạo học tập mơn Tốn, tơi tận dụng thời gian để nghiên cứu chuẩn kiến thức, kĩ năng, nghiên cứu tài liệu tham khảo để tích lũy kiến thức, kinh nghiệm dạy học, khơng ngừng đổi nội dung, phương pháp dạy học tiết dạy học lớp Trong dạy học, đặc biệt ý tới ngun lí để dạy tốn cho học sinh tự suy nghĩ, là: học tập tích cực, kích thích học sinh học tập, giai đoạn để tạo nên hiệu Biện pháp Chú trọng bồi dưỡng thao tác tư trang bị cho học sinh tri thức phương pháp hoạt động nhận thức Trong q trình dạy học, tơi ln ý bồi dưỡng yếu tố tư sáng tạo (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, …) cho học sinh Khi giảng dạy lý thuyết, tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu cho HS Trong đó, GV tạo tình có vấn đề dẫn dắt HS tìm tòi, khám phá kiến thức GV ý thường xuyên tập dượt cho HS suy luận có lí (thơng qua quan sát, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tương tự, …) để từ HS tự phát phát biểu vấn đề, dự đoán kết quả, tìm hướng giải tốn Tôi sử dụng loại câu hỏi tập tác động đến yếu tố tư sáng tạo như: Những tập có cách giải riêng đơn giản áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, khơng thay đổi phù hợp với điều kiện mới; tốn có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp sang phương pháp khác; tập có vấn đề thuận nghịch liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành liên tưởng ngược xảy đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận, … Trong dạy học tốn, tơi ln ý phát triển cho HS thao tác tư phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa Khi học tập khái niệm, GV giúp HS biết phân tích dấu hiệu chất khái niệm, phát mối liên hệ (tổng hợp) khái niệm với Khi học đẳng thức, GV giúp HS biết nhận dạng đặc điểm biểu thức hai vế đẳng thức, mối liện hệ đẳng thức với đẳng thức kia, Khi giải tập, GV giúp HS nhìn bao quát (tổng hợp) để nhận dạng toán (biết toán loại nào), phải biết phân tích cho phải tìm, tìm mối liên hệ chúng; phân chia toán thành toán nhỏ khác (xét trường hợp xảy ra), giải tốn đơn giản đó, tổng hợp lại để lời giải tốn Tơi ln ý hướng dẫn HS so sánh khái niệm, quy tắc, đẳng thức với khái niệm, quy tắc, đẳng thức khác Nhờ thấy giống khác chúng nên HS nắm vững, hiểu biết sâu sắc có hệ thống kiến thức tốn học Để giúp HS phát triển lực khái quát hóa đắn, tơi luyện tập cho HS biết phân tích, tổng hợp So sánh để tìm chung ẩn náu sau chi tiết tản mạn khác Khi tổ chức cho HS thực khái quát hóa, GV ý nguyên tắc: Biến thiên dấu hiệu không chất giữ nguyên dấu hiệu chất vật, tượng Một toán hay kết cơng cụ bắc cầu để giải tốn khác Trong q trình dạy học tốn, tơi ln quan tâm mức đến khía cạnh này, hướng dẫn HS xem xét tốn tương tự hay khái qt hóa tốn nhằm góp phần phát triển tư sáng tạo cho HS 1� 2� Thí dụ (Bài 1, trang SGK) Làm tính nhân x �5 x  x  � 2� 1� 2� 2 � 1� Lời giải x �5 x  x  � x 5x  x ( x)  x � � 5x  x  x 2� � � 2� � Chúng ta có nhiều tốn tương tự Chẳng hạn: 2� �3 Làm tính nhân 3x �x  x  x  � � 2 x y  x  15 xy   1� 2� Chúng ta biết x �5 x  x  �= 2� � Làm tính nhân 3� 1� � x  x  �x Do vậy, có tốn � 2� � tương tự khác Làm tính nhân: �2 � a) �5 x  x  �x ; � 2� 2� �3 2 b) �x  x  x  �.(3x ) ; � 3� c)  x3  15 xy   x y3 Từ điều giúp ta đến với tốn khó chút xíu � 2� Làm tính nhân x �5 x  x  � 2 x  � � Có thể giải sau: � � � � 2� 3 2 � 2 x   Cách x �5 x  x  � 2 x   �x x  x (  x)  x � � � 2 � � � � � � � 2� �1 2� 3 = �5 x  x  x �(2 x ) = x (2 x )    x  (2 x )  � x �(2 x ) � �2 � � = 10 x  x  x 1� �1� � 2� � x  2 x   (  x )   x   �  �  2 x  � Cách x �5 x  x  � 2 x  = x � 2� � 2� � � � 6 = x  10 x  x  x  = x  10 x   x x  x x = 10 x8  x  x5 1� 1� 1� � � 2� x  2 x  � x  x  �  2 x5  � 5x  x  � Cách x �5 x  x  � 2 x  = � � � � 2� 2� 2� � � � 5 � 1� =   2 x  x   2 x    x    2 x  � �= 10 x8  x6  x5 � 2� Từ đó, giúp HS giải nhiều tốn tương tự khác Thí dụ a) Từ a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Có thể dự đốn an – bn = ? (n  N , n ) b) Từ  a + b  = a + 2ab + b ;  a + b  = a + 3a b + 3ab2 + b3 Có thể dự đốn (a + b)n = ? (n  N , n ) Thí dụ Ta chứng minh đẳng thức (A + B) = A2 – 2AB + B2 sau: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B2 = A2 + 2AB + B2 Tương tự, chứng minh đẳng thức đáng nhớ lại Ngồi cách chứng minh trên, cách khác để chứng minh đẳng thức đáng nhớ? HS sử dụng “phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để chứng minh �A2 + 2AB + B2 = A2 + AB + AB + B2 = A(A + B) + B (A + B) = (A + B)2 �A2 – 2AB + B2 = A2 – AB – AB + B2 = A(A – B) – B (A – B) = (A – B)2 �A2 – B2 = A2 + AB – AB – B2 = A(A + B) – B(A + B) = (A + B)(A – B) �A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + A2B + 2A2B + 2AB2 + AB2 + B3 = A2(A + B) + 2AB(A + B) + B2(A + B) = (A + B)(A2 + 2AB + B2) = (A + B)(A2 + AB + AB + B2) = (A + B)[A(A + B) + B (A + B)] = (A + B)(A + B)2 = (A + B)3 �A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = A3 – A2B – 2A2B + 2AB2 + AB2 – B3 = A2(A – B) – 2AB(A – B) + B2(A – B) = (A – B)(A2 – 2AB + B2) = (A – B)(A2 – AB – AB + B2) = (A – B)[A(A – B) – B (A – B)] = (A – B)(A – B)2 = (A – B)3 �A3 + B3 = A3 – A2B + AB2 + A2B – AB2 + B3 = A(A2 – AB + B2) + B(A2 – AB + B2) = (A + B)(A2 – AB + B2) �A3 - B3 = A3 + A2B + AB2 – A2B – AB2 + B3 = A(A2 + AB + B2) – B(A2 + AB + B2) = (A – B)(A2 + AB + B2) Trong trình dạy học, GV cung cấp cho HS tri thức phương pháp để HS tìm tòi, tự phát phát biểu vấn đề, dự đốn kết quả, tìm hướng giải toán, hướng chứng minh đẳng thức, giúp HS hiểu sâu sắc chất khái niệm, mệnh đề, ý nghĩa nội dung đẳng thức, công thức, chứng minh, từ mà nhớ lâu kiến thức tốn học qn tìm lại Hệ thống câu hỏi tập cơng cụ hữu hiệu cho việc tìm cách giải toán, cách chứng minh định lý, cách xây dựng khái niệm Tôi trọng câu hỏi gợi ý học sinh phát giải vấn đề, vận dụng lược đồ câu hỏi G.Polia giúp cho HS hình thành rèn luyện khả sáng tạo giải toán Biện pháp Rèn luyện cho HS biết nhìn tình đặt nhiều góc độ khác nhau, nhìn tốn nhiều hình thức khác nhau; biết giải vấn đề nhiều phương pháp khác lựa chọn cách giải tối ưu Một biểu tính mềm dẻo tư khả nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác Do vậy, trình dạy học toán, việc GV giúp HS nhận thức nội dung diễn đạt nhiều hình thức khác tập luyện cho họ cách nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác giúp cho người học có tính mềm dẻo tư q trình người học có thê tìm độc đáo việc giải tốn Điều khơng chì giúp HS tìm lời giải, kết q tốn mà làm cho HS có khà tiếp nhận nhiều thứ, thứ phạm vi tình cùa tốn với kiến thức, kỹ ngồi phạm vi tốn có liên quan đến tình toán, kiện phục vụ cho toán kiến thức, kỹ áp dụng tương lai, toán khác Trong q trình dạy học, tơi thường đưa vào loại tốn có nhiều cách giải, tốn biện luận Thí dụ (Bài 53 a) trang 24 SGK) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 3x + GV giúp HS nhận thấy đa thức x – 3x + khơng có nhân tử chung, khơng có dạng đẳng thức đa thức lại có ba hạng tử nên khơng thể dùng phương pháp nhóm hạng tử Như ta áp dụng phương pháp học để phân tích đa thức thành nhân tử Ta tìm cách tách hạng tử thành hai hạng tử để xuất nhóm hạng tử cho: 10 - Hoặc dùng đẳng thức để phân tích tiếp; - Hoặc nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung Cách 1: Tách hạng tử –3x = – x – 2x x2 – 3x + = x2 –x – 2x + = (x2 – x) – (2x – 2) = (x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2) Cách 2: Tách hạng tử –3x = – x – 2x: x2 – 3x + = x2 – x – 2x + = x(x – 2) – (x – 2) = (x – 1)(x – 2) Cách 3: Tách = – + 6: x2 – 3x + = x2 – 3x – + = (x2 – 4) – (3x – 6) = (x – 2)(x + 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x + – 3) = (x – 2)(x – 1)  Đến đây, câu hỏi đặt là: Còn cách tách khơng? Và ta có cách nữa? GV hướng dẫn: Biết đa thức chứa nhân tử x – 1, viết x ta cộng (trừ) với (đi) để đặt nhân tử chung dùng đẳng thức chúng xuất thừa số x – 1? Ta có nhiều cách biến đổi, chẳng hạn: Cách 4: x2 – 3x + = x2 – 2x + – x + = (x2 – 2x + 1) – (x – 1) = (x – 1)2 – (x – 1) = (x – 1)(x – – 1) = (x – 1)(x – 2) Cách 5: x2 – 3x + = x2 – –3x + = (x2 – 1) – (3x – 3) = (x – 1)(x + 1) – 3(x – 1) = (x – 1)(x + – 3) = (x – 1)(x – 2) GV giúp HS nhận thấy tổng hệ số đa thức x – 3x + nên đa thức có nghiệm x = 1, đa thức phân tích thành nhân tử chứa nhân tử x – Ta có vơ số cách biến đổi để làm xuất x – nên có vơ số cách phân tích đa thức thành nhân tử Tương tự vậy, ta có nhiều cách biến đổi với mục đích làm xuất thừa số x – 2, chẳng hạn: Cách 6: x2 – 3x + = x2 – 3x – x + + x – = x(x – 3) – (x – 3) + (x – 1) = (x – 3)(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(x – + 1) = (x – 1)(x – 2) Cách 7: x2 – 3x + = x2 – 4x – x + + 2x – = x(x – 4) – (x – 4) + 2(x – 1) = (x – 4)(x – 1) + 2(x – 1) = (x – 1)(x – + 2) = (x – 1)(x – 2) Nhận xét Ta thấy, tách hạng tử thứ đa thức x2 – 3x + ta lời giải theo cách cách 2, tách hạng tử thứ đa thức x2 – 3x + ta lời giải theo cách 3, tách hai hạng từ thứ 2, thứ đa thức x2 – 3x + ta lời giải theo cách 4, 5, 6, Như việc tìm lời giải toán theo nhiều hướng khác cho ta nhiều lời giải khác với kết mong muốn cho tốn Thí dụ Tính giá trị biểu thức: A = x4 – 8x3 + 8x2 – 8x + 20 x = Hướng dẫn Cách Thay x = vào biểu thức thực phép tính, ta kết là: 13 Cách Vì x = � x – = nên ta tìm cách biến đổi A, cách thêm bớt nhằm liên tục làm xuất x – sau: A = x4 - 8x3 + 8x2 – 8x + 20 = (x4 - 7x3) - (x3 - 7x2) + (x2 -7x) - (x - 7) + 13 = x3(x – 7) – x2 (x – 7) + x(x – 7) – (x – 7) + 13 = x3.0 – x2.0 + x.0 – + 13 = 13 Cách 3: Vì x = nên = x + ta có: A = x4 – 8x3 + 8x2 – 8x + 20 = x4 – (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 20 11 = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 20 = 20 – x = 20 – = 13 Nhận xét Khi tính giá trị đa thức biến có bậc lớn mà giá trị biến biểu thức phức tạp thỏa mãn điều kiện HS khơng nên nghĩ đến việc thay trực tiếp giá trị biến vào đa thức mà cần vận dụng linh hoạt biến đổi để đưa đa thức điều kiện cho thành biểu thức hay điều kiện đơn giản hơn, thuận tiện cho việc tính tốn Thí dụ Biết x4 – 2x2 – = 0, tính giá trị biểu thức: A = 3x8 – 4x6 – 5x4 – 6x2 + Hướng dẫn Cách Ta có x4 – 2x2 – = � x = 2x + Suy ra: x6 = x2(2x2 + 1) = 2x4 + x2 = 2(2x2 + 1) + x2 = 5x2 + x8 = x2(5x2 + 2) = 5x4 + 2x2 = 5(2x2 + 1) + 2x2 = 12x2 + Do đó: A = 3x8 – 4x6 – 5x4 – 6x2 + = 3(12x2 + 5) – 4(5x2 + 2) – 5(2x2 + 1) – 6x2 + = 36x2 + 15 – 20x2 – – 10x2 – – 6x2 + = Cách Thực phép chia đa thức 3x – 4x6 – 5x4 – 6x2 + cho đa thức x4 – 2x2 – 1, ta thương 3x4 + 2x2 + dư Do A = (x4 – 2x2 – 1)(3x4 + 2x2 + 2) + = 0.(3x4 + 2x2 + 2) + = Cách x4 – 2x2 – = � x4 – 2x2 = Do đó: A = 3x4 – 6x6 + 2x6 – 4x4 – x4 + 2x2 – 8x2 + = 3x4(x4 – 2x2) + 2x2(x4 – 2x2) – (x4 – 2x2) – 8x2 + = 3x4 + 2x2 – – 8x2 + = 3x4 – 6x2 + = 3(x4 – 2x2) + = + = Biện pháp Giúp HS sáng tạo toán dựa toán biết phát ứng dụng kết toán Một biểu đỉnh cao tư sáng tạo sáng tạo mới, tập luyện cho HS thói quen dự đoán yêu câu cao q trình tư Để giúp HS có tư sáng tạo, GV tạo cho HS thói quen tạo toán dựa toán biết cách thay đổi yếu tố khai thác ứng dụng cùa toán biết để giải toán quen thuộc cách hiệu Thí dụ (Bài 11 trang SGK) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x : (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + Lời giải (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + = x.2x + x.3 + (-5).2x + (-5).3 + (-2x).x + (-2x).(-3) + x + = 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x + 6x + x + = -10 Từ kết trên, giúp ta đề xuất tốn sau : Tìm x, biết : a) (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + = 3x - b) 3x  + 10 = (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + Tìm x y biết: (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + = 4y + Tính giá trị biểu thức sau x = 2018 : 2019 (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + Ở tốn 3, giúp ta có : 2018 � 2018 �� 2018 � – �� 2.5  �– � 5 2019 � � 2019 �� 2019 2018 � 2018 � + = -10  �+ � 2019 � 2019 � 12 Vậy 2018 � 2018 2018 2018 2018 �  �– + 12 = -10 �2. 5 2019 � 2019 2019 2019 2019 � Chúng ta có tốn sau : Tính giá trị biểu thức 2018 2019 2018 2018 2018 � 2018 �  �– + 12 �2. 5 2019 2019 2019 � 2019 � Thí dụ (?1 trang 18 SGK) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – x Bài tốn khơng khó khăn đại đa số học sinh, em dễ dàng giải toán: x2 – x = x.x – x.1 = x(x – 1) x0 � x0 � �� Chúng ta có x(x – 1) = � � Giúp ta có tốn x 1  x 1 � � Tìm x, biết: x2 – x = �x  �x  � �x   �x   Hơn x(x – 1) > � x x – dấu � � �x  �x  �� � x  x < � �x  �x  Ta có x(x – 1) < � < x < Do có 2: Tìm x, biết: a) x2 – x > 0; b) x2 – x < Với x �Z x – x hai số nguyên liến tiếp Trong hai số ngun liên tiếp ln có số chia hết cho Ta có tốn sau: Chứng minh x2 – x chia hết cho với số nguyên x Thí dụ (Bài 30b trang 16 SGK) Rút gọn biểu thức : (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) - (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) Lời giải (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) - (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] - (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2] = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3 Từ kết trên, giúp ta có tốn sau : Tìm y, biết (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) - (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = 54 Chứng tỏ (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) - (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) chia hết cho với x, y �Z Tính giá trị biểu thức sau x = - 123456789 ; y = -3 : (2x + y)(4x2 - 2xy + y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) Thí dụ 10 (Bài 39 e) trang 19 SGK) Phân tích đa thức thành nhân tử: 10x(x – y) – 8y(y – x) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 2) Ta có: 10x(x – y) = 10x2 – 10xy, cho ta tốn : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 10x2 – 10xy – 8y(y – x) Ta nhận thấy x =  2(x – y)(5x + 2) = với y Ta có tốn sau : Tính giá trị biểu thức: 10x(x – y) – 8y(y – x) với x =  ; y = 2012 20132 13 Mà = 1.5 = –1.(–5) Giúp ta nghĩ đến tốn hay khó : Tìm số nguyên x, y, biết: 10x(x – y) – 8y(y – x) = Thí dụ 11 (Bài 42 trang 19 SGK) Chứng minh 55n + – 55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) Giải: 55n + – 55n = 55n.55 – 55n.1 = 55n(551 – 1) = 55n.54 chia hết cho 54 Từ đẳng thức 55n + – 55n = 55n(551 – 1) thay 55 số tự nhiên a, ta có: an+1 – an = an(a – 1) Thay a số tự nhiên lớn ta toán loại Chẳng hạn: Chứng minh rằng: a) 987n + – 987n chia hết cho 986 b) 2019n + – 2019n chia hết cho 2018 (với n � N) Từ đẳng thức 55n + – 55n = 55n.54, với n = 2, ta có vế trái bằng: 552.54 = 163350, giúp đề xuất toán 2 Tìm n � N để 55n + – 55n = 163350 Dễ thấy 20182019 không chia hết cho 54, ta có tốn sau: Có tìm số tự nhiên n cho 55n + – 55n = 20182019 khơng? Thí dụ 12 (Bài 43a) tr.20 SGK) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + 6x + Giải: x2 + 6x + = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2 Từ kết giúp ta “chế tạo” tốn tính nhẩm Chẳng hạn: Tính nhẩm: a) 99972 + 6.9997 + 9; b) 2999972 + 6.299997 + Tất nhiên có tốn sau: Chứng tỏ rằng: x2 + 6x + �0 Và x2 + 6x + = � (x + 3)2 = � x + = � x = – Cho ta tốn: Tìm nghiệm đa thức: x2 + 6x + Thí dụ 13 (Bài 44 d) e) trang 20) Phân tích đa thức thành nhân tử: d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3; e) –x3 + 9x2 – 27x + 27 Giải: a) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3= (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.(2x).y2 + y3 = (2x + y)3 b) -x3 + 9x2 - 27x + 27 = (-x)3 + 3.(-x)2.3 + 3.(-x).33 + 33 = (-x + 3)3 = (3 - x)3 Cách khác: –x3 + 9x2 – 27x + 27 = 27 – 27x + 9x2 – x3 = 33 – 3.32.x + 3.3.x2 + x3 = (3 – x)3 Như vậy, có: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 = (2x – y)3 ; x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 Cho ta toán : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3; b) x3 + 9x2 + 27x + 27 Và ta có tốn 2, Tính nhẩm: a) 8.373 + 12.372.26 + 6.37.262 + 263; b) 8.543 – 12.542.8 + 6.54.82 – 83; c) – 20033 + 9.20032 – 27.2003 + 27; d) 29973 + 9.39972 – 27.3997 + 27 Tìm x, biết: a) x3 + 9x2 + 27x + 27 = 0; b) – x3 + 9x2 – 27x + 27 = Hơn nữa, làm khó có (x + 3)3 = 64 � x + = � x = Nên có: x3 + 9x2 + 27x – 37 = � x = Cho ta toán hay khó: Tìm x, biết: x3 + 9x2 + 27x – 37 = 14 Thí dụ 14 (Bài 47a) c) trang 22 SGK) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – xy + x – y; b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y Giải: a) x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1) b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5) Từ kết trên, ta nghĩ đến toán 1 Tính giá trị biểu thức: a) A = x2 – xy + x – y với x = 2999; y = 999 ; y = 123456 x y 0 x y � � �� Và (x – y)(x + 1) = � � x 1  x  1 � � b) B = 3x2 – 3xy – 5x + 5y với x = x y � x y 0 � � � (x – y)(3x – 5) = � � � 3x   x � � Giúp ta có : Tìm x, y biết: a) x2 – xy + x – y = 0; b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = Nếu “gia cơng” thêm, ta có: = 1.7 = (–1).(–7); 11 = 1.11 = (–1).(–11) cho ta : Tìm số nguyên x, y biết rằng: a) x2 – xy + x – y = 7; b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = 11 Thí dụ 15 (Bài tương tự 67a, trang 31 SGK) Làm tính chia: (x3 – x2 – 7x – 2) : (x – 3) Lời giải Cách x3 – x2 – 7x – x – x3 – 3x2 x2 + 2x – 2x2 – 7x – 2x2 – 6x –x–2 –x+3 –5 Vậy đa thức x - x - 7x - chia cho đa thức x -3 thương x + 2x - đa thức dư -5 Cách x3 – x2 – 7x – = x3 – 3x2 + 2x2 – 6x – x + – = x2(x – 3) + 2x(x – 3) – (x – 3) – = (x – 3)(x2 + 2x – 1) – Vậy đa thức x3 - x2 - 7x - chia cho đa thức x - thương x + 2x -1 đa thức dư -5 Cách Đa thức bị chia có bậc x có hệ số cao 1, đa thức chia có bậc x có hệ số cao Do vậy, đa thức thương đa thức dư có dạng x2 + ax + b c x3 – x2 – 7x – = (x – 3)(x2 + ax + b) + c 15 x3 – x2 – 7x – = x3 + (a – 3)x2 + (-3a + b)x – 3b + c a   1 a2 � � � � 3a  b  7 � � b  1 � Do đó: �3b  c  2 �c  5 Vậy đa thức dư -5 � � Nhận xét A = x3 – x2 – 7x – 2, B = x – viết A dạng A = B.Q + R, Ta có: x3 – x2 – 7x – = (x – 3)(x2 + 2x – 1) + (-5) Từ điều có tốn sau : Sắp xếp đa thức thực phép chia : (-7x + x3 – x2 – 2) : (x – 3) Cho A B hai đa thức A = x3 – x2 – 7x – 2, B = x – Hãy chia A cho B viết A dạng A = B.Q + R (Bài tương tự 69, trang 31 SGK) Và nhận xét x – đa thức bậc 1, R số Ta có : x3 – x2 – 7x – = (x – 3).Q + R � R  5 Giúp ta có tốn: Khơng làm phép chia, tìm đa thức dư phép chia đa thức x – x2 – 7x – cho x – Thử tìm x � Z – M(x – 3) Ta có x – 3�{-1 ; ; -5 ; 5} � x�{2 ; ; -2 ; 8} Chúng ta có tốn sau: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức x – x2 – 7x – chia hết cho giá trị biểu thức x – (Bài tương tự 83, trang 83 SGK ) Thí dụ 16 (Bài 74 SGK trang 32) Tìm số nguyên a để đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho đa thức x + Lời giải 2x3 – 3x2 + x + a x +2 2x3 + 4x2 2x2 – 7x + 15 – 7x2 + x + a – 7x2 – 14x 15x + a 15x + 30 a – 30 Chia đa thức 2x – 3x + x + a cho đa thức x + đa thức thương 2x – 7x + 15, đa thức dư a – 30 Để có phép chia hết, ta có a – 30 = � a = 30 Giá trị a cần tìm a = 30 Nhận xét Nếu gọi đa thức thương Q Vì phép chia hết nên đa thức dư Ta có: 2x3 – 3x2 + x + a = (x + 2)Q Cho x = -2, ta có 2.(-2)3 – 3.(-2)2 + (-2) + a = (-2 + 2).Q � x = 30 Ta có lời giải khác tốn Ta nghĩ đến, phải (2x3 – 3x2 + x + a) M(2x2 – 7x + 15) � a = 30 ; b = Chúng ta thử suy nghĩ : 2x3 – 3x2 + x +a 2x2 – 7x + 15 2x3 – 7x2 + 15x x+2 4x + (b – 15)x + a 4x2 – 14x + 30 (b – 1)x + a - 30 Vì có phép chia hết nên đa thức (b – 1)x + a – 30 đồng với đa thức 0x + 0, b – 1= 0; a – 30 = � b = 1; a = 30 Giúp ta đến với tốn sau: 16 Tìm số a, b để đa thức 2x3 - 3x2 + x + a chia hết cho 2x2 - 7x + 15 Các ví dụ cho thấy, việc khai thác tốn đòi hỏi HS phải có nhanh nhạy, linh hoạt có liên tưởng đến kiến thức học Khi xét toán nhiều góc độ khác nhau, HS có nhìn tổng qt tốn Biện pháp Rèn luyện cho HS biết hệ thống hóa kiến thức phương pháp giải tốn 5.1 Hệ thống hóa kiến thức chương I 5.1.1 Hệ thống hóa khái niệm, định nghĩa Trong tiết ơn tập chương, GV đưa câu hỏi: “Trong chương I có khái niệm nào? Chúng xếp theo hệ thống với khái niệm tích hai đơn thức học lớp 7?” GV giúp học sinh nắm được: Trong chương có khái niệm sau: tích đơn thức đa thức, tích hai đa thức, đẳng thức, bình phương tổng, tổng hai bình phương, bình phương hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương tổng, tổng hai lập phương, lập phương hiệu, hiệu hai lập phương, phân tích đa thức thành nhân tử, phép chia hết - thương, phép chia có dư Các khái niệm với khái niệm tích hai đơn thức, học lớp 7, xếp theo hệ thống sau: Tích hai đơn thức Tích đơn thức với đa thức Tích hai đa thức Phân tích đa thức Phép chia hết Phép chia có dư - Dư thành nhân tử Thương 5.1.2 Hệ thống hóa định lí, tính chất Trong tiết ơn tập chương, GV đưa câu hỏi: “Trong chương I, ta học định lý nào?” Sau học sinh suy nghĩ trả lời, GV chốt lại: Trong chương khơng có mệnh đề ghi định lý hay tính chất Tuy nhiên, mệnh đề sau coi định lí Đó là: - Những đẳng thức đáng nhớ - Chú ý trang 31 SGK (Toán 8, tập một), tồn cặp đa thức Q R cho: A = B.Q + R, A B hai đa thức cho trước, bậc R nhỏ bậc B 5.1.3 Hệ thống hóa quy tắc GV đưa câu hỏi: “Trong chương I, ta có quy tắc nào?” Sau học sinh suy nghĩ trả lời, GV chốt lại: Trong chương I, có quy tắc sau: Nhân đơn thức với đa thức; nhân đa thức với đa thức; chia đơn thức cho đơn thức; chia đa thức cho đơn thức; chia đa thức biến xếp 5.2 Giúp học sinh hình thành phương pháp chung để giải toán Để giúp HS hình thành phương pháp chung để giải tốn, GV hướng dẫn HS làm theo bốn bước sau: 17 Bước Tìm hiểu nội dung đề bài; Bước Tìm cách giải thiết lập chương trình giải; Bước Trình bày lời giải; Bước Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm tốn cách giải Thí dụ 17 (Giải tập số 58 trang 25, SGK) Chứng minh n3 – n chia hết cho 6, với số nguyên n Bước Tìm hiểu nội dung đề Khi tìm hiểu nội dung đề bài, HS phải trả lời câu hỏi: “Số n – n chia hết cho 6, nghĩa gì?” Học sinh cần liên tưởng đến kiến thức học lớp để biết muốn cho số nguyên chia hết cho cần chia hết cho số đơn giản Cuối HS cần nhớ n số Bước Tìm cách giải thiết lập chương trình giải Qua việc tìm hiểu đề bài, HS thấy để giải toán ta cần làm việc sau: - Cần chứng minh n3 – n = 6q, với q số nguyên đó, nghĩa n – n phải tích có chứa thừa số (hướng khó thực hiện) - Vì số chia hết cho chia hết cho nên cần chứng minh n3 – n chia hết cho cho Ta cố gắng phân tích n – n thành nhân tử có chứa thừa số chia hết cho 2, có thừa số chia hết cho Từ thiết lập chương trình giải sau: - Phân tích n3 – n thành nhân tử ((n – 1)(n(n + 1)); - Chứng minh tích vừa tìm chia hết cho cho Bước Trình bày lời giải Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(n + 1) Đây tích ba số nguyên liên tiếp nên ba thừa số có thừa số chia hết cho Do tích chia hết cho Mặt khác, hai số ngun liên tiếp có số chẵn Do tích lại chia hết cho Vậy tích chia hết cho hay n – n chia hết cho Bước Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm toán cách giải Kiểm tra lời giải Mọi lập luận lời giải đắn giải gọn gàng Tuy nhiên có học sinh nhớ đầy đủ điều lấy làm cho lập luận Vì học sinh trung bình ta cần chứng minh thêm tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Muốn chứng minh điều ta cần biết số nguyên n có dạng: n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2, k �Z Nghiên cứu thêm toán cách giải Bằng cách tương tự sáng tạo tốn có dạng sau:  Chứng minh với số nguyên n ta có (n3 – n)(n2 – 4) chia hết cho 60  Chứng minh với số nguyên n ta có n4 – n2 chia hết cho 12 Biện pháp Quan tâm đến sai lầm HS, tìm nguyên nhân cách khắc phục Trong q trình dạy học Tốn, tơi ln quan tâm đến sai lầm HS, suy nghĩ tạo “bẫy” cần thiết để HS bộc lộ sai lầm GV không bắt HS phải suy nghĩ GV gợi ý HS để em tự phê phán tự tìm chỗ làm 18 sai, nguyên nhân dẫn đến sai lầm Qua HS học kinh nghiệm qua thất bại, dần có thói quen tiến hành đầy đủ bước cần thiết giải tốn, giúp HS rèn luyện đức tính cẩn thận, chịu khó Khi giảng dạy, tơi ln nghĩ đến việc đưa cách khác nhau, tạo “cơ hội” để HS lộ sai lầm: - Tìm, đưa toán ngụy biện - Đưa phản ví dụ Kín đáo đưa cho HS “lời giải” sai, nhiều kiểu sai lầm: phép biến đổi không tương đương, lời giải không trọn vẹn, sai lầm hình thức, khái niệm, tính tốn,… - Ưu tiên cho HS thiếu cẩn thận làm lên bảng Những HS thường mắc sai lầm hình thức, tính toán Khi HS bộc lộ sai lầm, GV yêu cầu HS kiểm tra lại lời giải xem vừa ý chưa, sai sót chỗ sửa chữa, bổ sung Sau cho HS nhận xét, tìm chỗ sai bạn GV phân tích thêm u cầu HS tự sửa lại, giải thích rõ ràng - Kể lời giải HS, có lúc cần thiết, GV “đóng kịch sửa sai” cho HS Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu; Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu Thí dụ 18 (Bài 28a trang 6, SBT) Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) = 0.(2x) = Sai lầm: Bỏ dấu ngoặc đằng trước có dấu “ –“ mà không đổi dấu số hạng ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Thí dụ 19 (Bài 48c trang 22 SGK) Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 thành nhân tử Lời giải sai: x2 - 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 - 2zt +t 2) = ( x - y)2 – ( z - t )2 = ( x –y –z - t ) ( x - y + z - t) Sai lầm: Đặt dấu sai nhóm hạng tử (khi đặt dấu trừ dấu ngoặc) Lời giải đúng: x2 - 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 + 2zt + t2) = (x - y)2 – (z + t )2 = (x – y – z - t) (x - y + z + t) Thí dụ 20 Tìm chỗ sai chứng minh sau: Ta có a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ba + a2 � (a – b)2 = (b – a)2 � a – b = b – a � a + a = b + b � 2a = 2b � a = b Vậy hai số (!) Chỗ sai: (a – b)2 = (b – a)2 � a – b = b – a Sửa cho là: (a – b)2 = (b – a)2 � a – b = b – a a – b = b – a 19 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Trong khuôn khổ đề tài “Một số biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp THCS qua dạy học Chương I – Phép nhân phép chia đa thức”, nêu lên việc làm nhằm nâng cao hiệu dạy học Toán Sau áp dụng biện pháp tiết dạy học, thấy đạt kết khả quan: - Việc rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh GV quan tâm mức, tốn có khả sáng tạo phù hợp với đối tượng học sinh nên kích thích học sinh ngày có ham mê học tập Các em chủ động, tích cực tiếp nhận vận dụng tri thức học thực tế học tập Các em rèn luyện lực tư duy, phát huy tính tích cực, trí thơng minh, động, sáng tạo giải toán Việc thực hành làm tập lớp học sinh không mang tính hình thức, đối phó; em dần có kĩ quan sát, xem xét tốn nhiều góc độ khác - Năng lực giải toán em học sinh ngày phát triển tốt Các em biết ý đọc kĩ câu hỏi, đề trước trả lời câu hỏi hay giải toán Các sai lầm học sinh giải toán (sai lầm chiến lược, sai lầm hình thức; sai lầm công thức, sai lầm khái niệm; sai lầm tính tốn…) em khắc phục Khi giải xong tốn em có ý thức kiểm tra lại lời giải tìm được, đào sâu suy nghĩ, tìm cách giải khác cho tốn, phát tính chất toán, biết diễn đạt toán hình thức khác, sâu khai thác khía cạnh, thay đổi giả thiết, lật ngược vấn đề, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự…; khai thác tốn để đề xuất nhiều tốn Suy luận tốn HS có hệ thống, logic chặt chẽ Khả chủ động tìm kiếm kiến thức HS phát huy; giúp em thêm tự tin, dành kết cao trình học tập kỳ thi học sinh giỏi cấp Các em đóng góp thành tích xuất sắc cho nhà trường chất lượng mũi nhọn môn Toán cấp huyện, cấp tỉnh năm học vừa qua Kết chất lượng học sinh lớp Số giải Chất lượng đại trà HSG Giỏi Khá TB Yếu, Kém Năm học cấp huyện SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ % 2013-2014 43 15 23 53,5 16 37,2 9,3 0 2016-2017 42 11 21 50,0 14 33,3 16,7 0 Rèn luyện tư sáng tạo, góp phần tạo hứng thú say mê toán học cho HS HS rèn luyện từ dễ đến khó, từ biết đến hiểu, vận dụng, đến tư sáng tạo góp phần giảm tỉ lệ học sinh yếu kém, giúp GV thực tốt nhiệm vụ đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh Tổng số HS 20 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Việc rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh dạy học tốn nói chung dạy học “Chương I – Phép nhân phép chia đa thức” (Đại số 8) nói riêng nhiệm vụ quan trọng q trình dạy học Tốn trường THCS Trong phạm vi viết, tơi trình bày số biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp THCS qua dạy học Chương I – Phép nhân phép chia đa thức Trong số biện pháp đó, tác giả trọng đưa tập cụ thể, rõ ràng Để đạt hiệu cao đòi hỏi người giáo viên phải biết phối kết hợp đồng bộ, nhuần nhuyễn biện pháp Muốn học sinh phát huy lực, có thói quen ý thức tìm tòi sáng tạo, giáo viên cần cho học sinh tập dượt làm quen với tập có điều kiện, khả sáng tạo cách thường xuyên, dần dần, từ dễ tới khó Những tập lúc đầu giải vấn đề nhỏ, sau nâng dần lên giải vấn đề có tính tổng hợp Q trình tiếp tục kéo dài giúp cho học sinh tạo cho vốn kiến thức, kinh nghiệm định giúp học sinh linh hoạt tư đứng trước toán Người giáo viên phải sử dụng phương pháp giải vấn đề đặt học sinh trước tình cần giải Giáo viên người tổ chức cho HS làm việc, tìm tòi phát chân lí khoa học Kết hợp với phương pháp đàm thoại gợi mở, giáo viên tổ chức cho HS tranh luận, tìm tòi, khám phá, phát điểm đặc trưng, điểm độc đáo toán HS thực có hứng thú, hiểu kĩ, nhớ lâu em đưa lời giải hay, độc đáo khơng khí học tập cởi mở tự do, người bộc lộ tối đa lực tư sáng tạo Việc biết kết hợp toán với phương pháp dạy học phù hợp giúp cho HS có khả rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo Để rèn luyện lực tư sáng tạo cho học sinh lên lớp, đòi hỏi giáo viên phải có chuẩn bị chu đáo kỹ Trên sở tốn bản, có chọn lọc, giáo viên hướng dẫn học sinh phát tính chất tốn, diễn đạt tốn hình thức khác, sâu khai thác khía cạnh, thay đổi giả thiết, lật ngược vấn đề, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự…, để đề xuất nhiều toán Kiến thức toán rộng, hệ thống tập nhiều, khơng phải kiến thức tập giáo viên khai thác mở rộng Giáo viên mở rộng cho kiến thức chính, dạng tập quan trọng, cách mở rộng có nhiều hướng khác Khái quát hoá để mở rộng thành tốn tổng qt khó Tương tự hố để giới thiệu thêm tốn có phương pháp giải Đặc biệt hoá để đưa toán dạng đặc biệt hơn, dễ nhớ hơn, có đơn giản phân tích thêm kiến thức có liên quan để hướng dẫn học sinh giải theo nhiều cách khác đặt thêm yêu cầu cho toán 3.2 KIẾN NGHỊ Với việc làm từ thực tế cơng tác giảng dạy Tốn, thơng qua đề tài này, tơi mong góp phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học Toán trường THCS Do hạn chế mặt kinh nghiệm, lực, thời gian tài liệu nên 21 trình khai thác triển khai đề tài hẳn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn để đề tài hoàn thiện có tác dụng Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuân, ngày 20 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác TÁC GIẢ 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán 8, tập Sách tập tốn 8, tập Tơn Thân (Chủ biên) - Bùi Văn Tuyên - Nguyễn Đức Trường Các chuyên đề chọn lọc Toán 8, tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 Tôn Thân (Chủ biên) - Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh -Bùi Văn Tuyên Các dạng toán phương pháp giải Toán 8, tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 Vũ Hữu Bình (Chủ biên) - Trần Hữu Nam - Phạm Thị Bạch Ngọc - Nguyễn Tam Sơn Tài liệu chuyên Toán Trung học sở, tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 Tạp chí Tốn Tuổi thơ (Số 171) Tạp chí Tốn học tuổi trẻ (Số 480) Nguyễn Đức Tấn Toán phát triển 8, tập 1, NXB Đại học Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2005 Tôn Thân (Chủ biên) - Vũ Hữu Bình- Nguyễn Duy Thuận Dạy - học Tốn THCS theo hướng đổi mới, Lớp 8, tập 1, NXB Giáo dục, 2008 10 Phạm Đức Tài (Chủ biên) – Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Nguyễn Hải Châu – Vũ Anh Cường – Trần Phương Dung – Trương Công Thành – Tôn Thân – Nguyễn Duy Thuận – Bùi Văn Tuyên Hướng dẫn thực Chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn Trung học sở, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009 23 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Trí Khởi Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Lam Sơn, huyện Thọ Xuân, tỉnh Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Những sai lầm thường mắc học Ngành GD cấp huyện; sinh THCS giải phương trình tỉnh Thanh Hóa vài biện pháp sửa chữa Dạy học khái niệm hàm số tiết 50, 51 Ngành GD cấp huyện; - Đại số tỉnh Thanh Hóa Bồi dưỡng lực tư cho học Ngành GD cấp huyện; sinh lớp 8, qua việc phân tích đa tỉnh Thanh Hóa thức thành nhân tử Hướng dẫn học sinh lớp giải Ngành GD cấp tỉnh; tốn cách lập phương trình tỉnh Thanh Hóa Hình thành kỹ giải phương trình Ngành GD cấp huyện; cho học sinh lớp tỉnh Thanh Hóa Xây dựng tình có vấn đề Ngành GD cấp huyện; dạy học Toán tỉnh Thanh Hóa Một số phương pháp kinh nghiệm dạy học giải tốn tìm GTLN, Ngành GD cấp huyện; GTNN biểu thức chứa dấu giá tỉnh Thanh Hóa trị tuyệt đối trường THCS Dạy học chứng minh bất đẳng thức Ngành GD cấp tỉnh; nhằm nâng cao chất lượng học tập tỉnh Thanh Hóa mơn tốn cho học sinh lớp THCS Dạy học chứng minh bất đẳng thức Ngành GD cấp huyện; nhằm nâng cao chất lượng học tập tỉnh Thanh Hóa mơn tốn cho học sinh lớp THCS Dạy học hệ thống phương pháp Ngành GD cấp tỉnh; 10 giải phương trình vơ tỉ cho học sinh tỉnh Thanh Hóa lớp Kinh nghiệm dạy học giải tốn Ngành GD cấp huyện; 11 máy tính casio fx-500MS, tỉnh Thanh Hóa 570MS Kết Năm học đánh đánh giá giá xếp xếp loại loại C 1997-1998 B 1998-1999 A 1999-2000 C 2000-2001 B 2001-2002 C 2002-2003 C 2003-2004 B 2004-2005 B 2005-2006 C 2006-2007 C 2007-2008 24 12 Xử lý tượng tràn hình Ngành GD cấp huyện; giải tốn máy tính casio tỉnh Thanh Hóa fx-570MS Kinh nghiệm dạy học dạng toán Ngành GD cấp tỉnh; áp dụng tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉnh Thanh Hóa tỉ số Khai thác ứng dụng Ngành GD cấp tỉnh; đẳng thức tổng ba lập phương tỉnh Thanh Hóa Bồi dưỡng học sinh lớp dạng Ngành GD cấp tỉnh; tốn tìm ước chung lớn nhất, bội tỉnh Thanh Hóa chung nhỏ B 2008-2009 C 2009-2010 B 2010-2011 B 2011-2012 B 2012-2013 B 2013-2014 C 2014-2015 Giúp học sinh lớp rèn luyện kĩ Ngành GD cấp huyện; giải tốn tính số đo góc tỉnh Thanh Hóa B 2015-2016 Giúp học sinh lớp rèn luyện kĩ Ngành GD cấp huyện; 20 giải tốn tính giá trị biểu tỉnh Thanh Hóa thức C 2017-2018 13 14 15 Phát triển hệ thống phương pháp Ngành GD cấp huyện; 16 phân tích đa thức thành nhân tử nhằm tỉnh Thanh Hóa nâng cao hiệu dạy học Tốn Giúp học sinh giỏi Toán lớp 8, phát Ngành GD cấp tỉnh; 17 triển hệ thống tốn tam tỉnh Thanh Hóa giác nhọn với ba đường cao Một số kinh nghiệm rèn luyện kĩ Ngành GD cấp tỉnh; 18 tính nhẩm, tính nhanh cho học sinh tỉnh Thanh Hóa lớp đạt hiệu cao 19 25 ... Một số biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp THCS qua dạy học Chương I – Phép nhân phép chia đa thức”, t i nêu lên việc làm nhằm nâng cao hiệu dạy học Toán Sau áp dụng biện pháp tiết... Phép nhân phép chia đa thức” (Đ i số 8) n i riêng nhiệm vụ quan trọng q trình dạy học Tốn trường THCS Trong phạm vi viết, trình bày số biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp THCS qua dạy. .. l i, GV chốt l i: Trong chương I, có quy tắc sau: Nhân đơn thức v i đa thức; nhân đa thức v i đa thức; chia đơn thức cho đơn thức; chia đa thức cho đơn thức; chia đa thức biến xếp 5.2 Giúp học