Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD VÀ ĐT THỌ XN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP Người thực hiện:Lê Thị Hân Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THCS Bắc Lương _ Thọ xn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn):Tốn học THANH HĨA NĂM 2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận .1 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các giải pháp thực hiện: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm .12 KẾT LUẬN .14 3.1 Kết luận 14 3.2 Kiến nghị 15 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic ,….vì chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS tích cực hóa hoạt động học tập, hoạt động tư sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng tốn phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu nhiều phân thức, giải phương trình tích, Qua thực tế giảng dạy, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo vào tốn cụ thể Nhằm đáp ứng u cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng mơn nên thân chọn đề tài:“Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh làm thành thạo tốn có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT tốn 8, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, cơng nghệ thơng tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thơng theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục tồn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thơng Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mà mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học SGK, khơng làm tập Thầy, Cơ mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn quan trọng mơn đại số đáp ứng u cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp nêu thêm hai phương pháp ngồi sách giáo khoa để giúp em làm phân tích đa thức thành nhân tử mà có tốn sách giáo khoa, sách tập đưa mà khơng thể áp dụng phương pháp để giải Q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua ví dụ cụ thể, việc phân tích khơng q phức tạp khơng q ba nhân tử Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá tốn, đặc biệt kĩ giải tốn, kĩ vận dụng tốn, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt mơn 2.2 Thực trạng vấn đề Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải tốn, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chây lười học tập, ỷ lại, nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học,chưa tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mơ hồ Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà Trong q trình giảng dạy học sinh lớp tơi nhận thấy lực học tập em hạn chế đặc biệt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử hạn chế Chính lẽ hàng năm thực tế cho thấy khả tiếp thu, lĩnh hội kiến thức mơn tốn học sinh vào vận dụng giải tốn chiếm tỉ lệ , giỏi chưa cao Với dạng tốn kết kiểm tra khả tiếp thu chưa vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn, thu kết sau: Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm Thời gian Đầu học kỳ I đến học kỳ I Chưa áp dụng giải pháp TS HS 27 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ(%) 11 40,74 * Nhận xét: Đa số học sinh chưa vận dụng tốt kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải lung tung Từ thực trạng trên, để giúp cho em đạt hiệu cao q trình tiếp nhận kiến thức tốn học tơi mạnh dạn cải tiến phương pháp, với mong muốn học sinh tiếp thu kiến thức cách có hiệu việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Để kiểm tra tính hiệu khoa học đề tài, tơi triển khai đề tài năm học 2015 - 2016 chương trình dạy học ghi nhận thu số kết định 2.3 Các giải pháp thực hiện: 2.3.1 Những giải pháp đề tài Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp tốn theo mức độ, dạng tốn - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử  Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải tốn - Củng cố phép biến đổi hồn thiện kĩ thực hành - Tìm tòi cách giải hay, khai thác tốn - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)  Đối với học sinh khá, giỏi: (giới thiệu thêm hai phương pháp) + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt hạng tử 2.3.2 Các phương pháp thường gặp Củng cố kiến thức Các phương pháp bản:  Phương pháp đặt nhân tử chung: Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)  Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT-39c-SGK-tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời xy ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT-39e -SGK-tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) ) - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Sai lầm đổi dấu ba nhân tử : –10 (y – x)2 tích –10(y – x)2 (vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó)  Phương pháp dùng đẳng thức: Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a-SBT-tr6) Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 ) Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu  Khai thác tốn: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b -SGK-tr20) * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c -SBT-tr6) 2 a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr6) 2 Giải: a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua tốn, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp  Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thơng thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực a) Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6:Phân tích đa thức x2 – xy+x – y thành nhân tử (Bài tập 47a-SGK-tr22) Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) (kết dấu sai bỏ sót số 1) Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) lại số 0) Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) b) Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) c) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử không thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại Vận dụng phát triển kỹ  Phối hợp phương pháp Phương pháp chung Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét tốn cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Ví dụ 9:Phân tích đa thức x – 9x + x – 9x thành nhân tử (BT- ?2 -SGK-tr22) Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Các sai lầm học sinh thường mắc phải Lời giải chưa hồn chỉnh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT-tr tốn tập 1) Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thác tốn: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z ngun 2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)  Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) x + y + z = ⇔ x + y = – z 3) Phân tích đa thức x3 +y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c-SBT-tr6)  Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp phương pháp Tuy nhiên phần tập lại có khơng thể áp dụng phương pháp để giải, (Chẳng hạn tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải tốn Giới thiệu hai phương pháp phân tích khác: (Nâng cao)  Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải: Cách (tách hạng tử : 3x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử : – 8x) 3x – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (cách 1) - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (cách 2) - Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (cách 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải tốn Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x (Cách 2) Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là: Cách (tách hạng tử : 4) 3, – 6, –2, tỷ lệ −6 = hay (– 6).( – 2)= 3.4 (– 6) + ( – 2)= – −2 Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + đặt a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Tổng qt: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số ngun cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – thành nhân tử (Bài tập 35c-SBT-tr7) Ta có: a = – ; b = ; c = – Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + Khi ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 – 7x + Giải: x3 – 7x + = x3 – x – 6x + = x(x2 – 1) – 6(x – 1) = x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)[x(x + 1) – 6] = (x – 1)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x2 – 2x + 3x – 6) = (x – 1)[x(x – 2) + 3(x – 2)] = (x – 1)(x – 2)(x + 3) Ví dụ 13: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử ( Dành riêng cho HS giỏi) Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)  Phương pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Giải : Cách :Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2+1)2- x2 = (x2+1- x)(x2 +1+x) = (x2 –x +1)(x2 + x +1) Cách :- Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Qua ví dụ ta nhận thấy phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thêm bớt hạng tử có hai dạng : Dạng 1:Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Dạng 2:Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức 10 a.Thêm bớt hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 15: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d -SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 2x2 bớt 2x2 : (làm xuất hiệu hai bình phương) Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) = (x2 -2x + 2)(x2 +2x + 2) Tổng qt:A2+B2 = A2+ 2AB + B2 – 2AB =m2 – n2  Khai thác tốn: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 + 64y4 Giải: x4 + 64y4 = (x4 + 2.x28.y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử : 4x4 + 81 Giải : 4x4 + 81=( 2x2)2 +92 =( 2x2)2 +2.2x2.9 +92 – 36x2 =(2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + -6x)( 2x2 + +6x) =(2x2 - 6x + 9)( 2x2 +6x + 9) b.Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 16: Phân tích đa thức x5 + x + thành nhân tử Giải : Cách : Thêm x4, x3, x2 bớt x4 ,x3, x2 ( nhóm làm xuất nhân tử chung) x5 + x + 1=x5+x4- x4 +x3 –x3 + x2 – x2+x +1 = ( x5+x4+x3 )-( x4 +x3 + x2 )+( x2+x +1) = x3( x2+x +1)- x2( x2+x +1)+ ( x2+x +1) = ( x2+x +1)(x3-x2+ 1) Cách 2:Thêm x2 bớt x2 Giải : x5 + x + 1= x5 +x2 – x2+ x +1 = (x5 – x2)+ (x2+ x +1) = x2(x3- 1)+ (x2+ x +1) = x2(x -1) (x2+ x +1)+ (x2+ x +1) = (x2+ x +1)[x2(x-1) +1] = (x2+ x +1)(x3-x2+ 1) Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5+ x4 +1 Cách 1: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x ( nhóm làm xuất nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) 11 Cách 2: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Chú ý:Qua thực tế làm cho thấy đa thức có dạng : x + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng qt đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 –1 có chứa nhân tử chung x2+x+ Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải vướng mắc q trình giải tốn phân tích ða thức thành nhân tử 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải tốn, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét:  Quan sát đặc điểm tốn: Nhận xét quan hệ hạng tử tốn (về hệ số, biến)  Nhận dạng tốn: Xét xem tốn cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp)  Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với tốn Lưu ý: Kinh nghiệm phân tích tốn thành nhân tử  Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước tốn thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng 12 đẳng thức Chý ý: Phương pháp đặt nhân tử chung khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền *Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng tốn, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào tốn, sử dụng thành thạo kỹ giải tốn thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập mơn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thơng kê qua giai đoạn lớp năm học 2015– 2016 sau: Lần 1: Kiểm tra tiết Thời gian Đầu học kỳ I đến học kỳ I Kết áp dụng giải pháp TS HS 27 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ(%) 17 62,96 * Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn, biết nhận xét đánh giá tốn trường hợp, trình bày hợp lý Lần 2: Kiểm tra học kì I Thời gian Đầu học kỳ I đến học kỳ I Kết áp dụng giải pháp TS HS 27 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ(%) 26 96,29 * Nhận xét: Học sinh biết vận dụng tốt thành thạo kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, số học sinh q yếu, chưa thực tốt 13 Học sinh tích cực tìm hiểu phương pháp giải, phân loại dạng tốn, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp tơi nhận thấy học sinh hiểu rõ kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải tốn dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu vận dụng tốt cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thơng qua chuỗi tập Bên cạnh giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng tốn khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học tốn KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Thơng qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tơi rút số kinh nghiệm sau:  Đối với học sinh yếu kém: Là q trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả hiểu phương pháp, vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, khơng nên dẫn em q xa nội dung SGK  Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh hiểu rõ phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức  Đối với học sinh giỏi: Ngồi việc hiểu rõ phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hố vấn đề, tương tự hố vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác tốn khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em  Đối với giáo viên: Giáo viên thường xun kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng tốn mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh hiểu rõ 14 dạng tốn rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải tốn Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách tồn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học tốn Nếu thực tốt phương pháp q trình giảng dạy học tập chất lượng học tập mơn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh, 3.2 Kiến nghị Chương trình SGK đổi mang lại chuyển biến mạnh mẽ q trình dạy học, người học đóng vai trò chủ thể nhận thức người dạy người tổ chức, hướng dẫn học sinh thực nhiệm vụ Nên tơi mạnh dạn đề xuất cần bổ sung tài liệu thiết thực có hiệu vào thư viện nhà trường giúp học sinh tự tìm tòi nghiên cứu q trình học tập Và cần có Hội đồng giáo viên thường xun trao đổi kinh nghiệm dạy học SKKN đạt giải cấp huyện hay cấp tỉnh để giáo viên trẻ chúng tơi học hỏi kinh nghiệm, nâng cao nghiệp vụ sư phạm Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 / 03/2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Hân Tài liệu tham khảo 15 Sách giáo khoa tốn 8tập Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên tốn tập1 Nhà xuất giáo dục Sách tập tốn tập Nhà xuất giáo dục Sách ơn tập tốn 8.Nhà xuất giáo dục Các dạng tốn phương pháp giải tốn Nâng cao phát triển tốn 8.Nhà xuất giáo dục Tốn nâng cao chun đề đại số 8.Nhà xuất giáo dục 16 ... Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 + 64y4 Giải: x4 + 64y4 = (x4 + 2.x 28. y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Bài : Phân tích đa thức thành nhân. .. tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh. .. giải Q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua ví dụ cụ thể, việc phân tích khơng q phức tạp khơng q ba nhân tử Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách