Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 8

Tuy nhiên, học sinh lớp 8 đã quen biết nhận định về so sánh số, dùng các dấu bất đẳng thứctrong lý thuyết và các bài tập khi học về tập hợp Q, học sinh đã ngầm sử dụng kiếnthức về bất đẳ

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi Toán ởcác lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Ở trường THCS, nội dung về bất đẳng thức được đưa vào lớp 8 trong “Chương

IV- Bất phương trình bậc nhất một ẩn” với số tiết không nhiều (3 tiết) Tuy nhiên,

học sinh lớp 8 đã quen biết nhận định về so sánh số, dùng các dấu bất đẳng thứctrong lý thuyết và các bài tập khi học về tập hợp Q, học sinh đã ngầm sử dụng kiếnthức về bất đẳng thức, kể cả kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức khi giải các bài tập ởHình học lớp 7 về so sánh cạnh và góc trong tam giác Do yêu cầu chương trình nênsách giáo khoa Đại số 8 không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳngthức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp

Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúngtúng, không biết xoay sở ra sao Một điều đáng tiếc cho nhiều học sinh lớp 8, 9 làcác em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức Nhiều emhọc sinh đã khổ tâm khi không làm được những bài toán ra trong lần kiểm tra hoặcthi học sinh giỏi các cấp, trong điều kiện thời gian hạn chế Tự kiểm điểm, các họcsinh ấy thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình nắm vững các kiếnthức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài học trong sách giáo khoa, đã xoay bàitoán đủ mọi cách nhưng cuối cùng vẫn bế tắc không tìm ra lời giải Về sau, xemlời giải những bài toán bế tắc ấy thì thấy rằng ở đây không có gì khó khăn lắm vềmặt nguyên tắc vì sử dụng toàn những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giảinhiều khi rất đơn giản nhưng chỉ do thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách giải ấy

Là giáo viên Toán, ai cũng thấy rằng: học sinh học thuộc bài, nắm được bàitrong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết

hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán và rèn luyện kỹ năng trong việc giảiToán Số các bài toán về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi dưỡng, sáchtham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, báo Toán tuổi thơ….nhiều không kể xiết, mỗibài mỗi vẻ, thời gian dạy, hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏigiáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương phápgiải toán chứng minh bất đẳng thức; từ đó biết hướng dẫn học sinh rèn luyệnphương pháp suy nghĩ đúng đắn và biết đúc rút kinh nghiệm

Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã tổng hợp các phương pháp giải vàphân loại các dạng toán thường gặp về bất đẳng thức Từ thực tế dạy học toán 8, 9

ở Trương THCS Quảng Thái, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệmtrong chuyên đề về bất đẳng thức Trong khuôn khổ đề tài này, xin đưa ra một vài

kinh nghiệm mà tôi đã tích luỹ về chủ đề : “ Dạy học chứng minh bất đẳng thức

nhằm nâng cao chất lượng học tập môn Toán cho học sinh lớp 8 ”

1.2.Mục đích nghiên cứu

a Đối với giáo viên:

Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b Đối với học sinh:

Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bấtđẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng caonăng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo vàlàm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúphọc sinh tự giải được một số bài tập

Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳngthức trong quá trình dạy học

Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vậndụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập

Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích củaviệc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức

 Chuẩn bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản về BĐT để học sinh có thềgiải được 1 số bài toán cơ bản

 Phát triển lòng say mê môn học, mở rộng vốn hiểu biết của học sinh về toánhọc

 Phát triển tư duy cho học sinh, nâng cao vốn kiến thức từ SGK

 Góp phần đào tạo học sinh có nguồn tri thức vững vàng

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 8 Trường THCS Quảng Thái, huyện Quảng Xương 1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phương pháp quan sát

Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động (nghiên cứu kết quả học tập học sinh )

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Phương pháp thống kê toán học

Phương pháp phân tích, tổng hợp

1.5 Những điểm mới của SKKN:

-Bổ sung thêm 3 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các

đề thi học sinh giỏi là: Phương pháp đổi biến, Phương pháp sắp thứ tự các biến,

Phương pháp quy nạp toán học, Phương pháp phân tích số hạng

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :

- Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thứccủa học sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi 8,9 và thi vào lớp 10 THPT Họcsinh vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, tiết kiệm đượcthời gian nâng cao năng lực tư duy trên cơ sở đó đề tài nêu và giải quyết một số vấn

đề sau:

 Cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 Những sai lầm thường gặp của học sinh lớp 8 khi giải toán chứng minh bất đẳng thức.

 Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chấtlượng dạy học môn Toán

2.2.T hực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Qua quan sát

tình hình học tập bất đẳng thức cũng như kiểm tra học sinh về phần này tôi thấy rằng,đại đa số học sinh lúng túng khi đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức Cụthể nghiên cứu như sau:

B ng kh o sát h c sinh trảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài ảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài ọc sinh trước khi nghiên cứu đề tài ước khi nghiên cứu đề tàic khi nghiên c u ứu đề tài đề tài ài t i

MỨC ĐỘ HIỂU BÀI CỦA HỌC SINH Kiến thức cơ bản Kiến thức nâng cao

Nguyên nhân cơ bản: một số nguyên nhân dẫn đến mức độ nắm bắt kiến thức về

bất đẳng thức và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức

ở học sinh kém như sau:

+ Học sinh chưa nắm vững khái niệm, cũng như các tính chất của bất đẳng thức.+ Chưa vận dụng linh hoạt lý thuyết về bất đẳng thức vào giải các bài tóan cụ thể.+ Kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức còn ít

+ Hệ thống bài tập tự giải tự tích lũy của các em chưa nhiều

+ Các em chưa phân loại được các dạng toán cùng phương pháp chứng minh

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

* A  B là A > B hoặc A = B

* A  B cũng là bất đẳng thức

* Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẩn gọi là bấtđẳng thức kép Ví dụ : A < B < C

Chú ý : Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai Tuy

nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì

ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng Do đó khi nói “ Chứng minh bất đẳng thức a

ac < bc nếu c < 0Tính chất 5 : a > b > 0 và c > d > 0  ac > bd

b a  với a,b > 0 Dấu “ = ” xảy ra  a = b

* ( a2 + b2)(x2 + y2)( ax + by)2 Dấu “ = ” xảy ra  ax = by

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Khi giải một bài toán, ta cần căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phươngpháp thích hợp Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức màtôi đã sử dụng hướng dẫn cho học sinh lớp 9 nắm vững để vận dụng giải các bài

toán chứng minh bất đẳng thức Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thểđược giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiềuphương pháp.

Mặt khác: (a – b)2  0  a2 - 2ab + b2  0 (3)

Cộng từng vế của (2) và (3) được : 2(a2 + b2) >1

Suy ra : a2 + b2 > 1

2 (4)Bình phương hai vế của (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > 1

4 (5)Mặt khác (a2 – b2)2  0  a4 - 2a2b2 + b4  0 (6)

Cộng từng vế của (5) và (6) ta có : 2(a4 + b4) >1

4

Suy ra : a4 + b4 > 1

IV Phương pháp làm trội :

A Kiến thức cần nhớ:Để chứng minh A  B nhiều khi ta phải chứng minh A  Cvới C  B, từ đó ta có : A  B, hoặc chứng minh D B với D  A, từ đó ta có : A

1.Ví dụ 1 : Cho a2+ b2  2 Chứng minh rằng a+b  2

Giải: Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế( hai vế đều dương), ta được:

Mặt khác ta có : 2ab  a2 + b2  a2 + b2 + 2ab  2(a2 + b2)

Mà 2(a2 + b2)  4 (giả thiết), do đó : a2 + 2ab + b2  4 (2)

Mâu thuẩn với (1) Vậy phải có : a + b  2

Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng (đpcm)

VI Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số

A Kiến thức cơ bản

Một số bài toán bất đẳng thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán

cơ bản về phân số Ta có bài toán cơ bản sau đây:

Giải:Ta có vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên a < b + c

Theo bài toán 1a) ta có : a a a

Đặt x = a+b; y = b+c; z = c+a ( x,y,z >0)

Áp dung ( câu a ) ( x+y+z) 1 1 1

b) a  b  a b Dấu “ = ” xảy ra  b(a-b)  0

Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu x, y khác 0 thì.

m m

 

Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bàitoán trên Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rổi mới vậndụng

B Ví dụ

1 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x y z  x  y  z

Giải : Từ bài toán 1a) ta có : x y z   x y  z x  y  z

Chú ý : Từ kết quả trên ta có bài toán tổng quát sau:

Theo bài toán 1, ta có : ab a ab c  a c  ab a  a c

Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vậndụng

Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng XY, trong đó X

= A1A2….An và Y = B1B2…Bn hoặc X = A1+A2+…+An và Y =B1+B2+…+Bn với

Ai, Bi (i = 1, n) là đa thức, phân thức mà các biểu thức Ai, Bi có cùng chung quyluật Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức riêng A1 B1, từ đó suy ra A i B i

(Trích đề thi hsg toán 8 huyện Quảng Xương năm học 2017-2018)

Giải: Đặt x = a2+ 2bc ; y = b2 + 2ac và z = c2 + 2ab

Giải : Gọi A là vế trái của bất đẳng thức :

Cách 1 : - Nếu x 1 thì ta viết A dưới dạng: x7(x-1)+x2(x-1)+1

Do x  1 nên A > 0

- Nếu x < 1 thì viết A dưới dạng : x8 + x2(1-x5) + (1 - x)

2) Trong ba số , ,a b c có ít nhất một số nhỏ hơn 1 Không mất tính tổng quát,

giả sử c <1 Ta có : a2 + b2 + c2  a2 + b2  2 ab abc abc

XI Phương pháp đổi biến

= Bn, rồi biểu diễn A1, A2, …An theo m1, m2,…, mn sẽ đưa về bài toán quen thuộcsau:

3.Ví dụ3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

Lưu ý rằng:

1) Các biến tham gia trong bài toán nếu hoán vị vòng quanh mà giả thiết và bấtđẳng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xem một biến nào đó làlớn nhất hoặc nhỏ nhất

2) Các biến tham gia trong bài toán có vai trò như nhau, nghĩa là nếu hoán vịtuỳ ý mà giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không đổi thì có thể sắpxếp trật tự các biến ( theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần)

Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi n  1 ( nN) ta có

thể vận dụng phương pháp qui nạp toán học

Các bước chứng minh theo phương pháp qui nạp :

1 Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi n = 1

2 Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k Chứng minh bất đẳng thức đúng khi n

Một số bài toán bất đẳng thức mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai

vế có dạng : f(1) + f(2) + ….+ f(n), khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân

2) Học sinh chưa nắm vững các định nghĩa, các khái niệm, các tính chất của bấtđẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, kinh nghiệm giảicác bài toán chứng minh bất đẳng thức còn ít.

3) Học sinh chưa đọc kỹ đề bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội lao vào làm ngay.4) Những thiếu sót của học sinh chung quy lại là do lỗi của người thầy trongphương pháp dạy học của mình, giáo viên còn chủ quan, chưa đào sâu kiếnthức cơ bản, chưa hệ thống cho mình được các phương pháp và kinh nghiệmgiải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

CHƯƠNG IV: MỘT SỐ GIẢI PHÁP DẠY HỌC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 8

a Về nhận thức, tư tưởng

Việc nâng cao chất lượng trí dục cho học sinh nói chung, việc nâng cao chấtlượng học tập bộ môn Toán nói riêng và nhất là việc phát hiện, bồi dưỡng họcsinh khá giỏi Toán là vấn đề cấp bách, là việc làm thường xuyên và liên tục.Lớp học sinh hôm nay chính là những chủ nhân trong tương lai Nếu các emkhông được chăm sóc, bồi dưỡng để nâng cao chất lượng học tập bộ môn thì sẽ

là một thiệt thòi lớn cho các em và cho xã hội

Để đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội, thì yếu tố người thầyđóng vai trò then chốt để có những trò giỏi Đó là người thầy có phẩm chất tốt,

có năng lực sư phạm, năng lực chuyên môn Đó là những người thầy có tráchnhiệm, nhiệt tình, say mê với công việc, thương yêu học sinh Người thầy phải

có kiến thức sâu rộng, có phương pháp giảng dạy tốt, là người thầy biết độngviên, gây hứng thú say mê học tập cho học sinh, người thầy biết đánh thức tiềmnăng đang tiềm ẩn trong trò

Bất đẳng thức là một trong những nội dung thường gặp trong các đề thi ở lớp 8,lớp 9, và thi vào lớp 10 THPT, có rất nhiều ứng dụng trong giải nhiều dạng, loạitoán khác nhau, mà số tiết dạy ở lớp 8 theo phân phối chương trình lại chỉ có 3tiết Nếu người thầy không tổ chức hướng dẫn các em đầu tư thêm về thời gian,đưa ra những biện pháp bồi dưỡng thích hợp thì sẽ rất khó cho học sinh trongviệc nắm bắt và làm được dạng toán này

b Công tác tổ chức, cơ sở vật chất kỹ thuật phục vụ cho dạy học

b.1)Tổ chức lớp học bồi dưỡng:

Việc các em học chính khoá là quan trọng, xong việc tổ chức ngoại khoá làcần thiết vì rằng ở lớp có nhiều đối tượng học sinh mà đa số các em có học lựctrung bình, một số còn yếu, số khá giỏi ít Nếu giáo viên mở rộng quá hoặc đưa

ra các bài toán khó thì sẽ làm đa số các em ngày càng chán học Vì vậy ngoàihọc chương trình đại trà, cần có thêm thời gian bồi dưỡng chuyên đề “ Chứngminh bất đẳng thức ”, và trong quá trình dạy học các chuyên đề khác hoặc ôntập, giáo viên luôn có ý thức xen kẽ thời gian đưa ra các dạng toán, các bài toánchứng minh bất đẳng thức để học sinh luyện tập, rèn luyện kỹ năng giải toán,nắm vững các phương pháp chứng minh

b.2) Cơ sở vật chất kỹ thuật phục vụ dạy và học

a) Phòng học: lên kế hoạch bố trí phòng học ổn định, bảo đảm các lớp được họcbồi dưỡng đều đặn.

b) Sưu tầm, in ấn tài liệu: xây dựng thành các tư liệu riêng dành cho bồi dưỡnghọc sinh khá giỏi, soạn thành bài soạn riêng từ đó hướng dẫn học sinh học tập

b.3) Đổi mới phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức

Trong quá trình dạy học chủ đề chứng minh bất đẳng thức thực hiện tốt một sốbiện pháp sau:

- Tổ chức dạy học qua giờ học phân hoá: Dựa trên các trình độ giỏi, khá, trungbình, yếu mà giáo viên giao cho học sinh làm những nhiệm vụ tương ứng vừasức với đối tượng học sinh

- Giao bài tập cá biệt: Căn cứ vào nội dung kiến thức của bài, căn cứ vào đặcđiểm của học sinh để giao bài tập, yêu cầu học sinh thực hiện những tìnhhuống cụ thể trong bài tập

- Chủ đề “ Chứng minh bất đẳng thức “ là một trong các chủ đề môn Toán 8,giáo viên đưa cho các em tự chọn Xây dựng thành các chủ đề phương phápnhỏ để học sinh dễ tiếp cận và nắm được cách giải

- Tạo cho học sinh thói quen tìm kiếm và phát hiện những dấu hiệu bản chấtcủa tư duy sáng tạo như: tìm hiểu kỹ giả thiết và kết luận của bài toán

- Thường xuyên ra đề để các em tự học ở nhà: Đối với bài toán khó hoặc mới

lạ giáo viên hướng dẫn thêm để các em về nhà tiếp tục suy nghĩ và có thể làmđược Giáo viên kiểm tra chấm chữa tỉ mỉ để các em có thể rút ra được nhữngsai lầm có thể mắc phải trong quá trình giải bài tập

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

a Kết quả đạt được

Dạy học chứng minh bất đẳng thức là một nội dung không thể thiếu trong côngtác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán và thi vào lớp 10 THPT Do đó để học sinh làmđược tốt chủ đề này cần có một tài liệu tham khảo tốt, phù hợp với học sinh, hướngdẫn học sinh với chủ đề “ Chứng minh bất đẳng thức đại số ” học sinh đã bước đầu

có sự tiến bộ, thể hiện rõ nhất ở một số mặt sau đây:

Biết phân tích một cách chu đáo để xây dựng được cách giải một bài toán chứngminh bất đẳng thức

Nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tránh được những sailầm thường gặp trong chứng minh bất đẳng thức

Nhiều em biết vận dụng linh hoạt các phương pháp trong chứng minh một bấtđẳng thức Điều quan trọng hơn đó là : suy luận toán của học sinh có hệ thống,lôgíc và chặt chẽ, khả năng tư duy, tìm tòi độc lập được phát huy

Tạo nền móng vững chắc cho các em tiếp thu kiến thức lớp 9, thuận lợi cho việc

bổ sung và hoàn thiện các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp các em

tự tin, giành được kết quả cao trong học tập

B ng kh o sát h c sinh sau khi nghiên c u ảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài ảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài ọc sinh trước khi nghiên cứu đề tài ứu đề tài đề tài ài t i