Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 8

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bất đẳng thức nội dung thường gặp đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Ở trường THCS, nội dung bất đẳng thức đưa vào lớp “Chương IVBất phương trình bậc ẩn” với số tiết không nhiều (3 tiết) Tuy nhiên, học sinh lớp quen biết nhận định so sánh số, dùng dấu bất đẳng thức lý thuyết tập học tập hợp Q, học sinh ngầm sử dụng kiến thức bất đẳng thức, kể kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức giải tập Hình học lớp so sánh cạnh góc tam giác Do yêu cầu chương trình nên sách giáo khoa Đại số khơng sâu vào mơ tả xác khái niệm bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức phức tạp Thực tế, gặp toán chứng minh bất đẳng thức, khơng học sinh lúng túng, xoay sở Một điều đáng tiếc cho nhiều học sinh lớp 8, em vất vả việc giải toán chứng minh bất đẳng thức Nhiều em học sinh khổ tâm khơng làm tốn lần kiểm tra thi học sinh giỏi cấp, điều kiện thời gian hạn chế Tự kiểm điểm, học sinh thấy cố gắng học tốn, tin tưởng nắm vững kiến thức bất đẳng thức, hiểu học sách giáo khoa, xoay toán đủ cách cuối bế tắc khơng tìm lời giải Về sau, xem lời giải tốn bế tắc thấy khơng có khó khăn mặt ngun tắc sử dụng tồn kiến thức bất đẳng thức, giải nhiều đơn giản thiếu sót khơng nghĩ đến cách giải Là giáo viên Toán, thấy rằng: học sinh học thuộc bài, nắm sách giáo khoa hồn tồn khơng đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống phương pháp giải dạng toán rèn luyện kỹ việc giải Toán Số toán chứng minh bất đẳng thức sách bồi dưỡng, sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, báo Toán tuổi thơ….nhiều không kể xiết, mỗi vẻ, thời gian dạy, hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, địi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại dạng toán thường gặp, phương pháp giải tốn chứng minh bất đẳng thức; từ biết hướng dẫn học sinh rèn luyện phương pháp suy nghĩ đắn biết đúc rút kinh nghiệm Trong q trình học tốn dạy tốn, tơi tổng hợp phương pháp giải phân loại dạng toán thường gặp bất đẳng thức Từ thực tế dạy học toán 8, Trương THCS Quảng Thái, thân đúc rút số kinh nghiệm chuyên đề bất đẳng thức Trong khuôn khổ đề tài này, xin đưa vài kinh nghiệm mà tơi tích luỹ chủ đề : “ Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn cho học sinh lớp ” NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 1.2.Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy Làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải tốn bất đẳng thức q trình dạy học Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập Thơng qua việc giải toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt tốn bất đẳng thức • Chuẩn bị cho học sinh số kiến thức BĐT để học sinh có thề giải số tốn • Phát triển lịng say mê môn học, mở rộng vốn hiểu biết học sinh tốn học • Phát triển tư cho học sinh, nâng cao vốn kiến thức từ SGK • Góp phần đào tạo học sinh có nguồn tri thức vững vàng 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trường THCS Quảng Thái, huyện Quảng Xương 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp quan sát Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động (nghiên cứu kết học tập học sinh ) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Phương pháp thống kê tốn học Phương pháp phân tích, tổng hợp 1.5 Những điểm SKKN: -Bổ sung thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp đề thi học sinh giỏi là: Phương pháp đổi biến, Phương pháp thứ tự biến, Phương pháp quy nạp tốn học, Phương pháp phân tích số hạng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm : - Bất đẳng thức kiến thức khó thiếu vốn kiến thức học sinh phổ thông, học sinh giỏi 8,9 thi vào lớp 10 THPT Học sinh vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải bất đẳng thức, tiết kiệm thời gian nâng cao lực tư sở đề tài nêu giải số vấn đề sau: • Cơ sở lý thuyết phương pháp chứng minh bất đẳng thức NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN • Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức • Những sai lầm thường gặp học sinh lớp giải tốn chứng minh bất đẳng thức • Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Qua quan sát tình hình học tập bất đẳng thức kiểm tra học sinh phần thấy rằng, đại đa số học sinh lúng túng đứng trước toán chứng minh bất đẳng thức Cụ thể nghiên cứu sau: Bảng khảo sát học sinh trước nghiên cứu đề tài MỨC ĐỘ HIỂU BÀI CỦA HỌC SINH Kiến thức nâng LỚP SĨ SỐ Kiến thức cao SL % SL % Đội tuyển HSG toán 8 75 0 Nguyên nhân bản: số nguyên nhân dẫn đến mức độ nắm bắt kiến thức bất đẳng thức vận dụng kiến thức bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức học sinh sau: + Học sinh chưa nắm vững khái niệm, tính chất bất đẳng thức + Chưa vận dụng linh hoạt lý thuyết bất đẳng thức vào giải tóan cụ thể + Kinh nghiệm giải tốn bất đẳng thức cịn + Hệ thống tập tự giải tự tích lũy em chưa nhiều + Các em chưa phân loại dạng toán phương pháp chứng minh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa bất đẳng thức Bất đẳng thức hai biểu thức nối với dấu >, < , ≥; ≤ Ta có : A > B ⇔ A- B > A ≥ B ⇔ A- B ≥ * Trong bất đẳng thức A > B ( A < B, A ≥ B , A ≤ B), A gọi vế trái, B gọi vế phải bất đẳng thức * Các bất đẳng thức A > B C > D gọi hai bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức A > B E < F gọi hai bất đẳng thức trái chiều * Nếu ta có : A > B ⇒ C> D, ta nói bất đẳng thức C > D hệ qủa bất đẳng thức A > B * Nếu ta có A > B ⇔ C > D, ta nói hai bất đẳng thức A > B C > D hai bất đẳng thức tương đương * A > B ( A < B ) bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( A ≤ B ) bất đẳng thức không ngặt * A ≥ B A > B A = B * A ≠ B bất đẳng thức * Hai bất đẳng thức chiều, hợp thành dãy không mâu thuẩn gọi bất đẳng thức kép Ví dụ : A < B < C NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN Chú ý : Như mệnh đề nào, bất đẳng thức sai Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức Do nói “ Chứng minh bất đẳng thức a > b” ta hiểu : “ Chứng minh a > b bất đẳng thức ” II Các tính chất bất đẳng thức Tính chất : a > b b > c ⇒ a > c Tính chất : a > b ⇒ a + c > b + c Hệ quả: a > b + c ⇔ a – c > b Tính chất : a > b c > d ⇒ a + c > b + d ac > bc c > Tính chất : a > b ⇔ ac < bc c < Tính chất : a > b > c > d > ⇒ ac > bd Tính chất : a > b > 0, n nguyên dương ⇒ an > bn Tính chất : a > b > , n nguyên dương ⇒ n a > n b Hệ : a, b ≥ a2 ≥ b2 ⇔ a ≥ b ⇔ a > b Tính chất : a > b, ab > ⇒ 1 < a b Tính chất : a > 1, m n nguyên dương, m > n ⇒ am > an < a < 1, m n nguyên dương, m > n ⇒ am < an III Các bất đẳng thức 1) a2 ≥ Dấu “ = ” xảy ⇔ a = 2) – a2 ≤ Dấu “ = ” xảy ⇔ a = 3) Các bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối * a ≥ Dấu “ = ” xảy ⇔ a = * a ≥ a Dấu “ = ” xảy ⇔ a ≥ * a + b ≤ a + b Dấu “ = ” xảy ⇔ ab ≥ * a − b ≥ a − b Dấu “ = ” xảy ⇔ (a – b)b ≥ ⇔ a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ 4) Một số bất đẳng thức giải tốn sử dụng bổ đề, chẳng hạn: * a2 + b2 ≥ 2ab Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b 1 + ≥ với a, b > Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b a b a+b  a+b *  ÷ ≥ ab hay (a + b) ≥ 4ab Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b   a b * + ≥ với a,b > Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b b a * ( a2 + b2)(x2 + y2) ≥ ( ax + by)2 Dấu “ = ” xảy ⇔ ax = by * CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Khi giải toán, ta cần vào đặc thù tốn mà chọn phương pháp thích hợp Sau số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà sử dụng hướng dẫn cho học sinh lớp nắm vững để vận dụng giải NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TỐN tốn chứng minh bất đẳng thức Mỗi tốn chứng minh bất đẳng thức giải phương pháp khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp I Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức A Kiến thức cần nhớ Để chứng minh A ≥ B ta làm sau: * Lập hiệu số A - B * Chứng tỏ A – B ≥ * Kết luận : A ≥ B B Ví dụ : Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức :   b) ( a+b+c)  + + ÷ ≥ ; ( a, b, c > a b c a) a2 + b2 + c2 + ≥ 2( a+b+c )  1  0) Giải: Ta có : ( a2 + b2 + c2 + 3) – 2( a + b + c) = a + b2 + c2 + – 2a – 2b – 2c = ( a2 -2a +1 ) + ( b2 – 2b +1 ) + ( c2 – 2c + ) = (a – 1)2 + (b-1)2 + (c-1)2 ≥ Do : a2 + b2 + c2 + ≥ 2( a+b+c ) 1 1 b) Ta có : ( a+b+c)  + + ÷ - a c b a a b b c c + + +1+ + + +1− b c a c a b a b  b c  a c  =  + − ÷+  + − ÷+  + − ÷ b a  c b  c a  = 1+ a − b) = ( ( b − c) + ( c − a) + ≥ ( với a, b ,c > 0) ca 1 1 Do đó: ( a+b+c)  + + ÷ ≥ với a, b, c > a b c ab bc Ví dụ : Chứng minh : (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1 Giải: Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-(-1) = (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6) +1 Đặt : x2 – 5x + = y, ta có: ( y – 1)(y + 1) + = y2 ≥ Vậy (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1 II Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương A Kiến thức cần nhớ Để chứng minh A ≥ B, ta dùng tính chất bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết A ≥ B ⇔ A1 ≥ B1 ⇔ … ⇔ (*) Mà (*) A ≥ B B Ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức a) a + b ≥ a + b Giải: 1 b) x + y ≥ x + y ( x, y > 0) a) Ta có : a + b ≥ a + b ⇔ ( a + b) ≥ ( a+b ) ⇔ a2 + a b +b2 ≥ a2 + 2ab + b2 NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN ⇔ a b ≥ ab ⇔ ab ≥ ab ( bất đẳng thức ) Vậy : a + b ≥ a + b b) Vì x, y > nên xy(x+y) > Do đó: 1 x+ y + ≥ ⇔ ≥ x y x+ y xy x+ y ⇔ (x + y) ≥ 4xy ⇔ ( x – y )2 – 4xy ≥ ⇔ ( x – y)2 ≥ bất đẳng thức 1 Vậy : x + y ≥ x + y với x, y > Ví dụ : Cho số dương a b thoả mãn điều kiện a + b =1    Chứng minh : 1 + ÷1 + ÷ ≥  a  b     Giải: Ta có : 1 + ÷1 + ÷ ≥ (1)  a  b  a +1 b +1 ⇔ ≥ ⇔ ab + a + b + ≥ 9ab ( ab ≥ 0) a b ⇔ a + b + ≥ 8ab ⇔ ≥ 8ab ( a + b = ) ⇔ ≥ 4ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ( a + b = ) ⇔ (a – b )2 ≥ (2) Bất đẳng thức (2) đúng, mà phép biến đổi tương đương Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh C Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần ý biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn: a2 ≥ b2 ⇔ a ≥ b với a, b > m > n ⇔ am > an với m, n nguyên dương , a > Cần rõ điều kiện biến đổi tương đương III Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức A Kiến thức cần nhớ: Để chứng minh A ≥ B ta dùng tính chất bất đẳng thức (xem phần II, chương I) B Ví dụ: Ví dụ : Cho a + b > Chứng minh a4 + b4 > Giải: Ta có : a + b > > Bình phương hai vế : (a + b)2 > ⇒ a2 + 2ab + b2 > Mặt khác: (a – b)2 ≥ ⇒ a2 - 2ab + b2 ≥ Cộng vế (2) (3) : 2(a2 + b2) >1 a2 + b2 > Suy : Bình phương hai vế (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > Mặt khác (a2 – b2)2 ≥ ⇒ a4 - 2a2b2 + b4 ≥ Cộng vế (5) (6) ta có : 2(a4 + b4) > Suy : a4 + b4 > (1) (2) (3) (4) (5) (6) NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức : a2 b2 c c b a + + ≥ + + b2 c a b a c Giải: Ta có : (x – y)2 ≥ ⇒ x2 + y2 ≥ 2xy Dấu “ = ” xảy ⇔ x = y Áp dụng bất đẳng thức ta có: a b2 a b a + ≥2 =2 b c b c c tương tự : c b2 c2 b c b ⇒ a2 c2 + ≥ = + ≥2 2 c a c a a b a b Cộng vế ba bất đẳng thức :  a2 b2 c2   c b a  a b2 c c b a  + + ÷≥  + + ÷ ⇒ + + ≥ + + ⇒ (đpcm) c a  a b a c b a c  b c b IV Phương pháp làm trội : A Kiến thức cần nhớ:Để chứng minh A ≥ B nhiều ta phải chứng minh A ≥ C với C ≥ B, từ ta có : A ≥ B, chứng minh D ≥ B với D ≤ A, từ ta có : A ≥ B B Ví dụ : Ví dụ : Chứng minh : 1 1 + + + + > với n ∈ N , n > n +1 n + n + 2n 1 = Giải : Ta có : > ( 2n > n+1) n n + n 2n 1 > Tương tự : n + 2n ………… 1 ≥ 2n 2n Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 1 1 1 + + + + + > + + + = (đpcm) n +1 n + n + 2n − n n n 2n 2 Ví dụ : Chứng minh : 1 n + + + > ( với n∈ N , n ≥ 1) 2 n n +1 1 1 1 Giải : Ta có + 22 + 32 + + n > 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) 1 1 1 1 n = − + − + − + + − = 1− = ⇒ đpcm 2 3 n n +1 n +1 n +1 1+ = V Phương pháp phản chứng A.Kiến thức cần nhớ Để chứng minh A ≥ B, ta giả sử A < B, từ lập luận để dẫn đến điều vơ lí Như vậy, ta dùng phương pháp phản chứng B.Ví dụ : 1.Ví dụ : Cho a2+ b2 ≤ Chứng minh a+b ≤ Giải: Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế( hai vế dương), ta được: a2 + 2ab + b2 > (1) 2 ⇒ 2 2 Mặt khác ta có : 2ab ≤ a + b a + b + 2ab ≤ 2(a + b ) Mà 2(a2 + b2) ≤ (giả thiết), : a2 + 2ab + b2 ≤ (2) NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN Mâu thuẩn với (1) Vậy phải có : a + b ≤ 2 Ví dụ : Chứng tỏ có bất đẳng thức sau đúng: a2 + 2bc ≥ 0, b2 + 2ac ≥ 0, c2 + 2ab ≥ Giải: Giả sử bất đẳng thức sai Thế thì, ta có : a2 + 2bc < 0, b2 + 2bc < 0, c2 + 2ab < Suy : a2 + 2bc + b2 + 2ac + c2 + 2ab < ⇔ (a + b +c)2 < ( vô lí ) Do điều giả sử bất đẳng thức a + 2bc ≥ 0, b2 + 2ac ≥ 0, c2 + 2ab ≥ sai khơng Vậy phải có bất đẳng thức (đpcm) VI Phương pháp vận dụng bất đẳng thức phân số A Kiến thức Một số toán bất đẳng thức có dạng phân thức thường vận dụng tốn phân số Ta có tốn sau đây: B.Ví dụ : 1.Ví dụ : Với a, b, c > Chứng minh ; a) Nếu a < b Giải a a+c < b b+c b) Nếu a ≥ b a) Nếu a < b ac < bc (c > 0) ⇒ ab + ac < ab + bc ⇒ a(b+c) < b(a+c) ⇒ a a+c ≥ b b+c a a+c < b b+c b) Chứng minh tương tự 2.Ví dụ : Với x, y, z > Chứng minh rằng: a) xy ≥ ( x + y )2 b) x + y ≥ x + y Giải: a) (x – y)2 ≥ ⇒ (x-y)2 + 4xy ≥ 4xy ⇒ (x + y)2 ≥ 4xy ⇒ xy ≥ ( x + y) b) Từ (a) ta có : ( x + y)2 ≥ 4xy ⇒ x+ y 1 ≥ ⇒ + ≥ xy x+ y x y x+ y 3.Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + Chứng minh rằng: 4a + 4b + 8ab ≥ (a + b)2 Theo tốn 1a) ta có : Giải: Vì a, b > nên 4a2 + 4b2 > 8ab > NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 1 4 Theo ví dụ 2b) ta có : 4a + 4b2 + 8ab ≥ 4a + 4b + 8ab = 4(a + b)2 = (a + b)2 ⇒ (đpcm) 5.Ví dụ : 1 1 a) Tìm giá trị nhỏ của: A = ( x+y+z)  + + ÷ Với x,y,z >0 x y z   a b+c b a+c c a+b + + + + + (a,b,c>0) b)Tìm giá trị nhỏ của: B = b+c a a+c b a+b c 1 1  x y x z  y z  Giải: a) Ta có : A = ( x+y+z)  + + ÷ = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ x y z  y x z z  z y x y Nhận thấy: y + x ≥ ( với x,y >0 ) dấu xảy x=y  x y x z  y z Tương tự ta có:  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥  y x z z  z y ⇒ A ≥ Vậy A đạt giá trị nhỏ x=y=z [1] 2) a b+c b a+c c a+b a b c  b+c c +a a +b  + + + + + =( + + + + ÷+  ÷ b+c a a+c b a+b c b+c a+c a+b   a b c  b+c c+a a +b a b a c  b c + + Lại có: =  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ a b c b a c a c b B= (Tương tự câu a) a b a c  b c Nên  + ÷+  + ÷+  + ÷ đạt giá trị nhỏ a=b=c (1) b a c a c b *Xét E = a b c + + b+c a+c a +b Đặt x = a+b; y = b+c; z = c+a ( x,y,z >0) 1 1 Áp dung ( câu a ) ( x+y+z)  + + ÷ ≥ x y z   a+b+c a+b+c a+b+c a b c + + ≥ ⇒ +1+ +1+ +1 ≥ Ta được: ⇒ b+c c+a a+b b+c a+c a+b a b c ⇒ + + ≥ b+c a+c a+b a b c + + Nên E = đạt giá trị nhỏ b+c a+c a +b ⇒ a+b = b+c = c+a a=b=c (2) a b+c b a+c c a +b + + + + + Từ (1) (2) ta có : B = b+c a a+c b a+b c  a  b +c c +a a +b  b c + + + + = ÷+  ÷≥ + b c   b+c a+c a+b   a 15 Vậy B đạt giá trị nhỏ a=b=c 1 + + ≥ Ví dụ : Cho a, b, c > Chứng minh : 2a + b 2b + c 2c + a a + b + c ⇒ Giải: Ta có a, b, c > 2a + b > 0; 2b + c > 0; 2c + a > NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 1 Áp dụng bất đẳng thức: x + y + z ≥ x + y + z ta có: 1 9 + + ≥ = = ⇒ (đpcm) 2a + b 2b + c 2c + a 2a + b + 2b + c + 2c + a 3(a + b + c) a + b + c VII Phương pháp vận dụng toán giá trị tuyệt đối A Kiến thức cần nhớ: Đối với số tốn bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta vận dụng toán bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt dối sau: Bài toán : Chứng minh : a) a + b ≥ a + b Dấu “ = ” xảy ⇔ ab ≥ b) a − b ≤ a − b Dấu “ = ” xảy ⇔ b(a-b) ≥ Bài toán 2: Chứng minh x, y khác x y x y + ≥ + ≥ Dấu “ = ” xảy ⇔ y x y x x = ±y Từ suy m, n > ta có: m n 1) + ≥ 2) m + ≥ m n m Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh toán Khi cần dùng đến toán này, ta phải chứng minh rổi vận dụng B Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x + y + z ≤ x + y + z Giải : Từ toán 1a) ta có : x + y + z ≤ x + y + z ≤ x + y + z Chú ý : Từ kết ta có tốn tổng quát sau: Chứng minh rằng: a1 + a2 + a3 + + an −1 + an ≤ a1 + a2 + a3 + + an −1 + an Ví dụ : Cho a, b ≠ Chứng minh a b2 a b + −  + ÷+ ≥ b a b a a b Giải: Đặt x = + , ta có : x ≥ ( theo tốn ) Ta có : b a 2  a b2  a b a b a b a b a b + −  + ÷+ =  + + ÷−  + ÷+ =  + ÷ −  + ÷+ 2 b a a b a b a b a b  b a = x − x + = x − x − x + = x ( x − ) − ( x − ) = ( x − ) ( x − 1) ≥  x ≤ −2 ⇒ (x-2) (x-1) dấu Vì x ≥ ⇔   x ≥ −2 a b2 a b + −  + ÷+ ≥ b a b a Ví dụ : Cho a ≤ 1, a − c ≤ 2004, b − ≤ 2005 Chứng minh rằng: ab − c ≤ 4009 Giải: Vì : a ≤ 1, b − ≤ 2005 ⇒ a b − ≤ 1.2005 ⇒ ab − a ≤ 2005 mà a − c ≤ 2004 ⇒ ( x − ) ( x − 1) ≥ Do đó: Suy : ab − a + a − c ≤ 4009 NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN Theo tốn 1, ta có : ab − a = ( ab − c ) + ( a − c ) ≤ ab − a + a − c Vậy : ab − c ≤ 4009 VIII Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ tổng bình phương, bình phương tổng, tích hai số A Kiến thức cần nhớ: Một số toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức liên hệ tổng bình phương, bình phương tổng, tích hai số: 1) 2(x2+y2) ≥ (x+y)2 ≥ 4xy 2) 3(x2+y2+z2) ≥ (x+y+z)2 ≥ 3(xy+yz+xz) Chú ý: Khi cần dùng đến toán này, ta phải chứng minh vận dụng B Ví dụ: Ví dụ 1: Cho x, y > thoả mãn x + y ≥ Chứng minh rằng: x4+y4 ≥ Giải: Áp dụng tốn ta có : ( x + y)    2 ⇒ x + y ( )   (đpcm)  4 x +y ≥ ≥ ≥ 2 4 Ví dụ : Chứng minh rằng: a + b + c ≥ abc ( a + b + c ) Giải : Áp dụng tốn ta có : a + b + c ≥ a 2b + b c + c a ≥ ( ab ) ( bc ) + ( bc ) ( ca ) + ( ab ) ( ca ) ⇒ a + b + c ≥ abc ( a + b + c ) IX Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng A Kiến thức cần nhớ - phương pháp Một số toán chứng minh bất đẳng thức đưa dạng X ≥ Y, X = A1A2….An Y = B1B2…Bn X = A1+A2+…+An Y =B1+B2+…+Bn với Ai, Bi (i = 1, n ) đa thức, phân thức mà biểu thức A i, Bi có luật Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức riêng A1 ≥ B1 , từ suy Ai ≥ Bi B Ví dụ: a2 b2 c2 1.Ví dụ : Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: + + ≥ a+b+c b c a Giải: Ta chứng minh bất đẳng thức riêng : a2 ≥ 2a − b ⇔ a ≥ 2ab − b ( b>0) b ⇔ ( a − b ) ≥ bất đẳng thức ln Ta có : Do ta có : a2 ≥ 2a − b b a2 ≥ 2a − b b ⇔ a − 2ab + b ≥ Tương tự ta có : b2 c2 ≥ 2b − c ; ≥ 2c − a c a a b2 c Suy : + + ≥ 2a − b + 2b − c + 2c − a = a + b + c b c a NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN a b2 c Vậy : + + ≥ a + b + c ⇒ (đpcm) b c a Ví dụ : Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + b + ab b + c + bc c + a + ca Giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng : Ta có (1) a3 2a − b ≥ 2 a + b + ab (1) ⇔ 3a ≥ ( 2a − b ) ( a + b + ab ) ⇔ 3a ≥ 2a + 2ab + 2a 2b − a 2b − b3 − ab ⇔ a + b3 − a 2b − ab ≥ ⇔ ( a + b ) ( a − ab + b ) − ab ( a + b ) ≥ ⇔ ( a + b ) ( a − b ) ≥ , bất đẳng thức a3 2a − b ≥ 2 a + b + ab 3 b 2b − c ≥ 2 b + c + bc 3 c 2c − a ≥ 2 c + a + ca Do ta có : Tương tự ta có : (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) ta có đpcm Ví dụ : Cho số a, b, c > a + b + c ≤ Chứng minh rằng: 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab [2] (Trích đề thi hsg tốn huyện Quảng Xương năm học 2017-2018) Giải: Đặt x = a2+ 2bc ; y = b2 + 2ac z = c2 + 2ab Ta có : x + y + z = (a+b+c)2 ≤ 1 1 x y y z   Xét: A = ( x+y+z)  + + ÷ = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ x y z y x z z z y x z         x y Áp dụng bđt phụ: y + x ≥ ( với x,y >0 ) dấu xảy x=y  x y x z  y z Tương tự ta có:  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥  y x z z  z y Suy ra: A ≥ 3+6 =9 Dấu xảy khi: x = y = z = X Phương pháp xét khoảng giá trị biến A Kiến thức cần nhớ: Một số toán chứng minh bất đẳng thức nhiều việc xét khoảng giá trị biến giúp ta tìm lời giải dễ dàng B Ví dụ: 1.Ví dụ 1: Chứng minh : x8 - x7 + x2 - x + 1>0 Giải : Gọi A vế trái bất đẳng thức : Cách : - Nếu x ≥ ta viết A dạng: x7(x-1)+x2(x-1)+1 Do x ≥ nên A > - Nếu x < viết A dạng : x8 + x2(1-x5) + (1 - x) NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN Do x< nên – x5 >0, : A > Cách 2: A = x7(x-1)- (x-1) + x2 = (x-1)(x7 - 1) +x2 - Nếu x ≥ x7 ≥ 1, (x-1)(x7-1) ≥ 0, x2 >0 nên A > - Nếu x < x7 < 1, (x-1)(x7-1) > 0, cịn x2≥ nên A >0 Ví dụ : Cho ba số a, b, c thoả mãn : a + b + c ≥ abc Chứng minh : a2 + b2 + c2 ≥ abc Giải : Xét hai trường hợp: 1) a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ Ta có a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ abc 2) Trong ba số a , b , c có số nhỏ Khơng tính tổng qt, giả sử c x y + ≥2 y x B Ví dụ: Ví dụ : Chứng minh (x + 2003)4 + (x+2005)4 ≥ Giải : Đặt x + 2004 = y ta có: (x + 2003)4 + (x+2005)4 = (y - 1)4 + (y + 1)4 = y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + + y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1= 2y4 + 12y2 + ≥ Chú ý : Ta chứng minh tổng quát : (x = a)4 + (x + b)4 ≥ đặt : x = a + b+c 2 2 Ví dụ : Cho a + b + c =1 Chứng minh : a + b + c ≥ ( a − b) cách 1 Đặt : a = + x, b = + y, c = + z 3 Do : a + b + c =1 nên x + y + z = ta có: Giải : 2 2 1  1  1  a + b + c =  + x ÷ +  + y ÷ +  + z ÷ = + x + x2 + + y + y2 + + z + z 9 3  3  3  1 = + ( x + y + z ) + x2 + y2 + z2 = + x2 + y + z ≥ 3 3 2 Dấu “ = ” xảy ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c = NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 3.Ví dụ3 : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + ≥3 b +c −a a +c −b a +b −c Giải: Đặt : x = b + c – a, y = a + c – b, z = a + b – c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên : x, y, z > Suy ra: a = y+z x+z x+ y ,b = ,c = 2 Do ta có :  y z  x z y+z x+z x+ y 1  x y  + + =  +  + − ÷+  + − ÷+  + − ÷ 2x 2y 2z 2  y x   z y  z x 2 y − z) z − x)  ( (  ( x − y) ≥ 6 + + +  ≥ =  xy yz zx  XII Phương pháp thứ tự biến A Kiến thức cần nhớ - Một số tốn bất đẳng thức mà giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi vai trị biến Chúng ta xếp biến để phát thêm tính chất biến, giúp tìm đến lời giải dễ dàng Lưu ý rằng: 1) Các biến tham gia toán hốn vị vịng quanh mà giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh khơng thay đổi xem biến lớn nhỏ 2) Các biến tham gia tốn có vai trị nhau, nghĩa hốn vị tuỳ ý mà giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh khơng đổi xếp trật tự biến ( theo thứ tự tăng dần giảm dần) B Ví dụ: Ví dụ: Cho a, b, c thoả mãn : ≤ a, b, c ≤ Chứng minh : a b c + + ≤2 bc + ca + ab + Giải:Vai trị a, b, c nhau, khơng tính tổng quát, giả sử : ≤ a ≤ b ≤ c ≤ Ta có ab + ≤ ac + 1, ab + ≤ bc +1 a b c a b c + + ≤ + + Dođó: bc + ca + ab + ab + ab + ab + a b c a +b+c + + ≤ bc + ca + ab + ab + ⇒ (1) Ta có : (1-a)(1-b) ≥ ⇒ a + b ≤ ab + ≤ 2ab + Do c ≤ nên a + b + c ≤ 2ab + + ≤ 2(ab + 1) Do : a + b + c 2(ab + 1) ≤ =2 ab + ab + Từ (1) (2) suy : (2) a b c + + ≤ ⇒ đpcm bc + ca + ab + XIII Phương pháp quy nạp toán học NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN A Kiến thức cần nhớ Một số toán bất đẳng thức cần chứng minh với n ≥ ( n ∈ N) ta vận dụng phương pháp qui nạp toán học Các bước chứng minh theo phương pháp qui nạp : Kiểm tra bất đẳng thức n = Giả sử bất đẳng thức n = k Chứng minh bất đẳng thức n = k+1 Kết luận bất đẳng thức với n nguyên dương B Ví dụ : Ví dụ : Chứng minh 2n+2 > 2n + với n nguyên dương Giải: Với n = ta có : 21+2 > 2.1 + ⇔ > bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n = k, tức k + > 2k + 5, ta cần chứng minh bất đẳng thức n = k + Ta có : 2(k+1)+2 = 2k + = 2.2k + > 2.(2k+5) = 4k + 10 > 2k + +4 = 2( k+1) +5 Vậy bất đẳng thức : 2n+2 > 2n + với n nguyên dương Ví dụ : Cho a, b > Chứng minh : n a n + bn  a +b  với n nguyên dương  ÷ ≤   1  a+b a +b ≤ Giải: Với n = ta có  hiển nhiên ÷   k ak + bk  a +b Giả sử bất đẳng thức với n = k, tức là:  ÷ ≤   Ta có : k +1  a +b  ÷   k k k a +b a +b a + b a k + b k a k +1 + ab k + a k b + b k +1 a k +1 + b k +1 ( a − b ) ( a − b ) = = = −  ÷ ≤   2 4 Mà : (a - b) (ak - bk) dấu nên (a - b).(ak - bk) ≥ k +1  a +b  Do đó:  ÷   n a k +1 + b k +1 a n + bn  a +b  ≤ Vậy bất đẳng thức  với n ÷ ≤ 2   nguyên dương XIV Phương pháp phân tích số hạng A Kiến thức cần nhớ Một số toán bất đẳng thức mà ta đưa bất đẳng thức mà hai vế có dạng : f(1) + f(2) + ….+ f(n), ta dùng phương pháp sai phân hữư hạn: Ta tìm hàm F(k) thoả mãn hệ thức F(k+1) – F(k) = f(k) Từ dễ dàng thấy rằng: f(1) + f(2) + ….+ f(n) = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) +…+F(n+1)-F(n) = F(n+1) – F(1) từ giúp ta giải dễ dàng B Ví dụ : 1 1 Ví dụ : Chứng minh : 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) < NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN Giải : Các số hạng tổng vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : 1 (k + 1) − k 1 = = − Ta có : k (k + 1) k ( k + 1) k (k + 1) k k +1 1 1 1 1 1 Do : 1.2 + 2.3 + + n( n + 1) = − + − + + n − n + = − n + < ⇒ đpcm Ví dụ : Chứng minh : + 36 + 144 + + 2n + n ( n + 1) 2 d ⇒ a – c > b – d 2) Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà khơng có giả thiết vế khơng âm: a > b c > d ⇒ ac > bd 3) Bình phương hai vế bất đẳng thức mà khơng có giả thiết hai vế khơng âm : a > b ⇒ a2 > b2 4) Khử mẫu chưa biết dấu biểu thức mẫu a > c ⇒ a > b.c b 5) Nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức chưa có giả thiết hai vế dấu a a>b⇒ < b 6) Thừa nhận xm > xn với m, n nguyên dương mà m > n chưa biết điều kiện x Ngoài sai lầm thường gặp trên, qua dạy học chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp THCS ta gặp nhiều sai lầm khác, chẳng hạn: - Các sai lầm chiến lược: đưa kết luận sai, trình giải khơng trọn vẹn - Các sai lầm hình thức - Các sai lầm công thức : vận dụng sai cơng thức tốn học, đẳng thức đáng nhớ - Các sai lầm khái niệm: khơng hiểu xác liên từ “ khi”, “ khi” - Các sai lầm ký hiệu : “ ⇔”; “⇒”; “{ ” ; “[”, - Các sai lầm tính tốn … NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN II) Những ngun nhân dẫn đến sai lầm học sinh giải toán chứng minh bất đẳng thức 1) Còn số em học toán 2) Học sinh chưa nắm vững định nghĩa, khái niệm, tính chất bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức, kinh nghiệm giải toán chứng minh bất đẳng thức cịn 3) Học sinh chưa đọc kỹ đề bài, chưa hiểu rõ toán vội lao vào làm 4) Những thiếu sót học sinh lại lỗi người thầy phương pháp dạy học mình, giáo viên cịn chủ quan, chưa đào sâu kiến thức bản, chưa hệ thống cho phương pháp kinh nghiệm giải toán chứng minh bất đẳng thức CHƯƠNG IV: MỘT SỐ GIẢI PHÁP DẠY HỌC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP MƠN TỐN CHO HỌC SINH LỚP a Về nhận thức, tư tưởng Việc nâng cao chất lượng trí dục cho học sinh nói chung, việc nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn nói riêng việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán vấn đề cấp bách, việc làm thường xuyên liên tục Lớp học sinh hơm chủ nhân tương lai Nếu em không chăm sóc, bồi dưỡng để nâng cao chất lượng học tập mơn thiệt thịi lớn cho em cho xã hội Để đáp ứng yêu cầu ngày cao xã hội, yếu tố người thầy đóng vai trị then chốt để có trị giỏi Đó người thầy có phẩm chất tốt, có lực sư phạm, lực chun mơn Đó người thầy có trách nhiệm, nhiệt tình, say mê với cơng việc, thương u học sinh Người thầy phải có kiến thức sâu rộng, có phương pháp giảng dạy tốt, người thầy biết động viên, gây hứng thú say mê học tập cho học sinh, người thầy biết đánh thức tiềm tiềm ẩn trò Bất đẳng thức nội dung thường gặp đề thi lớp 8, lớp 9, thi vào lớp 10 THPT, có nhiều ứng dụng giải nhiều dạng, loại toán khác nhau, mà số tiết dạy lớp theo phân phối chương trình lại có tiết Nếu người thầy không tổ chức hướng dẫn em đầu tư thêm thời gian, đưa biện pháp bồi dưỡng thích hợp khó cho học sinh việc nắm bắt làm dạng toán b Công tác tổ chức, sở vật chất kỹ thuật phục vụ cho dạy học b.1)Tổ chức lớp học bồi dưỡng: Việc em học khố quan trọng, xong việc tổ chức ngoại khoá cần thiết lớp có nhiều đối tượng học sinh mà đa số em có học lực trung bình, số cịn yếu, số giỏi Nếu giáo viên mở rộng đưa tốn khó làm đa số em ngày chán học Vì ngồi học chương trình đại trà, cần có thêm thời gian bồi dưỡng chuyên đề “ Chứng minh bất đẳng thức ”, trình dạy học chun đề khác ơn tập, giáo viên ln có ý thức xen kẽ thời gian đưa dạng toán, toán NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 17 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN chứng minh bất đẳng thức để học sinh luyện tập, rèn luyện kỹ giải toán, nắm vững phương pháp chứng minh b.2) Cơ sở vật chất kỹ thuật phục vụ dạy học a) Phịng học: lên kế hoạch bố trí phòng học ổn định, bảo đảm lớp học bồi dưỡng đặn b) Sưu tầm, in ấn tài liệu: xây dựng thành tư liệu riêng dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi, soạn thành soạn riêng từ hướng dẫn học sinh học tập b.3) Đổi phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức Trong trình dạy học chủ đề chứng minh bất đẳng thức thực tốt số biện pháp sau: - Tổ chức dạy học qua học phân hố: Dựa trình độ giỏi, khá, trung bình, yếu mà giáo viên giao cho học sinh làm nhiệm vụ tương ứng vừa sức với đối tượng học sinh - Giao tập cá biệt: Căn vào nội dung kiến thức bài, vào đặc điểm học sinh để giao tập, yêu cầu học sinh thực tình cụ thể tập - Chủ đề “ Chứng minh bất đẳng thức “ chủ đề mơn Tốn 8, giáo viên đưa cho em tự chọn Xây dựng thành chủ đề phương pháp nhỏ để học sinh dễ tiếp cận nắm cách giải - Tạo cho học sinh thói quen tìm kiếm phát dấu hiệu chất tư sáng tạo như: tìm hiểu kỹ giả thiết kết luận toán - Thường xuyên đề để em tự học nhà: Đối với tốn khó lạ giáo viên hướng dẫn thêm để em nhà tiếp tục suy nghĩ làm Giáo viên kiểm tra chấm chữa tỉ mỉ để em rút sai lầm mắc phải q trình giải tập 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a Kết đạt Dạy học chứng minh bất đẳng thức nội dung thiếu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn thi vào lớp 10 THPT Do để học sinh làm tốt chủ đề cần có tài liệu tham khảo tốt, phù hợp với học sinh, hướng dẫn học sinh với chủ đề “ Chứng minh bất đẳng thức đại số ” học sinh bước đầu có tiến bộ, thể rõ số mặt sau đây: • Biết phân tích cách chu xây dựng cách giải toán chứng minh bất đẳng thức • Nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tránh sai lầm thường gặp chứng minh bất đẳng thức • Nhiều em biết vận dụng linh hoạt phương pháp chứng minh bất đẳng thức Điều quan trọng : suy luận tốn học sinh có hệ thống, lơgíc chặt chẽ, khả tư duy, tìm tịi độc lập phát huy • Tạo móng vững cho em tiếp thu kiến thức lớp 9, thuận lợi cho việc bổ sung hoàn thiện phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp em tự tin, giành kết cao học tập Bảng khảo sát học sinh sau nghiên cứu đề tài NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 18 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN SĨ SỐ LỚP Đội tuyển HSG toán 8 MỨC ĐỘ HIỂU BÀI CỦA HỌC SINH Kiến thức Kiến thức nâng cao SL % SL % 100 100 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Sau thực nghiệm đề tài “ Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn cho học sinh lớp ” Trường THCS Quảng Thái kết cho thấy : Học sinh biết nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức giải loại tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ nên dễ tìm cách giải, qua phát triển tư nâng cao lực sáng tạo Bất đẳng thức chuyên đề khó , phức tạp, phong phú với nhiều phương pháp giải học sinh thường gặp phải giải toán.Để học sinh chọn lựa phương pháp phù hợp cần phải nghiên cứu đầu tư thời gian nhiều Trong phạm vi đề tài, với khả có hạn, chắn đề tài cịn có hạn chế thiết sót Rất mong góp ý chân thành thầy, giáo để đề tài hồn thiện có tác dụng 3.2 Đề xuất, kiến nghị Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, phụ đạo cho học sinh yếu để em có khả tìm hiểu sâu kiến thức Nên có chuyên đề tự chọn để giáo viên học sinh trao đổi vấn đề cách cởi mở, từ rút phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Quảng Xương, ngày 11 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết ĐỖ ĐÌNH CHIẾN NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 19 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Chương I : Cơ sở lý thuyết phương pháp chứng minh bất đẳng thức I Định nghĩa bất đẳng thức II Các tính chất bất đẳng thức III Các bất đẳng thức Chương II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức I Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức II Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương III Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức IV Phương pháp làm trội V Phương pháp phản chứng VI Phương pháp vận dụng bất đẳng thức phân số VII Phương pháp vận dụng toán giá trị tuyệt đối VII Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ tổng bình phương IX Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng X Phương pháp xét khoảng giá trị biến XI Phương pháp đổi biến XII Phương pháp thứ tự biến XIII Phương pháp quy nạp tốn học XIX Phương pháp phân tích số hạng Chương III: Những sai lầm thường gặp học sinh lớp chứng minh bất đẳng thức Chương IV: Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn cho học sinh lớp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 1 2 2 2 3 5 8 10 11 NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 20 12 13 13 14 15 16 17 18 19 20 20 20 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đề thi hsg toán huyện Quảng Xương năm học 2015-2016 [2] Đề thi hsg toán huyện Quảng Xương năm học 2017-2018 TT Tài liệu Nhà xuất Sách giáo khoa Toán (tập1) Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Sách tập Toán (tập1) Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Toán nâng cao chuyên đề đại số Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Toán bồi dưỡng học sinh lớp đại số Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Nâng cao phát triển toán Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Các dạng toán phương pháp giải toán Nhà xuất Giáo dục Việt Nam NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 21 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Chức vụ đơn vị cơng tác: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN Trường THCS Quảng Thái TT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn tốn cho học sinh lớp Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi mơn Tốn Kết Cấp đánh giá xếp Năm học đánh giá loại đánh giá xếp loại xếp loại Phòng GD&ĐT huyện Quảng Xương C 2014 Phòng GD&ĐT huyện Quảng Xương B 2015 Phòng GD&ĐT huyện Quảng Xương B 2017 NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI 22 ... pháp chứng minh bất đẳng thức • Những sai lầm thường gặp học sinh lớp giải toán chứng minh bất đẳng thức • Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn... kiến thức bản, chưa hệ thống cho phương pháp kinh nghiệm giải toán chứng minh bất đẳng thức CHƯƠNG IV: MỘT SỐ GIẢI PHÁP DẠY HỌC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP MƠN TỐN CHO. .. dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi, soạn thành soạn riêng từ hướng dẫn học sinh học tập b.3) Đổi phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức Trong trình dạy học chủ đề chứng minh bất đẳng thức