ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TOÁN 9+ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HÌNH HỌC SỐ HỌC TỔNG HỢP KIẾN THỨC TÌM KIẾM HỌC SINH GIỎI ĐI THI CẤP TỈNH TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN ĐA DẠNG CÓ TÍNH SÀN LỌC HỌC SINH CAO

Phòng GD- ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Trường THCS Nguyễn Viết Xuân Năm học: 2017 – 2018 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (5đ) Rút gọn biểu thức sau: �x  x � � � P  1 x �   � � �2 x  � � 1 x x� � � �   a Rút gọn P b Tính giá trị P x   c Chứng minh: P  Baøi 2: (5đ) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m – = (m tham số) Với giá trò m phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 18   x1 vaø x2 cho x2 x1 Baøi 3: (2đ) Tìm số tự nhiên n để n + 18 n – 41 hai số phương Bài 4: (8đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm M BC b) ∆ABC ∆AEF c) BDF = CDE d) H cách cạnh tam giác DEF Heát Phòng GD- ĐT Chưprông Trường THCS Nguyễn Viết Xuân THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài 1: (5ñ) a) (2ñ) ĐK: x �0; x �1 �x  x � � � P  1 x �   � � �2 x  � � 1 x x� � � � � x   x ��x  x  (2 x  1) �  1 x � �� � x 1 �(1  x ) x �� � � x   x ��x  x  x  �  1 x � �� � �(1  x ) x �� x  � � x 1 � �x  x  �  1 x � � � � � � (1  x ) x � � �2 x 1 �  b)(1,5ñ)    0,5ñ   0,5ñ   0,5ñ  x 1 x  x  x x 1 0,25ñ  x  x 1 x 0,25đ Ta có: x   = (2 - )2 0,25ñ � x  2 0,25đ Vậy: P      1 2 0,25ñ 62 2 0,25ñ 3(2  3) 3 2 0,5đ c) Ta có: P x  x 1 x  x  �2 x x 1 x ۳ P Dấu “=” xảy khi: x 0,5ñ 0,25ñ � x 1 x 0,25đ mà x = không thuộc TXĐ 0,25đ Vậy P > 0,25ủ Baứi 2: (5ủ) Phơng trình x  2mx  m  m   :  '  m2   m2  m    m  0,25ñ Để phơng trình x 2mx m  m   cã hai nghiƯm th×  ' �0 : 0,25đ Tức là: m + � ۳ m  (1) 0,25đ Với điều kieän (1): x1 x2 18   x2 x1 x12  x22 18 �  x1 x2 x x  � 2  x1 x2 x1 x2 0,5đ  18 0,5đ vµ x1 x2 �0 �m  m  � 18 � ( 2 m )  � � �m  m  � 0,5ñ 4m   m  m   18 m m6 2 4m  2m  2m  12 18 �  m2  m  2m  2m  12 18 �  m2  m  m m6 �   m �2; m �3 m m6 � 7(m2 + m + 6) = 9(m2 – m – 6) � 0,25ñ  0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ � 2m2 – 16m – 96 = 0,25ñ 0,25ñ � m  8m  48  0,5ñ  ' = 64 �  '  � m1 = 12 ; m2 = -4 (tháa ®iỊu kiƯn (1) vµ m �2; m �3 ) 0,5đ Baứi 3: (2ủ) Để n 18 n 41 hai số phơng n 18  p vµ n  41  q  p, q �N � p  q   n  18    n  41  59 2 �  p  q   p  q   59 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ �p  q  �p  30 �� �p  q  59 �q  29 Nhng 59 lµ sè nguyªn tè, nªn: � 0.5đ Tõ n  18  p  302  900 suy n  882 Thay vào n 41 , ta đợc 882  41  841  292  q 0,25đ 0,25đ VËy víi n  882 th× n  18 n 41 hai số phơng 0,25đ Bài 4: (8đ) A E F B H C D M G a) (2đ) Ta có BG AB, CH AB, nên BG //CH Tương tự: BH AC, CG AC, nên BH//CG 0,5đ 0,5đ Tứ giác BGCH có cặp cạnh đối sơng song nên hình bình hành Do hai đường chéo GH BC cắt trung điểm đường Vậy GH qua trung điểm M BC b) (2,5ñ) Do BE CF đường cao tam giác ABC nên tam giác ABE ACF vng Xét hai tam giác vng ABE ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng AB AE AB AF  �  (1) Từ suy AC AF AE AC Hai tam giác ABC AEF có góc A chung (2) Từ (1) (2) ta suy ∆ABC ∆AEF c) (1,5ñ) Chứng minh tương tự ta ∆BDF ∆BAC ∆EDC ∆BAC suy ∆BDF ∆DEC BDF = CDE d) (2ñ) Ta có 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ BDF = CDE (c/m trên) � 900 – BDF = 900 – CDE � AHB – BDF = AHC – CDE � ADF = ADE � DH tia phân giác EDF Chứng minh tương tự ta có FH tia phân giác EFD Từ suy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H ba cạnh tam giác DEF 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ ...Phòng GD- ĐT Chưprông Trường THCS Nguyễn Viết Xuân THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài 1: (5ñ)