®Ò thi gi¸o viªn giái cÊp huyÖn phßng gd ®t N¨m häc: 2019 2020 ............ M«n thi: To¸n (THCS) ( Thêi gian lµm bµi : 120 phót) ............ ................................................................. Bµi 1: ( 2 ®iÓm ) a Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× n5 vµ n lu«n cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau. b Chøng minh r»ng ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n ( n N ) Bµi 2: ( 2 ®iÓm ) a Chøng minh r»ng. NÕu a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n: a + b + c = 2008 (1) vµ (2) th× trong ba sè a, b, c ph¶i cã mét sè b»ng 2008. b Gi¶i ph¬ng tr×nh : Bµi 3: ( 1,5 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh: ( m lµ tham sè ) a T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm . b Chøng minh r»ng : ( x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ) Bµi 4 : ( 3 ®iÓm ) Híng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp sau: Cho ®êng trßn (O;R) ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. H lµ ®iÓm thuéc ®o¹n OB sao cho HB = 2HO. KÎ d©y CD vu«ng gãc víi AB t¹i H. Gäi E lµ ®iÓm di ®éng trªn cung nhá CB sao cho E kh«ng trïng víi C vµ B. Nèi A víi E c¾t CD t¹i I. a Chøng minh r»ng AD2 = AI.AE b TÝnh AI.AE – HA.HB theo R c X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm E ®Ó kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp DIE ng¾n nhÊt. Bµi 5: ( 1, 5 ®iÓm ) Cho tam gi¸c cã c¸c sè ®o ba ®êng cao lµ c¸c sè nguyªn, b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c b»ng 1. Chøng minh r»ng tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu. (§Ò dù bÞ ®Ò thi gåm 01 trang)
đề thi giáo viên giỏi cấp huyện Năm học: 2019- 2020 Môn thi: Toán (THCS) ( Thời gian làm : 120 phòng gd- đt *** phút) Bµi 1: ( ®iĨm ) a/ Chøng minh r»ng víi mäi số tự nhiên n n n cã ch÷ sè tËn cïng gièng b/ Chøng minh phân số 12n phân số tối giản ( n N ) 30n Bài 2: ( ®iĨm ) a/ Chøng minh r»ng NÕu a, b, c ba số thoả mÃn: a + b + c = 2008 (1) vµ 1 1 (2) th× ba sè a, b, c ph¶i cã mét sè a b c 2008 b»ng 2008 1 1 x x 1 x 2x Bài 3: ( 1,5 điểm ) Cho phơng trình: x 5mx 4m ( m tham số ) b/ Giải phơng trình : a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm b/ Chøng minh r»ng : x12 5mx2 4m �0 ( x1, x2 nghiệm phơng trình ) Bài : ( điểm ) Hớng dẫn học sinh giải tập sau: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định H điểm thuộc đoạn OB cho HB = 2HO Kẻ dây CD vuông góc với AB H Gọi E điểm di động cung nhỏ CB cho E không trùng với C B Nối A với E cắt CD I a/ Chøng minh r»ng AD2 = AI.AE b/ TÝnh AI.AE HA.HB theo R c/ Xác định vị trí điểm E để khoảng cách từ H đến tâm đờng tròn ngoại tiếp DIE ngắn Bài 5: ( 1, điểm ) Cho tam giác có số đo ba đờng cao số nguyên, bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác (Đề dự bị - đề thi gồm 01 trang) đáp án đề thi giáo viên giỏi cấp huyện môn toán THCS Bài 1: a/ Ta cã n5 – n = 5(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) Chia hÕt cho vµ � n5 n M 10 n5 n có chữ số tận giống (1 điểm ) b/ Gọi d ớc chung lín nhÊt cđa 12n+1 vµ 30n +2 � 12n 1Md ,30n 2Md � 24n 2Md � 30n 24n Md � 6nMd � 12n Md mµ 12n 1Md � 1Md � d � 12n phân số tối giản 30n ( điểm ) Bài 2: 1 1 � a b b c c a a b c abc � a+b = kÕt hỵp víi (1) c = 2008 b+c = kết hợp víi (1) � a = 2008 hc a+c = kÕt hỵp víi (1) � b = 2008 a/ Tõ (1) vµ (2) suy VËy ba sè a , b, c cã mét sè = 2008 ( ®iÓm ) b/ cã 1 1 1 1 1 � (*) ®kx®: x �1; 2; 2x x 1 x 2x 2 x x 1 x 2 x 2 Đặt a = 2x + 1, b = x - 1, c = - x- a + b + c = 2x - 1 1 Phơng trình (*) trở thành theo kết câu a ta a b c abc a b b c c a a + b = � x x � x 0(t / m) hc b + c = � x x ( vô lí) a + c = � x x � x � x ( loại) Vậy phơng trình có nghiệm là: x = ( điểm ) Bài 3: a/ Ta cã 25m 16m §Ĩ phơng trình có nghiệm 25m 16m �0 � m �0 hc m 16 � 25 ( 0,5 điểm ) b/ Vì x1 nghiệm phơng trình nên ta có x12 5mx1 4m � x12 5mx1 4m � x12 5mx2 4m 5mx1 4m 5mx2 4m 5m x1 x2 5m.5m 25m �0 ( V× theo viet ta cã x1 + x2 = 5m ) ( ®iĨm ) Bµi 4: �AD AH AB (htl ) đồng dạng) AE AI AH AB ( AIH , ABE a/ AD2 = AE.AI � � ( ®iĨm ) b/ Ta cã AI.AE –HA.HB = AD2 – HD2 = AH2 = ( OA+OH)2 =( R+ R ) = 16 R ( ®iĨm ) c/ Kẻ Dx DI D cắt EB kéo dài F Tứ giác DIEF nội tiếp (tổng hai góc đối = 1800) đờng tròn ngoại tiếp DIE trùng với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DIEF có đờng kính IF Gọi K giao điểm IF BD K tâm đờng tròn ngoại tiếp DIE HK ngắn HK BD �K � KD = víi ( K; 4R ) 3 4R � E �giao ®iĨm cđa (O;R) 3 ( E � cung nhá BC cđa ®êng tròn tâm O ) ( điểm ) Bài 5: Gọi a, b, c ba cạnh tam giác h a, hb, hc ba đờng cao ứng với cạnh a, b, c r bán kính đờng tròn nội tiếp, S diện tích tam giác Đặt = x, hb= y, hc =z ( x,y,z �N * ) Ta cã 2S = ax = by = cz = r(a+b+c)= a + b + c ( v× r = 1) b + c > a ( t/c bất đẳng thức tam giác ) a + b + c > 2a � ax 2a � x t¬ng tù y >2, z >2 x y z z a b c a bc 1 � 1(*) Ta l¹i cã ax = by = cz = 1/ x 1/ y 1/ z 1/ x 1/ y 1/ z x y z � � z mµ z > � z =3 thay vào ( *) ta đợc x = y = z Gi¶ sư : x �y �z Vậy tam giác đà cho tam giác ( 1,5 điểm ) ...(Đề dự bị - đề thi gồm 01 trang) đáp án đề thi giáo viên giỏi cấp huyện môn toán THCS Bµi 1: a/ Ta cã n5 – n = 5(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)... ngoại tiếp tứ giác DIEF có đờng kính IF Gọi K giao điểm IF BD K tâm đờng tròn ngoại tiếp DIE HK ngắn � HK BD �K � KD = víi ( K; 4R ) 3 4R � E ? ?giao ®iĨm cña (O;R) 3 ( E � cung nhá BC đờng