Đang tải... (xem toàn văn)
Trường THCS ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC HỘI ĐỒNG THI Môn: TOÁN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 90 phút Họ và tên: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ngày tháng năm sinh: …………………………………………………………………………………………………………………….. Chuyên môn đào tạo: ………………………………………………………………………………………………………………………. Số năm công tác: …………………………………………………………………………………………………………………………………… Chức vụ, đơn vị công tác: …………………………………………………………………………………………………………… PHẦN KIỂM TRA KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN (6 điểm) 1. ĐỀ BÀI: Bài 1: (1 điểm) Một học sinh đ giải bi tốn: “ Tìm GTLN của biểu thức f(x) = x + 12x3x2 ” như sau: Điều kiện để f(x) có nghĩa: 1 2x 3x2 > 0 (x + 1)(1 3x) > 0 1 < x < 13 () Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cĩ: f(x) = 1.x + 1. 12x3x2 1+1 . x2+(12x3x2) = 2 . 2(x+12)2+32 3 Với x = 12 thỏa mn () thì 2(x + 12)2 = 0. Vậy f(x) đạt GTLN là 3 khi x = 12. a) Hy tìm những sai lầm trong lời giải bi tốn trn. b) Anh (chị) hy giải lại cho đúng. Bài 2: (2 điểm) Anh (chị) giải cc bi tốn sau: a) Tìm số nguyn n để 3n+5n+1 l số nguyn b) Tìm cc số x, y, z biết: x2 = y3; y5 = z4 v x y + z = 49 c) Giải phương trình : 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = 0 Bài 3: (3 điểm) Cho bi tốn: “Cho hình thang vuơng ABCD (A = B = 900) v điểm O là trung điểm của AB. Đường trịn tm O, đường kính AB tiếp xúc với CD. Chứng minh rằng: COD= 900 a) Giải bi tốn trn. b) Hy pht biểu bi tốn đảo của bài toán trên và chứng minh bài toán đảo đó. HẾT 2. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM 1 (1,0đ) a Sai lầm 1: ĐK để f(x) có nghĩa: 1 2x 3x2 0 Sai lầm 2: Với x = 12 thì chỉ cĩ BĐT 2 . 2(x+12)2+32 3 trở thành đẳng thức nên f( 12 ) < 3 0,25đ 0,25đ b Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 12x3x2 = (1+x)(13x) (1+x)+(13x)2 = 1 x, với x 1;13 Do đó f(x) x + (1 x) = 1 => Maxf(x) = 1 1 + x = 1 3x x = 0 (Tm ĐK x 1;13) 0,25đ 0,25đ 2 (2,0đ) a Ta cĩ: 3n+5n+1 = 3(n+1)+2n+1 = 1 + 2n+1 Để 3n+5n+1 nguyn thì 2n+1 nguyn 2 (n+1) => n + 1 2;1;1;2 => n 3;2;0;1 0,25 b Từ x2 = y3; y5 = z4 => x10 = y15; y15 = z12 => x10 = y15 = z12 Theo tính chất dy tỉ số bằng nhau ta cĩ: x10 = y15 = z12 = xy+z1015+12 = 7 Suy ra: x10 = 7 => x = 70 y15 = 7 => y = 105 z12 = 7 => z = 84 0,5 0,5 0,25 c 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = 0 Nếu x = 0, thì phương trình trở thành 10 = 0 x = 0 (không là nghiệm của phương trình. Nếu x 0, ta có: 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = 0 10 150 = 0 Đặt x + = t = t2 – 2 Khi đó ta có phương trình: 10t2 – 77t + 130 = 0 Giải phương trình ta được: t1 = ; t2 = x + = 5x2 + 5 = 26x 5x2 26x + 5 = 0 Giải phương trình ta được: x1 = 5; x2 = 0,2 x + = 2x2 + 2 = 5x 2x2 5x + 2 = 0 Giải phương trình ta được: x3 = 2; x4 = 0,5 Vậy phương trình có nghiệm: x1 = 5; x2 = 0,2; x3 = 2; x4 = 0,5 0,5
Trường THCS ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC HỘI ĐỒNG THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn: TỐN Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 90 phút Họ tên: Điểm số: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… … Ngày tháng năm sinh: Điểm chữ: …………………………………………………………………………………………………………………… Chuyên môn đào tạo: ……………………………………………………………………………………………………………………… Số năm công tác: …………………………………………………………………………………………………………………………………… Chức vụ, đơn vị công tác: …………………………………………………………………………………………………………… PHẦN KIỂM TRA KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN (6 điểm) ĐỀ BÀI: Bài 1: (1 điểm) Một học sinh đ giải bi tốn: “ Tìm GTLN biểu thức f(x) = x + ” sau: Điều kiện để f(x) có nghĩa: - 2x - 3x2 > � (x + 1)(1 - 3x) > � -1 < x < (*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cĩ: f(x) = 1.x + = Với x = - thỏa mn (*) -2(x + )2 = Vậy f(x) đạt GTLN x = - a) Hy tìm sai lầm lời giải bi tốn trn b) Anh (chị) hy giải lại cho Bài 2: (2 điểm) Anh (chị) giải cc bi tốn sau: a) Tìm số nguyn n để l số nguyn b) Tìm cc số x, y, z biết: = ; = v x - y + z = - 49 c) Giải phương trình : 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = Bài 3: (3 điểm) Cho bi tốn: “Cho hình thang vuơng ABCD (A = B = 900) v điểm O trung điểm AB Đường trịn tm O, đường kính AB tiếp xúc với CD Chứng minh rằng: COD= 900 a) Giải bi tốn trn b) Hy pht biểu bi tốn đảo toán chứng minh tốn đảo HẾT ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM a (1,0đ) b 0,25đ - Sai lầm 1: ĐK để f(x) có nghĩa: - 2x - 3x2 - Sai lầm 2: Với x = - cĩ BĐT trở thành đẳng thức nên 0,25đ f(- ) < Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: = = - x, với x Do f(x) x + (1 - x) = => Maxf(x) = + x = - 3x x = (T/m ĐK x ) 0,25đ 0,25đ a (2,0đ) b Ta cĩ: = = + Để nguyn nguyn (n+1) => n + => n Từ = ; = => = ; = => = = Theo tính chất dy tỉ số ta cĩ: = = = =-7 Suy ra: = => x = - 70 = => y = - 105 = => z = - 84 0,25 0,5 0,5 0,25 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = * Nếu x = 0, phương trình trở thành 10 = � x = (khơng nghiệm phương trình * Nếu x � 0, ta có: 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = 0,5 � � 1� � � 10 �x � 77 �x � 150 = x � � x� � 1 Đặt x + = t � x = t2 – x x Khi ta có phương trình: 10t2 – 77t + 130 = c Giải phương trình ta được: t1 = * x+ 26 ; t2 = 26 = x � 5x2 + = 26x � 5x2 - 26x + = Giải phương trình ta được: x1 = 5; x2 = 0,2 * x+ = x � 2x2 + = 5x � 2x2 - 5x + = a Giải phương trình ta được: x3 = 2; x4 = 0,5 Vậy phương trình có nghiệm: x1 = 5; x2 = 0,2; x3 = 2; x4 = 0,5 Gọi M tiếp điểm CD (O) D Ta cĩ ABCD l hình thang vuơng A M => AD AB C => DA v DM cng l tiếp tuyến (O) => OD l phn gic AOM Tương tự ta có OC phân giác BOM O A B => COD = 900 Vẽ hình: (0,5) (Tính chất phn gic hai gĩc kề b ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài toán đảo: Cho hình thang vuơng ABCD (Vuơng A v B), O trung 0,5 điểm AB thỏa mn điều kiện COD = 900 Chứng minh đường trịn tm O, đường kính AB tiếp xúc với CD D K M C A b (3,0đ) O B Chứng minh: Gọi K trung điểm CD, suy ra: 0,25 - Vì COD = 900 nn COD vuơng O => KOD = KDO (1) - Vì O l trung điểm AB nên OK đường trung bình hình thang ABCD => OK ∥? AD 0,25 => KOD = ADO( so le ) (2) Từ (1) v (2) => ADO = KDO 0,25 => ADO = MDO ( cạnh huyền - gĩc nhọn) => OM = OA => M (O) Suy CD tiếp xc với (O) M 0,25 Trường THCS ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC HỘI ĐỒNG THI Mơn: TỐN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 90 phút Họ tên: Điểm số: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… … Ngày tháng năm sinh: Điểm chữ: …………………………………………………………………………………………………………………… Chuyên môn đào tạo: ……………………………………………………………………………………………………………………… Số năm công tác: …………………………………………………………………………………………………………………………………… Chức vụ, đơn vị công tác: …………………………………………………………………………………………………………… PHẦN KIỂM TRA KIẾN THỨC CHUYÊN MƠN (6 điểm) ĐỀ BÀI: Bài 1: (1 điểm) Tìm số x, y ,z biết : x 1 y z 1 x – 2y + 3z = 14 Thầy (cô ) hướng dẫn học sinh giải toán hai cách Bài 2: (1 điểm) Cho phương trình : x2 -5mx – 4m = (m tham số ) a)Tìm m để phương trình có nghiệm ? b)Chứng minh : x12 + 5mx2 - 4m �0 (x1 ; x2 nghiệm phương trình) Thầy (cơ ) giải toán Bài 3: (1 điểm) Giải phương trình sau : 1 1 2x 1 x 1 x 2x Bài 4: (3 điểm) Từ điểm I đường tròn (0), vẽ tiếp tuyến IA IB đến đường tròn(0),(A, B tiếp điểm ) Gọi M trung điểm IB ; AM cắt đường tròn (0)tại điểm thứ K Gọi C giao điểm IO AO a) Chứng minh : IO AB b) Chứng minh tứ giác BMKC nội tiếp AB2 = 2AK AM Thầy (cô ) giải toán ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CÁCH 1: Ta có : x 1 y z 1 x – 2y + 3z = 14 x y z x y 3z = 12 x y z 14 1 = 12 x 1 1 � x – = � x = y2 1 � y – = � y = z 3 1 � z – = � z = x 1 y z 1 CÁCH 2: Đặt: =t � x = 2t + ; y = 3t + ; z = 3t + Suy : (1,0đ) Từ đẳng thức x – 2y + 3z = 14 Ta có: 2t + – 2(3t + 2) + 3(3t + 4) = 14 � 5t + = 14 � 5t = 14 – � t =1 � Từ đó: x = 2t + x = 2.1 + = � y = 3t + y = 3.1 + = � z = 3t + z = 3.1 + = 0,25đ 0,25đ Phương trình: x2 – 5mx – 4m = Ta có: = b2 – 4ac = (-5m)2 – 4.1.(-4m) = 25m2 + 16m Để phương trình có nghiệm thì: = 25m2 + 16m �0 a � m �0 m � 16 25 Vì x1 nghiệm phương trình: Nên ta có: x12 – 5mx1 – 4m = � x12 = 5mx1 + 4m � x12 – 5mx2 – 4m = 5mx1 + 4m + 5mx2 – 4m = 5m(x1 + x2) = 5m 5m = 25m2 �0 (Vì theo định lý Viét x1 + x2 = 5m) b (2,0đ) 0,25 0,5 0,5 0,25 (2,0đ) 1 1 2x x x 2x 1 1 � (*) 2x x x 2x 1 ĐKXĐ: x �1 ; x � 2; x � Đặt a = 2x + 1; b = x – 1; c = -x + � a + b + b = 2x – Phương trình (*) trở thành: 1 1 a b c a bc � � � � � � � � � bc( a + b + c) + ac(a + b + c) + ab(a + b + c) = abc (a + b + c)(bc + ac + ab) – abc = abc + a2c + a2b + b2c + abc + ab2 + c2b + c2a + abc – abc = (abc + b2c) + (a2c + abc) + (a2b + ab2) + (bc2 + ac2) = bc(a + b) + ac(a + b) + ab(a + b) + c2(b + a) = (a + b)(bc + ac + ab + c2) = (a + b)[(bc + ab) + (ac + c2)] = (a + b)[b(c + a) + c(a + c)] = (a + b)(a + c)(b + c) = * a + b = � 2x + + x – = � x = (TMĐK) b + c = � x – – x – = (vô lý) c + c = � 2x + – x – = � x – = � x = (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = Tập nghiệm phương trình: S = {0} a A K 0,25 I O M (2,0đ) B b Ta có: IA = IB (t/c tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R Nên IO đường trung trực AB hay IO AB Có MI = MB (gt) CA = CB � MC đường trung bình ABI � MC // AI � CMA = IAM (so le trong) Mà IAM = IAK = KBA � CMA = KBA � CMK = KBC Tứ giác BMKC có: CMK = KBC � tứ giác BMKC nội tiếp Xét AKB ACM có: A chung CMA = KBA � AKB ACM (g – g) AB AK AM AC AB AK � AM AB � AB = 2AK.AM � 0,5 0,5 0,25 Trường THCS ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC HỘI ĐỒNG THI Mơn: TỐN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 90 phút Họ tên: Điểm số: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… … Ngày tháng năm sinh: Điểm chữ: …………………………………………………………………………………………………………………… Chuyên môn đào tạo: ……………………………………………………………………………………………………………………… Số năm công tác: …………………………………………………………………………………………………………………………………… Chức vụ, đơn vị cơng tác: …………………………………………………………………………………………………………… PHẦN KIỂM TRA KIẾN THỨC CHUN MƠN (6 điểm) ĐỀ BÀI: Bài 1: (1 điểm) Tìm số x, y ,z biết : x 1 y z 1 x – 2y + 3z = 14 Thầy (cô ) hướng dẫn học sinh giải toán hai cách Bài 2: (1 điểm) Một học sinh đ giải bi tốn: “ Tìm GTLN biểu thức f(x) = x + ” sau: Điều kiện để f(x) có nghĩa: - 2x - 3x2 > � (x + 1)(1 - 3x) > � -1 < x < (*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cĩ: f(x) = 1.x + = Với x = - thỏa mn (*) -2(x + )2 = Vậy f(x) đạt GTLN x = - a) Hy tìm sai lầm lời giải bi tốn trn b) Thầy (cô) hy giải lại cho Bài 3: (1 điểm) Giải phương trình sau : 1 1 2x 1 x 1 x 2x Bài 4: (3 điểm) Cho bi tốn: “Cho hình thang vuơng ABCD (A = B = 900) v điểm O trung điểm AB Đường trịn tm O, đường kính AB tiếp xc với CD Chứng minh rằng: COD= 900 a)Giải bi tốn trn b)Hy pht biểu bi tốn đảo tốn chứng minh tốn đảo ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM (1,0đ) CÁCH 1: Ta có : x 1 y z 1 x – 2y + 3z = 14 x y z x y 3z = 12 0,25đ = x y z 14 1 12 x 1 1 � x – = � x = y2 1 � y – = � y = z 3 1 � z – = � z = x 1 y z 1 CÁCH 2: Đặt: =t � x = 2t + ; y = 3t + ; z = 3t + Suy : Từ đẳng thức x – 2y + 3z = 14 Ta có: 2t + – 2(3t + 2) + 3(3t + 4) = 14 � 5t + = 14 � 5t = 14 – � t =1 � Từ đó: x = 2t + x = 2.1 + = � y = 3t + y = 3.1 + = � z = 3t + z = 3.1 + = a b (2,0đ) - Sai lầm 1: ĐK để f(x) có nghĩa: - 2x - 3x2 - Sai lầm 2: Với x = - cĩ BĐT trở thành đẳng thức nên f(- ) < Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: = = - x, với x Do f(x) x + (1 - x) = => Maxf(x) = + x = - 3x x = (T/m ĐK x ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (1,0đ) 1 1 2x x x 2x 1 1 � (*) 2x x x 2x 1 ĐKXĐ: x �1 ; x � 2; x � Đặt a = 2x + 1; b = x – 1; c = -x + � a + b + b = 2x – 0,25đ Phương trình (*) trở thành: 1 1 a b c a bc � � � � � � � � � bc( a + b + c) + ac(a + b + c) + ab(a + b + c) = abc (a + b + c)(bc + ac + ab) – abc = abc + a2c + a2b + b2c + abc + ab2 + c2b + c2a + abc – abc = (abc + b2c) + (a2c + abc) + (a2b + ab2) + (bc2 + ac2) = bc(a + b) + ac(a + b) + ab(a + b) + c2(b + a) = (a + b)(bc + ac + ab + c2) = (a + b)[(bc + ab) + (ac + c2)] = (a + b)[b(c + a) + c(a + c)] = (a + b)(a + c)(b + c) = * a + b = � 2x + + x – = � x = (TMĐK) b + c = � x – – x – = (vô lý) c + c = � 2x + – x – = � x – = � x = (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = Tập nghiệm phương trình: S = {0} 0,5đ 0,25đ a D M C (3,0đ) 0,25 đ A O B Gọi M tiếp điểm CD (O) Ta cĩ ABCD l hình thang vuơng A => AD AB => DA v DM cng l tiếp tuyến (O) => OD l phn gic AOM 0,25đ 0,25đ 0,25đ Tương tự ta có OC phân giác BOM => COD = 900 (Tính chất phn gic hai gĩc kề b ) b D K M C 0,25đ A O B Bài tốn đảo: Cho hình thang vuơng ABCD (Vuơng A v B), O trung điểm AB thỏa mn điều kiện COD = 900 Chứng minh đường trịn tm O, đường kính AB tiếp xúc 0,5đ với CD Chứng minh: Gọi K trung điểm CD, suy ra: 0,25đ - Vì COD = 900 nn COD vuơng O => KOD = KDO (1) - Vì O l trung điểm AB nên OK đường trung bình hình 0,25đ thang ABCD => OK ∥? AD => KOD = ADO( so le ) (2) 0,25đ Từ (1) v (2) => ADO = KDO 0,25đ => ADO = MDO ( cạnh huyền - gĩc nhọn) => OM = OA => M (O) 0,25đ Suy CD tiếp xc với (O) M ... nhọn) => OM = OA => M (O) Suy CD tiếp xc với (O) M 0,25 Trường THCS ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC HỘI ĐỒNG THI Mơn: TỐN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 90 phút Họ tên:... AB AK AM AC AB AK � AM AB � AB = 2AK.AM � 0,5 0,5 0,25 Trường THCS ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC HỘI ĐỒNG THI Mơn: TỐN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 90 phút Họ tên:... vị cơng tác: …………………………………………………………………………………………………………… PHẦN KIỂM TRA KIẾN THỨC CHUN MƠN (6 điểm) ĐỀ BÀI: Bài 1: (1 điểm) Tìm số x, y ,z biết : x 1 y z 1 x – 2y + 3z = 14 Thầy (cô ) hướng