093 đề HSG toán 8 danh thắng 2017 2018

TRƯỜNG THCS DANH THẮNG ĐỀ THI KHẢ SAT HỌC SINH GIỎI LẦN Mơn: Tốn – NH 2017-2018 Thời gian: 120 phút Câu 1 Chứng minh B  x3 ( x2  7)2  36 x chia hết cho 105 với số nguyên x Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thoả mãn: 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a +  +  Chứng minh A = abcd số phương ab b+c cd d +a Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2  + ab Đáp án 2) a) 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a +  + 6 ab b+c cd d +a  1  a b c d +1+ 1 +1+ 6 ab b+c cd d +a a b c d +  + 2 ab b+c cd d +a 1 a b c d  1  0 ab b+c cd d +a  b b d d    0 ab b+c cd d +a  b(c - a) d(a - c)  0 (a  b)(b + c) (c  d )(d + a) 0,25 0,25  b(c  d )(d  a)  d (a  b)(b  c)   abc  acd  bd  b2d   (b  d )(ac  bd )  0,25  ac  bd   ac  bd (vì b ≠ d) 0,25 Vậy A = abcd = (ac)2 số phương 0,25 0,25 0,25 0,25 +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d    bc cd d a ab c   b d  a(d  a)  c(b  c) b(a  b)  d (c  d )  a        (b  c)(d  a) (c  d )(a  b) bc d a cd ab a  c  ad  bc b2  d  ab  cd 4(a  b2  c  d  ab  ad  bc  cd)    2 (a  b  c  d )2 b  c  d  a  c  d  a  b 4 F 0,5 (theo bất đẳng thức xy  (x  y)2 ) 2 2 +) Mặc khác: 2(a  b  c  d  ab  ad  bc  cd)  (a  b  c  d)  a  b2  c2  d  2ac  2bd  (a  c)2  (b  d)  Suy F  đẳng thức xảy  a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 0,25 0,25 Đẳng thức xảy  y = 2016; x = 2015 Với số a, b dương: Xét: a  b2   ab  a2 + b2 – ab  0,5  (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b) ( a + b > 0)  a3 + b3  a + b  (a3 + b3)(a3 + b3)  (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5  a6 + 2a3b3 + b6  a6 + ab5 + a5b + b6  2a3b3  ab5 + a5b 0.5 0.5 2  ab(a – 2a b + b )    ab a  b2  0,25   a, b > Vậy: a  b   ab với a, b dương a + b = a + b 3 5 0,25