Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng

Ngun hàm Tích phân & Ứng dụng I TĨM TẮT LÝ THUYẾT DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Chương Cho hàm số y = f ( x) liên tục K (khoảng, đoạn nửa khoảng) chứa đoạn [a; b] Công thức định nghĩa nguyên hàm, tích phân F ( x) nguyên hàm f ( x) K ⇔ F ( x) = f ( x), ∀ x ∈ K f ( x) d x = F ( x) + C ⇔ F ( x) = f ( x), ∀ x ∈ K (với C số thực bất kỳ) b a b b f ( x) d x = F ( x) a = F ( b) − F (a) Từ ta có F ( b) = F (a) + f ( x) d x a Tích chất nguyên hàm Mỗi hàm số f ( x) liên tục K có vơ số ngun hàm K Các nguyên hàm sai khác số C , nghĩa F ( x) G ( x) nguyên hàm f ( x) K F ( x) − G ( x) = C, ∀ x ∈ K [ f ( x) ± g( x)] d x = f ( x) d x ± f ( x) d x = f ( x) + C ; g ( x) d x; f ( x) d x, ∀ k ∈ R, k = k f ( x) d x = k f ( x) d x = f ( x); (giả sử f ( x), g( x) hàm số liên tục K ) Tích chất tích phân Cho hàm số f ( x), g( x) liên tục K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứa a, b, c Khi b a b a = f ( b) − f (a) b f ( x) d x = a a b f ( x)d x = f ( x) b f ( t) d t = a b b b k f ( x) d x = k a b a f ( u) d u a a a b f ( x) d x a b b f ( x) d x ± g ( x) d x f ( x) 0, ∀ x ∈ [ a ; b ] ⇒ a f ( x) d x a b f ( x) d x, ∀ k ∈ R c f ( x) d x = f ( x ) d x = f ( x) d x = − b a b [ f ( x) ± g( x)] d x = a a a f ( x) c f ( x) d x a x b f ( x) d x + 0, ∀ x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x) d x, ∀a, b, c ∈ K a f ( t) d t = f ( x), ∀a ∈ K 0 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Bảng nguyên hàm hàm số thông dụng Lưu ý: f ( x) d x = F ( x) + C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Nguyên hàm • dx = x + C • xα d x = • 1 d x = − +C x x2 • • xα+1 + C, α = −1 α+1 · F (ax + b) + C (a = 0) a Nguyên hàm mở rộng (đổi x thành ax + b, a = 0) • a d x = ax + C • (ax + b)α d x = • 1 d x = − · +C a ax + b (ax + b)2 dx = x + C • x dx = x x + C • x f (ax + b) d x = ax + b dx = ax + b d x = · ax + b + C a · (ax + b) ax + b + C 3a ax+b ·e +C a • ex d x = ex + C • ax a dx = +C ln a • a • d x = ln | x| + C x • 1 d x = · ln ax + b + C ax + b a • sin xd x = − cos x + C • sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a • cos xd x = sin x + C • cos(ax + b)d x = • d x = tan x + C cos2 x • • • x sin x d x = − cot x + C • • eax+b d x = (ax + b)α+1 · + C, α = −1 a α+1 mx+ n a mx+n dx = · +C m ln a cos2 (ax + b) sin(ax + b) + C a dx = · tan(ax + b) + C a 1 d x = − · cot(ax + b) + C a sin (ax + b) Một số công thức bổ sung để làm trắc nghiệm x2 − a2 dx = x−a +C ln 2a x+a • ax + b 1 dx = +C ln ad − cb cx + d (ax + b) ( cx + d ) • tan2 x d x = tan x − x + C • cot2 x d x = − cot x − x + C • tan x d x = − ln |cos x| + C • cot x d x = ln |sin x| + C • • • • x d x = ln tan + C sin x 1 +C d x = − · xn n − x n−1 x d x = arcsin +C | a| a2 − x2 dx = ln x + x2 + a + C x2 + a Ƅ Dương Phước Sang • • • • x π +C d x = ln tan + cos x n n x dx = ·x n x+C n+1 1 x d x = arctan +C a a x2 + a2 x a x2 + a d x = x2 + a + ln x + 2 x2 + a + C 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Cơng thức ngun hàm phần, tích phân phần Với u = u( x), v = v( x) hàm số có đạo hàm liên tục K ta có b v du a b a− u dv = uv b v du a Dưới bảng dạng nguyên hàm (tích phân) phần thường gặp: P ( x).eax+b d x P ( x) sin ax d x P ( x) cos ax d x eax cos x d x P ( x) ln x d x u P ( x) P ( x) P ( x) cos x ln x dv eax+b d x sin ax d x cos ax d x eax d x P ( x) d x (P ( x) ký hiệu cho đa thức ẩn x có dạng a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a x + a ) Phương pháp đổi biến số tốn ngun hàm, tích phân Nếu f ( x)d x = F ( x) + C f t( x) t ( x)d x = F t( x) + C Dạng tích phân Đặc điểm nhận dạng Cách đặt a.t( x) + b.t ( x) dx t( x) Đặt biểu thức mẫu t = t( x) f e t(x) t ( x) d x Đặt biểu thức phần số mũ t = t( x) f t( x) t ( x) d x Đặt biểu thức nằm bên dấu ngoặc t = t( x) f n t( x) t ( x) d x Đặt thức có tích phân dx x t= n t( x) Đặt biểu thức chứa lnx t = ln x f (sin x) cos2n−1 x d x Gặp cos(mũ lẻ) x.dx kèm biểu thức theo sinx t = sin x f (cos x) sin2n−1 x d x Gặp sin(mũ lẻ) x.dx kèm biểu thức theo cosx t = cos x f (ln x) f (tan x) f (cot x) dx cos2 x dx sin2 x dx kèm biểu thức theo tan x cos2 x dx Gặp kèm biểu thức theo cot x sin2 x Gặp t = tan x t = cot x f (eax+b ).eax+b d x Gặp eax+b d x kèm biểu thức theo eax+b t = eax+b f xα+1 xα d x Gặp xα d x kèm biểu thức theo xα+1 t = xα+1 f xα dx x Gặp dx kèm biểu thức theo xα x DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN u dv = uv − t = xα Đôi thay cách đặt t = t( x) t = m.t( x) + n ta gặp thuận lợi tính tốn Ƅ Dương Phước Sang 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Phép lượng giác hố phương pháp tính tích phân (đổi biến số loại 1) DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Dấu hiệu Vi phân kèm theo Cách đặt (giả sử a > 0) π a2 − x2 x2n d x x = a sin t, với − 2ax − x2 x2n d x x − a = a sin t, với − a2 + x2 x2n d x a+x a−x π π t 2 π π x = a tan t, với − < t < 2 π π a , với − t , t=0 x= sin t 2 π x = a cos t, với t π x − a = ( b − a) sin2 t, với t x2n d x x2 − a2 π t a−x a+x ( x − a)( b − x) Một số dạng tích phân đặc biệt (hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, ) a Nếu f ( x) hàm số lẻ, liên tục khoảng K chứa [−a; a] −a f ( x) d x = Nếu f ( x) hàm số chẵn, liên tục khoảng K chứa [−a; a] a −a a f ( x) d x = a a f ( x) dx = x −a + b f ( x) d x f ( x) d x −a Nếu f ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] π f (sin x) d x = π 0 f (cos x) d x π π f (sin x) d x = π x f (sin x) d x = b f (sin x) d x f (sin x) d x b f ( x) d x = a π π Nếu hàm số f ( x) liên tục R tuần hồn với chu kỳ T a f ( a + b − x) d x a+ T a T f ( x) d x = f ( x) d x Hai cơng thức tính tích phân đặc biệt: b a u( x) + u ( x) e x d x = u( x)e x b b a a m.u( x) + u ( x) emx d x = u( x)emx b a Ứng dụng tích phân giải toán tốc độ thay đổi đại lượng Kiến thức chung: f ( x) đặc trưng cho tốc độ thay đổi đại lượng f ( x) theo biến số x b Khi f (b) = f (a) + t2 Bài toán chuyển động: s( t2 ) = s( t1 ) + v( t) d t t1 f ( x) d x a lưu ý: s( t) = v( t) d t, v( t) = a( t) d t s( t), v( t), a( t) quãng đường, vận tốc, gia tốc chuyển động thời điểm t t2 Bài toán sinh học: N ( t2 ) = N ( t1 ) + N ( t) d t, t1 N ( t), N ( t) số lượng cá thể tốc độ sinh sôi chúng thời điểm t Ƅ Dương Phước Sang 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 10 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng b y = f ( x ), y = g ( x ) Hình phẳng (H ) giới hạn có diện tích S = x = a, x = b f ( x) − g ( x) d x a c f ( x) d a O c S= a x O f ( x)d x S= b d f ( x)d x − c a g( b f ( x)d x + x) c b c d a x b f ( x) − g ( x) d x + DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN y= f( x) y y g ( x) − f ( x) d x c Một số lưu ý cách xử lý dấu | · | dấu tích phân tính diện tích hình phẳng: Phương trình trục hồnh y = 0, phương trình trục tung x = Nếu có đồ thị hàm số (như hai hình minh hoạ đây), ta xác định hình phẳng cần tính diện tích lập cơng thức tính diện tích dựa hình vẽ b Nếu s( x) 0, ∀ x ∈ [a; b] b s( x) d x = a s( x) d x a b Nếu s( x) 0, ∀ x ∈ [a; b] a b s( x) d x = − s( x) d x a Chỉ phương trình s( x) = khơng có nghiệm a b ta sử b dụng công thức a b s( x) d x s( x) d x = a Nếu phương trình s( x) = có nghiệm a b (giả sử có nghiệm x0 ∈ (a; b)) ta cần dùng nghiệm x0 chia đoạn [a; b] thành đoạn nhỏ x0 b biến đổi tích phân theo kiểu sau a s( x) d x = a b s( x) d x s( x) d x + x0 11 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể Cơng thức tính thể tích vật thể dựa vào diện tích mặt cắt y b Q P V= S ( x) d x a S ( x) a O x b x Trong S ( x) diện tích thiết diện tạo vật thể mặt phẳng vng góc với Ox, cắt Ox x Các cơng thức tính thể tích vật thể tròn xoay (khi quay hình (H ) quanh Ox) y y f ( x) O a b b V =π Cho hình phẳng (H ) giới hạn y = f ( x), y = g( x) hai đường x = a, x = b (a < b) Khi g ( x) quay hình (H ) quanh Ox, phải x b có điều kiện f ( x).g( x) với x ∈ [a; b] ta sử dụng cơng thức ghi bên để tính thể tích vật thể tròn xoay f ( x) − g2 ( x) d x tạo thành f ( x) f ( x)d x a Ƅ Dương Phước Sang x O a b V =π a 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG II CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN ĐIỂN HÌNH DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Ví dụ Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x + khoảng − 12 ; +∞ thoả mãn F (0) = Tính F (4) Lời giải 1 x + d x = (2 x + 1) x + + C ⇒ F ( x) = (2 x + 1) x + + C 3 Do F (0) = nên + C = ⇔ C = 3 29 Vậy F ( x) = (2 x + 1) x + + , suy F (4) = 3 Xét f ( x) d x = Cách Ta có F (4) = F (0) + f ( x) d x = + 2x + dx = + (2 x + 1) x + = 29 Ví dụ Hàm số hàm số nguyên hàm hàm số f ( x) = A F ( x) = x2 x+1 B G ( x) = x2 + x + x+1 x( x + 2) ? ( x + 1)2 C H ( x) = x2 + x − x+1 D K ( x) = x2 − x − x+1 Lời giải Hướng (giải tìm họ nguyên hàm f ( x)) Ta có f ( x) d x = x( x + 2) dx = ( x + 1)2 1− x2 + (C + 1) x + (C + 1) 1 + C = d x = x + x+1 x+1 ( x + 1)2 Như H ( x) nguyên hàm f ( x) khơng có dạng tìm Hướng (dùng định nghĩa nguyên hàm) Theo hướng ta cần tìm hàm số có đạo hàm khơng đồng với f ( x) ax2 + bx + c amx2 + 2anx + bn − cm Nếu dùng công thức tính nhanh = ta tìm mx + n ( mx + n)2 x2 + x + ≡ f ( x) nên H ( x) nguyên hàm f ( x) H ( x) = ( x + 1)2 Hướng (dùng mối liên hệ nguyên hàm hàm số) Theo phát biểu đề bài, hàm số F ( x), G ( x), H ( x), K ( x) chắn có hàm số nguyên hàm f ( x) hàm số nguyên hàm f ( x) Như ta tìm hiệu hai hàm số có mà kết thu gọn số hai hàm số xét nguyên hàm f ( x) G ( x) − F ( x) = x2 + x + x2 − = 1, ∀ x F ( x), G ( x) nguyên hàm f ( x) x+1 x+1 H ( x) − F ( x) = x2 + x − x2 x−1 − = = C ⇒ H ( x) không nguyên hàm f ( x) x+1 x+1 x+1 Ƅ Dương Phước Sang 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG x5 d x = mx4 + nx2 + p ln( x2 + 1) + C , C số thực; + x2 m, n, p hệ số hữu tỷ Hãy tính T = m + n + p Lời giải Cách 1: dùng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x5 + x2 x4 x5 d x = · x d x +o Đặt t = x d t = x d x ⇒ d t = x d x + x2 + x2 t2 1 t2 Từ I = dt = t−1+ dt = − t + ln + t + C 1+ t 1+ t 2 1 1 1 = t2 − t + ln + t + C = x4 − x2 + ln(1 + x2 ) + C 2 2 1 1 Như vậy, m = , n = − , p = ⇒ T = m + n + p = 2 Xét I = Cách 2: dùng định nghĩa nguyên hàm DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Ví dụ Biết x5 x5 2 d x = mx + nx + p ln( x + 1) + C ⇒ = mx4 + nx2 + p ln( x2 + 1) , ∀ x ∈ R + x2 + x2 px x5 = mx + nx + , ∀ x ∈ R ⇒ x5 = mx5 + (4 m + n) x3 + (2 n + p) x, ∀ x ∈ R ⇒ 2 1+ x 1+ x   m = 14   4 m =  ⇒ m + n = ⇒ n = − 21 ⇒ T = m + n + p =     p = 2n + p = Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = (2 x − 1)e3x Lời giải Xét f ( x) d x = (2 x − 1)e3x d x Đặt nên f ( x) d x = u = 2x − dv = e3x (2 x − 1)e3x −  d u = d x ta có v = e3x 3x (2 x − 1)e3x 2e3x e dx = − + C 3 f ( x) nguyên hàm hàm số khoảng (0; +∞) x 3x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) ln x Ví dụ Cho F ( x) = − Lời giải f ( x) f ( x) nguyên hàm hàm số R+ nên F ( x) = , ∀x > x x 3x f ( x) f ( x) ⇔ 4= Suy f ( x) = hay − = x x x 3x x  u = ln x du = d x x f ( x) ln x d x Đặt ta có  d v = f ( x) d x v = f ( x) f ( x) ln x ln x f ( x) ln x d x = f ( x) ln x − dx = − d x = + + C x x x4 x3 x3 Do F ( x) = − Xét Ƅ Dương Phước Sang 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Ví dụ Tính tích phân I = x2 − x d x 2x + Lời giải DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN 2x − 5x x2 + x 2x + x−3 Thực phép chia đa thức x2 − x cho x + ta thương x − phần dư −6 x −6 x − I= x−3+ Ví dụ Tính tích phân I = x2 dx = − x + ln x + 2x + 2 = ln − 11 − x d x (2 x − 1)(3 x + 2) Lời giải Ngoài nháp ta viết I= 11 − x A B = + tìm A = 3, B = −5 (2 x − 1)(3 x + 2) x − x + 11 − x 5 dx = − dx = ln x − − ln x + (2 x − 1)(3 x + 2) 3x + 2 2x − 5 19 ln − ln 11 − ln − ln = ln − ln 11 = 3 3 Ví dụ Tính tích phân I = x2 + x − d x x3 + Lời giải Ngoài nháp ta viết x + 5x + x + 5x + A Bx + C = = + x3 + ( x + 1)( x2 − x + 1) x + x2 − x + tìm A = −3, B = 4, C = −2 3 4x − 3 4x − − d x = d x − ln | x + | = A − ln (3 ) x2 − x + x + 1 1 x − x+1 2(2 x − 1) d x Đặt t = x2 − x + d t = (2 x − 1) d x Với A = − x+1 x 72 x=1⇒t=1 Đổi cận Suy A = d t = (2 ln | t|) = ln Như I = ln − ln x=3⇒t=7 1 t Như I = Ví dụ Tính tích phân I = x2 + x + dx ( x + 1)(2 x + 1)2 Lời giải x2 + x + A B C = + + ta tìm A = 2, B = −3, C = x + x + (2 x + 1)2 ( x + 1)(2 x + 1) Viết nháp: Ghi: I = 2 − + d x = ln x + − ln x + − x + x + (2 x + 1) 2x + 1 3 = ln − ln − − ln − ln − = ln − ln − ln + 2 15 Ƅ Dương Phước Sang 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Ví dụ 10 Tính tích phân sau 2 sin x dx + cos x b) B = x3 x + d x c) C = x( x3 + 2)2 dx Lời giải π sin x d x Đặt t = + cos x ⇒ d t = −3 sin x d x ⇒ − d t = sin x d x + cos x 5 22 2 Đổi cận thay vào tích phân A ta A = − d t = − ln t = ln t 3 Câu a A = Câu b B = x3 x2 + d x = x2 x2 + 1.x d x Đặt t = x2 + ⇒ t2 = x2 + ⇒ t d t = x d x hay t d t = x d x Đổi cận thày vào tích phân B ta B= Câu c C = 1 ( t2 − 1).t.t d t = 1 dx = 3 x( x + 2) 1 ( t4 − t2 ) d t = t − t 5 = 10 + 15 x2 d x x3 ( x3 + 2)2 Đặt t = x + ⇒ d t = x d x Đổi cận thay vào tích phân C ta C= 10 1 10 1 2 10 d t = − − d t = ln | t − | − ln | t | + 12 t − t t2 12 t ( t − 2) t2 12 1 = ln − ln − ln 10 + − ln − ln + = 12 12 12 180 Ví dụ 11 Tính tích phân sau đây: a) A = (2 x + 1)e x d x b) B = x ln( x2 + 3) d x π c) C = e x cos x d x Lời giải Câu a A = (2 x + 1)e x d x Đặt u = 2x + x dv = e d x du = d x ta có v = ex ta 2e x d x = 3e − − 2e x = e + 0  2x   dx d u = 2 u = ln( x2 + 3) x +3 ta Câu b B = x ln( x + 3) d x Đặt ta có  x2 dv = x d x  v = 2 x3 x2 x2 ln( x2 + 3) B= − d x ⇒ B = ln − · x dx 2 0 x +3 x +3 Đặt t = x2 + ⇒ d t = x d x ⇒ d t = x d x Đổi cận thay vào B t−3 7 B = ln − d t = ln − 1− d t = ln − ln − 2 t t 2 A = (2 x + 1)e x − DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN a) A = π Nhận xét: cách giải dài lại phải dùng phương pháp đổi biến số Thực đặt dv = x d x v = Ƅ Dương Phước Sang x2 + C Nếu chọn C = thay C = giải hay 2 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 2 Giải lại: B = u = ln( x + 3) x ln( x + 3) d x Đặt ta có 2x    d u = x2 + dx DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN  x2 +  v = 2 ( x2 + 3) ln( x2 + 3) x2 7 B= − = ln − ln − x d x = ln − ln − 2 2 2 0 π u = cos x d u = − sin x d x Câu c C = e x cos x d x Đặt ta có dv = e x d x v = ex 0 dv = x d x π π C = e x cos x + π Trong C1 = e x sin x d x = −eπ − + C (1) u = sin x e x sin x d x Lại đặt x d v1 = e d x π π C = e x sin x − 0 ta có d u = cos x v1 = e x d x e x cos x d x = − C (2) Kết hợp (1) (2) ta C = −eπ − − C ⇒ 2C = −eπ − ⇒ C = eπ + Ví dụ 12 Cho f ( x) hàm số chẵn, liên tục R thoả mãn −3 f (2 x) d x = 10 Tính I = −2 f ( x) d x = f ( x) d x Lời giải 1 f (2 x) d x = 10 Đặt t = −2 x d t = −2 d x ⇒ − d t = d x −3 −2 Đổi cận thay vào A ta A = − f (− t) d t = f (− t) d t −2 f ( t) d t Do f ( x) hàm số chẵn nên f (− t) = f ( t) A = −2 Xét A = Suy −2 f ( x) d x = Vậy −2 f ( t) d t = A = 20 −2 f ( x) d x = f ( x) d x + −2 f ( x) d x = −2 + 20 = 18 Ví dụ 13 Cho f ( x) hàm số có đạo hàm f ( x) liên tục đoạn [−1; 2] thoả mãn f (2) + f (−1) = −1 (2 x − 1) f ( x) d x = Tính f ( x) d x −1 Lời giải Cách 1: Áp dụng phương pháp tích phân phần cho I làm xuất giả thiết  d u = f ( x ) d x v = x − = (2 x − 1) dv = d x −1 2 1 1 1 I = (2 x − 1) f ( x) − (2 x − 1) f ( x) d x = f (2) + f (−1) − · = · − = 2 −1 2 2 −1 Xét I = u = f ( x) f ( x) d x Đặt ta có Cách 2: Áp dụng tích phân phần cho tích phân giả thiết Xét A = −1 (2 x − 1) f ( x) d x = Đặt Ƅ Dương Phước Sang −1 d v = f ( x) d x ta có du = d x v = f ( x) 2 A = (2 x − 1) f ( x) u = 2x − −2 −1 f ( x) d x = f (2) + f (−1) − I ⇒ A = − I ⇒ I = 10 3− A = 2 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG y DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Cho hình (H ) hình phẳng giới hạn parabol y = x x2 đường elip có phương trình + y2 = (phần gạch chéo hình vẽ) Diện tích (H ) 2π + 2π π+ 3π B C D A 4 Câu 263 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x2 , y = 0, x = 0, x = Đường thẳng y = k (0 < k < 16)) chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ) Tìm k để S1 = S2 A k = B k = C k = D k = O −1 x y y = x2 S1 y=k S2 O x x=4 Câu 264 Cho hàm số y = x4 − x2 + m có đồ thị (C m ) Giả sử (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn (C m ) với trục hồnh có diện tích phần phía trục hồnh diện tích phần phía trục hồnh Khi m thuộc khoảng đây? A m ∈ (−1; 1) B m ∈ (2; 3) C m ∈ (3; 5) D m ∈ (5; +∞) Câu 265 Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P ), (P ) có hai điểm A, B với hoành độ a, b Biết AB = diện tích hình phẳng tạo (P ) với đường thẳng AB Giá trị a2 + b2 A B 10 C D Câu 266 x2 , y = x2 , cung tròn có phương trình y = − x2 với (−2 ≤ x ≤ 2) (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H ) π π A B 2π 2π C + + D − − 9 y Cho (H ) hình phẳng giới hạn hai parabol y = Câu 267 Đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [−3; 5] hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol 53 43 C I = A I = f ( x) d x −2 −1 O x D A C H −2 97 95 D I = y y = ax2 + bx + c) Tính I = G B I = E −3 B −2 −1 O x Câu 268 Ƅ Dương Phước Sang 44 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG y Cho (H ) hình phẳng giới hạn parabol y = x2 +1 A 3π + 14 2π + B C 3π + D 3π + x O 2 Câu 269 Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm Người ta dùng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích cánh hoa A 200 cm2 B 800 cm2 C 400 cm2 D 200 cm2 40 cm Câu 270 Cho nửa đường tròn đường kính AB = Trên người ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn, trục đối xứng đường kính vng góc với AB Parabol cắt nửa đường tròn hai điểm cách cm khoảng cách từ hai điểm đến AB cm Sau người ta cắt bỏ phần DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN với (0 ≤ x ≤ 2), nửa đường tròn y = − x2 trục hồnh, trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H ) cm cm B A hình phẳng giới hạn đường tròn parabol (phần gạch sọc hình vẽ) Đem phần lại quay xung quanh trục AB Thể tích khối tròn xoay thu π π A V = 800 − 464 cm3 B V = 800 − 928 cm3 15 π C V = 800 − 928 cm3 π D V = 800 − 928 cm3 15 Câu 271 Cho hình phẳng (H ) giới hạn trục hoành, đồ thị parabol đường thẳng tiếp xúc với parabol điểm A (2; 4), (như hình vẽ đây) Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox A 32π B 16π 15 C 22π D y 2π O x Câu 272 Một ô-tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t) = t (m/s) Đi (s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô-tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 (m/s2 ) Tính quãng đường S (m) ô-tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 87,50 (m) B S = 94,00 (m) C S = 95,70 (m) D S = 96,25 (m) Ƅ Dương Phước Sang 45 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 273 Một ô tô chạy với vận tốc 54 km/h tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a( t) = t − (m/s2 ) t khoảng thời gian tính giây Qng đường mà tơ sau 10s kể từ lúc tăng tốc A 150 m B 250 m C 246 m D 540 m DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Câu 274 Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lòng đáy cốc cm, chiều cao lòng cốc 10 cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy A 240 cm3 B 240π cm3 C 120 cm3 D 120π cm3 Câu 275 Cho vật thể có mặt đáy hình tròn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (−1 ≤ x ≤ 1) thiết diện tam giác Tính thể tích V vật thể A V = B V = 3 C V = z y D V = π x Câu 276 Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe tơ dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị công thức vA ( t) = 16 − t (m/s), thời gian tính giây Hỏi để hai ô tô A B đạt khoảng cách an toàn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách tơ B khoảng bao nhiêu? A 33 m B 12 m C 31 m D 32 m Câu 277 Gọi (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x2 + x trục hoành Hai đường thẳng y = m, y = n chia hình ( H ) thành phần có diện tích (ta tham khảo hình vẽ) Tính giá trị biểu thức T = (4 − m)3 + (4 − n)3 320 512 C T = 15 A T = B T = 75 y y=m y=n x O D T = 405 y Câu 278 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H ) (phần tơ màu đen hình bên) quanh trục Ox A 61π 15 B 88π C 8π D 424π 15 −2 Ƅ Dương Phước Sang 46 O x 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG TRÍCH DẪN CÂU TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ THI CỦA BỘ sin x + C A cos x d x = sin x + C B cos x d x = C cos x d x = − sin x + C D cos x d x = sin x + C 5x − dx = − ln(5 x − 2) + C 5x − 2 dx = ln |5 x − 2| + C 5x − Câu 280 (Đề 102 - 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = A C dx = ln |5 x − 2| + C 5x − dx = ln |5 x − 2| + C 5x − B D Câu 281 (Đề 103 - 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x A sin x d x = cos x + C B sin x d x = sin2 x + C C sin x d x = sin x + C D sin x d x = −2 cos x + C Câu 282 (Đề 104 - 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 7x x x A d x = ln + C B C x d x = x+1 + C D 7x dx = + C ln 7 x+1 7x d x = + C x+1 x Câu 283 (Đề tham khảo - 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 + A C x3 − + C x x3 + + C f ( x) d x = x B f ( x) d x = D x3 − + C x x3 f ( x) d x = + + C x x2 f ( x) d x = Câu 284 (Đề tham khảo - 2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 + A x3 + C B x3 + x + C C x + C D x3 + x + C Câu 285 (Đề 101 - 2018) Nguyên hàm hàm số f ( x) = x3 + x A x4 + x2 + C B x2 + + C C x3 + x + C D x + x + C Câu 286 (Đề 103 - 2018) Nguyên hàm hàm số f ( x) = x4 + x2 A x3 + x + C B x + x + C C x4 + x2 + C D x5 + x3 + C Câu 287 (Đề thử nghiệm - 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos x sin x + C A f ( x) d x = C f ( x) d x = sin x + C B f ( x) d x = − sin x + C D f ( x) d x = −2 sin x + C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Câu 279 (Đề 101 - 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos x Câu 288 (Đề thử nghiệm - 2017) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm đoạn [1; 2], f (1) = f (2) = 2 Tính I = f ( x)d x A I = Ƅ Dương Phước Sang B I = −1 C I = 47 D I = 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 289 (Đề tham khảo - 2018) Tích phân A 16 225 B log dx x+3 C ln D 15 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Câu 290 (Đề 101 - 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = Mệnh đề đúng? A S = π e2x d x B S = e x d x C S = π e x d x D S = e2x d x Câu 291 (Đề 102 - 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = 0, x = 0, x = Mệnh đề đúng? A S = 2 x d x B S = π 22x d x C S = 22x d x D S = π x d x Câu 292 (Đề minh họa - 2017) Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox b A V = π f ( x) d x a b B V = b f ( x) d x C V = π a b f ( x) d x a D V = π a | f ( x)| d x Câu 293 (Đề tham khảo - 2018) Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành b A V = π a C V = π2 b f ( x) d x b B V = 2π f ( x) d x a b D V = π2 a f ( x) d x f ( x) d x a Câu 294 (Đề 103 - 2018) Cho hình phẳng (H ) giới hạn đường y = x2 + 3, y = 0, x = 0, x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? A V = π C V = 0 2 ( x2 + 3)2 d x B V = π ( x2 + 3)2 d x D V = ( x2 + 3) d x ( x2 + 3) d x Câu 295 (Đề 104 - 2018) Cho hình phẳng (H ) giới hạn đường thẳng y = x2 +2, y = 0, x = 1, x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? A V = π C V = π 1 2 ( x2 + 2)2 d x B V = D V = ( x + 2) d x 1 ( x2 + 2)2 d x ( x2 + 2) d x Câu 296 (Đề 101 - 2017) Cho hàm số f ( x) thỏa f ( x) = − sin x f (0) = 10 Mệnh đề đúng? A f ( x) = x + cos x + B f ( x) = x + cos x + C f ( x) = x − cos x + D f ( x) = x − cos x + 15 Câu 297 (Đề 103 - 2017) Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = ex + x thỏa mãn F (0) = Tìm F ( x) C F ( x) = e x + x2 + A F ( x) = e x + x2 + Ƅ Dương Phước Sang B F ( x) = 2e x + x2 − D F ( x) = e x + x2 + 48 0942.080383 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG π Câu 298 (Đề 104 - 2017) Tìm nguyên hàm F ( x) f ( x) = sin x + cos x biết F A F ( x) = cos x − sin x + C F ( x) = − cos x + sin x − B F ( x) = − cos x + sin x + D F ( x) = − cos x + sin x + Câu 299 (Đề 102 - 2018) Nguyên hàm hàm số f ( x) = x4 + x A x4 + x2 + C B x3 + + C C x5 + x2 + C D = 2 x + x + C Câu 300 (Đề 104 - 2018) Nguyên hàm hàm số f ( x) = x3 + x2 A x4 + x3 + C B x + x + C C x2 + x + C D x3 + x2 + C Câu 301 (Đề tham khảo - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = e x + x A e x + x2 + C B e x + x2 + C C x e + x + C x+1 D e x + + C Câu 302 (Đề minh họa - 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x − f ( x) d x = (2 x − 1) x − + C f ( x) d x = − (2 x − 1) x − + C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN GIẢI TÍCH 12 f ( x) d x = (2 x − 1) x − + C C D f ( x) d x = (2 x − 1) x − + C Câu 303 (Đề tham khảo - 2018) Cho hàm số f ( x) xác định D = R \ thỏa mãn 2 , f (0) = f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) f ( x) = 2x − A + ln 15 B + ln 15 C + ln 15 D ln 15 A B Câu 304 (Đề tham khảo - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x(1 + ln x) A x2 ln x + x2 B x2 ln x + x2 C x2 ln x + x2 + C D x2 ln x + x2 + C ln x Câu 305 (Đề 102 - 2017) Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = Tính I = x F (e) − F (1) A I = e e B I = C I = Câu 306 (Đề 102 - 2017) Cho −1 A I = f ( x ) d x = 2, B I = π A 17 −1 [ x + f ( x) − g( x)] d x D I = 11 1 − d x = a ln + b ln với a, b số nguyên x+1 x+2 Mệnh đề đúng? A a + b = B a − 2b = Câu 308 (Đề 104 - 2017) Cho −1 g( x) d x = −1 Tính I = C I = Câu 307 (Đề 103 - 2017) Cho D I = C a + b = −2 f ( x) d x = Tính I = π B + π [ f ( x) + sin x] d x D + π C D a + 2b = Câu 309 (Đề thử nghiệm - 2017) Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = thoả mãn F (2) = Tính F (3) A F (3) = ln − 1 Câu 310 (Đề 102 - 2018) A e −e Ƅ Dương Phước Sang B F (3) = ln + C F (3) = x−1 D F (3) = e3x+1 d x B e4 − e C 49 e +e D e3 − e 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 311 (Đề 103 - 2018) A ln B ln DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Câu 312 (Đề 104 - 2018) A ln B dx 3x − C ln dx 2x + ln 35 D ln C ln D Câu 313 (Đề tham khảo - 2019) Cho A −3 f ( x) d x = B 12 f ( x) d x = 12 Tính I = B I = 36 f (3 x) d x C I = π Câu 315 (Đề minh họa - 2017) Tính tích phân I = A I = − π4 4 B I = −π D I = cos3 x sin x d x C I = D I = − Câu 316 (Đề thử nghiệm - 2017) Cho A I = 32 [ f ( x) − g( x)] d x D A I = g( x) d x = 5, C −8 Câu 314 (Đề 101 - 2017) Cho ln f ( x) d x = 16 Tính tích phân I = B I = C I = 16 f (2 x) d x D I = Câu 317 (Đề tham khảo - 2017) Khi tính tích phân I = 2x x2 − 1d x phương pháp đổi biến số với cách đặt u = x2 − ta kết đây? A I = 2 ud u B I = Câu 318 (Đề 101 - 2018) A (e5 − e2 ) 3 C I = ud u D I = ud u ud u e3x−1 d x B e − e2 C e5 − e2 D (e + e2 ) e Câu 319 (Đề minh họa - 2017) Tính tích phân I = A I = B I = e2 − x ln x d x C I = e2 + D I = e2 − Câu 320 (Đề tham khảo - 2017) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn thời f (1) − f (0) = Tính A I = −12 f ( x)d x B I = C m = e Câu 321 (Đề 103 - 2018) Cho đề đúng? A a + b = c ( x + 1) f ( x) d x = 10 đồng D I = −8 (1 + x ln x) d x = ae2 + be + c với a, b, c số hữu tỷ Mệnh B a + b = − c C a − b = c D a − b = − c Câu 322 (Đề minh họa - 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x đồ thị hàm số y = x − x2 A 37 12 Ƅ Dương Phước Sang B C 50 81 12 D 13 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 323 (Đề tham khảo - 2017) Gọi S diện tích hình phẳng (H ) giới hạn đường y = f ( x), trục hoành đường thẳng x = −1, x = (như hình vẽ bên) Đặt a = sau đúng? A S = b − a C S = −b + a −1 2 f ( x)d x, b = f ( x)d x Mệnh đề −1 B S = b + a D S = −b − a DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN y x Câu 324 (Đề 101 - 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + cos x, trục π hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục f hồnh tích V bao nhiêu? A V = π − B V = (π − 1)π C V = (π + 1)π D V = π + Câu 325 (Đề 102 - 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x, trục hoành đường thẳng x = 0, x = π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = (π + 1) B V = 2π (π + 1) C V = 2π2 D V = 2π Câu 326 (Đề 103 - 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = e x , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = πe2 B V = π e2 + C V = e2 − D V = π e2 − Câu 327 (Đề 104 - 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = x2 + 1, trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = 4π B V = 2π C V = D V = Câu 328 (Đề tham khảo - 2017) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = 3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3) thiết diện hình chữ nhật có cạnh x x − 124 124π C V = D V = 32 + 15 π A V = 32 + 15 B V = 3 Câu 329 (Đề 101 - 2017) Cho F ( x) = x2 nguyên hàm hàm số f ( x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e2x A f ( x) e2x d x = − x2 + x + C B f ( x) e2x d x = − x2 + x + C C f ( x) e2x d x = x2 − x + C D f ( x) e2x d x = −2 x2 + x + C Câu 330 (Đề thử nghiệm - 2017) Biết I = số nguyên Tính S = a + b + c A S = B S = C S = −2 Câu 331 (Đề tham khảo - 2018) Biết I = số nguyên dương Tính P = a + b + c A P = 24 B P = 12 Ƅ Dương Phước Sang dx = a ln + b ln + c ln 5, với a, b, c x2 + x dx ( x + 1) x + x x + C P = 18 51 D S = = a − b − c với a, b, c D P = 46 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 332 (Đề 102 - 2017) Cho F ( x) = ( x − 1) e x nguyên hàm hàm số f ( x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) e2x 2− x x e + C f ( x) e2x d x = (4 − x)e x + C B f ( x) e2x d x = C f ( x) e2x d x = (2 − x)e x + C D f ( x) e2x d x = ( x − 2)e x + C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN A Câu 333 (Đề 103 - 2017) Cho F ( x) = − f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm x 3x nguyên hàm hàm số f ( x) ln x A C ln x + + C x 5x ln x f ( x) ln x d x = + + C x 3x B f ( x) ln x d x = D ln x − + C x 5x ln x f ( x) ln x d x = − + + C x 3x f ( x) ln x d x = Câu 334 (Đề 102 - 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc 59 t + t (m/s), t (s) khoảng thời 150 75 gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a (m/s2 ) (a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20 (m/s) B 16 (m/s) C 13 (m/s) D 15 (m/s) biến thiên theo thời gian quy luật v( t) = Câu 335 (Đề tham khảo - 2019) Cho x dx = a + b ln + c ln với a, b, c số hữu ( x + 2)2 tỷ Giá trị 3a + b + c A −2 B −1 C Câu 336 (Đề tham khảo - 2017) Cho Tính S = a3 + b3 A S = D 1+e d x = a + b ln , với a, b số hữu tỉ ex + B S = −2 C S = D S = Câu 337 (Đề tham khảo - 2017) Cho hàm số f ( x) liên tục R thỏa mãn f ( x) + f (− x ) = + cos x, ∀ x ∈ R Tính I = A I = −6 3π 3π − f ( x)d x B I = C I = −2 55 Câu 338 (Đề 101 - 2018) Cho 16 dx x x+9 = a ln + b ln + c ln 11 với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a − b = − c B a + b = c 21 Câu 339 (Đề 102 - 2018) Cho C a + b = c dx x x+4 D a − b = −3 c = a ln + b ln + c ln với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a + b = −2 c B a + b = c Câu 340 (Đề 104 - 2017) Cho F ( x) = D I = C a − b = − c D a − b = −2 c f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên x 2x hàm hàm số f ( x) ln x A C ln x + + C x 2x ln x f ( x) ln x d x = − + + C x x B f ( x) ln x d x = − Ƅ Dương Phước Sang D 52 ln x + + C x2 x ln x f ( x) ln x d x = + + C x 2x f ( x) ln x d x = 0942.080383 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG e Câu 341 (Đề 104 - 2018) Cho đề đúng? A a + b = − c (2 + x ln x) d x = ae2 + b · e + c với a, b, c số hữu tỉ Mệnh B a + b = c C a − b = c D a − b = − c Câu 342 (Đề 101 - 2018) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) = − x ∈ R Giá trị f (1) 35 A − B − 36 C − 19 36 Câu 343 (Đề 103 - 2018) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) = − x ∈ R Giá trị f (1) 41 A − B − 400 10 C − f ( x) = x[ f ( x)]2 với D − 15 f ( x) = x3 [ f ( x)]2 với 25 391 400 D − 40 y Câu 344 (Đề thử nghiệm - 2017) Cho hình thang cong (H ) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 A k = ln B k = ln C k = ln D k = ln S2 S1 O B 37 B 13 C D x O y Câu 346 (Đề 102 - 2018) Cho hai hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx − g( x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) cắt ba điểm có hồnh độ −2; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A k ln 4π − − 2π D 4π + 12 4π + − C x y Câu 345 (Đề tham khảo - 2018) Cho (H ) hình phẳng giới hạn parabol y = x2 , cung tròn có phương trình y = − x2 (với x ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H ) A DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN GIẢI TÍCH 12 x −2 −1 O 37 12 y Câu 347 (Đề 103 - 2018) Cho hai hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx − g( x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) cắt ba điểm có hồnh độ −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A 253 12 B 125 12 Ƅ Dương Phước Sang C 253 48 D 53 125 48 −3 −1 O x 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG y Câu 348 (Đề tham khảo - 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN A −1 C −1 y = x2 − x − (2 x2 − x − 4) d x B −1 D (2 x − 2) d x −1 (−2 x + 2) d x −1 O x (−2 x + x + 4) d x y = − x2 + Câu 349 (Đề minh họa - 2017) Kí hiệu (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình (H ) xung quanh trục Ox A V = − 2e B V = (4 − 2e)π C V = e2 − D V = (e2 − 5)π Câu 350 (Đề 101 - 2017) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2; 9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 km B s = 21, 58 km C s = 15, 50 km D s = 13, 83 km v O t Câu 351 (Đề 103 - 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc 13 t + t (m/s), t (giây) khoảng 100 30 thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a (m/s2 ) (a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 15 (m/s) B (m/s) C 42 (m/s) D 25 (m/s) biến thiên theo thời gian quy luật v( t) = Câu 352 (Đề 104 - 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc 58 t + t (m/s), t (giây) khoảng 120 45 thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có giá tốc a (m/s2 ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 (m/s) B 36 (m/s) C 30 (m/s) D 21 (m/s) biến thiên theo thời gian quy luật v ( t) = Câu 353 (Đề 102 - 2018) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) = − x ∈ R Giá trị f (1) 11 A − B − f ( x) = x [ f ( x)]2 với C − D − Câu 354 (Đề tham khảo - 2018) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, Ƅ Dương Phước Sang f ( x) d x = x2 f ( x) d x = Tích phân 54 f ( x) d x 0942.080383 A Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG B C Câu 355 (Đề 104 - 2018) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) = − x ∈ R Giá trị f (1) 71 A − B − 35 20 C − D f ( x) = x3 [ f ( x)]2 với 79 20 D − Câu 356 (Đề 101 - 2017) y Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình bên Đặt h( x) = f ( x) − x2 Mệnh đề đúng? A h(4) = h(−2) > h(2) B h(4) = h(−2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(−2) D h(2) > h(−2) > h(4) −2 O x −2 Câu 357 (Đề 102 - 2017) y Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình bên Đặt g( x) = f ( x) − ( x + 1)2 Mệnh đề đúng? A g(−3) > g(3) > g(1) B g(1) > g(−3) > g(3) C g(3) > g(−3) > g(1) D g(1) > g(3) > g(−3) −3 O x −2 Câu 358 (Đề 103 - 2017) Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình bên Đặt g( x) = f ( x) + x2 Mệnh đề đúng? A g(3) < g(−3) < g(1) y O −3 B g(1) < g(3) < g(−3) −3 D g(−3) < g(3) < g(1) Câu 359 (Đề 104 - 2017) y Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình bên Đặt g( x) = f ( x) + ( x + 1)2 Mệnh đề đúng? A g(1) < g(3) < g(−3) B g(1) < g(−3) < g(3) C g(3) = g(−3) < g(1) D g(3) = g(−3) > g(1) −3 x −1 C g(1) < g(−3) < g(3) DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN GIẢI TÍCH 12 x O −2 −4 Câu 360 (Đề 101 - 2018) Ƅ Dương Phước Sang 55 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG y Cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx − g( x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) cắt ba điểm có hoành độ −3; −1; (tham khảo DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C −3 −1 x O D Câu 361 (Đề 104 - 2018) 3 g ( x) = dx2 + ex − 4 (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g ( x) cắt ba điểm có hồnh độ −2; 1; (tham y Cho hai hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx + khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 253 48 125 C 48 A 125 24 253 D 24 x O B Câu 362 (Đề tham khảo - 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A , A , B1 , B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm phần lại Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A A = 8m, B1 B2 = 6m tứ giác MNPQ hình chữ nhật có MQ = 3m? A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng B2 N M A1 A2 P Q Câu 363 (Đề thử nghiệm - 2017) Ông An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng Câu 364 (Đề 102 - 2017) Một vật chuyển động đầu với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2; 9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 24, 25 km B s = 26, 75 km C s = 24, 75 km D s = 25, 25 km B1 8m D 7.826.000 đồng v 56 I O Ƅ Dương Phước Sang −2 t 0942.080383 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 365 (Đề 103 - 2017) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 26, km B s = 28, km C s = 27 km D s = 24 km v O Câu 366 (Đề 104 - 2017) Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol với I ; trục đối xứng I v I song song với trục tung hình bên Tính qng s đường người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ bắt đầu chạy A s = 4, km B s = 2, km C s = 4, km D s = 5, km O DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN GIẢI TÍCH 12 t t Câu 367 (Đề minh họa - 2017) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v( t) = −5 t + 10(m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển mét? A 0,2m B 2m C 10m D 20m Ƅ Dương Phước Sang 57 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG BẢNG CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Công thức sin α cos α cos α cot α = sin α tan α cot α = sin2 α + cos2 α = 1 = + tan2 α cos2 α = + cot2 α sin2 α tan α = Công thức cộng sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b tan(a ± b) = cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan a ± tan b ∓ tan a tan b Công thức nhân đôi cos 2α = cos2 α − sin2 α sin 2α = sin α cos α sin 2α = cos 2α = cos α − cos 2α = − sin α tan 2α = tan α − tan2 α cos 2α = tan α + tan2 α − tan2 α + tan2 α Công thức hạ bậc cos2 α = + cos 2α sin2 α = − cos 2α tan2 α = − cos 2α + cos 2α Công thức nhân ba sin 3α = sin α − sin3 α cos 3α = cos3 α − cos α tan 3α = tan α − tan3 α Cơng thức biến đổi tổng thành tích a−b a+b cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 a+b a−b cos cos a + cos b = cos 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 sin(a ± b) tan a ± tan b = cos a cos b sin a + sin b = sin sin a + cos a = sin a − cos a = cos a + sin a = cos a − sin a = sin a + π − tan2 α π sin a − π cos a − π cos a + Công thức biến đổi tích thành tổng cos(a − b) + cos(a + b) sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin(a + b) + sin(a − b) cos a sin b = sin(a + b) − sin(a − b) cos a cos b = sin a cos b = Công thức bổ sung sin4 a + cos4 a = − sin2 2a sin6 a + cos6 a = − (sin a + cos a)2 = + sin 2a Ƅ Dương Phước Sang sin2 2a (sin a − cos a)2 = − sin 2a 58 0942.080383 ...GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Bảng nguyên hàm hàm số thông dụng Lưu ý: f ( x) d x = F ( x) + C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Nguyên hàm • dx = x + C •... 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 10 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng b y = f ( x ), y = g ( x ) Hình phẳng (H ) giới hạn có diện tích S = x = a, x... 0942.080383 GIẢI TÍCH 12 Chương NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Ví dụ 14 Tính tích phân I = π sin x d x sin x + cos x Cách 1: Phương pháp liên hợp tích phân π Xét hai tích phân I = π I+J= 0π