Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong GIẢI TÍCH 12 NGUN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LỜI NĨI ĐẦU Q đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải toán trọng tâm lớp 12 Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo quy định NỘI DUNG Lí thuyết cần nắm học Bài tập trắc nghiệm Bổ sung đầy đủ dạng đề thi THPT QG Cuốn tài liệu xây dựng có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hoàn chỉnh Mọi góp ý xin gọi số 0939989966 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Lư Sĩ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC PHẦN TỰ LUẬN NGUYÊN HÀM - 01 – 19 TÍCH PHÂN - 20 – 46 ỨNG DỤNG - 47 – 51 ÔN TẬP CHƯƠNG III 52 – 75 PHẦN TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM - 01 – 15 TÍCH PHÂN - 16 – 30 ỨNG DỤNG - 31 – 38 ÔN TẬP CHƯƠNG III 39 – 60 ÔN TẬP THI THPT - 61 – 76 ĐÁP ÁN - 77 – 81 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG -0O0 - §1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm a) Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K F '( x) = f ( x) với x ∈ K b) Định lí Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) K Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K nguyên hàm f ( x) K có dạng F ( x) + C , với C số Họ tất nguyên hàm f ( x) K kí hiệu: Vậy: ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Tính chất nguyên hàm a) ∫ f '( x )dx = f ( x) + C b) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (với k số khác 0) c) ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp Bảng Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (với u = u( x ) ) ∫ 0dx = C ∫ 0du = C ∫ dx = x + C ∫ du = u + C α ∫ x dx = xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ u α du = uα +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫ e dx = e + C ∫ u du = ln u + C ∫ e du = e + C ∫ a x dx = ax + C (a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ cos xdx = sin x + C au + C (a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C x u x ∫ cos 10 x ∫ a u du = dx = tan x + C ∫ sin x ∫ cos 10 ∫ dx = − cot x + C Chương III Nguyên hàm, Tích phân u u du = tan u + C du = − cot u + C sin u Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Bảng ∫ cos kxdx = ∫ e kx dx = sin kx +C k ∫ sin kxdx = − e kx +C k dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) dx = + C (n ≠ −1) a n +1 1 ∫ dx = − +C a ax + b ax + b ( ) cos kx +C k Bảng Với a ≠ n +1 1 dx = ln ax + b + C ax + b a ∫ e ax + b dx = e ax + b + C a n ∫ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a 1 ∫ dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a 1 ∫ dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) II Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp biến đổi Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C u = u( x ) hàm số có đạo hàm liên tục ∫ f (u( x ))u '( x )dx = F(u( x )) + C Lưu ý: Đặt t = u( x ) ⇒ dt = u ( x )dx Khi đó: ∫ f (t)dt = F(t) + C , sau / thay ngược lại t = u( x ) ta kết cần tìm Với u = ax + b(a ≠ 0) , ta có ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu hai hàm số u = u( x ) v = v( x ) có đạo hàm liên tục K ∫ u( x )v '( x )dx = u( x ).v( x ) − ∫ u '( x )v( x )dx Đặt u = f ( x ) ⇒ du = f / ∫ udv = uv − ∫ vdu ( x )dx dv = g( x )dx ⇒ v = ∫ g( x )dx = G( x ) (chọn C = 0) Lưu ý: Với P( x ) đa thức N.Hàm P( x )e x dx ∫ Đặt u P(x) dv e x dx Hay ∫ P( x ) cos xdx hay ∫ P( x )sin xdx ∫ P( x ) ln xdx P(x) cos xdx hay sin xdx lnx P( x )dx Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” phần lại dv u cầu tìm ngun hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định Chương III Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng SyPhap 0939989966 Tốn 12 GV Lư Sĩ Pháp B BÀI TẬP Dạng Tìm nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Phương pháp: Dùng thành thạo bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: d) f ( x ) = x + x a) ∫ x dx = b) e) f ( x ) = x2 + −1+ f) f ( x ) = x x HD Giải x x +C ∫ x ( x − 1)( x + 1) c) f ( x ) = cos b) f ( x ) = x a) f ( x ) = x xdx = ∫ x dx = x c) ∫ cos dx = +1 x x +C = +C = x +C 3 +1 2 x + C = 2sin x + C 2 sin 1  x −  x 1 1 d) ∫  + dx + ∫ dx = ∫ x dx + ∫ x dx = x + x + C = x + x +C  dx = ∫   2 3 x x    x +2    x2 e) ∫  − +  dx = ∫  x + − +  dx = + ln x − x − + C x x x  x    x 1  ( x − 1)( x + 1)   23 −    2  dx = ∫  x x + x − f) ∫  x dx x x x = + −   dx  ∫   x x       = x + x − x + C = x x + x x − x + C 5 Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) = 3sin x + b) f ( x ) = x + c) f ( x ) = cos x − 3x −1 x x ( d) f ( x ) = ( x − 1) x + x a) b) c) d) e) ) e) f ( x ) = sin x f) f ( x ) = cos2 x HD Giải   ∫  3sin x + x  dx = 3∫ sin xdx +2∫ x dx = −3 cos x + ln x + C  −  2 3 x + dx = x dx + x dx = x + x + C = x3 + 33 x + C 2  ∫  ∫ ∫  3 x   x 3x 3x −1 x −1 cos x − = cos xdx − dx = 3sin x − + C = 3sin x − +C ∫ ∫ 3∫ ln ln x6 x5 x − x + x dx = x − x + x − x dx = − + x3 − x2 + C ( ) ∫ ∫ − cos x 1 1 ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = x − sin x + C ( ) ( ) ( Chương III Nguyên hàm, Tích phân ) Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp + cos x 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + sin x + C 2 2 Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: e− x  e− x  x  x  a) f ( x ) = e  − b) f ( x ) = e  +   cos2 x  sin x    f) ∫ cos2 xdx = ∫ d) f ( x ) = cos3 x cos x + c) f ( x ) = − cos x cos2 x HD Giải e) f ( x ) = sin x.cos2 x f) f ( x ) = 2x +   x e− x   x a) ∫ e  −  dx = ∫  7e −  dx = 7e − tan x + C 2 cos x  cos x    −x    e  b) ∫ e x  +  dx = ∫  2e x +  dx = 2e x − cot x + C sin x  sin x    x sin x + cos2 x 1 dx = ∫ sin2 x.cos2 x ∫ sin2 x.cos2 x dx = ∫ cos2 x dx + ∫ sin2 x dx = tan x − cot x + C       cos x 1 d) ∫ dx = ∫  cos2 x − cos x + −  dx  dx = ∫  cos x − cos x + − x cos x + cos x +    cos2   2 x = x + sin x − sin x − tan + C 2   − cos x 2sin x e) ∫ dx = ∫ dx = ∫  − 1 dx = ( tan x − x ) + C 2 cos x cos x  cos x  c) dx = x + + C 2x + Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Phương pháp: Nếu ∫ f (t )dt = F (t ) + C t = ϕ ( x ) có đạo hàm liên tục, f) ∫ Lưu ý: ∫ f (ϕ ( x )) ϕ ( x )dx = F (ϕ ( x )) + C / t = ϕ ( x ) ⇒ dt = ϕ / ( x )dx g(t ) = ϕ ( x ) ⇒ g / (t )dt = ϕ / ( x )dx Sau tính ∫ f (t )dt theo t, ta phải thay lại t = ϕ ( x ) Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) ∫ esin x cos xdx b) ∫ e cos x sin xdx d) ∫ ecos x sin xdx c) ∫ esin x sin xdx e) ∫ sin x cos xdx a) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Vậy ∫ e sin x f) ∫ cos2 x sin xdx HD Giải cos xdx = ∫ et dt = et + C = esin x + C b) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Vậy ∫ e cos x sin xdx = − ∫ et dt = −et + C = −e cos x + C 2 c) Đặt t = sin x ⇒ dt = 2sin x cos xdx = sin xdx Vậy ∫ esin x sin xdx = ∫ et dt = et + C = esin x + C d) Đặt t = cos2 x ⇒ dt = −2 sin x cos xdx = − sin xdx 2 Vậy ∫ ecos x sin xdx = − ∫ et dt = −et + C = −ecos x + C Chương III Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp 1 e) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Vậy ∫ sin x cos xdx = ∫ t dt = t + C = sin x + C 3 1 f) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Vậy ∫ cos2 x sin xdx = − ∫ t dt = − t + C = − cos3 x + C 3 Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: etan x a) ∫ tan xdx b) ∫ cot xdx c) ∫ dx cos2 x sin ( ln x ) + tan x dx d) ∫ dx e) dx f) ∫ ∫ x cos x x ln x ln ( ln x ) HD Giải sin x dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx cos x dt Vậy ∫ tan xdx = − ∫ = − ln t + C = − ln cos x + C t cos x b) ∫ cot xdx = ∫ dx Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx sin x dt Vậy ∫ cot xdx = ∫ = ln t + C = ln sin x + C t e tan x c) Đặt t = tan x ⇒ dt = dx V ậ y dx = ∫ et dt = et + C = e tan x + C ∫ 2 cos x cos x d) Đặt t = + tan x ⇒ t = + tan x ⇒ 2tdt = dx cos2 a) ∫ tan xdx = ∫ + tan x 2 dx = ∫ t.2tdt = t + C = + tan x ) + C = (1 + tan x ) + tan x + C ( 3 cos x sin ( ln x ) e) Đặt t = ln x ⇒ dt = dx Vậy ∫ dx = ∫ sin tdt = − cos t + C = − cos ( ln x ) + C x x Vậy ∫ f) Đặt t = ln ( ln x ) ( ln x ) ⇒ dt = ln x / dx = dx Vậy x ln x dx ∫ x ln x ln ( ln x ) = ∫ dt = ln t + C = ln ln ( ln x ) + C t Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) ∫ (1− x ) dx d) ∫e x dx + e− x + ( b) ∫ x 1+ x e) ∫ xe − x2 ) c) ∫ cos3 x sin xdx dx f) dx ∫ cos x + sin x HD Giải a) Đặt t = − x dt = −dx ⇒ dx = − dt 9 t10 (1 − x )10 Vậy ∫ (1 − x ) dx = − ∫ t dt = − + C Vậy ∫ (1 − x ) dx = − +C 10 10 dt b) Đặt t = + x dt = xdx ⇒ dx = 2x 3 Vậy ∫ x + x 2 dx = ∫ t dt = t + C Vậy ∫ x + x 2 dx = + x 2 5 c) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Khi ∫ cos3 x sin xdx = − cos4 x + C ( ) Chương III Nguyên hàm, Tích phân ( ) ( sin x − cos x ) Ứng dụng dx +C SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp dx −1 = +C −x + e + + ex 2 e) Đặt t = x ⇒ dt = xdx Khi ∫ xe− x dx = − e− x + C cos x + sin x f) Đặt t = sin x − cos x ⇒ dt = ( cos x + sin x ) dx Khi ∫ dx = sin x − cos x + C sin x − cos x Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: 2x a) ∫ ( x + 1) dx b) ∫ x x + dx c) ∫ dx x2 + d) Đặt t = e x + ⇒ dt = e x dx Khi ∫e x ( d) ∫ cos(7 x + 5)dx g) ∫ 9x2 1− x ) e) ∫ esin x cos xdx ∫ h) dx ( ) x 1+ x dx 1+ x f) ∫ xe i) ∫x dx 1− x dx HD Giải a) Đặt t = x + ⇒ dt = 2dx Khi ∫ ( x + 1) dx = ( x + 1) + C 10 b) Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Khi ∫ x x + dx = x + + C 2x c) Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Khi ∫ dx = x + + C x2 + 4 ( ) ( ( ) ) d) Đặt t = x + ⇒ dt = 7dx Khi ∫ cos(7 x + 5)dx = sin(7 x + 5) + C sin x e) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Khi ∫ e cos xdx = esin x + C 1+ x f) Đặt t = + x ⇒ dt = xdx Khi ∫ xe g) Đặt t = − x ⇒ dt = −3 x dx Khi h) Đặt t = + x ⇒ dt = x Khi i) Đặt t = − x ⇒ dt = −2 xdx Khi ∫ dx = 9x2 ∫ 1− x ( 1+ x2 e +C dx = −6 − x + C x 1+ x ) dx = − ∫ x − x dx = − 1+ x 1− x2 ( ) Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: ex e x − e− x a) ∫ x dx b) ∫ x dx e +1 e + e− x d) ∫x x + 3dx ∫x e) x + 7dx +C +C c) ∫x x − 5dx f) ∫x x + 1dx HD Giải e dt a) Đặt t = e x + ⇒ dt = e x dx Vậy ∫ x dx = ∫ = ln t + C = ln e x + + C t e +1 x e − e− x dt b) Đặt t = e x + e − x ⇒ dt = e x − e − x dx Vậy ∫ x − x dx = ∫ = ln t + C = ln e x + e− x + C t e +e ( x ( ) ( ) ) c) Đặt t = x − ⇒ t = x − ⇒ 2tdt = xdx ⇒ tdt = xdx Chương III Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp C f ( x ) = 3x − 5sin x − D f ( x ) = 3x + 5sin x + Câu 56: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = e2 x , biết F ( ) = A F ( x ) = e2 x B F ( x ) = e2 x + 2 C F ( x ) = 2e2 x − D F ( x ) = e x Câu 57: Tính H = ∫ e3 x −1dx 1 A H = e5 − e C H = (e5 − e ) D H = (e5 + e ) f ( x) + Câu 58: Hàm số y = f ( x ) có nguyên hàm F ( x ) = e2 x Tìm nguyên hàm hàm số ex f (x) + 1 f (x) + A ∫ B ∫ dx = e x − e − x + C dx = 2e x + e − x + C x ex e f (x) + f (x) + C ∫ D ∫ dx = 2e x − e− x + C dx = e x − e − x + C x x e e B H = e5 − e Câu 59: Biết F ( x ) nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x đồ thị hàm số y = F ( x ) qua π  điểm M ( 0;1) Tính F   2 π  π  A F   = B F   = −1 2 2 π  C F   = 2 π  D F   = 2 Câu 60: Cho I = ∫ f ( x ) dx = Tính J = ∫  f ( x ) − 3 dx A J = B J = C J = D J = Câu 61: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x) = x + x A F ( x) = x3 + x + C B F ( x) = x + x + C 1 C F ( x) = x + x + C D F ( x ) = x + + C Câu 62: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + 3 g ( x ) = dx + ex − , ( a, b, c, d , e ∈ ℝ ) Biết 4 đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; 1; (tham khảo hình vẽ) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho A S = 125 24 B S = 253 24 C S = 125 48 D S = 253 48 Câu 63: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ax + f (1) = A F ( x ) = 3x − − 2x Chương III Nguyên hàm, Tích phân b x2 B F ( x ) = 67 ( x ≠ 0) biết F ( −1) = ; F (1) = 3x − − 2x Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 C F ( x ) = GV Lư Sĩ Pháp 3x + − 4x D F ( x ) = 3x + + 2x g ( x) = dx + ex + ( a, b, c, d , e ∈ ℝ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3; −1;1 (tham khảo hình vẽ bên) Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho Câu 64: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − A S = B S = C S = D S = Câu 65: Cho hình ( H ) giới hạn đường y = − x + x , trục hồnh Quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox ta khối tròn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay 32π 496π 4π A V = B V = C V = 15 15 D V = 16π 15 Câu 66: Cho F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = e3 x thỏa mãn F ( ) = Mệnh đề sau đúng? 1 A F ( x ) = e3 x + B F ( x ) = − e3 x + C F ( x ) = e3 x + D F ( x ) = e3 x 3 3 3 Câu 67: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x Tính F ′′ ( x ) A F ′′ ( x ) = x + ln x B F ′′ ( x ) = x C F ′′ ( x ) = − ln x D F ′′ ( x ) = + ln x Câu 68: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex + ( a , b , c , d , e ∈ ℝ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; −1; Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho 37 A S = B S = 12 C S = 37 D S = 13 Câu 69: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) e x F ( ) = Tính F (1) A F (1) = 11e − B F (1) = e + C F (1) = e + D F (1) = e + Câu 70: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm ℝ thỏa mãn f ( ) = −2 ; ∫ f ( x )dx = Tính tích phân I = ∫ f ′ ( x )dx Câu 71: Một chất điểm A xuất phát từ điểm O , chuyển động với vận tốc biến thiên theo thời gian Chương III Nguyên hàm, Tích phân 68 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp 11 t + t ( m / s ), t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển 180 18 động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a (m / s ) (a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Tìm vận tốc vB B thời điểm đuổi kịp A quy luật v(t ) = A vB = 10( m / s )  B vB = 7( m / s )  ∫  x + − x +  dx = a ln + b ln Câu 72: Cho C vB = 22( m / s ) D vB = 15( m / s) với a , b số nguyên Mệnh đề ? A a + 2b = B a − 2b = C a + b = −2 D a + b = Câu 73: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + x x + x + C D F ( x) = x + x + C A F ( x) = x + x + C B F ( x) = C F ( x ) = x + + C Câu 74: Cho π 12 0 ∫ f ( x ) dx = 2018 Tính I = ∫ cos x f ( sin x ) dx A I = 4036 B I = 1009 C I = 1009 D I = 2018 Câu 75: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục [ 0;2] f ( ) = , ∫ f ( x ) dx = Tính J = ∫ x f ′ ( x ) dx A J = B J = −3 Câu 76: Cho hàm số f ( x ) liên tục R có C J = ∫ f ( x ) dx = 2; A I = B I = D J = ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x − ) dx −1 C I = D I = Câu 77: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = 2018x ln 2018 − cos x f ( ) = Phát biểu sau đúng? 2018 x A f ( x ) = B f ( x ) = 2018x − sin x + + sin x + ln 2018 2018 x C f ( x ) = D f ( x ) = 2018x + sin x + − sin x + ln 2018 Câu 78: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + x A F ( x) = x + x + C B F ( x) = x + x + C 1 C F ( x ) = x + x + C D F ( x) = x + x + C Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R có đồ thị ( C ) đường cong hình bên Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục hoành hai đường thẳng x = , x = phần tô đen hình vẽ bên Mệnh đề đúng? Chương III Nguyên hàm, Tích phân 69 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp y A S = B S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx C S = ∫ f ( x ) dx D S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx O 0 x 2 Câu 80: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f (1) A f (1) = − 79 20 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ℝ Tính giá trị B f (1) = − C f (1) = − Câu 81: Cho hàm số f ( x ) liên tục [ −4; + ∞ ) ∫f( B I = Câu 82: Cho hàm số D f (1) = − ) C I = −16 f ( x ) liên tục đoạn 71 20 x + dx = Tính I = ∫ x f ( x ) dx A I = 35 [1; e] , D I = −4 e ∫ biết f ( x) x dx = , f ( e ) = Tính e I = ∫ f ′ ( x ) ln xdx A I = B I = Câu 83: Cho hàm số C I = f ( x ) liên tục ℝ D I = f ( ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 20 B I = 12 C I = D I = 13 B I = C I = 10 D I = 20 Câu 84: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;3] thỏa mãn f ( −1) = ; f ( 3) = Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx −1 A I = 15 21 Câu 85: Cho ∫x dx x+4 A a − b = −2c Câu 86: Cho F ( x ) = − e2 A I = 2e Câu 87: Cho ∫ = a ln + b ln + c ln , với a , b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? B a + b = c C a + b = −2c D a − b = −c f ( x) nguyên hàm hàm số Tính 2x x e2 − B I = 2e e ∫ f ′( x) ln xdx e2 − C I = e D I = − e2 e2 f ( x ) dx = 12 Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = 36 C I = Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn D I = ∫ x  f ′ ( x ) − 2 dx = f (1) Giá trị I = ∫ f ( x ) dx Chương III Nguyên hàm, Tích phân 70 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp A I = −2 B I = −1 C I = D I = 1 Câu 89: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + x x 1 A ∫ f ( x ) dx = B ∫ f ( x ) dx = 3x − + C + + C ln x x x 1 C ∫ f ( x ) dx = − + C D ∫ f ( x ) dx = 3x + + C ln x x Câu 90: Cho A I = −1 ∫ f ( x + 1) xdx = Tính I = ∫ f ( x )dx B I = C I = D I = Câu 91: Cho phần vật thể ( ℑ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = x = Cắt phần vật thể ( ℑ) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( ≤ x ≤ ) , ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x − x Tính thể tích V phần vật thể ( ℑ) B V = A V = C V = D V = π  π  Câu 92: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x ) = sin x F   = Tính F   4 6 π  π  π  π  A F   = B F   = C F   = D F   = 6       6 Câu 93: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x − , trục hoành đường thẳng x = Tính thể tích V hối tròn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành A V = 7π B V = 4π C V = π D V = 7π 3 x ≤ x ≤ Câu 94: Cho hàm số y = f ( x ) =  Tính tích phân ∫ f ( x ) dx 4 − x ≤ x ≤ 2 2 A ∫ f ( x ) dx = B ∫ f ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dx = D ∫ f ( x ) dx = 2 0 0 Câu 95: Cho ∫ 4+2 x A S = a + b ln + c ln với a , b , c số nguyên Tính S = a + b + c x +1 B S = C S = D S = dx = 3 Câu 96: Cho ∫ f ( x)dx = a , A H = b − a Câu 97: Cho A S = B H = a + b xdx ∫ ( x + 2) ∫ 2 f ( x)dx = b Tính H = ∫ f ( x)dx C H = −a − b D H = a − b = a + b ln + c ln với a , b, c số hữu tỷ Tính S = 3a + b + c B S = −1 C S = Câu 98: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b] , biết D S = −2 d d a b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = (với a < d < b ) b Tính ∫ f ( x ) dx a Chương III Nguyên hàm, Tích phân 71 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp b A b ∫ f ( x ) dx = B a b ∫ f ( x ) dx = C a b ∫ f ( x ) dx = D a ∫ f ( x ) dx = 10 a Câu 99: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e , y = , x = , x = ln Đường thẳng x x = k ( < k < ln ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S Tìm k để S1 = S B k = ln A k = ln C k = ln Câu 100: Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa ∫ D k = ln f ( x ) dx = 10 Tính A ∫ x f   dx = 2 B ∫  x f   dx = 2 x ∫ f   dx C x f   dx = 10 2 ∫ D x ∫ f   dx = 20 Câu 101: Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ′ ( x ) liên tục ℝ ∫ f ′ ( x ) dx = 17 Tính f ( 4) A f ( ) = −4 B f ( ) = C f ( ) = 21 Câu 102: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x) = x2 + ln x −1 + C C F ( x) = x + Câu 103: Cho x2 − x + x −1 B F ( x) = + + C x −1 D f ( ) = 29 ( x − 1) D F ( x) = x + ln x − + C −1 −1 ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ( t ) dt = Tính J = ∫ f ( z ) dz A J = 18 B J = C J = Câu 104: Tích diện tích S hình phẳng (phần tơ màu) hình bên y A S = B S = 3 11 10 C S = D S = f(x) = x 3 O D J = 11 x g( x ) = x + C F ( ) = Tính F ( 3) x −1 A F ( 3) = ln − B F ( 3) = C F ( 3) = D F ( 3) = ln + Câu 106: Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S Câu 105: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = y A S = y = f ( x) −1 O C S = x Chương III Nguyên hàm, Tích phân −1 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx −1 72 B S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx −1 D S = − ∫ f ( x ) dx −1 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Câu 107: Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ 2π ∫ f ( x ) dx = 12 Tính I = π∫ f ( cos x ) sin xdx −1 A I = B I = 12 C I = −1 f ( x ) hàm số liên tục ℝ Câu 108: Cho ∫ D I = f ( x) d x = , ∫ f ( x) d x = Tính I= ∫ f ( 2x +1 ) d x −1 A I = B I = C I = D I = Câu 109: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x thẳng x = , x = A S = B S = C S = Câu 110: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f (2) = − f ′( x) = x [ f ( x)] với f (1) 11 A f (1) = − B f (1) = − C f (1) = − 6 , trục hoành Ox , đường D S = x ∈ ℝ Tính giá trị D f (1) = − π Câu 111: Tính tích phân I = ∫ ecos x sin xdx π A I = e B I = − e C I = e − D I = + e Câu 112: Một xe đua chạy 180 km/h Tay đua nhấn ga để đích kể từ xe chạy với gia tốc a ( t ) = 2t + ( m/s ) Hỏi s sau nhấn ga xe chạy với vận tốc km/h A 300 B 288 C 243 Câu 113: Cho hàm số f ( x ) liên tục [1; +∞ ) ∫ ( f ) B I = x + dx = Tích phân I = ∫ xf ( x ) dx A I = D 200 C I = Câu 114: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [0; 4] D I = 12 ;0 ∫ f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = Tính I= ∫ f ( 3x − )dx −1 A I = B I = Câu 115: Cho ∫ 1 0 B J = −8 C J = f ( x ) dx = A J = −3 C I = D I = ∫ g ( x ) dx = Tính J = ∫  f ( x ) − g ( x ) dx D J = 12 Câu 116: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn f ( −2 ) = , ∫ f ( x − ) dx = Tính ∫ xf ′ ( x ) dx −2 A I = B I = C I = −4 D I = Câu 117: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian Chương III Nguyên hàm, Tích phân 73 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp 13 t + t ( m/s ) , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển 100 30 động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát quy luật v ( t ) = 15 giây đuổi kịp A Tính vận tốc VB B thời điểm đuổi kịp A A VB = 25( m / s ) B VB = 42( m / s ) C VB = ( m / s ) D VB = 15( m / s ) Câu 118: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, dương [ 0;3] thỏa mãn I = ∫ f ( x ) dx = Tính ( 1+ ln ( f ( x ) ) K =∫ e ) + dx A K = + 14e B K = + 12e Câu 119: Cho C K = 14 + 3e D K = 12 + 4e ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x + 1) dx −1 −1 B I = D I = 2 Câu 120: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + sin 3x , biết F ( ) = cos x cos x 2 A F ( x ) = x − B F ( x ) = x − − + 3 cos x cos x C F ( x ) = x − D F ( x ) = x + + + 3 A I = C I = b Câu 121: Biết ∫ ( x − 1) dx = Khẳng định ? a A a − b = a − b − 2 B b − a = b − a + C b − a = D a − b = Câu 122: Cho y = f ( x ) , y = g ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;2] 2 ∫0 g ( x ) f ′ ( x ) dx = , ′ ∫ g ′ ( x ) f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫  f ( x ) g ( x ) dx 0 A I = B I = C I = D I = −1 Câu 123: Cho hình phẳng ( D ) giới hạn đường x = , x = , y = y = x + Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay ( D ) xung quanh trục Ox tính theo cơng thức? A V = π ∫ x + 1dx B V = ∫ x + 1dx C V = ∫ ( x + 1) dx 0 D V = π ∫ ( x + 1) dx Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; Câu 124: Cho hai hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx − g ( x ) = dx + ex = Tính diên tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho 253 253 A S = B S = 12 48 125 125 C S = D S = 48 12 Chương III Nguyên hàm, Tích phân 74 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Tốn 12 GV Lư Sĩ Pháp Câu 125: Cho hàm số f ( x ) có f ′ ( x ) liên tục đoạn [ −1;3] , f ( −1) = ∫ f ′( x ) dx = 10 Tính −1 f ( 3) A f ( 3) = −7 B f ( 3) = −13 Câu 126: Biết ∫ f ( x)dx = −1 A I = 4e8 C f ( 3) = D f ( 3) = 13 −1 2x ∫−1 f ( x)dx = Tính tích phân I = ∫0 4e + f ( x)  dx B I = 4e8 − C I = 2e8 D I = 2e8 − Câu 127: Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ Biết ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = Câu 128: Cho hình phẳng D giới hạn parabol y = − x + x , cung tròn có phương trình y = 16 − x , với ( ≤ x ≤ ), trục tung (phần tô đậm hình vẽ) Tính diện tích hình D y 16 16 A S = 2π − B S = 8π − 3 y = 16 − x 16 16 C S = 4π + D S = 4π − 3 x y = − x + 2x O π Câu 129: Cho ∫ f ( x + 1) dx = 12 ∫ f ( sin x ) sin xdx = Tính I = ∫ f ( x ) dx 2 0 A I = 15 B I = 22 C I = 26 D I = 27 π Câu 130: Cho hàm số f ( x ) liên tục R A I = B I = ∫ f ( tan x ) dx = ∫ 0 C I = x2 f ( x ) Tính d x = I = ∫0 f ( x ) dx x2 + D I = Câu 131: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn f ( ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 20 Câu 132: Cho B I = 12 ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ 1 A I = f B I = C I = 13 D I = C I = D I = ( x ) dx x Câu 133: Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ F ( x ) nguyên hàm f ( x ) , biết F ( ) = Tính F ( ) A F ( ) = −6 ∫ f ( x ) dx = B F ( ) = 12 Chương III Nguyên hàm, Tích phân C F ( ) = −12 75 Ứng dụng D F ( ) = SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Câu 134: Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa e 2018 −1 2018 A I = B I = ( ) x f ln ( x + 1) dx x +1 D I = ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ C I = có đạo hàm cấp hai f ′′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thoả Câu 135: Cho hàm số f ( x ) mãn f (1) = f ( ) = , f ′ ( ) = 2018 Mệnh đề đúng? 1 A ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −2018 B ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −1 0 1 C ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 2018 D ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 0 Câu 136: Tính tích phân I = ∫ 3xe x dx −1 3e3 + A I = −e B I = 3e3 + e C I = 3e3 + e −1 D I = 3e3 − e −1 Câu 137: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức: b A V = π ∫ f ( x )dx b B V = 2π ∫ f ( x )dx a a Câu 138: Tính tích phân I = ∫ A I = log Câu 139: Biết b C V = π ∫ f ( x )dx ∫ xe A ab = a a dx x+3 B I = ln 2x b D V = π ∫ f ( x )dx C I = 16 225 D I = 15 dx = axe x + be x + C ( a , b ∈ ℚ ) Tính tích ab B ab = − C ab = − D ab = e Câu 140: Cho ∫ ( + x ln x )dx = ae A a + b = −c + be + c với a , b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? B a − b = −c Chương III Nguyên hàm, Tích phân C a + b = c 76 Ứng dụng D a − b = c SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM §1 NGUYÊN HÀM 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 10 10 10 10 11 A B C D A B C D A B C D A B C D 99 100 A B C D 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 A B C D Chương III Nguyên hàm, Tích phân 77 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp §2 TÍCH PHÂN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 10 10 10 10 11 11 11 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 A B C D Chương III Nguyên hàm, Tích phân 78 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Tốn 12 GV Lư Sĩ Pháp §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 A B C D A B C D A B C D 64 65 66 67 68 69 A B C D ÔN TẬP CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D A B C D A B C D Chương III Nguyên hàm, Tích phân 79 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D A B C D 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 A B C D A B C D A B C D 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 A B C D Chương III Nguyên hàm, Tích phân 80 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Tốn 12 GV Lư Sĩ Pháp ƠN THI THPT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 A B C D A B C D Chương III Nguyên hàm, Tích phân 81 Ứng dụng SyPhap 0939989966 ... tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm ngun hàm khoảng xác định Chương III Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng SyPhap 0939989966 Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp B BÀI TẬP Dạng Tìm nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên. .. = cos xdx ) b) B = ( ) Chương III Nguyên hàm, Tích phân 19 Ứng dụng SyPhap 0939989966 Tốn 12 GV Lư Sĩ Pháp §2 TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Khái niệm tích phân Định nghĩa: Cho hàm số f ( x... CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG -0O0 - §1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm a) Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm