044_Đề HSG Toán 9_Bình Định_2017-2018

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a, b, c Đặt: x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac 2 Chứng minh ba số x, y, z có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y  x  y  1   y  1  13 2) Giải phương trình: x2  x  2018  2018 Câu 3: 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2   ab  bc  ca  p, q, r ba số thỏa mãn: p  q  r  Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:   M   a  b  1 a  b2  ab Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ STT 07 LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a, b, c Đặt: x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac 2 Chứng minh ba số x, y, z có số dương Lời giải 1) Ta có: n6  2n4  n2  n6  n4  n4  n2  n4  n2  1  n2  n2  1  n  n  1 n  1 2 A  2,3   A  n  n  1 n  1 36 A Đặt A  n  n  1 n  1 , ta có  (đpcm) 2) Ta có: x  y  z   a  b  c   9ab   a  b  c   9bc   a  b  c   9ac   a  b  c    ab  bc  ca   a  b2  c   ab  bc  ca   2 3 2 a  b   b  c    c  a     2 Vì a, b, c ba số phân biệt nên 3 2 a  b   b  c    c  a     x  y  z    2 Do ba số x, y, z phải có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y  x  y  1   y  1  13 2) Giải phương trình: x2  x  2018  2018 Lời giải 1) Ta có:  x  y  2x  y  1   y 1  13  2x  xy  x  2xy  y  y  y   13   2x  xy  x    xy  y  y    5x  y  15   x  x  y  3  y  x  y  3   x  y  3    x  y  3 x  y  5  10  x  x  y   x  y      + TH1:    2 x  y   2 x  y  12  y  16  10  x  x  y   x  y     + TH2:    2 x  y   2 x  y   y  2  (loại) (loại)  x  y   1  x  y  4  x  2   2 x  y   7 2 x  y  2 y  + TH3:  (thỏa mãn)  x  y   7  x  y  10  x  2 (thỏa mãn)   2 x  y   1 2 x  y  y  + TH4:  Vậy pt cho có nghiệm nguyên  x; y  là:  2;  ,  2;8 2) ĐKXĐ: x  2018 , đặt x  2018  t , , t   t  x  2018 x  t  x 1  t Ta có x  x  2018  2018  x  t  t  x   x  t  x  t  1     x  x  2018  x  t   897  x 2018  x  2018  x  + TH1:   x  x  2017  x 1  t 1  8069  x  x  1  x  1 + TH2:  Vậy phương trình cho có nghiệm là: x   897 1  8069 ; x 2 Câu 3: 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2   ab  bc  ca  p, q, r ba số thỏa mãn: p  q  r  Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:   M   a  b  1 a  b2  ab Lời giải 1) Từ gt: a2  b2  c2   ab  bc  ca    a  b  c   4bc | a  b  c | bc Lại có: p  q  r   r   p  q  apq  bqr  crp  apq  bq   p  q   cp   p  q   apq  bpq  bq2  cpq  cp2  pq  a  b  c    bq2  c Ta có: bq2  cp2 | pq | bc | pq || a  b  c | pq  a  b  c   pq  a  b  c    bq  cp    apq  bqr  crp  (đpcm) 2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: a2  b2  2ab     M   a  b  1 a  b2  2  a  b 4     a  b  1   a b ab ab ab  ab   ab   2.2    Dấu “=” xảy a  b  ab Vậy giá trị nhỏ M a  b  Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J trung điểm AH BC Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Lời giải A E I F Q K H B P D J C M a) Ta có: BDH ∽ BEC (g-g)  BD BH   BH.BE = BC.BD (1) BE BC BEC ∽ ADC (g.g)  BC CE =  BC.CD = CE.AC (2) AC CD Từ (1) (2) suy ra: BH.BE.BC.CD = BC.BD.CE.AC  AC.BD.CE = BE.CD.BH (đpcm) b) Ta có: AEH = AFH  900  Tứ giác AEHF nội tiếp 2 KIE KIF  JIE  JIF  KIE  KIF    KAE  KAF  MAC  MAB  MC  MB 2 Ta có: IE  IF  AH ; JE  JF  BC  IEJ  IFJ (c-c-c)  BDQ  MBC  BMQ  MAB  BAQ  QAP  Tứ giác AQDP nội tiếp a) Kẻ AH  BC  H  BC  , qua D kẻ B DK  AB  K  BC   DKB  900  ABC  450  BDK vuông cân D K D H  BD  DK  AE  Tứ giác ADKE hình chữ nhật  DE  AK Ta có: AK  AH  DE  AH Vậy DE nhỏ K  H D trung điểm AB E trung điểm AC b) A E C Đặt AB  AC  a ,  a   ; BD  AE  x  AD  a  x Ta chứng minh BĐT: Với a, b ta ln có:  a + b   4ab (*) Thật vậy: (*)   a  b   (BĐT đúng) 2 Áp dụng (*) ta có: SADE = AD.AE =  a  x  x   a  x   x   SABC a2 a2 a a 3a không đổi = AB.AC = Do đó: SBDEC  SABC  SADE    2 8 a Dấu “=” xảy a  x  x  x  Vậy tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 3a 3AB2  D, E trung điểm AB AC 8