ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH Năm học 2017 – 2018 Câu (4,0 điểm) x x 1 x x 1 1) Rút gọn biểu thức: P x 2x 1 x 2x 1 , với x 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x thức A x5 Tính giá trị biểu x2 1 ; B x7 x x Câu (4,0 điểm) 1) Cho phương trình x2 (m2 1) x m (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2) Giải hệ phương trình x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 ( x 1)2 y xy 4 x 24 x 35 y 11 y Câu (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m , n cho m n2 chia hết cho m2 n n m2 chia hết cho n2 m 2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b2 số nguyên tố Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A BAC 90 nội tiếp đường tròn O bán kính R M điểm nằm cạnh BC BM CM Gọi D giao điểm AM đường tròn O ( D khác A ), điểm H trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E điểm cung lớn BC , ED cắt BC N 1) Chứng minh MA.MD MB.MC BN.CM BM CN 2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B , I , E thẳng hàng 3) Khi 2AB R , xác định vị trí M để 2MA AD đạt giá trị nhỏ Câu (2,5 điểm) 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x y z xy yz zx Chứng minh x 1 y 1 z 1 25 y z x 3 xy yz zx 2) Cho tam giác ABC vng C có CD đường cao X điểm thuộc đoạn CD , K điểm thuộc đoạn AX cho BK BC , T thuộc đoạn BX cho AT AC , AT cắt BK M Chứng minh MK MT LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu (4,0 điểm) x x 1 x x 1 1) Rút gọn biểu thức: P x 2x 1 x 2x 1 , với x 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x thức A x5 Tính giá trị biểu x2 1 ; B x7 x x Lời giải x x 1 1) P x x 1 2x 2x 1 x 1 x 1 2x 2x 1 2x 1 2x 1 2 x 1 x 1 2x 1 2.2 x 2x 1 x 2) x x2 Ta có x3 x x4 +) x x5 +) x3 x7 x x3 x x x x2 x x2 x x x x2 3.6 x x (do x 0) 18 x4 18 141 x5 1 x4 x x4 x7 x 846 47 x5 x3 x5 x3 x5 x5 x7 x x7 x7 x5 x5 18 x7 x7 123 x x7 843 Câu (4,0 điểm) 1) Cho phương trình x2 (m2 1) x m (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2) Giải hệ phương trình x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 ( x 1)2 y xy 4 x 24 x 35 y 11 y Lời giải m2 1) m4 m x1 Theo định lí Vi-ét ta có x1 x2 x2 x1 x12 x1 x22 m2 m4 2m2 m4 Đặt m 2m2 m2 x1 x2 m 4m x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 55 x1 m2 m m2 m2 55 x1 x2 x2 m 2 x1 x2 55 x1 x2 x1 x2 55 0 4m 55 0 (2) 24 a a x1 x2 x2 55 x1 x2 x1 x2 x2 m Phương trình (2) trở thành a2 2a 24 Ta có phương trình có nghiệm: 25 a1 (Nhận); a2 (Loại, a ) m +) Với a m2 giá trị cần tìm Vậy m ; m (1) 2) ( x 1) y xy x 24 x 35 Phương trình (1) x x x y x 3 y 11 y ( x 1)2 y x y (2) xy x x x2 y x xy y 0 +) Thay x vào phương trình (2) ta được: 4.12 24.1 35 y 11 y y 11 y 3 y 11y 10 y y 11 y y 11 10 y y2 29 y 100 y 25 y +) Thay y x2 24 x vào phương trình (2) ta x 35 x x2 24 x 35 3x x2 28x 24 3x x x 11 x x 3 x2 3x x x x 3x 3x 24 x 35 3x x x x x x 0 x x x Vì 3x 3x 3x x 3x x x x x y y x x x 0, x 3 Vậy nghiệm x; y hệ là: 1; , 1; 25 , 6;9 Câu (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m , n cho m n2 chia hết cho m2 n n m2 chia hết cho n2 m 2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b2 số nguyên tố Lời giải 1) n2 m2 m n (1) n m n m n2 m2 n m n m n n m2 n2 m n n m n n m 1 m m m (do m , n nguyên dương) m n 1 *) TH1: m n 2 +) m n m n m n m n2 m2 n n n2 n n2 3n n 4n n n2 n m n 4n 3n 3n 7n * n n2 3n 4n 37 n 37 1;2;3;4;5;6 1;2;3;4;5 Thử lại vào (1) ta tìm cặp m; n thỏa mãn là: 2;3 *) TH2: m n m n m n m2 n m n m2 n n2 n n2 n2 n n n n * Vì n n n 2n n n 1;2;3 m 1;2;3 Thử lại vào (1) ta tìm cặp số m; n thỏa mãn là: 2; , 3;3 *) TH3: m n n m n n n n n 3n n2 n n n2 37 * n n2 Vì n n m n m2 n2 m 4n 2 n n m n 4n n2 5n 37 1;2;3;4;5 m 2;3;4;5;6 Thử lại vào (1) ta cặp số m; n thỏa mãn là: 3; 2) Ta xét tập T gồm số chẵn thuộc tập A Khi | T | với a , b thuộc T ta có a b2 , k Xét cặp số sau: A 1; 3; 5;16 6;15 7;12 8;13 9;10 11;14 Ta thấy tổng bình phương cặp số số nguyên tố Xét T tập A | T | , theo ngun lí Dirichlet T chứa cặp nói Vậy kmin Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A BAC 90 nội tiếp đường tròn O bán kính R M điểm nằm cạnh BC BM CM Gọi D giao điểm AM đường tròn O ( D khác A ), điểm H trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E điểm cung lớn BC , ED cắt BC N 1) Chứng minh MA.MD MB.MC BN.CM BM CN 2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B , I , E thẳng hàng 3) Khi 2AB R , xác định vị trí M để 2MA AD đạt giá trị nhỏ Lời giải MAB ” 1) +) Ta có MA MC MB MD MCD (g.g) MA.MD MB.MC (đpcm) +) Theo gt A điểm cung nhỏ BC BDC (1) Mặt khác, E điểm cung lớn BC ADE DA 90 DA tia phân giác BDC AE đường kính (O) DN (2) Từ (1) (2) DN tia phân giác BDC BDC Do đó, theo tính chất cảu tia phân giác tia phân giác tam giác ta có: BM CM BD BN BM CN CD CN 2) Kẻ BE cắt ( I ) J Ta có EBD BJD BN.CM (đpcm) EAD DMC (góc trong- góc ngoài) EBD BJD 90 Mà EAD DMC 90 BD JD BJ đường kính I BJ hay I BE B , I , E thẳng hàng (đpcm) 3) HAM ” DAE (g.g) AM AE Với AE AM AD AH AD 2R ; AH AM AD AB AE AH AE R R2 Theo BĐT Cô- si: AM AD 2 AM AD 2 R2 R GTNN đạt khi: 2AM AD M trung điểm AD OM AD M gia điểm đường trịn đường kính OA với BC Câu (2,5 điểm) 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x y z xy yz zx Chứng minh x 1 y 1 z 1 25 y z x 3 xy yz zx 2) Cho tam giác ABC vng C có CD đường cao X điểm thuộc đoạn CD , K điểm thuộc đoạn AX cho BK BC , T thuộc đoạn BX cho AT AC , AT cắt BK M Chứng minh MK MT Lời giải 1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 25 VT 3 2.2 xy yz xy zx 25 yz zx 25 xy yz zx x y z 25 x y z Cần chứng minh x y 25 Sau rút gọn, BĐT trở thành x2 y y z z x Giả sử y nằm x z , suy y x y z hay y Do y z z x x2 y y2 z 2y z 2) z2 x x z xyz x2 y x xyz zx xy yz yz y z x 2 y z x z x 54 yz Vẽ đường tròn A; AC , B; BC đường tròn ( I ) ngoại tiếp ABC Kẻ AX cắt ( I ) Y , BX cắt ( I ) Z , AZ cắt BY P Ta có AYB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( I ) ) BZA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( I ) ) X trực tâm Ta thấy ATD ABC ” AC ACD ABZ AD.AB AT BAK ATZ tứ giác ADTP tứ giác nội tiếp PT (1) Tương tự, ta có BK PK (2) PT (3) Từ (1), (2), (3), suy MK AP ABT Ta có APD PK BP ABP Tương tự, ta có BKD AT BZ AY MT (đpcm) MKP MTP (cạnh huyền – cạnh góc vng) ...LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu (4,0 điểm) x x 1 x x 1 1) Rút gọn biểu thức: P