ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Cho phương trình x2 mx Tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép A 4; 4 B 4 C 4 D 16 Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo hai đường thẳng có phương trình y x y x A 70o B 30o Câu 3: Cho x A 22018 10 C 90o D 45o Giá trị biểu thức x 1 62 B 22018 C 4x 2 2018 D Câu 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) B(2018;1) Đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình A y x 2018 B y x 2018 C y 2018x D y 2018x Câu 5: Cho biểu thức P x 8x x 8x , khẳng định ? A P 2 với x B P 2 với x C P 2 x với x D P 2 x với x Câu 6: Trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết M cách trục tung, trục hoành đường thẳng y x Hoành độ điểm M A B 2 C D Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M 2018;2018 đến đường thẳng y x A B C D Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A m;m - 10 Khi m thay đổi 3 khẳng định ? A Điểm A thuộc đường thẳng cố B Điểm A thuộc đường tròn cố định định C Điểm A thuộc đoạn thẳng cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y x 10 Câu 9: Cho tam giác ABC có AB cm, AC cm BC cm Kẻ đường cao AH , gọi I , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác HAB tam giác HAC Độ dài đoạn thẳng KI A 1, cm C 1, 45 cm B 2 cm D cm Câu 10: Cho AB dây cung đường tròn O; cm AOB 150o Độ dài đoạn thẳng AB A cm B cm C cm D cm Câu 11: Cho hai đường tròn I ; O;6 tiếp xúc với A Qua A vẽ hai tia vng góc với cắt hai đường tròn cho B C Diện tích lớn tam giác ABC A B 12 C 18 D 20 Câu 12: Cho hình thoi ABCD có cạnh Gọi x, y bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ABD Giá trị biểu thức 1 x y A B C D Câu 13: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn O; R đường kính AC dây cung BD R Gọi x, y, z, t khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA Giá trị biểu thức xy zt A 2R2 B 2R C 2 R D 2 R Câu 14: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ; cm) nội tiếp đường tròn O;6 cm Tổng khoảng cách từ điểm O tới cạnh tam giác ABC A cm B 12 cm C 16 cm D 32 cm Câu 15: Nếu tam giác có độ dài đường cao 12,15, 20 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác A B C D Câu 16: Trên khu đất rộng, người ta muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước 60m lưới để rào Trên khu đất người ta tận dụng bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an tồn có diện tích lớn ? A 400 m2 B 450 m2 C 225 m2 D 550 m2 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 17: (3,0 điểm) a) Cho a2 b c b2 c a 2018 với a, b, c đơi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c2 a b b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b c 91 b2 ca Câu 18: (3,5 điểm) a) Giải phương trình x2 x x2 x b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Câu 19: (4,0 điểm) Cho đường tròn O điểm A nằm O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O ( B, C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O D E ( AD AE ) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E, N , I thuộc đường tròn T b) Chứng minh hai đường tròn O T tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Câu 20: (1,5 điểm) 3a b 3b c 3c a với a, b, c độ a ab b bc c ca Chứng minh a b c dài ba cạnh tam giác - HẾT LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm: Mỗi câu 0,5 điểm) Câu Câu A C B C B,D A,B B A 10 11 12 13 14 15 16 D B C A C A A B B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 17: a) Ta có a b c b2 c a a b a b bc ab ab ca c b a c Suy ab bc ca bc a b c abc a b c 2018.(1) ab bc ca ab c a b abc c a b (2) Từ (1) (2) ta c a b 2018 b) Đặt b qa; c q a q 1 ta a q q 91 13.7 Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta a a a 1; b 9; c 81 1 q q 91 q a a a 7; b 21; c 63 1 q q 13 q a 13 a 13 a 13; b 26; c 52 1 q q q Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử q x x 3; y y Khi a 1 q q 91 a x xy y 91y x xy y 19 Ta có c ax y2 a y2 a ty x xy y 91 x 6; y a 25; b 30; c 36 Vậy có số a; b; c thỏa mãn 1;9;81 , 81;9;1 , 7;21;63 , 63;21;7 ; Câu 18: a) x2 x x x x x x x x x 1( L) x x x2 x x2 x x 1 x b) Gọi C , D hình chiếu A, B lên bờ sông Đặt CE x x 492 Ta có CD 6152 487 118 492 Quãng đường di chuyển người AE EB x 1182 492 x 4872 Ta có với a, b, c, d a b2 c d Thật 1 a b2 c d a a a c b d 2 (1) b2 c d a c b d 2 b2 c d ac bd (2) Nếu ac bd (2) ln Nếu ac bd bình phương hai vế ta (2) trở thành ad bc Dấu đẳng thức sảy ad bc Áp dụng (1) AE EB x 492 x 487 118 2 Dấu đẳng thức xảy 487 x 118 492 x x 96m Vậy quãng đường nhỏ 780 m Câu 19: 608089 779,8m a) Ta có ABO ACO 180o nên tứ giác ABON nội tiếp Gọi J giao điểm AD với đường tròn ABOC Suy DMA đồng dạng DNJ Suy DM DN DA.DJ Mà DA DI ; DJ DE Nên DM DN DI DE DMI đồng dạng DEN Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm b) Dễ thấy MN OA O T tiếp xúc E Khi MN khơng vng góc OA Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến O E Ta có O, J , K thẳng hàng Trong tam giác OEK : KJ KO KE (1) ( Định lý hình chiếu) Trên đường trịn ABOC ta có KJ KO KN.KM (2) Từ (1) (2) suy KE KN KM nên KE tiếp xúc T c) Ta có OED ODE TIE Nên IT / /OD Gọi W OA IT Vì I trung điểm AD nên W trung điểm OA (đpcm) Khi MN OA W IT Câu 20: Giả sử a b c t đặt a tx; b ty; c tz x y z t 3x y t 3 y z t 3z x 9 2 2 Ta chứng minh t x y z 2 t x xy t y yz t z zx 3x y y z 3z x x xy y yz z zx 4x x y y y z 4z z x 4 9 9 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z 5x y 1 y 1 9 x x2 y y z z 1 Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên a b c x, y, z 0; 2 Ta có: 5x 1 18 x 3x 1 x 1 x 0; xx 2 y 1 1 18 y y 1 y 1 y 0; y y 2 5z 1 18 z 3z 1 z 1 z 0; zz 2 Suy 5x y y 5x y 1 y 1 18 x y z 9 2 xx yy zz x x2 y y z z