PHÒNG GD& ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 02 trang) I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : x : A x 25 B x x4 2 Câu Giá trị nhỏ biểu thức P x x với x 3 : A.-3 B C C.-4 D x 25 D.4 Câu Cho x giá trị biểu thức N x 3x 2008 A.2017 B.2018 C.2019 D 2020 3 3 trục Ox là: A 146019/ B 330 42/ C 146030/ D 33069/ Câu Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm A 1;3; B 3; 1; C 4; 2 diện tích tam giác ABC là: Câu Góc tạo đường thẳng y x A 20 B 18 C 17 D 15 Câu Điều kiện m để đường thẳng y m(m 3) x 5m đường thẳng y (m 8) x m(m 4) song song : A m 4 B m 2; m 1 C m m 4 D m 2; m 1 mx y m có nghiệm 2 x my 2m Câu Giá trị m để hệ phương trình : B m 2 A m C m 2 D Giá trị khác x y 4m 2 x y 5(m 1) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x y 13 A m B m 2 C m 4 Câu Cho hệ phương trình : D m x y 2(m 1) 2 x y m Câu Cho hệ phương trình Hệ có nghiệm x; y giá trị nhỏ x y là: A.-2 B 20 C.16 D.18 Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH kẻ HD AB, HE AC (H BC, D AB,E AC) AD.BD+AE.EC bằng: A DE B BC2 C AH D 2AH2 Câu 11 Một tam giác vng có tỉ số hai cạnh góc vng tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền là: A B 16 81 C Câu 12 Cho tam giác ABC vng A có AC = 21cm, cosC = A B C 21 35 D Khi tanB : 35 D 21 Câu 13 Cho tam giác có độ dài cạnh a độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác là: A a B a C a D a 3 Câu 14 Cho đường tròn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm dây AB lấy điểm C cho AC=2cm kẻ CD vng góc với đường kính AE D Tính độ dài AD : D 1,5cm A B C cm cm cm 4 Câu 15 Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt Ax C độ dài OC là: A 20cm B 25cm C 30cm D 35cm Câu 16 Nêú bạn An lên môt thang tốc độ bước giây bạn An đến đỉnh thang 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên bước giây lên tới đỉnh thang 16 bước Hỏi thang có bước A 30 B 40 C 50 D 60 II PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm) Câu (3,0 im) a) Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình : x x x3 y b) Tìm tất số nguyên x cho giá trị biểu thức x x số phương Câu (3,5 điểm) a)Giải phương trình: x2 5x 5x x y 10 y b) Giải hệ phương trình : xy x y Câu (4,0 điểm) 1.Cho đường tr n t m bán ính đường ính AB T hai điểm A B ẻ hai tia tiếp tuyến A By với nửa đường tròn , điểm thuộc nửa đường tr n (sao cho tia Ax, By nửa đường tròn chứa điểm M nẳm nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm ẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tia tiếp tuyến A By l n lư t C D, ọi giao điểm AD BC K, K AB a Chứng minh K vng góc với AB K K b ẽ tam giác vuông c n B đỉnh B phía ngồi nửa đường tr n ( (B BD c ng nửa mặt phẳng bờ AB Chứng minh hi i chuyển nửa đường tr n đường ính AB đường thẳng ua ong ong với B ua điểm cố định 2.Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC, (a b c) 4 BC ha, hb,,hc Chứng minh rằng: hb2 hc2 Câu (1,5 điểm) Cho số thực ương a,b,c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 P 21 a b2 c 12 a b c 2017 a b c HẾT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TO N LỚP I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm) Mỗi lựa chọn 0,5 điểm Câu có trở lên phải chọn đủ cho điểm 1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 9.D 10.A,C 11.B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.B II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm ) Câu (3,0 điểm) a) T×m nghiệm nguyên ph-ơng trình :1 x x x3 y b) Tìm tất số hữu tỉ x cho giá trị biểu thức x x số phương Đ P N ĐIỂM b) (1,5 điểm)Ta có 2 1 11 19 x x x 0;5 x 11x x 0 2 10 20 0,5 x3 x x x3 x 0,5 x3 x x 1 x x x3 12 x x x3 x 11x x, y Z mà y3 x x x3 Suy x x x x3 x x 1 x 1 Voi x y x 1 0,5 Voi x 1 y Vay x; y 0;1 ; 1;0 b) (1,5 điểm) x x n2 ;(n, x Z ) x x 24 4n x x 4n 23 x 2n x 2n 23;2 x 2n x 2n x 2n x 2n 4x x Vậy số nguyên x c n tìm –6 -1 23 22 -23 -22 -6 0,75 0,75 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 5x 5x x y 10 y b) Giải hệ phương trình : (I) xy x y Đ P N 2 x x x x 3x x x ĐIỂM a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ x x 3x x 1 5x x 5x 0,5 0 x 3x x 3x x 3x 0 x 5x x 5x 0,5 1 x 0 x 5x x 1 x 3x x 1 x x 0,5 S 1;2 b)( điểm) ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y x x 10 x y 10 y y (I ) x x x x 7 y y y y 0,5 đặt S x y P x y 0,5 S P 10 P S S 6 S thay vào (II ta đư c P 13 P S P S 2S 24 t 1 S Với => x nghiệm phương trình t 4t t 1 t 3 y P t x x * y y x x * y 1 y 1 0,5 S 6 suy x nghiệm phương trình y P 13 t 6t 13 t 3 Vo nghiem 0,5 1 ; 3;1 x; y 1; Câu (4,0 điểm) 1.Cho đường tr n t m bán ính đường ính AB T hai điểm A B ẻ hai tia tiếp tuyến A By với nửa đường tròn , điểm thuộc nửa đường tr n ( ao cho tia A , By nửa đường tròn chứa điểm M nẳm nửa mặt phẳng bờ AB Qua điểm ẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tia tiếp tuyến A By l n lư t C D, ọi giao điểm AD BC K, MK AB H a Chứng minh K vng góc với AB K K b ẽ tam giác vuông c n B đỉnh B phía ngồi nửa đường tr n ( (B BD c ng nửa mặt phẳng bờ AB Chứng minh hi i chuyển nửa đường tr n đường ính AB đường thẳng ua ong ong với B ua điểm cố định 2.Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC, BC ha, hb,,hc chứng minh (a b c) 4 ha2 hb2 hc2 F D E M C K A H O B N Đ P N a)( điểm) Th o tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AC = CM, BD = DM ì A By c ng vng góc với AB nên A By, th o định lí Ta-l t ta có: ĐIỂM KD BD KD MD MK // AC mà AC AB MK AB KA MC KA AC Ta có 1,0 KH BK KM DK KD BK (1); (2); (3);Tu (1)(2)(3) ta có : AC BC AC DA AD BC KH MK MK KH AC AC 1,0 b)( điểm ọi giao điểm tia By đường thẳng ua B Ta có BEF = 90 Chứng minh tam giác A B tam giác B ( g-c-g) AB = BF=2R B hông đ i, thuộc tia By cố định cố định ong ong với 0,5 ậy hi i chuyển nửa đường tr n đường ính AB đường thẳng ua ong ong với B ua điểm cố định 0,5 c) ( điểm) D c A d b c H B C a Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D đối xứng B qua d BD 2ha , AD c Trong tam giác ACD ta có DC AD AC c b DC b c dấu “ : ảy ABC A 600 mà tam giác vuông DBC DC BD2 BC 4ha2 a 4ha2 b c a b c a b c a ,(1) 0,5 Tương tự 4hb2 a c b b c a ,(2);4hc2 a b c b c a ,(3) T (1);(2);(3) ta có: 4ha2 4hb2 4hc2 a b c b c a a c b a b c a b c a b c 2 ha2 hb2 hc2 4 0,5 Dấu "=" xảy hi tam giác ABC Câu ( 1,5 điểm) Cho số thực ương a,b,c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 P 21 a b2 c 12 a b c 2017 a b c Đ P N ĐIỂM Ta có Theo BĐT Bunhiacơpky ta có 3 a b2 c a b c ; 1 1 1 Mặt khác a b c a b c abc a b c Nên P 19 a b c 18153 8 17849 19 a b c Q abc a b c a b c a b c 0,5 0,5 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho số ương ta có P Q 19.3 a b c 8 17849 17849 18305 228 abc abc 2 a b c 18305 Min(P) a b c abc a b c abc 0,5 HẾT Chú ý : - Điểm toàn làm tr n đến 0,25 - Nếu cách giải hác cho điểm tối đa ứng với t ng ph n hướng dẫn chấm