018_Đề HSG Toán 9_Bắc Giang_2017-2018

PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Thi ngày 14 tháng năm 2018 Bài 1: (5 điểm)  x2 x 4 a/ Cho biểu thức M     x x 8 x  x 1   x  x  10    :   x    x  x  x   Rút gọn M tìm x để M>1 b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab  bc  ca  Tính H= a b b c c a   1 c 1 a 1 b Bài 2: (4 điểm) a/ Giải phương trình 30  5  x2   x2 x x b/ Tìm số thực x để số x  3; x  3; x  số nguyên x Bài 3: (4 điểm) a/ Tìm x nguyên dương để x3  14 x2  x  số phương b/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz 2 Chứng minh rằng:   x    y    z  xyz x y z Bài 4: (6 điểm) Cho đoạn thẳng OA=R, vẽ đường tròn (O;R) Trên đường tròn (O;R) lấy H kỳ cho AH1 x  x 1   x  x  10    :   x    x  x  x    x2 x 4 ( x  1)  *M    x2 x2 x 4 x 1 x 1   x 1   x        :   x 1   x  x    x 2  x 1        x 1 x 2  x 2  x 1  : (3     : x 5    x 2        x 5   x 5  x 1 0,5  x  5)( x  1)  2( x  2)  x 2  0,5  x 1 x   x  x  x  3x  x  x   x  : x 2 x  11 x 2 x 1    Điểm 5đ     x 3 x 2  Vậy M=  *M1 10 nên ta có x2  b2  x2  12 x    x   b2   x  3 Vì b lẻ nên b2   x  1  x2  x   x2  x   x  2 Với x=2 ta có x3  14 x2  x  =100=102 số phương b/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz b/ 2,0đ Chứng minh rằng: Vậy   x2   y   z    xyz x y z 1    xy yz zx Từ Gt suy ra: Nên ta có: 0,25 0,5  1  1   1  1 x2 1 1  2              ;"  "  y  z x x xy yz zx  x y  x z   x y z    x2  1       2 x y z  x 1 1 y2   1 1 z2  1  Tương tụ ta có      ;      2 x y z  2 x y z  z y Vậy ta có  1 1   x2   y   z        ;"  "  x  y  z x y z x y z 2 2 Ta có  x  y  x    xy  yz  xx     x  y    y  z    x  z    Nên  x  y  x    xy  yz  xx  2  0,5 0,25 0,5   xyz    xy  yz  xz   Vậy 1 1 xy  yz  xz  xyz       xyz xyz x y z   x2   y   z    xyz ; "  "  x  y  z x y z 0,25 6đ Bài a B M H E O A N C a/ 3đ a/ Chứng minh OM  OB=ON  OC MN ln qua điểm cố định *Ta có OH  HB (t/c tiếp tuyến)  OHB vuông H, mà HM  OB (gt) nên theo hệ thức lượng tam giác vng ta có OM  OB  OH  R 0,5 Chưng minh tương tự ta có ON  OC  OH  R2 Vậy ta có OM  OB  ON  OC 0,5 * Ta có OM  OB  OH  R2 mà OA=R nên ta có OM  OB  OA2  OM OA  OA OB OM OA  OMA OAB  OAM  OBA  OA OB Ta có AO=AB=R (gt)  OAB cân  AOB  OBA  AOM  OBA , OAM  AOM  OMA cân  MO  MA Chứng minh tương tự ta có ONA cân  NO  NA Ta có MO  MA ; NO  NA , MN trung trực OA, gọi E giao điểm MN OA với OA ta có EO=EA= MN  OA E, mà O, A cố định nên E cố đinh Vậy 0,5 Xét  OMA  OAB có O chung, có b/ 1,5đ 0,5 0,5 0,5 MN qua điểm cố định b/ Chứng minh OB OC=2R2 Ta có OM  OB  ON  OC  0,5 OM ON  OC OB OM ON   OMN OCB , OC OB OM OE OM OE OE 1 mà OE  MN OH  BC nên ta có       OM  OC OC OH OC OA 2OE 2 Xét OMN OCB có O chung , có 0.5 ( OH=OA=2OE) Ta có OM  OB  OH  R2 ( cm trên)  OC  OB  R  OC  OB  R c/ 1,5đ 0,5 c/ Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi Ta có OMN OCB (cm trên)  1 0,5 SOMN OE OE OE     2 SOCB OH OA  2OE  8 Dấu có B, A, C thẳng hàng  H  A Nên SOMN  SOCB    OH  BC  R  BC  R( AB  AC )  R( R  R)  R Vậy diện tích tam giác OMN lớn SOMN  R H  A Bài -Nếu n lũy thừa bậc số tự nhiên toán chứng minh xong -Nếu n không lũy thừa bậc số tự nhiên, ta ln tìm số nguyên dương k cho k  n   k  1 Vì n nguyên dương n  k  n  k  , ta có: 0,75 0,25 1đ 0,25 0,5 2n   k  1  2(k  1)   k  1   k  2k    k  1  2 Vậy k nguyên dương , nên ta có k  n   k  1  2n Vậy dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên 0,25 ...Câu Bài a/ 3đ HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN LỚP ( BẢNG A) Nội Dung  x2 x 4 a/ Cho biểu thức... R( R  R)  R Vậy diện tích tam giác OMN lớn SOMN  R H  A Bài -Nếu n lũy thừa bậc số tự nhiên toán chứng minh xong -Nếu n không lũy thừa bậc số tự nhiên, ta ln tìm số nguyên dương k cho k 