đáp án 40 đề thi thử môn toán

Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi thử đại học, cao đẳng giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!

Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 1 ĐỀ 1 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: 4 2 2 3  y x x (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 sin .sin 4 2 2 cos 4 3 cos .sin .cos2 6 x x x x x x           2. Giải hệ phương trình:       2 2 2 3 8 1 , y 8 3 13                x y y x x x x y y . Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I = 4 2 1 1 4    x x x e dx x xe . Câu IV (1,0 điểm). Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và    0 BAC CAD DAB 60   . Câu V (1,0 điểm). Chứng minh phương trình:   1 1 x x x x    luôn có nghiệm thực dương duy nhất. B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 1 0d x y   và đường tròn   2 2 : 2 4 0C x y x y    . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn   C tại A và B sao cho  0 60AMB  . 2. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm       ;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0;A a b c với a, b, c là các số dương thay đổi và thỏa mãn 2 2 2 3a b c   . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O   0;0;0 đến mặt phẳng   ABC đạt giá trị lớn nhất. Câu VII a (1,0 điểm). Tìm , a b  để phương trình 2 0z az b   có nhận số phức 1z i  làm nghiệm. B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho prabol   2 :P y x . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm     A 1;5;0 , B 3;3;6 và đường thẳng d: 1 1 2 1 2 x y z     . Xác định vị trí của điểm C trên đường thẳng d để diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất. www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 2 Câu VII b (1,0 điểm). Giải phương trình:       2 3 2 2 4 2 4 2 4 1 2 2 2 1 log 1 log 1 log 1 log 1 3 x x x x x x x x           . BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳngy = m và đồ thị (C): 4 2 x 2x 3 m     4 2 x 2x 3 m 0 1     Đặt   2 t x t 0  .Phương trình trên thành:   2 t 2t 3 m 0 2    Gọi 1 2 3 4 x ,x , x ,x lần lượt là hoành độ các giao điểm M, N, P, Q. Khi đó 1 2 3 4 x ,x , x ,x là nghiệm của phương trình (1). Dựa vào đồ thị , ta thấy với điều kiện: 4 m 3    thì phương trình (2) có hai nghiệm là: 1 2 t 1 m 4 ; t 1 m 4      . Suy ra 1 2 2 1 3 1 4 2 x t , x t , x t , x t      Ta có 4 3 3 2 3 MN PQ x x , NP = x x 2x     Để ý rằng: Điều kiện để ba số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một  là: a b c b c a c a b            . Vì MN PQ nên để MN, NP, PQ là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ nên ta chỉ cần:   4 3 3 4 3 2 2 2 2MN PQ NP PQ NP x x x x x         hay   2 1 2 1 3 91 t 2 t t 4t 1 m 4 4 1 m 4 m 4 m 5 25                Kết hợp với điều kiện : 4 m 3    ta được: 91 m 3 25     . Câu II 1. Ta có: sin .sin 4 2 2 cos 3cos .sin 4 6 x x x x x             sin 4 sin 3cos 2 2 cos 6 x x x x              sin 4 . sin sin cos cos 2 cos sin 4 2 cos 0 6 6 6 6 x x x x x x                               www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 3 cos 0 6 x           ( vì sin 4 2 0x   )   2 6 2 3 x k x k k               . 2. Điều kiện: 2 2 x 3y 0 , y 8x 0    Đặt 2 2 u x 3y , v = y 8x   ( u, v 0 ) Hệ phương trình thành:   2 2 2 2 2 2 v 2u 1 2u v 1 v 2u 1 u v 13 u v 13 u 2u 1 13                           2 v 2u 1 5u 4u 12 0          2 1 2 2 3 6 5 v u u u v u                        . Khi đó: 2 2 2 2 22 2 4 x y 3 x 3y 2 x 3y 4 4 x y 8x 9 y 8x 3 8x 9 3                                           2 2 2 2 4 2 1 4 4 4 1 3 3 3 1 5 1 5 4 13 0 8 72 65 0 5 7 x x x y x y y y x x x x x x x x x x y                                                              Kết hợp với điều kiện ta đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình là:       1;1 , 5; 7S    . Câu III Ta có: 4 4 x 2x 2x x 1 1 1 x e 1 1 1 I dx dx 4x 4x e xe xe         2 4 x 1 1 1 dx e 2 x          = 4 x 1 1 1 dx e 2 x         = 4 x 1 x e   4 1 1 1 e e    Câu IV Giả sử   a min a,b,c Trên cạnh AC lấy điểm E, AD lấy điểm F sao cho AB AE AF a   . Tứ diện ABEF có bốn mặt là các tam giác đều bằng nhau nên là tứ diện đều cạnh bằng a. b a c B C D A H E F www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 4 Ta dễ dàng tính được 3 ABEF a 2 V 12  . Gọi H là chân đường cao hạ từ B. Ta có: AEF ACD 0 2 ABEF 0 ABCD 1 1 BH.S AEAFsin60 V a 3 2 1 1 V bc BH.S ACADsin 60 3 2      . Suy ra ABCD abc 2 V 12  . Câu V Ta có:         x x 1 x x 1 x 0 x 1 ln x x ln x 1 0          Xét hàm số:         f x x 1 ln x x ln x 1 x 0       1 1 1 f x ln 1 x x x 1              Chứng minh bất đẳng thức cơ bản   ln 1 t t t > 0   ta suy ra 1 1 ln 1 x x           Do đó     1 1 1 1 f x 0 f x x x x 1 x 1           đồng biến trên   0; (1) Mặt khác: do   f x liên tục trên   0; và        f 2 f 3 ln8 ln9 ln81 ln 64 0    suy ra tồn tại     0 2;3 0x ,   sao cho   0 f x 0 (2) Từ (1) và (2) điều phải chứng minh. B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu Via 1. Viết lại   C dưới dạng     2 2 1 2 5x y    Vậy   C có tâm   1;2I  , bán kính 5R  .   ; 1M d M t t   Theo giả thiết  60 o AMB  Suy ra  30 2 2 2 5 o AMI MI IA R     hay         2 2 2 2 3 3;4 20 1 1 20 9 3 3;2 t M MI t t t t M                     2. Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1 a b c      2 2 2 1 d d O; ABC 1 1 1 a b c         B A M  I www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 5   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 a. b. c. a b c 3 a b c a b c a b c                              . Suy ra: 2 2 2 1 1 1 3 a b c    . Do đó: 1 3 d  . Dấu bằng xảy ra 2 2 2 1 1 1 1 a b c 1 a b c         . Vậy 1 Max d 3  khi a b c 1   . Câu VIIa Theo đề, ta có:     2 1 i a 1 i b 0     2 1 2 0i i a ai b           a 2 i a b 0      a 2 0 a 2 a b 0 b 2               . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VIb 1. Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt     2 2 A a;a , B b;b ( b > a) PT đường thẳng d:   y a b x ab   Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đt d . Ta có:   b 2 a S a b x ab x dx        b a x a x b dx       b a x a x b dx     =   b 3 3 2 a 1 a b 1 x x abx b a 3 2 6             . Do   M 1;3 d a b ab 3     Suy ra       3 3 2 2 2 2 1 1 1 S b a a b 4ab ab 3 4ab 36 36 36                     =   3 3 2 1 8 128 8 2 ab 1 8 S 36 36 9 3           8 2 MinS ab 1 0 ab 1 a b 2 3           . Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y 2x 1  . 2. Ta có:   C d C 1 2t;1 t;2t         AB 2; 2;6 , AC 2t 2; t 4;2t          2 6 6 2 2 2 AB;AC ; ; 2t 24;8t 12;2t 12 t 4 2t 2t 2t 2 2t 2 t 4                          Gọi S là diện tích tam giác ABC. www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 6 Ta có: S =       2 2 2 1 1 AB;AC 2t 24 8t 12 2t 12 2 2             2 1 72t 144t 864 2    =   2 1 72 t 1 792 3 22 2    . Dấu = xảy ra khi   t 1 C 1;0;2  Vậy khi   C 1;0;2 thì MinS 3 22 Câu VIIb Phương trình đã cho tương đương với:         2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log x x 1 log x x 1 log x x 1 log x x 1                  2 2 4 2 4 2 2 2 2 log x x 1 x x 1 log x x 1 log x x 1                 4 2 4 2 4 2 2 2 2 log x x 1 log x x 1 log x x 1           4 2 2 log x x 1 0    4 2 x x 1 1    4 2 x 0 x x 0 x 1 x 1              Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là:   1;0;1S   ĐỀ 2 A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: 2 3 2 x y x    (C). 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 4. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện tích nhỏ nhất. Câu II (2,0 điểm) 1. Tìm nghiệm 0; 2 x         của phương trình sau đây : 2 2 3 4sin 3sin 2 1 2cos 22 4 x x x                            . 2. Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 8 27 18 4 6 x y y x y x y          . Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I = 2 10 5 9 0 1 cos .sin .cosI x x xdx     . www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 7 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC ; M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho    0 0 90ECM      và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo ,a  và tìm  để thể tích đó lớn nhất. Câu V (1,0 điểm). Chứng minh rằng:   x 1 1 x 1 x 2 x x x 0;1 e       . B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VI a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB, AD thứ tự là: 2 2 0 ; 2x + y + 1= 0x y   . Cạnh BD chứa điểm M   1;2 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi. 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : 1 2 2 x y z d      . Viết phương trình mặt phẳng (P) biết rằng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất. Câu VII a (1,0 điểm). Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện: z 2 i 1   . B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu VI b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại BOx, phương trình cạnh AB có dạng: 3 2 3 0x y   ; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là   0;2I . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm   A 2;0;0 và   J 2;0;0 . Giả sử    là mặt phẳng thay đổi, nhưng luôn đi qua đường thẳng AJ và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm   B 0;b;0 ,   C 0;0;c với b,c 0 . Chứng minh rằng: bc b c 2   và tìm b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Câu VII b (1,0 điểm). Tính 0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C P . 1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012       BÀI GIẢI A- PHẦN CHUNG Câu I 1. Học sinh tự giải. www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 8 2. Ta có:   0 0 0 0 2 3 ; , 2 2 x M x C x x           ,   2 0 0 2x 1 )x('y    Phương trình tiếp tuyến  với ( C) tại M :   2x 3x2 )xx( 2x 1 y: 0 0 0 2 0       Toạ độ giao điểm J, K của () và hai tiệm cận là: J 0 0 2 2 2; ; 2 x x         K   0 2 2;2x  Ta có: 0 0 2 2 2 2 2 J K M x x x x x       , 0 0 2 3 2 2 J K M y y x y x       M là trung điểm JK. Mặt khác I(2; 2) và IJK vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IJK có diện tích: S = 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 2 3 1 ( 2) 2 ( 2) 2 2 ( 2)                                    x IM x x x x Dấu “=” xảy ra khi     0 2 0 2 0 0 1 1;1 1 ( 2) ( 2) 3 3;3 x M x x x M             . Câu II 1. Ta có: 2 2 3 4sin 3sin 2 1 2cos 22 4 x x x                              2 1 cos 2 3 cos2 1 1 cos 2 3 2 x xx                     2 2cos 3 cos2 2 sin 2 sin 2 3cos2 2cosx x x x x x        1 3 sin 2 cos2 cos sin 2 cos 2 2 3 2 x x x x x                        2 2 2 5 3 2 18 3 2 2 2 3 2 6 5 x x k x k k x x k x k                                       . Vì 0; 2 x         nên ta chọn được nghiệm 18 5 x   . 2. Với 0y  hệ phương trình đã cho thành: 27 0 6 0x      ( Vô lý). Suy ra 0y  Khi đó: 3 3 3 3 2 2 3 (2 ) 18 8 27 18 4 6 3 3 2 . 2 3 x x y y y x y x y x x y y                                 . Đặt 3 2 ,u x v = y  . Hệ phương trình trên thành: www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 9             3 3 3 3 3 18 3 18 27 1 3 3 3 u v u v u v uv u v u v uv uv u v uv u v uv u v                                       . Suy ra u, v là nghiệm của phương trình: 2 3 5 2 3 1 0 3 5 2 t t t t               . Do đó:     3 5 3 5 3 5 3 5 2 2 4 4 2 2 3 3 5 3 3 53 3 5 3 3 5 2 2 2 2 x x x x y y y y                                               . Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là:     3 3 5 3 3 5 3 5 3 5 ; ; ; 4 2 2 2 S                                . Câu III Đặt 10 5 10 5 1 cos 1 cost x t x     9 4 4 9 10 5sin .cos sin .cos 2t dt x xdx x xdx t dt    Ta có: I     1 1 2 10 5 5 4 10 9 10 20 0 0 0 1 cos .cos .sin cos 2 1 2x x x xdx t t t dt t t dt           1 11 21 0 20 2 11 21 231 t t          . Câu IV ABC  vuông cân tại B nên 2 2 2 2 4 4 2 2AC AB BC a a a     EBC  vuông cân tại B nên 2 2 2 2 4 5C BE BC a a a     . Theo định lý ba đường vuông góc ta có: EH HC . Suy ra: sinEH EC   1 5 2 2 a EI EC  .  1 1 5 . sin 5sin . cos 2 2 2 HEI a S EH EI HEI a      = 2 5 sin 2 8 a  . B A C S M E I J H www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925 10 Trong SCE , IJ là đoạn trung bình nên 1 2 IJ SE a  và   IJ HEI . Do đó 3 2 1 1 5 5 . sin 2 sin 2 . 3 3 8 24 EHIJ HEI a V IJ S a a       EHIJ V đạt giá trị lớn nhất khi sin 2 1 0 2             tức . 4    Câu V Xét hàm số:       x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x f x x x x x.x 1 x x x 0;1              .       x 1 x 2 1 x x 1 x f x 2. ln x 1 x 1 x               . Xét:   1 x g x 2. ln x 1 x             2 2 1 x g x 0 g x x 1 x       đồng biến trên   0;1           g x g 1 0 f x 0 x 0;1 f x          nghịch biến trên   0;1         1 1 x 1 1 1 x x 1 x 1 x 1 1 2 f x lim f x lim 1 x x .x 2lim 1 x 0;1 1 e 1 x                              . B- PHẦN RIÊNG B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VIa 1. Ta có: A AB AD   toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 4 2 2 0 3 2 1 0 5 3 x x y x y y                     . Do đó 4 5 ; 3 3 A        . Gọi   ;N x y AC ( AC là tia phân giác  BAD ). Hơn nữa M và N nằm cùng phía đối với đường thẳng AB nên ta có:       2 2 2 1 2 2 2 1 5 5 2 2 1 4 2 0 2 2 0 2 2 0 2 1 2 2 2 0 x y x y x y x y x y x y x y x y                                          A C B D M N www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán học Việt Nam . nhất. www .MATHVN. com MATHVN. COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường.    www .MATHVN. com MATHVN. COM - Toán học Việt Nam Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng Văn Phú Quốc- GV. Trường