THPT CHUYÊN PHAN bội CHÂU NGHỆ AN năm 2018 2019 lần 04

ĐỀ THI Trường THPT Chuyên THI THỬ ĐẠI HỌC THPT QG NĂM HỌC 2018 - 2019 Phan Bội Châu Nghệ An MƠN: TỐN File Đáp án chi tiết đề thi thử lần Câu 1: Thời gian: 90 phút ( P ) : x − y − z + = , (Q ) : x + y + 2z + = Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng Tính góc hai mặt phẳng A 600 Câu 2: B 450 C 1200 D 300 Cho đồ thị ( C ) hàm số y = 2019x Tìm kết luận sai A Đồ thị ( C ) qua điểm ( 0;1) B Đồ thị ( C ) nằm phía trục hồnh C Đồ thị ( C ) nhận trục tung làm tiệm cận đứng D Đồ thị ( C ) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác Biết AA = 2a , AB = a hình chiếu vng góc A lên đáy ABC trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ A Câu 4: 3a3 B a3 11 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục C a3 11 D 4a  ( x − 1) f  ( x ) dx = 12 f ( 0) = Tính Biết  f ( x ) dx A Câu 5: Câu 6: Tìm tập xác định hàm số y = D log ( − x ) B ( −;5) C ( 5; + ) D 5; + ) B C D Tính mơđun số phức z , biết (1 + i ) z + z = − i A Câu 9: Số giao điểm đồ thị y = ( x − 5)( x + 1) + với trục hoành A Câu 8: D −9 C 15  mx + x x  Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục − x + m x    A B −1 C A ( −;5) \ 4 Câu 7: B 36 B 10 C D 13 Cho hình trụ (T ) có thiết diện qua trục hình vng Hình nón ( N ) có đáy đáy (T ) đỉnh tâm đáy lại (T ) Tính tỉ số diện tích xung quanh ( N ) (T ) A  B Câu 10: Tìm nguyên hàm A F ( x ) = 2e 2x F ( x) −1 hàm số C f ( x ) = e2x , biết D F ( 0) = C F ( x ) = e B F ( x ) = e x 2x e2 x D F ( x ) = + 2 Câu 11: Tập nghiệm bất phương trình 32 x−1  27 là: 1  C  ; +  2  B ( 2; + ) A ( 3; + ) 1  D  ; +  3  Câu 12: Ông An vay ngân hàng 96 triệu đồng với lãi suất 1% tháng theo hình thức cuối tháng trả góp số tiền giống cho sau năm kể từ ngày vay trả hết nợ Hỏi số tiền ông An phải trả hàng tháng bao nhiêu?(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 4,52 triệu đồng B 4,53 triệu đồng C 4,51 triệu đồng D 4, 54 triệu đồng Câu 13: Biết  x ln ( x + ) dx = a ln + b ln + c ( a, b, c  ) , tính a+b+c A B 10 C D 11 Câu 14: An có khối trụ đất sét có chiều cao cm bán kính đáy 2cm Từ khối đất sét đó, An muốn làm viên bi có đường kính 2cm Hỏi An làm nhiều viên bi? A B 18 C 12 Câu 15: Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A x = −4 Câu 16: Biết phương trình z + az + b = , ( a, b  A −4 + 5i B + 2i 3x − là? x+4 C x = B y = ) D B 10 có nghiệm + 5i , tìm nghiệm lại C + 2i Câu 17: Cho log ab2 b = (với a  0, b  0, ab2  1, ab  1) Tính log A D y = C 12 D − 5i ab a   b  D 14 Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2; −1;3) mặt phẳng ( P) : x − y + z − = Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) A ( x − 2)2 + ( y −1)2 + ( z − 3)2 = 36 B ( x − 2)2 + ( y −1)2 + ( z − 3)2 = 12 C ( x − 2)2 + ( y + 1)2 + ( z − 3)2 = D ( x − 2)2 + ( y −1)2 + ( z − 3)2 = Câu 19: Cho hình lục giác ABCDEF cạnh a Quay hình lục giác quanh đường thẳng AD , thể tích khối tròn xoay thu A 5 a B 7 a x2 + x + Câu 20: Giá trị cực đại hàm số y = x +1 C 4 a D  a3 A −2 B −3 C D Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng (−; −2); ( −2; + ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình ( f ( x ) ) − f ( x ) − = A B C D Câu 22: Cho hình đa diện ( H ) có 12 cạnh Số mặt phẳng đối xứng ( H ) A B C D 12 Câu 23: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, đáy tam giác Biết SA = a góc SC đáy 60 Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A B a C a D a 4 Câu 24: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Một véctơ pháp tuyến ( P ) A (1; −3; ) B (1;3; ) C (1; 2; −3) D (1; 2;3) Câu 25: Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = − x + x đoạn  −4;5 Tính M − 2m A B Câu 26: Cho  C D C 15 D 36 f ( x)dx = 12 Tính A  f (3x)dx B Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt 6a2 ;8a2 ;12a Tính thể tích khối hộp chữ nhật A 24a B 18a3 C 8a D 12a Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) , B ( −2; −4;9) Tọa độ vecto AB A ( −3; −6;6) B ( −1; −2;12) C ( 3;6; −6) D ( 3; 4; −6) Câu 29: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Điểm E trung điểm cạnh C D Hai điểm M N thay đổi hai cạnh BC CC  Giá trị nhỏ tổng AM + MN + NE 2+ a 5a A B C 2a D + a 2 ( ) ( ) Câu 30: Khi viết số p = 2756839 − dạng hệ thập phân có chữ số? A 227835 B 227832 C 227834 D 227833 Câu 31: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 2; u5 = 14 Tìm cơng sai cấp số cộng đó? A B Câu 32: Phần ảo số phức z = + 3i A 2i B 3i C D C D Câu 33: Đạo hàm hàm số y = log3 ( − x ) A y ' x ln B y ' = 5− x C y ' = x −5 D y ' = ( − x ) ln Câu 34: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y = x + A 32 B 109 C 16 D 91 Câu 35: Hàm số y = − x3 + 3x2 + đồng biến khoảng A (1; 3) B ( −; ) C  ;  2 2 Câu 36: Hình phẳng ( H ) giới hạn đường elip có phương trình hồnh, tính thể tích khối tròn xoay thu A 100 B 60 C 45 D ( 0; 3) x2 y + = Quay ( H ) quanh trục 25 D 75 Câu 37: Cho hàm số f ( x ) = − x − mx + m − Biết f ( x )  0, x   − 5;  , tính với f ( −1) 1 A − B − C − D −1 2 Câu 38: Cho số phức z thỏa z + − i = 2.z + − 3i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i ) z + − 3i đường tròn Bán kính đường tròn thuộc khoảng sau đây? A (1;2 ) B ( 3; ) C ( 2;3) D ( 0;1) Câu 39: Cho đồ thị ( G ) hàm số y = a.x3 + bx2 + cx + d Biết phương trình tiếp tuyến ( G ) điểm có hồnh độ y = x − y = −3x − Tính a + 2b + 3c + 4d A -8 B C D -5 Câu 40: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(5; 3; 1) , B (7; 5; 3) mặt phẳng ( P) : x y z Điểm M thay đổi ( P ) cho mặt phẳng ( MAB ) vuông góc với ( P ) Tính độ dài ngắn đoạn OM A B 14 C D 14 Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a , điểm M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( P ) chứa AM song song với BD Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp ( P ) 5a A 10a B 5a D 10a C Câu 42: Trong không gian Oxyz cho năm điểm S ( 5;1;3) , A (1;0;2 ) , B ( 2;1; −2 ) , C (1;1;6 ) , D ( 3;3; −2 ) Có mặt phẳng cách năm điểm đó? A B C D Vô số Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1; 2;3) , B(3;1; 2) , C (2;1;5) điểm D Câu 43: Trong không gian thuộc mặt phẳng ( P) :3x − y + z + 10 = Biết đường cao tứ diện đồng quy, tính độ dài đoạn thẳng OD A 650 Câu 44: Trong không B gian 260 Oxyz , cho C 10 đường thẳng D d: 20 x −1 y z −1 = = 1 mặt cầu ( S ) : ( x − 4)2 + ( y − 5)2 + ( z − )2 = Hai điểm A B thay đổi ( S ) cho tiếp diện ( S ) A B vng góc với Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) M , đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) N Tìm giá trị lớn tổng AM + BN A 16 B C + D 20 Câu 45: Gọi M giá trị lớn hàm số f ( x ) = x + ax + b đoạn  −1;3 Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính a + 2b A B −5 C −4 D −6 Câu 46: Có giá trị nguyên m thuộc đoạn  −100;100 để phương trình 2019 x = mx + có hai nghiệm phân biệt? A 94 B 92 Câu 47: Cho x, y số dương thỏa mãn log P= A C 184 D 93 x + 4y = x − y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức x+ y x y + xy + y x( x + y ) B C D Câu 48: Cho tam giác ABC cạnh a Đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Điểm S thay đổi d ( S khác A ) Gọi H trực tâm tam giác SBC Khi H thuộc đường tròn cố định, tính đường kính đường tròn A 3a B 3a C a D a Câu 49: Sắp xếp ngẫu nhiên học sinh nam học sinh nữ vào dãy 10 ghế Tính xác suất để khơng có hai học sinh nam ngồi cạnh 1 A B C D 15 42 16 Câu 50: Cho số phức z thỏa mãn z − iz + = z − z + − i Tìm giá trị nhỏ z − + i A 2 1.A 11.B 21.D 31.C 41.C 2.C 12.A 22.B 32.D 42.B BẢNG ĐÁP ÁN B 3.B 13.A 23.A 33.A 43.B 4.D 14.C 24.A 34.A 44.A C 5.B 15.B 25.D 35.C 45.C 6.A 16.D 26.B 36.B 46 D 7.D 17.D 27.A 37.D 47.C 8.C 18.C 28.A 38.C 48.B 9.B 19.D 29.A 39.A 49.C 10.D 20.B 30.B 40.D 50.B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = , ( Q ) : x + y + z + = Tính góc hai mặt phẳng A 600 B 450 C 1200 D 300 Lời giải Chọn A nP (1; − 2; − 1) véctơ pháp tuyến ( P ) nQ (1;1; ) véctơ pháp tuyến ( Q ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( P ) ( Q )  cos  = Câu 2: nP nQ nP nQ = 1− − 6 =   = 600 Cho đồ thị ( C ) hàm số y = 2019x Tìm kết luận sai A Đồ thị ( C ) qua điểm ( 0;1) B Đồ thị ( C ) nằm phía trục hồnh C Đồ thị ( C ) nhận trục tung làm tiệm cận đứng D Đồ thị ( C ) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số y = 2019x cắt trục tung điểm M ( 0;1) (vì 20190 = ) nằm phía trục hồnh ( 2019 x  với x ) Vì lim 2019 x = nên đồ thị ( C ) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang x→− Vậy A, B, D C sai Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác Biết AA = 2a , AB = a hình chiếu vng góc A lên đáy ABC trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ A 3a3 B a3 11 C a3 11 D 4a Lời giải Chọn B A B C A' B' G C' Gọi G trọng tâm tam giác ABC , theo AG ⊥ ( ABC  ) a a 11 2a a 2 = Ta có: AG = , AG = AA − AG = 4a − = 3 3 Diện tích đáy lăng trụ: S ABC  = a2 Thể tích khối lăng trụ: V = AG.S ABC  = Câu 4: a 11 a a 11 = 4 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục Biết  ( x − 1) f  ( x ) dx = 12 f ( 0) = Tính  f ( x ) dx A B 36 D −9 C 15 Lời giải Chọn D Đặt u = x −  du = dx dv = f  ( x ) dx , ta có v = f ( x ) 1 1 0  ( x − 1) f  ( x ) dx = ( x − 1) f ( x ) −  f ( x ) dx  12 = f ( 0) −  f ( x ) dx  12 = −  f ( x ) dx 1   f ( x ) dx = −9 Câu 5:  mx + x x  Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục − x + m x    A B −1 C D Lời giải Chọn B Tập xác định: D = Ta có y = mx2 + x liên tục với x  , y = − x + 3m liên tục với x   Hàm số f ( x ) liên tục f ( x ) liên tục x = Ta có lim+ f ( x ) = lim+ ( mx + x ) = 4m + , lim− f ( x ) = lim− x→2 x →2 x→2 x →2 ( ) − x + 3m = + 3m ; f ( ) = + 3m Hàm số f ( x ) liên tục x =  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) x →2 x →2  4m + = + 3m  m = −1 Câu Tìm tập xác định hàm số y = A ( −;5) \ 4 log ( − x ) B ( −;5) C ( 5; + ) D 5; + ) Lời giải Chọn A y= xác định log ( − x ) 5 − x  x  x      log3 ( − x )  5 − x   x   Vậy tập xác định hàm số y = D = ( −;5) \ 4 log ( − x ) Câu Số giao điểm đồ thị y = ( x − 5)( x + 1) + với trục hoành A C B D Lời giải họn D Số giao điểm đồ thị y = ( x − 5)( x + 1) + với trục hồnh số nghiệm phương trình: (x − )( x + 1) + =  x − x + = (1) Đặt t = x , t  x =  + t = + Phương trình (1) trở thành: t − 4t + =    x =  − t = −  Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt hay số giao điểm đồ thị cho với trục hồnh Câu Tính mơđun số phức z , biết (1 + i ) z + z = − i A B 10 C Lời giải Chọn C Đặt z = a + bi ( a, b  )  z = a − bi Ta có (1 + i ) z + z = − i  (1 + i )( a + bi ) + ( a − bi ) = − i 3a − b = a =  3a − b + ( a − b ) i = − i    a − b = −1 b = D 13 Khi z = a + b2 = Câu Cho hình trụ (T ) có thiết diện qua trục hình vng Hình nón ( N ) có đáy đáy (T ) đỉnh tâm đáy lại (T ) Tính tỉ số diện tích xung quanh ( N ) A  B C D (T ) Lời giải Chọn B Gọi độ dài đường sinh hình trụ (T ) l = a Do hình trụ (T ) có thiết diện qua trục hình vng nên bán kính hình trụ r = a a Khi diện tích xung quanh hình trụ (T ) S xq(T ) = 2 rl = 2 a =  a Hình nón ( N ) có đáy đáy (T ) đỉnh tâm đáy lại (T ) nên ( N ) có bán kính r  = r = a 2 a a Suy hình nón ( N ) có độ dài đường sinh l  =   + a = 2 a a  a2 Suy diện tích xung quanh hình nón ( N ) S xq( N ) =  r l  =  = 2 Vậy: S xq( N ) S xq(T )  a2 5 = = 4 a Câu 10 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = e2x , biết F ( ) = A F ( x ) = 2e2 x − B F ( x ) = e x C F ( x ) = e 2x D F ( x ) = Lời giải Chọn D 1 Ta có:  e2 x dx = e2 x + C  F ( x ) = e2 x + C1 (Với C1 số đó) 2 e2 x + 2 Theo giả thiết F ( ) =  1 e2 x + C1 =  C1 = Vậy F ( x ) = + 2 2 Câu 11: Tập nghiệm bất phương trình 32 x−1  27 là: 1  C  ; +  2  B ( 2; + ) A ( 3; + ) 1  D  ; +  3  Lời giải Chọn B 32 x−1  27  32 x−1  33  x −   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = ( 2; + ) Câu 12: Ông An vay ngân hàng 96 triệu đồng với lãi suất 1% tháng theo hình thức cuối tháng trả góp số tiền giống cho sau năm kể từ ngày vay trả hết nợ Hỏi số tiền ông An phải trả hàng tháng bao nhiêu?(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 4,52 triệu đồng B 4,53 triệu đồng C 4,51 triệu đồng D 4, 54 triệu đồng Lời giải Chọn A Gọi M , r , Tn , a số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền nợ lại sau n tháng số tiền trả đặn tháng +) Sau hết tháng thứ ( n = 1) số tiền nợ là: T1 = M (1 + r ) − a +) Sau hết tháng thứ hai ( n = ) số tiền nợ là: T2 =  M ( r + 1) − a  ( r + 1) − a = M ( r + 1) − a ( r + ) = M ( r + 1) − 2 a ( r + 1) − 1  r +) Sau hết tháng thứ ba ( n = 3) số tiền nợ là: a 3 a 2   T3 =  M ( r + 1) − ( r + 1) − 1  ( r + 1) − a = M ( r + 1) − ( r + 1) − 1   r r  a n n +) Sau hết n tháng số tiền nợ là: Tn = M ( r + 1) − ( r + 1) − 1   r Áp dụng công thức theo giả thiết sau năm (tức 24 tháng) ông An trả hết nợ nên ta có T24 =  M ( r + 1) M ( r + 1) r a 24 − ( r + 1) − 1 =  a = 24  r ( r + 1) − 24 24 96.106 ( 0, 01 + 1) 0, 01 24 a= ( 0, 01 + 1) − 24 Câu 13: Biết  x ln ( x  4,52 triệu đồng + ) dx = a ln + b ln + c ( a, b, c  ) , tính a+b+c A B 10 C Lời giải D 11 Ta chọn a = Đặt BM = x, CN = y với x, y  0;1 , ta có: AM + MN + NE = x + + (1 − x) + y + (1 − y ) + 1  3  Xét u = ( x;1) , v = (1 − x; y ) , w =  ;1 − y   u + v + w =  ;  2  2  Ta có AM + MN + NE = u + v + w  u + v + w = +4 = Dấu " = " xảy vecto u , v, w đôi hướng 1 − x = kx   x=  y = k ( k  )  1 − x = xy    1   x − xy = = mx  2 y =   1 − y = m ( m  ) Vậy GTNN AM + MN + NE Cách 2: (Nguyễn Như Tùng) Dựng hình vng A " BCD "; CC ' D D1 đồng phẳng với hình vng BB ' C ' C gọi E ' trung điểm C ' D ta có AM = A " M ; NE = NE ' 5a  3a   AM + MN + NE = A " M + MN + NE '  A " E ' = A " B ' + B ' E ' = ( 2a ) +   =   2 Dấu xảy  A ", M , N , E ' thẳng hàng Vậy GTNN ( AM + MN + NE ) = 5a Câu 30 Khi viết số p = 2756839 − dạng hệ thập phân có chữ số? A 227835 B 227832 C 227834 D 227833 Lời giải Chọn B Ta có p = 2756839 − số nguyên tố nên số chữ số p số chữ số p + = 2756839 Số chữ số 2756839 n = log 2756839  + =227832 Vậy số chữ số p 227832 Bổ sung kiến thức Giả sử số tự nhiên A có n chữ số A = an an −1an − a1 = an.10n −1 + an −1.10n − + an − 2.10n −3 + + a1 ( an  ) Mà an.10n −1  an.10n −1 + an −1.10n −2 + an −2.10n −3 + + a1  10n Suy n −  log A  n  log A  n  log A + Giữa số log A log A + có số tự nhiên lớn log A  log A + Vậy n = log A + Câu 31 Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 2; u5 = 14 Tìm cơng sai cấp số cộng đó? A B C D Lời giải Chọn C Ta có ( un ) cấp số cộng với công sai d u5 − u1 = Chọn C Câu 32 Phần ảo số phức z = + 3i  u5 = u1 + 4d  d = A 2i C B 3i D Lời giải Chọn D Ta có z = + 3i Phần ảo số phức z Vậy khẳng định D Câu 33 Đạo hàm hàm số y = log3 ( − x ) A y ' y'= x ln B y ' = 5− x ( − x ) ln Lời giải C y ' = x −5 D Chọn A Ta có: y = log3 ( − x )  y ' = ( − x ) ' = −1 = ( − x ) ln ( − x ) ln ( x − 5) ln Vậy khẳng định A Câu 34 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y = x + A 32 B 109 C 16 D 91 Lờigiải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường y = x2 , y = x +  x = −1 x2 = x +  x2 − x − =   x = Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2 , y = x + S= x − x − dx = −1 32 Câu 35 Hàm số y = − x3 + 3x2 + đồng biến khoảng A (1; 3) C  ;  2 2 B ( −; ) D ( 0; 3) Lờigiải Chọn C x =  y = Ta có y ' = −3x + x; y ' =   x =  y = Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) nên hàm số đồng biến khoảng  ;  2 2 Câu 36: Hình phẳng ( H ) giới hạn đường elip có phương trình hồnh, tính thể tích khối tròn xoay thu A 100 B 60 C 45 Lời giải Ta có: x2 y + =1 y =  25 − x với −5  x  25 x2 y + = Quay ( H ) quanh trục 25 D 75 Ta có khối tròn xoay thu quay ( H ) quanh trục hoành khối tròn xoay có quay hình phẳng giới hạn đường y = 25 − x với −5  x  trục hoành quanh trục hoành y -5 O x -3 5 Vậy thể tích khối tròn xoay V =   y dx =   (25 − x )dx −5 π 25 x −5 x3 60π Câu 37: Cho hàm số f ( x ) = − x − mx + m − Biết f ( x )  0, x   − 5;  , tính với f ( −1) 1 A − B − C − D −1 2 Lời giải −x Ta có: f  ( x ) = −m − x2 −x f ( x) =  − m =  m − x2 = − x 5− x − 5m x= m2 + ( ) Ta có: f − = 5m + m − 2, f ( 5) = − (− 5x )  − 5m  5m + m − 2, f   = m + + m −  m +1  Suy maxf ( x ) = m2 + + m −  − 5;    1) Trường hợp m  ta có maxf ( x ) = m2 + + m −  −  − 5;    Trường hợp không thỏa mãn f ( x )  0, x   − 5;  2) Trường hợp m  Xét hàm số g ( m ) = m2 + + m − ( −;0 ) , + 1, g  ( m ) =  m = − m +1 Ta có bảng biến thiên hàm số g ( m ) : g (m) = 5m Ta có f ( x )  0, x  − 5;   maxf ( x )   g ( m )   m = −      − 5;  x − , f ( −1) = −1 2 Khi f ( x ) = − x + Cách 2: Ta có f ( x) x2 mx m x2 f ( x) f ( x) Đặt g ( x) (1 x) x x2 x Theo giả thiết f ( x) ta có f ( x) 10 x x 2 5; 5; điều xảy 0, x suy g ( x ) đổi dấu qua giá trị x Thử lại: Với m m m , ta có g ( x ) liên tục đoạn x2 m(1 x) x2 nên g (1) m g ( x) 0, x g ( x) 0, x m 5;1 1; 5 x (5 x) 2 5(1 x) 0, x 5; x2 x x2 x f ( x) x Vậy f ( x ) = − x + x − , f ( −1) = −1 2 Câu 38 Cho số phức z thỏa z + − i = 2.z + − 3i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức f ( x) x2 w = (1 + i ) z + − 3i đường tròn Bán kính đường tròn thuộc khoảng sau đây? B ( 3; ) A (1;2 ) C ( 2;3) D ( 0;1) Lời giải ( x; y  ) Đặt w = x + yi Từ w = (1 + i ) z + − 3i  z = w − + 3i  − i  + 5i = (1) w + 1+ i   Theo giả thiết: z + − i = 2.z + − 3i  z + − i = 2.z + + 3i Thay (1) vào ( ) ta có: 1− i w + (1 + i ) = (1 − i ) w + + 8i  w + 3i = 2w + 11.i − 2  x + ( y + 3) = ( x − ) + ( y + 11)  x + y − ( 2) 2 20 38 137 x+ y+ =0 3  10 −19  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I  ;  , bán kính 3  R= Câu 39 Cho đồ thị ( G ) hàm số y = a.x3 + bx2 + cx + d Biết phương trình tiếp tuyến ( G ) điểm có hồnh độ y = x − y = −3x − Tính a + 2b + 3c + 4d A -8 B C D -5 Lời giải Ta có: y = f ( x ) = a.x3 + bx + cx + d  y ' = f ' ( x ) = 3.a.x + 2.b.x + c f ' (1) = 3a + 2b + c; f ' ( ) = c ; f (1) = a + b + c + d ; f ( ) = d Phương trình tiếp tuyến ( G ) điểm có hồnh độ là: y = cx + d c = −3 Từ giả thiết tiếp tuyến trùng với đường thẳng: y = −3x − nên suy ra:  d = −1 Phương trình tiếp tuyến ( G ) điểm có hồnh độ là: y = ( 3a + 2b + c )( x − 1) + a + b + c + d  y = ( 3a + 2b + c ) x − 2a − b + d Từ giả thiết tiếp tuyến trùng với đường thẳng: y = x − nên suy 3a + 2b + c = a =  Vậy a + 2b + 3c + 4d = + 2.2 + ( −3) + ( −1) = −8  −2a − b + d = −5 b = Câu 40 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(5; 3; 1) , B (7; 5; 3) mặt phẳng ( P) : x y z Điểm M thay đổi ( P ) cho mặt phẳng ( MAB ) vng góc với ( P ) Tính độ dài ngắn đoạn OM A B 14 C D 14 Lời giải AB (2; 2; 2) , n1 (1; 2; 1) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) (2; 4; 6) Ta chọn n2 AB, n1 (1; 2; 3) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( MAB ) Phương trình mặt phẳng ( MAB ) : 1( x 5) x Gọi u ( P) ( MAB) , lấy P( 4; 0; 4) 2( y 2y 3z 3) 3( z 1) OP, u M OM d (O, ) u , Q(4; 2; 0) (4;1; 2) véc tơ phương đường thẳng PQ (8; 2; 4) 8 Vậy đoạn OM ngắn 14 14 Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a , điểm M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( P ) chứa AM song song với BD Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp ( P ) A 5a B 10a C Lời giải 10a 5a D Gọi O tâm hình vng ABCD Trong mp ( SAC ) , gọi I giao điểm AM SO Suy I điểm chung hai mặt phẳng ( P ) ( SBD ) , mà ( P ) BD nên mp ( SBD ) qua I kẻ giao tuyến PN song song với BD ( N  SB; P  SD ) Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt ( P ) tứ giác ANMP Do S.ABCD hình chóp nên SO ⊥ ( ABCD )  BD ⊥ SO (1) Mặt khác: BD ⊥ AC (do đáy ABCD hình vng) (2) Từ (1) (2) ta có: BD ⊥ ( SAC )  BD ⊥ AM Mà PN BD  PN ⊥ AM  S ANMP = Trong tam giác SAC ta có: AM = AM PN AS + AC SC a + 2a a 5a a − = − =  AM = 4 Do I trọng tâm tam giác SAC nên PN = Vậy S ANMP = 2a BD = 3 1 a 2a a 10 AM PN = = 2 Câu 42 Trong không gian Oxyz cho năm điểm S ( 5;1;3) , A (1;0;2 ) , B ( 2;1; −2 ) , C (1;1;6 ) , D ( 3;3; −2 ) Có mặt phẳng cách năm điểm đó? A B C D Vô số Lời giải AB = (1;1; −4 ) , AC = ( 0;1; ) , AD = ( 2;3; −4 )   AB, AC  AD =  A, B, C , D đồng phẳng AB = (1;1; −4 ) , CD = ( 2; 2; −8 ) hai vectơ hướng Lại có: AS = ( 4;1;1)   AB, AC  AS = 29  A, B, C , S không đồng phẳng nên S ABDC hình chóp có đáy ABDC Vậy ta có: Mặt phẳng trung trực đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy mặt Mặt phẳng chứa đường nối trung điểm hai cạnh đối diện AC BD đáy song song với mặt bên ( SAB ) hai mặt Mặt phẳng chứa đường nối trung điểm hai cạnh đối diện AC BD đáy song song với mặt bên ( SCD ) ba mặt Mặt phẳng chứa đường nối trung điểm hai cạnh đối diện AB DC đáy song song với mặt bên ( SAC ) bốn mặt Mặt phẳng chứa đường nối trung điểm hai cạnh đối diện AB DC đáy song song với mặt bên ( SBD ) năm mặt Câu 43 Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1; 2;3) , B(3;1; 2) , C (2;1;5) điểm D thuộc mặt phẳng ( P) :3x − y + z + 10 = Biết đường cao tứ diện đồng quy, tính độ dài đoạn thẳng OD A 650 B 260 C 10 D 20 Lời giải Nhận xét: Các đường cao tứ diện đồng qui nên tứ diện trực tâm, đường cao kẻ từ D tứ diện qua trực tâm tam giác ABC Gọi H ( x; y; z ) trực tâm tam giác ABC , ta có AH ( x − 1; y − 2; z − 3) , BC ( −1; 0;3) , BH ( x − 3; y − 1; z − ) , AC (1; −1; )  AB, AC  = ( −3;−5;−1)   10  x =  AH BC =  − x + 3z − =    12   Tọa độ H thỏa mãn hệ  BH AC =   x − y + 2z − =   y =    − x − y − z + 16 =   AB , AC AH =    22   z =  10 12 22  H  ; ;   7  Ta có n( ABC ) =  AC , AB  = ( 3; 5; 1) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) Do DH ⊥ ( ABC ) nên vectơ phương DH là: u DH = n( ABC ) Phương trình đường thằng DH qua H vng góc với mặt phẳng ( ABC ) 10  x = + 3t   12   y = + 5t ( t    22 z= +t   ) Ta có: D = DH  ( P) ; D  DH  D  10 12 22  +3t ; +5t; +t  7  7 22 −22  10  12 Mặt khác D  ( P ) ta được:  +3t  − − 5t + + t + 10 =  t = 7 7   D(−8; −14;0)  OD = 260 Câu 44: Trong không Oxyz , gian cho đường thẳng d: x −1 y z −1 = = 1 mặt cầu ( S ) : ( x − 4)2 + ( y − 5)2 + ( z − )2 = Hai điểm A B thay đổi ( S ) cho tiếp diện ( S ) A B vng góc với Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) M , đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) N Tìm giá trị lớn tổng AM + BN A 16 C + B D 20 Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4;5;7 ) bán kính R = Gọi K trung điểm AB B K A d I A K φ B Oxy M φ P G φ φ N Đường thẳng d có vectơ phương ud = ( 2;1;1) , mặt phẳng ( Oxy ) có vectơ pháp tuyến n = ( 0;0;1) Gọi  góc đường thẳng d ( Oxy ) Khi sin  = ud n ud n = Đường thẳng qua K song song với d cắt mặt phẳng ( Oxy ) P Gọi G hình chiếu K lên mặt phẳng ( Oxy ) Ta có: AM + BN = KP = KG = KG sin  Mặt khác AIB góc hai tiếp diện vng góc nên tam giác IAB vng I Do IK = AB = hay điểm K nằm mặt cầu ( S  ) tâm I ( 4;5;7 ) bán kính R = Khi KG  IG + R = d ( I ; ( Oxy ) ) + R = + = hay AM + BN  16 K (S') I Oxy Vậy ( AM + BN )max = 16 G Câu 45 Gọi M giá trị lớn hàm số f ( x ) = x + ax + b đoạn  −1;3 Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính a + 2b A C −4 B −5 D −6 Lời giải Xét hàm số f ( x ) = x + ax + b Theo đề bài, M giá trị lớn hàm số  −1;3  M  1− a + b  M  f ( −1)   Suy  M  f ( 3)   M  + 3a + b  4M  − a + b + + 3a + b + −1 − a − b  M  f (1)  M  1+ a + b    − a + b + + 3a + b + 2(−1 − a − b)  4M   M  Nếu M = điều kiện cần − a + b = + 3a + b = −1 − a − b = − a + b , + 3a + b ,  − a + b = + 3a + b = −1 − a − b = a = −2  −1 − a − b dấu   1 − a + b = + 3a + b = −1 − a − b = −2  b = −1 a = −2 Ngược lại,  ta có, hàm số f ( x ) = x − x −  −1;3  b = −1 Xét hàm số g ( x ) = x − x − xác định liên tục  −1;3 g  ( x ) = x − ; g  ( x ) =  x = 1  −1;3  M giá trị lớn hàm số f ( x )  −1;3  M = max g ( −1) ; g ( 3) ; g (1)  =2 a = −2 Vậy  Ta có: a + 2b = −4  b = −1 Câu 46: Có giá trị nguyên m thuộc đoạn  −100;100 để phương trình 2019 x = mx + có hai nghiệm phân biệt? A 94 B 92 C 184 D 93 Lời giải Cách 1: *) TH1: m  + Vế trái phương trình hàm số đồng biến tập + Vế phải phương trình hàm số nghịch biến tập Nếu phương trình cho có nghiệm nghiệm ( khơng thỏa mãn đề bài) *) TH2: m = Khi phương trình trở thành: 2019 x =  x = Vậy phương trình có nghiệm x = ( không thỏa mãn đề bài) *) TH3: m  Xét hàm số f ( x ) = 2019 x − mx − f  ( x ) = 2019 x.ln 2019 − m f  ( x ) =  x = log 2019 Đặt a = log 2019 m ln 2019 m m m  f (a ) = − m.log 2019 −1 ln 2019 ln 2019 ln 2019 Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y = f ( x ) phải cắt trục hoành hai điểm phân biệt Điều tương đương với f ( a )   Đặt t = m m − m.log 2019 −  (1) ln 2019 ln 2019 m ( t  ) Khi m = t.ln 2019 ln 2019 Bất phương trình (1) trở thành: t − t.ln 2019.log2019 t −   t − t.ln t −   t.ln t − t +  Xét hàm số g ( t ) = t.ln t − t + ( 0; + ) g  ( t ) = ln t; g  ( t ) =  t = Bảng biến thiên hàm số y = g ( t ) Từ bảng biến thiên ta thấy g ( t )  với t  Vậy m   m  ln 2019 ln 2019 m  Kết luận:  thỏa mãn yêu cầu toán m  ln 2019 Do m  toán Cách 2: m   −100;100 nên m 1; 2;3 100 Vậy có 100 giá trị m thỏa mãn yêu cầu *) TH1: m  + Vế trái phương trình hàm số đồng biến tập + Vế phải phương trình hàm số nghịch biến tập Nếu phương trình cho có nghiệm nghiệm ( không thỏa mãn đề bài) *) TH2: m = Khi phương trình trở thành: 2019 x =  x = Vậy phương trình có nghiệm x = ( khơng thỏa mãn đề bài) *) TH3: m  Xét hàm số f ( x ) = 2019 x − mx − f  ( x ) =  x = log 2019 Đặt a = log 2019 f  ( x ) = 2019 x.ln 2019 − m m ln 2019 m m m  f (a ) = − m.log 2019 −1 ln 2019 ln 2019 ln 2019 Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y = f ( x ) phải cắt trục hồnh hai điểm phân biệt Điều tương đương với a   log 2019   f ( x)  f ( a ) x  f ( a )  Mà    f (0) = nên m m 0   m  ln 2019 ln 2019 ln 2019 m  Kết luận:  thỏa mãn yêu cầu toán Do m  m  ln 2019 m   −100;100 nên m 1; 2;3 100 Vậy có 100 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 47: Cho x, y số dương thỏa mãn log P= A x + 4y = x − y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức x+ y x y + xy + y x( x + y ) B C D Lời giải x, y  , ta có: log x + 4y = x − y +  log ( x + y ) − log ( x + y ) = − ( x + y ) + ( x + y ) + x+ y  log3 ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y ) + log3 ( x + y ) (1) Xét Hàm số f ( t ) = log3 t + t có f (t ) = +  ,  t  ( 0, + ) t ln  Hàm số f ( t ) đồng biến ( 0, + ) Khi đó: (1)  f ( x + y) = f 3( x + y)  x + y = ( x + y )  y = x Với y = x ta có: P = x y + xy + y x + x + x x + 12 x 2 = = = x + x( x + y ) x(3 x) x3 3x Áp dụng BĐT cô si ta có : P = 2 2 222 x + +  33 = Dấu “=” xảy  x = 3x 3x 333 x = Vậy, GTNN P  y = Câu 48: Cho tam giác ABC cạnh a Đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Điểm S thay đổi d ( S khác A ) Gọi H trực tâm tam giác SBC Khi H thuộc đường tròn cố định, tính đường kính đường tròn A 3a B 3a C a D a Lời giải S H K C A G N M B Gọi M , N trung điểm BC , AB Do ABC nên AM ⊥ BC , CN ⊥ AB  BC ⊥ AM  BC ⊥ ( SAM )  BC ⊥ HG (1) , BC ⊥ SM Ta có   BC ⊥ SA Kẻ CK ⊥ SB K , H = CK  SM CN ⊥ AB Ta có:   CN ⊥ ( SAB )  CN ⊥ SB CN ⊥ SA Mà SB ⊥ CK nên SB ⊥ ( CKN )  SB ⊥ HG ( ) Từ (1) , ( )  HG ⊥ ( SBC )  HG ⊥ HM mà M , G cố định nên H thuộc đường tròn đường kính GM (Do H , M , G nằm mặt phẳng cố định qua A vng góc với BC ) Với GM = 1 a a AM = = 3 Câu 49: Sắp xếp ngẫu nhiên học sinh nam học sinh nữ vào dãy 10 ghế Tính xác suất để khơng có hai học sinh nam ngồi cạnh 1 A B C D 15 42 16 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n (  ) = P10 =10!= 3628800 Gọi A biến cố "không có hai học sinh nam ngồi cạnh nhau" Mỗi phần tử A tương ứng với hàng gồm 10 bạn cho mà khơng có hai nam xếp cạnh Để xếp hàng ta thực liên tiếp hai bước: Bước 1: Xếp bạn nữ thành hàng,có số cách xếp 6! = 720 cách Bước 2: Chọn vị trí xen hai nữ để xếp nam ( nam khơng cạnh nhau) có số cách xếp C74 4! = 840 cách Vậy n ( A) = 720.840 = 604800 Xác suất cần tìm P ( A ) = n ( A) n () = 604800 = 3628800 Câu 50: Cho số phức z thỏa mãn z − iz + = z − z + − i Tìm giá trị nhỏ z − + i A 2 B C Lời giải Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi;( x, y  R) Gọi I (2; −1) z − + i = ( x − ) + ( y + 1) i = IM Ta có: z − iz + = z − z + − i  z − iz − 2i = z − i − ( z + i )  ( z − 2i )( z + i ) = ( z + i )( z − i − 1)  z +i =   z − 2i = z − i − (1) ( 2) * z + i =  z = −i  z − + i = D * z − 2i = z − i −  x + ( y − ) i = ( x − 1) + ( y − 1) i  x + ( y − ) = ( x − 1) + ( y − 1)  x − y + = Suy M  (d ) : x − y + = 2 Do z − + i nhỏ  IM nhỏ  IM khoảng cách từ I đên đường thẳng (d) Suy IM = = 2  Vậy giá trị nhỏ z − + i 2 ... Giả sử số tự nhiên A có n chữ số A = an an − 1an − a1 = an. 10n −1 + an −1.10n − + an − 2.10n −3 + + a1 ( an  ) Mà an. 10n −1  an. 10n −1 + an −1.10n −2 + an −2.10n −3 + + a1  10n Suy n − ... đương với f ( a )   Đặt t = m m − m.log 2019 −  (1) ln 2019 ln 2019 m ( t  ) Khi m = t.ln 2019 ln 2019 Bất phương trình (1) trở thành: t − t.ln 2019. log2019 t −   t − t.ln t −   t.ln t −... = 2019 x.ln 2019 − m f  ( x ) =  x = log 2019 Đặt a = log 2019 m ln 2019 m m m  f (a ) = − m.log 2019 −1 ln 2019 ln 2019 ln 2019 Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Để phương trình có hai