SKKN môn toán hay nhất 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH 12 PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Trần Thanh Hữu Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn SKKN mơn: Tốn GIA LAI NĂM 2018 MỤC LỤC NỘI DUNG I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp thực 2.3.1 Một số tính chất cần nhớ 2.3.2 Các giải pháp 2.3.3 Bài tập tham khảo 2.4 Kết thực III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 2 3 4 5-11 12 15 16 16 I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải học sinh học hình học cịn yếu, chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo q trình giải tốn đặc biệt đại đa số học sinh nhắc đến hình học khơng gian lại ngại nói sợ sệt Đặc biệt năm học 2017- 2018, năm học có nội dung trắc nghiệm Toán lớp 11 kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh sử dụng kết môn Toán để xét Đại học- Cao đẳng cần phải làm câu hỏi mức độ vận dụng, đặc biệt câu hỏi vận dụng tính khoảng cách hình học khơng gian Để làm câu hỏi dạng địi hỏi học sinh ngồi việc học tốt kiến thức hình học khơng gian cịn phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp để từ qui tốn khó dễ phù hợp với trình độ kiến thức có đặc biệt kỹ xác định tính tốn nhanh để đạt yêu cầu kiến thức lẫn thời gian câu hỏi trắc nghiệm Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, với kinh nghiệm q trình giảng dạy Tơi xin chia sẻ “ Một số giải pháp giúp học sinh 12 phát huy khả giải toán Khoảng cách hình học khơng gian kỳ thi THPT Quốc gia ” Đây nội dung quan trọng, hay khó chương trình Hình học lớp 11 nên có nhiều tài liệu, sách viết nhiều thầy cô giáo học sinh say sưa nghiên cứu học tập Tuy nhiên việc đưa hướng tiếp cận quy lạ quen toán nhiều sách tham khảo chưa đáp ứng cho người đọc Đặc biệt nhiều em học sinh lớp 12 quên phương pháp tính khoảng cách không gian mà em học lớp 11 Chính việc đưa sáng kiến kinh nghiệm cần thiết, làm em hiểu sâu tốn u thích chủ đề khoảng cách hình học khơng gian 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho người đọc nắm cách tiếp cận toán, quy lạ quen, đồng thời giúp cho học sinh số kiến thức, phương pháp kỹ để học sinh giải tốn khoảng cách hình học khơng gian, hình thành cho em thói quen tìm tịi tích lũy rèn luyện tư sáng tạo, giải toán đời sống xã hội, chuẩn bị tốt đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chúng tập trung nghiên cứu số tính chất khoảng cách, nghiên cứu câu hỏi tích phân dạng trắc nghiệm khách quan, nghiên cứu ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay vận dụng tốn thực tế đời sống xã hội 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi đề tài, sử dụng kết hợp phương pháp như: phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải số phương pháp khác phương pháp quy lạ quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án câu hởi trắc nghiệm khách quan II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Vấn đề nghiên cứu dựa sở nội dung Khoảng cách hình học khơng gian chương trình Hình học 11 [1] Khi giải tập toán, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tiết dạy tập chương phải thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư cho học sinh q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải toán trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung khoảng cách Hình học không gian lớp 12 trường THPT Nguyễn Thái Học, tơi thấy kỹ giải tốn khoảng cách học sinh cịn yếu, đặc biệt tốn trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn đa số em bỏ qua Do cần phải cho học sinh tiếp cận toán cách dễ dàng, quy lạ quen, thiết kế trình tự giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ làm toán trắc nghiệm khách quan, từ đạt kết cao kiểm tra, đánh giá kỳ thi THPT Quốc gia 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nội dung phần kiến thức tương đối khó với học sinh Học sinh nhanh quên không vận dụng kiến thức học vào giải toán Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, nội dung đưa hình thức trắc nghiệm Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt trình giải toán khoảng cách, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận tốn, khai thác yếu đặc trưng tốn để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen, quy chưa biết có Chính đề tài đưa giúp giáo viên hướng dẫn toán khoảng cách cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hồn thiện phương pháp rèn luyện tư sáng tạo thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia Vậy mong muốn đồng nghiệp học sinh ngày vận dụng tốt kiến khoảng cách để đưa giải pháp nhằm giải toán khoảng cách cách xác nhanh 2.3 Các biện pháp thực 2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ 2.3.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: * Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  khoảng cách từ đến hình chiếu vng góc H M lên đường thẳng  Ký hiệu d ( M , )  MH 2.3.1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: * Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) khoảng cách từ M đến hình chiếu vng góc H M lên mặt phẳng ( ) Ký hiệu d ( M ,( ))  MH 2.3.1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng a mặt phẳng ( ) * Nếu a ( ) cắt a �( ) khoảng cách chúng * Nếu a ( ) song song khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( ) khoảng cách từ điểm M a đến ( ) * Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( ) lý hiệu d (a;( )) 2.3.1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng a, b chéo * Đường thẳng  đồng thời vng góc cắt hai đường thẳng a, b gọi đường vng góc chung hai đường thẳng a b * Nếu  �a  A,  �b  B đoạn thẳng AB gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng a b * Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Ký hiệu d (a, b)  AB Chú ý: * Nếu a b cắt trùng khoảng cách chúng a, b c� tnhau � d ( a , b)  � � a �b � * Nếu a b song song với d (a, b)  d ( M , b), M �a * Nếu AB //( ) d ( A,( ))  d ( B,( )) 2.3.1.4.Thể tích khối chóp: Khối chóp có diện tích đáy B , chiều cao h tích là: V  Bh 2.3.1.4.Hệ thức lượng tam giác: a Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A, H hình chiếu A lên cạnh BC M trung điểm cạnh BC Ta có: BC  AB  AC (Pitago) AB  BH BC AC  CH BC AB AC AB AC 1 AH     2 BC AH AB AC AB  AC 1 S ABC  AB AC  AH BC 2 AC AB sin B  ; cos B  ; BC BA AC AB M tan B  ; cot B  AB AC b Hệ thức lượng tam giác đều: Nếu tam giác ABC cạnh a Ta có: a Độ dài đường cao a2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC  c Hệ thức lượng tam giác bất kỳ: Cho tam giác ABC, ta có: * Định lý cơsin: C AB  BC  CA2  BC.CA.cos C BC  CA2  AB  2CA AB.cos A CA2  AB  BC  AB.BC.cos B Hệ quả: AB  AC  BC AB  BC  AC cos A  cos B  AB AC AB.BC BC  CA2  AB cos C  2.BC.CA BC CA AB    R (R bán kính đường trịn ngoại * Định lý sin: sin A sin B sinC tiếp tam giác) * Định lý đường trung tuyến: AB  AC BC AB  BC AC BC  AC AB 2 2 ma   mb   mc   4 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có: AG  ma * Cơng thức tính diện tích: 1 S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  AB AC.sin A  AB.BC.sin B  AC.BC.sin C 2 AB.BC AC  4R AB  BC  CA  p( p  AB)( p  BC )( p  CA)( Heroong ) p   pr r , Rl� n l� � t l�b� n k� nh � � � ng tr� n n� i ti� p v�ngo� i ti� p tam gi� c 2.3.2 Các giải pháp a) Giải pháp 1: Vận dụng định nghĩa khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng để giải toán khoảng cách Trong giải pháp giáo viên cần ôn lại kiến thức hình học không gian, hệ thức lượng tám giác đặc biệt hệ thức lượng tam giác vuông, định lý talet tam hướng dẫn cho học sinh sử dụng linh hoạt chúng; giáo viên cần xây dựng ví dụ đa dạng từ dạng đơn giản đến ví dụ đồi hỏi dạng tư duy, suy luận, có ví dụ dạng tự luận, có ví dụ dạng trắc nghiệm để học sinh thấy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng kiến thức qua trọng, tảng để giải tốn tính khoảng cách hình học khơng gian Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh lựa chọn tam giác có đỉnh điểm M cạnh lại nằm đường thẳng  Ta qui tốn tính độ dài đường cao tam giác Một toán mà đa số học sinh học qua làm sMAB  1 2S AB.MH  AB.d ( M ,  ) � d ( M ,  )  MAB 2 AB Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O, cạnh bên SA  a vng góc với đáy a Hãy tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SB SC b Hãy tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SC SD Giải: a Tính d ( A, SB ) Gọi H hình chiếu A lên SB Khi ta có d ( A, SB )  AH AH đường cao tam giác vuông SAB ( vuông A) Trong tam giác OAH vuông A , ta có: AK  AM AH  HM SA AH SA2  AH Vậy d ( BD, SC )  d ( A,(OBD))   2a 57 19 2a 57 ( đvđd) 19 Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SBC nằm mặt phẳng vng góc mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BD tính theo a bằng: 4a 3a 2a a A B C D 5 5 b) Giải pháp 2: Vận dụng thể tích, tỷ số thể tích tứ diện để giải toán khoảng cách hình học khơng gian Trong giải pháp để tính khoảng cách hình học khơng gian đồi hỏi học sinh phải biết cách dựng hình chiếu điểm lên đường thẳng mặt phẳng Tuy nhiên, học sinh yếu việc dựng hình chiếu q sức Để khắc phục đièuu đó, giải pháp này, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng linh hoạt cơng thức tính thể tích tứ diện, cơng thức tỷ số thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dễ dàng hơn, không cần phải dựng hình chiếu; học sinh có động lực nghiên cứu, đam mê yêu thích nội dung Kiến thức giải pháp là: 3VABCD * VABCD  S BCD d ( A,( BCD )) � d ( A,( BCD ))  S BCD 22 * Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S ABC , cạnh SA, SB, SC lấy điểm A ', B ', C ' Khi ta có: VS ABC SA SB SC  VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' Thật vậy: Gọi H , H ' hình chiếu vng góc A, A ' lên ( SBC ) Vì S , A, A ' thẳng hàng nên S , H , H ' thẳng hàng 1 � Ta có: VSABC  S SBC AH  AH SB.SC sin BSC 1 � VSA ' B ' C '  S SB ' C A ' H '  A ' H '.SB '.SC '.sin BSC VS ABC AH SB SC  Do đó: VS A ' B ' C ' A ' H ' SB ' SC ' Trong tam giác SAH , ta có AH SA A ' H '//AH �  A ' H ' SA ' VS ABC SA SB SC  Vậy: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc mặt AD  AC  4cm,  ABC  , phẳng AB  3cm, BC  5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) Giải: Ta có AB  AC  BC � AB  AC Do VABCD  AB AC AD  8cm Mặt khác CD = , BD = BC = Nên BCD cân B, gọi I trung điểm CD 2 � SBCD  DC BI   (2 2)  34 2 3V 3.8 34  Vậy d ( A,( BCD))  ABCD  SBCD 34 17 Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình thang vuông A B , AD  2a, BA  BC  a, 23 cạnh bên SA vuông góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Tính theo a khoảng cách từ H đến mp  SCD  Giải: VS HCD SH  Ta có VS BCD SB SAB vng A AH đường cao nên SH SA2 SA2 2a 2  2   Ta có SA2  SH SB � 2 SB SB SA  AB 2a  a 3 2 a a Vậy VS HCD  VS BCD  a  3 3VS HCD Mà VS HCD  d ( H ,( SCD)).SSCD � d ( H ,( SCD))  SSCD SCD vuông C ( AC  CD  AD ), 1 Do SSCD  CD.SC  a 2.2a  a 2 2 3a a  Vậy d ( H ,( SCD))  9a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB  BC  a, AA’  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Giải: a Gọi E trung điểm BB’ � BE  BB '  2 Ta có: EM đường trung bình B ' BC � EM //CB’ Mà EM �( AME ), B ' C �( AME ) nên B’C //  AME  � d  B’C , AM   d  B’C ,  AME    d  C ,  AME   Ta có EB  ( AMC ) � EB đường cao khối tứ diện CEAM 1 1 a a a3 VCAEM  S ACM BE  AB.CM BE  a  3 2 24 3VCAEM Mặt khác: VCAEM  S AEM d (C ,( AEM )) � d (C ,( AME ))  S AEM 24 a2 a Trong AEB vng B ta có: AE  AB  BE  a   2 AE  ( BHM ) � AE  MH Gọi H hình chiếu B lên AE Ta có 1 a    � BH  ABE vuông B nên 2 BH AB EB a 2 a a a 21   1 a a 21 a 14 Do SAEM  AE.HM   2 3a a d (C ,( AME ))   Vậy: a 14 24 Ghi chú: Có thể áp dụng cơng thức Hê – rơng để tính S AEM Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB  a, AC  a hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách từ A đến mp  BCC’B’ Giải: Theo giả thiết ta có A’H  (ABC) BHM vuông B nên MH  Tam giác ABC vuông A AH trung tuyến nên AH = BC = a A ' AH vuông H nên ta có A ' H  A ' A2  AH  a a.a a Do VA ' ABC  a  2 VA ' ABC  Mặt khác VABC A ' B ' C ' 2 a3 Suy VA ' BCC ' B '  VABC A ' B ' C '   a 3 3VA '.BCC ' B ' Ta có d ( A ',( BCC ' B '))  S BCC ' B ' Vì AB  A ' H � A ' B '  A ' H � A ' B ' H vuông A’ 25 a  3a  2a  BB ' � BB ' H cân B’ Gọi K trung a 14 điểm BH, ta có B ' K  BH Do B ' K  BB '2  BK  a 14 Suy S BCC ' B '  B ' C '.BK  2a  a 14 3a 14a  Vậy d ( A ',( BCC ' B '))  14 a 14 Suy B’H = f) Giải pháp 6: Hướng dẫn kỹ thuật số trường hợp làm toán trắc nghiệm Trong giải pháp này, giáo viên cần truyền cho học sinh kỹ sử dụng máy tính bỏ túi để giải số tốn tích phân dạng trắc nghiệm khách quan Qua học sinh có nhiều lựa chọn, nhiều phương án để đưa kết Đồng thời tạo hưng phấn cho học sinh học nội dung này, làm e tự tin đem lại kết cao kỳ thi THPT Quốc gia Ví dụ 18: Cho tích phân x( x  1) dx a ln  b ln với a, b số nguyên Hãy tính S 2a  b ? A B C D HD: Ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh cách dùng máy tính Cách 1: Xét đáp an cách giải hệ phương trình, hệ có nghiệm ngun đáp án đáp án  2a  b   dx Chẳng hạn xét đáp án A, ta giải hệ pt:   (ln 2)a  (ln 3)b  x( x  1)  Cách 2: Từ điều kiện x( x  1) dx a ln  b ln , rút a theo b vào S , chọn b từ 26 -5 đến ( chọn ngẫu nhiên dựa vào đáp án cho ) tính S Nếu S đáp án cho dừng lại, đáp án 2 dx  dx  a ln  b ln Cách 3: Từ điều kiện  x ( x 1)  giá trị a, b a b  e x( x  1) Đáp án B m) Giải pháp 7: Củng cố lại kiến thức, kỹ làm tích phân thơng qua buổi thảo luận Giáo viên tổ chức vài buổi thảo luận giáo viên giao nhiệm vụ cho nhóm chuẩn bị trước nhà, nên chia thành nhóm lực học tập nhóm tương đương Nhóm 1: Giải tốn vận dụng định nghĩa tích phân Nhóm 2: Giải tốn vận dụng tính chất tích phân Nhóm 3: Giải tốn vận dụng phương pháp tính tích phân Nhóm 4: Giải bàì tốn tích phân thơng qua hình ảnh trực quan vận dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay Nhóm 5: Vận dụng tích phân để giải toán thực tế đời sống xã hội Nhóm 6: Giải tốn trắc nghiệm khách quan có hổ trợ máy tính bỏ túi Buổi thảo luận tiến hành theo trình tự sau: - Đầu tiên nhóm lên trình bày, phát kết nhóm cho nhóm khác - Tiếp theo, nhóm khác đưa câu hỏi nhóm vừa trình bày, đế xuất cách giải nhóm - Giáo viên nhận xét đưa kết luận cuối cùng, yêu cầu toàn học sinh ghi nhận 27 - Giáo viên trao thưởng cho nhóm hồn thành tốt nhiệm vụ, thưởng điểm cao quà ý nghĩa để khích lệ học sinh - Giáo viên nhận xét học sinh chuẩn bị tiếp thu kiến thức Buổi thảo luận yêu cấu nhóm đổi cho 2.3.3 Một số tập tham khảo b Câu 1: f ( x)dx 25 , F(x) nguyên hàm f(x) [ a; b ] F( b )=12 Tính a F( a )? A 13 B -13 C 27 D -27 C 27 D -27 b Câu 2: f ' ( x)dx =15 f( b )=12 Tính f( a )? a A -3 B Câu 3: F(x) nguyên hàm f(x)= A ln4 B ln4-1 [0;1] F( )=ln3+1.Tính F( )? x 3 C 1-ln4 D ln4+1  Câu 4: F(x) nguyên hàm f(x)=2x+cosx [0; ] F( )=2 Tính F(  )? 2 2 A 2 3 B 2  C b b Câu 5: Cho tích phân f ( x)dx 20 Tính tích phân f (4 x)dx ? a a A 20 B 10 C f ( x)dx 16 Tính tích phân f ( x B Câu 7: Cho tích phân  2) xdx ? A D Câu 6: Cho tích phân 2 3 D C D 16 f ( x)dx 16 Tính tích phân f ( x)dx ? 2 28 A 16 B -16 C D -8 sin x sin x Câu 8: Tính (2 x   e )dx  (3x   e )dx ? 0 A B 1 Câu 9: Tính 4x 1  x A -1 C D C D 4x dx   dx ? x  B   cos xdx theo a ? Câu 10: Cho cos xdx a Tính  x x 1 A a 1 B a+1 C 1-a D a-1 2 Câu 11: Cho ( x   x  )dx a Tính ( x   x  )dx theo a ? 2 A  a B C  a a D a  a Câu 12: Cho I= ( x  3x  2)dx Tìm a  để biểu thức I đạt giá trị lớn nhất? A -2 B -1 C -3 D  Câu 13: Cho x  m dx 4 (0< m