SKKN môn toán chất lượng new

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT A NGHĨA HƯNG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN Tác giả: TRẦN VĂN HUẤN GV: Trường THPT A Nghĩa Hưng ĐT: 0986 539 716 “Học vấn người siêng đạt được, Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Nghĩa Hưng, tháng năm 2016 Lời nói đầu Bài toán giá trị lớn nhỏ biểu thức nhiều biến thường câu khó đề thi đại học năm gần Tài liệu đưa gợi ý cho em trình tìm kiếm lời giải cho tốn khó Hy vọng giúp em tự tin trình làm thi Chúc em thành công! “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Thầy Trần Văn Huấn “Học vấn người siêng đạt được, Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Các giải pháp (trọng tâm) Trong phần thầy trình bày giải pháp trọng tâm giải tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều biến Cụ thể gồm nội dung sau: Chương I: ( nhắc lại ) GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ( Biểu thức biến số ) Chương II: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN CÓ THỂ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng -2- “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin Chương III: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN TRONG ĐÓ ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI HAI BIẾN Chương IV: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN TRONG ĐÓ ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI BA BIẾN Chương V: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN VÀ ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI CÁC BIẾN Chương VI: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG ( PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN VÀ PHƯƠNG PHÁP CÁT TUYẾN ) Chương VII: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT THEO TỪNG BIẾN SAU ĐÂY LÀ NỘI DUNNG CỤ THỂ TỪNG CHƯƠNG Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng -3- “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Chương I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I.1 Một số kiến thức sơ đạo hàm Trong mục tơi xin trình bày lại số kiến thức đạo hàm số cơng thức đạo hàm 1.1 Định lí Giả sử D khoảng hay hợp khoảng Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v( x ) có đạo hàm D ( u + v) ¢ = u¢+ v¢; ( u - v) ¢ = u¢( uv) ¢ = u¢v + uv¢; ( ku ) ¢ = ku¢; ( uv ) ¢ = u¢vv- uv¢, với v( x ) vÂ; 1.2.nh lý o hm ca mt s hàm số thường gặp ( c ) ¢ = ( c hàng số) ( x) ¢= ( xn ) Â = nxn - ( x ẻ ( x1 ) ¢= - ( ¡ ( un ) ¢ = nun- 1u¢ ) ( u1 ) ¢= - x2 ) ¢ = ( x > 0) ( ( ex ) ¢ = ex ( eu ) ¢ = euu¢ ( ln x ) ¢ = x1 ( x > 0) ( ln u ) ¢ = uu¢ ( sin x ) ¢ = cosx ( sinu ) ¢ = u¢cosu x x ( cosx ) ¢ = - u¢ u ( cosu ) ¢ = - u¢sin u sin x ( tan x ) ¢ = + tan2 x ( x ¹ u ) ¢= u¢ u2 p ( tan u ) ¢ = u¢( + tan2 u ) + kp ) ( co t x ) ¢ = - ( + cot2 x ) ( x ¹ kp ) ( co t u ) ¢ = - u¢( + co t2 u ) 1.3 Nhận xét Đạo hàm số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp Cho hàm số y= ad- cb ax + b ¹ 0,ad - cb ¹ Ta có y¢= cx+d với ac ( ) cx + d ax2 + bx + c Cho hàm số y = vi a.m Ta cú Â y = mx + n amx2 +2anx+ ax2 + bx + c Cho hàm số y = với a.m ¹ Ta có y¢= mx2 + nx + p ( mx+n ) b c m n a b a c b c x +2 x+ m n m p n p ( mx2 +nx+p ) I.2 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Trong mục tơi trình bày lại số kiến thức tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng -4- “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - f xác định tập hợp D Ì ¡ a) Nếu tồn điểm x0 Ỵ D cho f ( x ) £ f ( x0 ) với x Ỵ D số M = f ( x0 ) gọi 2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f ( x) f D , kí hiệu M = max xỴ D giá trị lớn hàm số b) Nếu tồn điểm giá trị nhỏ hàm số x0 Ỵ D cho f ( x ) ³ f ( x0 ) với x Î D số m = f ( x0 ) gọi f ( x) f D , kí hiệu m = xỴ D 2.1 Nhận xét Như vậy, muốn chứng tỏ số tập hợp D cần rõ : a) M (hoặc m ) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số f f ( x ) £ M (hoặc f ( x ) ³ m ) với x Ỵ D ; b) Tồn điểm x0 Ỵ D cho f ( x0 ) = M (hoặc f ( x0 ) = m ) 2.2 Nhận xét Người ta chứng minh hàm số liên tục đoạn đạt giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn Trong nhiều trường hợp, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn mà không cần lập bảng biến thiên Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm Tìm điểm hàm Tính ù f đoạn é ëa;bûnhư sau : x1, x2, , xn thuộc khoảng ( a;b) mà f có đạo hàm khơng có đạo f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) f ( b) So sánh giá trị tìm Số lớn giá trị giá trị lớn trị nhỏ ù f đoạn é ëa;bû ù f đoạn é ëa;bû, số nhỏ giá trị giá I.2 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Trong mục chúng tơi trình bày số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Thí dụ ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Lời giải Tập xác định f ( x ) = x + - x2 ù D=é ë- 2;2û, f ¢( x ) = 1- x - x2 , f ¢( x ) = Û x = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) = f ( - 2) = - max f ( x ) = f xỴ é- 2;2ù ù xỴ é ë- 2;2û ë û Thí dụ 2.Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số ( 2) = y= ln2 x 1;e3 ù đoạn é ë û x (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004 thi tuần học kỳ I-2013 Nghĩa Hưng A) Lời giải Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng -5- “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin -  x = ∈ 1; e3    2ln x x ln x ln x ( - ln x ) ; y ' = ⇔  Ta có x y¢= =  x = e ∈ 1; e3     x2 x2 +/ y (1) = 0; y (e ) = ; y (e ) = e e y = y ( 1) = Û x = y = y ( e ) = e2 Û x = e2 Vậy max é 3ù é 3ù ê1;e û ú ë ê1;e û ú ë Ví dụ 3: Tìm GTNN, GTLN hàm số y= sin x + sin x + sin x + Lời giải : Đặt t = sinx, điều kiện −1 ≤ t ≤ t +1 đoạn [ −1;1] t + t +1 t = ∈ [ 0;1] −t − 2t f '( t ) = ⇔ Ta có f '(t ) = ;  (t + t + 1) t = −2 ∉ [ 0;1] + f ( −1) = 0; f (0) = 1; f (1) = Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số f (t ) = Kết luận : GTLN y sinx=0 hay x=0 Π + k 2Π Ví dụ 4: Tìm GTNN, GTLN hàm số y = x + − − x − ( x + 1)(3 − x) GTNN y sinx=-1 hay x= − Lời giải : Đặt − t2 t2 ta có hàm số theo biến t sau: g (t ) = +t −2 2 Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý t = − ( x + 1)(3 − x) ≤ 4, ∀x ∈ [ −1;3] , từ suy t = x + − − x ( x + 1)(3 − x) = −2 ≤ t ≤ (hoặc lập BBT hàm số t ( x ) = x + − − x D = [ −1;3] để suy −2 ≤ t ≤ ) t2 g (t ) = + t − đoạn [ −2; 2] ⇔ x = 1− Đáp số: Maxy = ⇔ x = 3; Miny = − 2 Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số Bài tập tương tự Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f ( x) = 1- x2 + 23 ( 1- x2 ) p p £ x£ 4 2 - x + + x + 1- x + f ( x ) = 5cosx - cos5x với - f ( x) = + x2 + - x2 + Hướng dẫn Đặt f ( x) = y 2x + t = + x2 + - x2 , với x +1 = 2x + 2x + − x + − x £ t £  π π f ( x ) = sin x − x, x ∈  − ;   2 y = x + x + − x − x + 1, x ∈ [ − 1;1] Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng -6- “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - x , x ∈ 0; π  f ( x) =   x cosx+2sin s inx+2cos y = − x + x + 21 − − x + 3x + 10 10 f ( x) = x + − x 12 f ( x) = − x + + x 14 y = 11 f ( x) = x + + − x 13 f ( x) = x ( − x2 + x ) cos x + cos x + cos x + 1 − 16 y = sin x + cos x + a.sin x.cos x sin x + cos x − 2 17 y = + sin x + + cos x 18.y = 3sin x + 3cos x+1 cos x + sin x 19 y = 2(1 + sin x cos x ) − (cos x − cos x ) 20 y = sin x + cos x cos x Π + sin x + cos6 x 21.y = 22 y = , với < x ≤ 4 sin x(2 cos x − sin x) + sin x + cos x 1 23 y = x + − x , x ∈ [ −1;1] 24 y = x + − x − + x + x x x 15 y = ( ) Chương II: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN CÓ THỂ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Từ kết Chương I thấy việc tìm GTNN, GTLN hàm số đơn giản Việc chuyển tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức nhiều biến sang tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa biến giúp giả tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa nhiều biến Và phương pháp cách đơn giản để chuyển từ tốn tìm GTLN,GTNN biểu thức nhiều biến sang tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức biến Sau vài ví dụ : Ví dụ 1: Cho hai số dương x,y thoả mãn x+y=1:Tìm GTNN của: P= x y + 1− x 1− y Giải : x 1− x + = f ( x) 1− x x 2− x x +1 − + ) f '( x ) = + ) f '( x ) = ⇔ x = 2(1 − x ) − x x x Từ giả thiết :,ta có 0 0) 2x x2 Ta có f '(t ) = − + 11 14 − ; 2 2x x x2 + f '( x ) = ; đặt t = x + ta 2t − 25t − 28 = ⇒ t = ⇔ x = Lập BBT f(x) x f ¢( x ) - f ( x) +¥ + 15 15 Đẳng thức xảy x = 3, y = ; z = 2 15 Vậy giá trị nhỏ P ⇒P≥ Ví dụ Cho x, y > thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x 4y 5 ta có y = - x Khi P = + 4 x - 4x 4 æ 5ư 0; ÷ ÷ Xét hàm số f ( x ) = + vi x ẻ ỗ Ta có f ¢( x ) = - + ç ÷ ç x è 4ø x - 4x ( - 4x ) Lời giải Từ giả thiết x +y = Bảng biến thiên Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng -8- “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Từ bảng biến thiên ta có Do f ( x ) = f ( 1) = ổ ỗ0;5ữ ữ xẻ ỗ ữ ç è 4÷ ø P = đạt x = 1, y = Ví dụ : Xét số thực a , b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P = log 2a ( a ) + 3log b  ÷ b b A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15 Hướng dẫn giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có 2   a  a  a  a P = log ( a ) + 3log b  ÷ =  log a a  + 3log b  ÷ = log a  b ÷ + 3log b  ÷ b  b b b   b  b  a b 2   a = 1 + log a b  + 3log b  ÷ b b   3 2 Đặt t = log a b > (vì a > b > ), ta có P = ( + t ) + = 4t + 8t + + = f ( t ) b t t ( 2t − 1) ( 4t + 6t + 3) Ta có f ′(t ) = 8t + − 32 = 8t + 82t − = t t t2 1 Vậy f ′ ( t ) = ⇔ t = Khảo sát hàm số, ta có Pmin = f  ÷ = 15 2 Xét số thực dương x , y thỏa mãn log − xy = xy + x + y − Tìm giá trị nhỏ x + 2y Pmin P = x + y 11 − 19 18 11 − 29 = 9 11 + 19 11 − = A Pmin = B Pmin = C Pmin D Pmin Hướng dẫn giải Chọn D − xy log = xy + x + y − x + 2y ⇔ log ( − xy ) − log ( x + y ) = ( xy − 1) + ( x + y ) − ⇔ log 3 ( − xy ) − log ( x + y ) = ( xy − 1) + ( x + y ) ⇔ log3 ( − xy ) + ( − xy ) = log ( x + y ) + ( x + y ) Xét f ( t ) = log t + t , ( t > ) f ′( t ) = + > 0, ∀t > t ln Suy : f ( ( − xy ) ) = f ( x + y ) ⇔ − xy = x + y ⇔ x = Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng − 2y + 3y -9- “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Điều kiện − xy > ⇔ y − > ⇔ y > x + 2y y2 + 3 − 2y P= x+ y = y+ 1+ 3y  −1 − 11 y=  −11 P′ = + =0⇔  −1 + 11 (1 + 3y) y =  Bảng biến thiên: x - 1- - ¥ y¢ 11 - + - y - ¥ Vậy Pmin = - 1+ 11 +¥ + +¥ 11 - 3 - ¥ 11 − Xét số thực dương a , b thỏa mãn log − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ a+b Pmin P = a + 2b 10 − 2 10 − = A Pmin = Pmin B Pmin = 10 − C Pmin = 10 − D Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: ab < − ab = 2ab + a + b − Ta có log a+b ⇔ log  ( − ab )  + ( − ab ) = log ( a + b ) + ( a + b ) ( *) Xét hàm số y = f ( t ) = log t + t khoảng ( 0; +∞ ) + > 0, ∀t > Suy hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Ta có f ′ ( t ) = t.ln Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 10 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin -    ÷ 1 ÷  M= + − +  a  b  b  a   a 2  b 2 ÷  + 1÷  + 1÷   ÷ ÷ ÷  c  c  c  c   c ÷  c  Đặt x= a b , y = ⇒ x, y > c c ( a + b + c ) c = 3ab ⇔ b c a, b, c > Biến đổi biểu thức P trở thành M= Ta có a c  3x 3y  + −  + ÷ ( x + 1) y ( y + 1) x  x y  a b a b + + = ⇔ x + y + = 3xy c c c c Biến đổi biểu thức P ta có   x ( y + 1) + y ( x + 1) x + y xy ( x + y ) − ( x + y ) − xy  M= − 2 = ( xy + x + y + 1) xy x y 4x2 y2 Đặt  S = 3P −  S = 3P − S = x + y  S ≥ 4P ⇒  ⇒   1 P ∈ 0; ∪ 1; +∞ P = xy ) [ P − ≥ P ( )        ( Khi đó: M= Xét hàm số Ta có ) 5P − 4P f ( P) = f '( P ) = ;  1 P ∈  0;  ∪ [ 1; +∞ )  9 5P − 4P2 − 5P P3  1  0;  ∪ [ 1; +∞ )  9  1 P ∈  0;  ∪ [ 1; +∞ ) ⇒ f ' ( P ) >  9 00 , với x,y>0 x − xy + y ≤ Tìm GTNN A = x + xy − y Cho x,y không âm thoả mãn x + y − xy = Tìm GTNN của: P = x + xy − y − Cho x,y thoả mãn x + y − xy = < x ≤ y Tìm GTLN ,NN P = x + x y − xy + y + c ≠ Cho a,b,c thoả mãn  2  a + b = 2c 2(a + b3 ) − 3abc Tìm GTLN,NN biểu thức: A = c3 Cho x,y thoả mãn : a + b = c Tìm GTNN biểu thức a2 + b2 − c2 A= (c − a)(c − b) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn : Cho a, b, c ∈ [ 1; 2] Tìm GTN N BT: P = ( a + b) c + 4(ab + bc + ca ) Chương VI: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG ( PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN VÀ PHƯƠNG PHÁP CÁT TUYẾN ) PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn (a;b), có đồ thị (C), x0 ∈ ( a; b ) , M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) , giả sử ∆ : y = f '( x0 ) ( x − x0 ) + y0 tiếp tuyến với (C) M Thì (a;b) tồn lân cận x0 mà f ( x ) ≥ ( ≤ ) f '( x0 ) ( x − x0 ) + y0 đẳng thức xẩy x = x0 PHƯƠNG PHÁP CÁT TUYẾN Gỉa sử hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a;b] có đồ thị lõm ( lồi ) [a;b] A(a; f (a )), B (b; f (b)) Khi đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía AB ( phía AB).Từ ta có BĐT cần sử dụng Xét đường thẳng AB, với Sau vài ví dụ cụ thể: Ví dụ 1:Cho ba số a,b,c thoả mãn : a + b + c = Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 36 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - 1 + + a +b+c b +a+c c +a+b 1 + + Phân tích tốn :Ta có : P = a −a+3 b −b+3 c −c+3 Tìm giá trị lớn biểu thức P= Ta nhận định giá trị nhỏ P đạt a=b=c=1 Xét hàm số f (t ) = , t −t +3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ t=1 y= t − Giải: Xét hàm số : h(t ) = t + t −t +3 Có h’(t)=0 t =1.Ta có BBT t h '( t ) + - h( t ) a   h( a ) = a − a + + ≤  b 12  + ≤ ⇒ P + (a + b + c) ≤ ⇔ P ≤ Suy : h(t ) ≤ , ∀t ⇒  h(b) = b −b+3 9 9  c   h (c ) = c − c + + ≤  Đẳng thức xẩy a=b=c=1 Vậy GTLN P Ví dụ 2:.Cho x,y,z ba số dương thỏa mãn CMR : x2 + x + y + z ≤1 1 + y + + z + ≥ 82 x y z ( Khối A-2003 ) Nhận xét: Xét hàm số f (t ) = t + 40 27 82 ; y=− phương trình tiếp tuyến đồ thị 82t + t 41 41 hàm số f(t) điểm có hồnh độ 1/3 Giải: Theo giả thiết x, y , z ∈ (0;1) 40 + 82t , t ∈ (0;1) t 41 t −1 40 + 82 = ⇔ t = ∈ (0;1) Ta có BBT : Ta có h '(t ) = t t + 41 Xét hàm số : h(t ) = t2 + t h '( t ) ( t ) A Nghĩa Hưng Tác giả : Trần Văn Huấn Trường h THPT 1/3 - 27 82 41 + - 37 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - 40 27 82 40 27 82 + 82t ≥ ⇔ f (t ) ≥ − 82t + (= y ), t ∈ (0;1) t 41 41 41 41 40 81 82 Và VT ≥ − 82( x + y + z ) + ≥ 82 ĐPCM 41 41 Suy : h(t ) = t2 + x, y , z ∈ (0;1) thỏa mãn xy+yz+zx=1.Tìm GTNN biểu thức x y z P= + + 2 1− x 1− y 1− z2 Ví dụ 3: Cho ( Đề tự luyện số 5-Nghĩa Hưng A-2013) Phân tích tốn : Từ BĐT x + y + z ≥ xy + yz + zx = Dấu xẩy x = y = z = Nên ta so x t với x cách xét hàm số f (t ) = − mt ,đạt cực trị t = 2 1− x 1− t 3 Ta tìm m = Giải: Theo giả thiết x, y , z ∈ (0;1) sánh t 3 t ∈ (0;1) − t 1− t t2 +1 h '( t ) = − 3t = ⇔ t = ∈ (0;1) Ta có BBT : Ta có ( 1− t2 ) + Xét hàm số : h(t ) = t h '( t ) - + h( t ) t 3 t 3 ∀t ∈ (0;1) − t ≥0⇔ ≥ t , 2 1− t 1− t 3 3 3 Vậy nên: P ≥ , (x + y2 + z2 ) ≥ ( xy + yz + zx) = 2 Đẳng thức xẩy x = y = z = Từ BBT ,Suy : h(t ) = KL: GTNN P 3 Ví dụ 4: (Dự bị khối A-2005) Cho x+y+z=0 Chứng minh : + 4x + + y + + 4z ≥ Lời giải: Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 38 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Xét hàm số h '(t ) = ln t ln 2(2.4t − + 4t ) h(t ) = + 4t − 4t.ln − ln = 2 3+ + 4t h '(t ) = ⇔ t = Ta có BBT : t t h '( t ) - + h( t ) Từ BBT ta thấy h(t ) ≥ 2, ∀t ⇒ + x + + y + + z ≥ + ln ( x + y + z) = Đẳng thức xẩy x=y=z=0.Ta điều phải chúng minh  x, y , z ≥ x + y + z = Ví dụ 5: Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện:  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thứ N = x2 + x + + y + y + + z + z + a) Tìm GTNN tương tự ví dụ , sử dung BĐT b) Tìm GTLN Ta sử dụng phương pháp cát tuyến sau  x, y, z ≥ ⇒ x, y, z ∈ [ 0;3] , Xét hàm số (C) : f ( x) = x + x +  x + y + z = Đường thẳng qua A(0;2) B(3;4) có phương trình y = x + 2 Ta chứng minh x + x + ≤ x + 2, ∀x ∈ [ 0;3] 2 Thật x + x + ≤ x + 2, ∀x ∈ [ 0;3] ⇔ x − x ≤ 0, ∀x ∈ [ 0;3] Vậy N ≤ ( x + y + z ) + = Đẳng thức xẩy x,y,z hoán vị ba số (0;0;3) a3 b3 c3 a+b+c Ví dụ 6: Cho a, b, c dương Chứng minh + + ≥ 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 a a b b ≥ ma + nb ⇔ ≥ m+n ⇔ ≥ m+n 2 2 Nhận xét : Ta CM: a + ab + b a + ab + b a a b b  ÷ + +1 a a Từ Dấu xẩy a=b=c, hay b/a=1 2−t Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số t=1 y = t + t +1 ( t − 1) ( t + 1) ≥ 0, ∀t > 2−t ≥ ⇔ Giải: Ta chứng minh , đẳng thức xẩy t=1 t + t +1 3 ( t + t + 1) Xét hàm số f (t ) = Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 39 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Do b b  ÷ +  ÷+ a a ≥ 2− Tương tự Suy điều phải cm b a ⇔ a2 2a − b ≥ , dấu xẩy a=b 2 a + ab + b 3a b2 2b − c dấu xẩy b=c ≥ 2 b + bc + c 3b c2 2c − a dấu xẩy c=a ≥ 2 c + ca + a 3c a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 S= + + a + 2b b + 2c c + 2a Ví dụ 7: Cho ba số thực dương a  ÷ +1 3 a +b b a 2  Nhận xét : Ta CM : ≥ ma + nb ⇔ ≥ m  ÷ + n Đẳng thức xẩy a=b a a + 2b b +2 b t +1 Xét hàm số : f (t ) = (C ); g (t ) = mt + n(C ') Ta tìm m n để (C ) (C’) tiếp xúc với t+2  m=  f (1) = g (1)   18 ⇔ ⇒ g (t ) = t + t=1, tức  18 18  f '(1) = g '(1) n =  18 Lời giải : x3 + ≥ x + ( x > 0) ( *) x + 18 18 ( *) ⇔ 18( x + 1) ≥ ( x + ) ( x + 5) ⇔ ( x − 1) ( 11x + ) ≥ Trước tiên ta chứng minh BĐT : với x>0, dấu “=” sảy x=1 a b c ; ; b c a a + b 7a 5b b + c 7b 5c c + a 7c 5a ≥ + ; ≥ + ; ≥ + ; a + 2b 18 18 b + 2c 18 18 c + 2a 18 18 12 a + b + c Từ đảng thức suy S ≥ =2 18 Áp dụng (*) cho x ( ) Vậy MinS =2 a=b=c=1 a, b, c ≥ a + b + c = Ví dụ 8: Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện:  Chứng minh : (a + ) ( b + ) ( c + ) ≤ 216 Đề HSG Vĩnh Phúc năm 2014-2015 + Lời giải đáp án: Khơng tính tổng quát , giả sử a ≥ b ≥ c Mà a + b + c = ⇒ c ≤ 2, a + b ≥ Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 40 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Ta chứng minh bất đẳng thức  a + b   a+b a + b + ≤ ( )( )  ÷ + 2 (*) Từ ta đặt x = ⇒ c = − x, ≤ x ≤   (a 2 + ) ( b2 + 2) ( c2 + 2) ≤ ( x2 + 2) (c + 2) = ( x2 + ) ( ( − 2x ) ) + = f ( x) Xét hàm f(x) [2;5/2] ta có kết + Cách khác : BĐT cần chứng minh (a + ) ( b + ) ( c + ) ≤ 216 ⇔ ln ( a + ) + ln ( b + ) + ( c + ) ≤ ln 216 Xét hàm số f (t ) = ln ( t + ) , phương trình tiếp tuến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ t=2 y = t − + ln 3 f (t ) = ln ( t + ) − t , t ∈ [ 0;6] Ta chứng minh ln ( t + ) ≤ t − + ln 6, t ∈ [ 0;6] 3 2 2 Suy ln ( a + ) + ln ( b + ) + ( c + ) ≤ ( a + b + c ) − + 3ln = ln 216 Lập BBT hàm số Đẳng thức xẩy a=b=c=2 Ví dụ 9: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức : P= ab + a + 4a 2b bc + b + 4b 2c + a + 3b b + 3c Lời giải Vì a, b, c số thực dương ta có P= Đặt x= ab + a + 4a 2b a + 3b bc + b + 4b 2c b + 3c = b + 3 ÷ a + c c + 1+ 4 ÷ b b c + 3 ÷ b b c , y = , a, b, c số thực dương ⇒ x, y > Khi a b P= Xét hàm số Ta có + b b + 1+ 4 ÷ a a x + + 4x2 + 3x f ( t ) = + 4t − t f '( t ) = 4t + 4t + y + + y2 + 3y = 1 + 4x2 − x + 1 + y2 − y ( 0; +∞ ) − ⇒ f '( t ) = ⇔ t = (vì t > ) Bảng biến thiên Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 41 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - t − f / ( t) +∞ + +∞ f ( t) Từ bảng biến thiên suy ⇒P= Vậy f ( t) ≥ + 4x2 − x + , ∀t > 1+ y2 − y = 1 1 + ≤ + = , ∀x, y > f ( x) f ( y) 3 2 a = 3b , giá trị lớn đạt  b = 3c Max P = Bái tâp tương tự : 1.Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3 Tìm Min A 1 2( a + b + c ) A= + + + , a b c Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3.Tìm Min A A= 1 + + − (a + b + c ) a b2 c Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1.CM a b c + + ≤ a + b + c + 10 Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1.CM 2(a + b3 + c ) + ≥ 5(a + b + c ) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3/2.CM a2 b2 c2 + + ≥ b+c a +c a +b Cho x,y,z thỏa mãn : x+y+z= 3.Tìm GTNN P = x2x + y y + z 2z Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn abc=1.CM a b c + + ≥ a +1 b +1 c +1 Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 42 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - HD: Đặt x=lna, y=lnb, z=lnc 2 Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn a +b +c =1.CM 1 + + ≥3 2−a 2−b 2−c Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn a+b+c=3.CM 1 + + ≥ a + b2 + c2 a b c 10 Cho ba sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n abc=1.CM 1 + + ≥1 a − a +1 b − b +1 c − c +1 11 Cho ba sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n a + b + c = 1.CM a+b b+c c+a + + ≥3 ab + c bc + a ca + b 1 3(a + b + c ) + 2( + + ) ≥ 21 a b c 1 + + − (a + b + c) ≥ 13/ Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = CMR: a b c 12/ Cho a, b, c > a + b + c ≤ CMR: 14) Cho ba sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n a + b + c = 1.CM a b c + + ≥ + bc + ca + ab 10 15 Cho a, b, c dương Chứng minh ∑ a2 a+b+c ≥ a+b 16) Cho a, b, c dương Tìm GTNN M= ∑ a4 a+b+c ≥ 3 a +b a3 b3 c3 + + − a+b+c 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a  x, y, z ∈ [ 0;1]  17 ) Cho  Tìm GTLN M = xy z 4 + + =  3x + y + 3z +   x, y, z >  4 2 9 ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 = a2 Tìm GTNN M = ∑ b+c 18) Cho Chương VII: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT THEO TỪNG BIẾN Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 43 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin Nêu tốn khơng thực theo phương án Ta suy nghĩ theo hướng sau Coi biểu thức cần tìm GTLN, GTNN hàm số biến, sau khảo sát theo biến ( coi biến lại tham số ) Có thể hàm số xẽ đạt GTLN (GTNN) điểm R điểm phụ thuộc vào biến lại ta làm tốn giảm biến Sau lại tiệp tục làm cho biến lại, sử dụng cách giải trình bày Sau đay vài ví dụ: Ví dụ ( Đề thi ĐH khối A – 2011) x, y, z ba số thực thuộc đoạn é1;4ùvà x ³ y, x ³ z ë û x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2x + 3y y + z z + x Cho Lời giải Cách 1( ĐÁP ÁN CỦA BỘ ): 1 + ³ (*), với a b dương ab ³ 1 + a + b + ab Thật vậy, ( * ) Û ( a + b + 2) ( + ab ) ³ 2( + a ) ( + b) + Trước hết ta chứng minh : Û ( a + b) ab + ab ³ a + b + 2ab Û ( )( ab - a- b ) ³ , với a,b dương ab ³ a = b ab = é +Áp dụng (*), với x y thuộc đoạn ë1;4ù ûvà x ³ y , ta có: x 1 P = + + ³ + 2x + 3y z x 3y x 1+ 1+ 2+ 1+ y z x y Dấu xảy ra, : Dấu xảy ra, : z x x = = (1) y z y t2 x é ù Khi đó: Xét hàm số : P ³ + = t,t Ỵ ë1;2û y 2t + + t ù - 2é êt ( 4t - 3) + 3t ( 2t - 1) + 9ú t2 ë û< ¢ f t = , ( ) , f ( t) = + ,t Ỵ é 1;2ù 2 ë û 2t + + t ( 2t2 + 3) ( + t ) Đặt Þ f ( t ) ³ f ( 2) = 34 33 x 34 = Û x = 4, y = (2) Suy P ³ y 33 Từ (1) (2) suy dấu xảy ra, : x = 4, y = z = Dấu xảy ra, Vậy, giá trị nhỏ t = 2Û P 34 , x = 4, y = 1, z = 33 Cách 2:( Khảo sát theo biến ) Đặt P = x y z + + = f (z) 2x + 3y y + z z + x Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 44 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - f '(z) = Có -y ( y + z) Nếu x=y,thì P=6/5 Nếu x>y,thì f’(z)=0 z= z ( z + x) = - (x - y)(z2 - xy) ( y + z) ( z + x) xy ∈ [ 1; 4] Ta có BBT: xy f ¢( z ) + x + f ( t) Nên P ³ f ( xy) = Đặt t= x y x y + = + 2x + 3y x y+ z +3 y x +1 y x t2 ∈ [ 1; 2] Xét hàm số f (t) = + ,t Ỵ [ 1;4] 2t + t + y Lập BBT , Có GTNN 34/33 Khi x=4, y=1, z=2 Ví dụ 2: Cho ba số thực x, y, z ∈ [ 1;3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 36 x y z + + yz xz xy Lời giải Xét hàm số f ( x) = 36 x y z + + , x ∈ [ 1;3] , y, z yz zx xy tham số Ta có 36 y z 36 x − y − z 36 − 2.9 − f '( x) = − − = ≥ >0 yz zx x y x yz x yz Suy f ( x) đồng biến [ 1;3] nên f ( x) ≥ f (1) = Đặt g ( y) = Ta có 36 y z + + , y ∈ [ 1;3] , z yz z y 36 y z + + , ∀x ∈ [ 1;3] yz z y tham số z −36 + y − z −36 + 2.9 − 12 g '( y ) = − + − = ≤ ⇒ b = Xét hàm số : Ta có : f ( x) = f '( x) = ( x + c) + − với < x < coi c tham số c>0 2 c x + ( x + 1)(c + 1) −2c( x + 2cx − 1)  1 = ⇔ x0 = −c + c + ∈  0; ÷ 2 (1 + x ) (1 + c )  c Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 46 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin Ta có bảng biến thiên x c x0 f '( x) f ( x) + - f ( x0 ) c Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) = + c2 2c 3 ≤ + = g ( c) c +1 + c2 c + 2(1 − 8c ) = ⇔ c = c0 = ∈ ( 0; +∞ ) Ta có : g '(c) = (1 + c ) (3c + + c ) S = f (a) + Bảng biến thiên : c g '(c) + - g (c0 ) g (c ) Từ bảng biến thiên suy : Vậy với +∞ c0 c= g (c ) ≤ g (c0 ) ⇒ S ≤ g (c ) ≤ g (c0 ) = 10 10 ,a = , b = MaxS = Ví dụ 5: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a + 2b − c ≥ Tìm GTNN M = a b a + 2b + + HSG Nam định 2013-2014 10b + c a + b + c 2a + 3b Lời giải Coi P hàm z x, y tham số ta có P '( z ) = − Suy P(z) nghịch biến x ( 10 y + z ) − y ( x + y + z) < 0, ∀z ∈ ( 0; x + y ] ( 0; x + y ] x y x +3 x x + 3y y ⇒ P ≥ P( x + 2y) = + = + x + 12 y x + y x + 12 x + y y x y Đặt t= Đặt f ( t) = suy P≥ t t +3 + t + 12 2t + t t +3 + t + 12 2t + với với t ∈ ( 0; +∞ ) t ∈ ( 0; +∞ ) Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 47 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - f '( t ) = Ta có 12 − ( t + 12 ) ( 2t + 3) t = ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ f '( t ) = ⇔  t = − 18 ∉ ( 0; +∞ )  Bảng biến thiên t f '( t ) +∞ - + f ( t) Từ bảng biến thiên suy Vậy P≥ Vậy Min P = Dấu xảy Ví dụ : Cho f ( t ) ≥ f ( 2) = x = y, z = y , giá trị nhỏ đạt x = y , z = y a , b, c số thực thuộc đoạn Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P [ 1;2] = thỏa mãn điều kiện 4a + 2b + c = 11 + + a b c Lời giải Từ giả thiết 4a + 2b + c = 11 ta có a = Xét hàm số f ( b) = Ta có f '( b ) = Do f ( b) Xét hàm số g '( c ) = − Do g ( c) + + 11 − 2b − c b c ( 11 − 2b − c ) − b2 hàm số nghịch biến g ( c) = c2 + 11 − 2b − c Khi P trở thành P = + + 11 − 2b − c b c = [ 1;2] ( 4b + c − 11) ( 11 − c ) < 0, ∀b, c ∈ [ 1;2] ( 11 − 2b − c ) b [ 1;2] ⇒ f ( b ) ≥ f ( ) = + + 1, ∀b ∈ [ 1;2] 7−c c + + [ 1;2] , ta có 7−c c ( c − 7) = c + 42c − 147 ( c − 7) hàm số nghịch biến 2 c < 0, ∀c ∈ [ 1;2] [ 1;2] ⇒ g ( c ) ≥ g ( ) = 33 , 10 Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng ∀c ∈ [ 1;2] - 48 - “Học vấn người siêng đạt được,Tài sản người tinh tế sở hữu, Quyền lợi người dũng cảm nắm giữ Thiên đường người lương thiện xây dựng.” - Franklin - Do Vậy P≥ 33 , ∀a, b, c∈ [ 1;2] 10  33 a = , giá trị nhỏ đạt  Min P = 10 b = c = BT tương tự 1)Cho ba số dương a,b,c thoả mãn abc+a+c=b + − a +1 c +1 b +1 a b c + + ≥ 2) (BĐT Nepnit) :Cho ba số dương a,b,c CMR b+c a+c a +b 3) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x, y , z ∈ [ 1;9] , x ≥ y, y ≥ z Tìm giá trị lớn biểu thức P= x y z + + 3x + y y + z z + x 4) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x, y , z > 0, xy ≥ 1, z ≥ Tìm GTNN M= Tìm GTNN M= x y z3 + + + + y + x 3( xy + 1) HD:  x   y x y 1+  + + = + 1÷+  + 1÷+ −2 + y + x 3( xy + 1)  + y   + x  xy +  1  = ( x + y + 1)  + − ≥ xy + + −2 ÷+ + xy xy +  x + 1 + y  xy + M≥ ( xy + ) − 2, xy ≥ xy + 1 + xy 5) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x, y , z > 0, yz ≤ x( y + z ) xy y + z xy + xz + + Tìm GTNN M = xz + yz z + y xy + yz = + ( Dự bị HSG Nam định 2013) Tác giả : Trần Văn Huấn Trường THPT A Nghĩa Hưng - 49 - ... Franklin Xét x=0 Xét x ≠ Đặt y = tx Bài toán trở toán biến t Nếu biểu thức A đẳng cấp ba biến x, y z Xét x=0 Xét x ≠ Đặt  y = ax (a, b ∈ R ) Bài toán trở toán hai biến a b   z = bx Ví dụ 1:(... Nếu biểu thức A giả thiết toán chứa hai biến x y đối xứng Cách giải Bước :Đặt S=x+y, P=xy Bước : Chặn S P điều kiện S ≥ P ; S ≥ Bước : Đưa A hàm số ẩn S P Bước : Bài toán trở thành tìm GTLN, NN... b)3 + (1 + a )(1 + b)(a + b) − 5( a + b)3 ≥ Đây toán đối xứng a, b a+1 b+1, khơng khó để giải tiếp tốn a = x + y  Chú ý: Cũng đặt : b = x + z toán trở thành Ví dụ Chương II c = y + z  Ví