Giao anDS11 37 38

Ngày soạn: 25/11/2017 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Tiết: 37  38 I MỤC TIÊU Kiến thức: - Hiểu phương pháp quy nạp toán học (gồm hai bước) Kỹ năng: - Biết cách chứng minh số mệnh đề đơn giản quy nạp Thái độ: - Cẩn thận, xác - Thấy tốn học có ứng dụng thực tiễn Năng lực hướng tới - Năng lực tự học; giải vấn đề, tính tốn II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên - Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học Học sinh - SGK, đồ dùng học tập III PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC Thuyết trình, nêu giải vấn đề Hoạt động nhóm IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung, luyện tập 1, Tiết 2: Luyện tập 3, vận dụng tìm tòi mở rộng Giới thiệu Tính tổng a) 1+3+5+7+9+11= ? b) 1+3+5+7+ +2017=? Câu a em giải đơn giản, nhiên, câu b gặp khó khăn (kể dùng MTBT) Sau nghiên cứu xong học này, em giải khó khăn câu b Nội dung 2.1 Để chứng minh mệnh đề P(n) với n�N * , ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, tiến hành theo hai bước sau: Bước (bước sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) với n = Bước ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) với số tự nhiên n = k, (k ≥ 1) (ta gọi giả thiết quy nạp) chứng minh với n = k + Khi đó, theo ngun lí quy nạp tốn học, ta kết luận mệnh đề P(n) với n�N * 2.2 Trong trường hợp phải chứng minh mệnh đề P(n) vơi số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) thì: – Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) với n = p Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) với số tự nhiên n = k, (k ≥ p) chứng minh với n = k + 2.3 Phép thử với số hữu hạn số tự nhiên chứng minh cho phép ta dự đoán kết Kết giá thuyết để chứng minh ta dùng phương pháp quy nạp toán học 2.4 Một số toán thường gặp – Chứng minh mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic – Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức – Dự đoán kết chứng minh VD : Chứng minh với n�N * + + + + (2n – 1) = n2 (1) Giải: B1: Khi n = 1, VT = VP =1 Vậy (1) B2: Giả sử đẳng thức với n = k �1, nghĩa + + + + (2k – 1) = k2 Ta phải chứng minh (1) với n = k + tức là: + + + + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = (k+1)2 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có + + + + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = k2 +[2(k+1)-1] = k2 + 2k +1 =(k+1)2 Vậy (1) với n�N * Luyện tập: Bài Chứng minh với n�N * , ta có đẳng thức: Giải: a) Với n = 1, vế trái có số hạng 2, vế phải (3+1) / = Vậy VT = VP hệ thức a) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử đẳng thức a) với n = k ≥ 1, tức Ta phải chứng minh a) với n = k + 1, nghĩa phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: (điều phải chứng minh) Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học, hệ thức a) với n�N * b) Với n = 1, vế trái 1/2, vế phải 1/2, hệ thức Đặt vế trái Sn Giả sử hệ thức b) với n = k ≥ 1, tức Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: (điều phải chứng minh) Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học, hệ thức b) với n�N * c) Với n = 1, vế trái 1, vế phải 1(1+1)(2+1) / = nên hệ thức c) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử hệ thức c) với n = k ≥ 1, tức Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: (đpcm) Vậy theo nguyên lí quy nạp tốn học, hệ thức c) với n�N * Bài Chứng minh với n�N * ta ln có n3 + 3n2 + 5n chia hết cho Giải: Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n Với n =1 ta có S1 = M3 Giả sử với n = k �1, nghĩa SkM3 Ta phải chứng minh Sk+1 M3 Thật Sk+1 = (k+1)3 + 3(k+1)2 +5(k+1) = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + = Sk + 3(k2 + 3k + 3) Theo giả thiết quy nạp SkM3, 3(k2 + 3k + 3) M3 nên Sk+1 M3 Vậy Sn M3 với n ��* Bài 3: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 2, ta có bất đẳng thức 3n > 3n + Giải: Với n = ta có VT > VP Giả sử với n = k �2, nghĩa 3k > 3k + (*) Ta phải chứng minh 3k1 > 3(k+1) + Thật nhân hai vế (*) với 3, ta 3k1 > 9k +1 � 3k1  3x   6k  Vì 6k – > nên 3k1  3x  hay 3k1 > 3(k+1) + Vậy 3n > 3n + với số tự nhiên n ≥ ��* Bài Cho tổng với n a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp , S2  , S3  n b) Theo câu a) ta dự đoán Sn  n Giải: a) Ta có : S1  Chứng minh PP quy nạp Với n = đẳng thức Giả sử với n = k �1, tức Sk  1 k     1.2 1.3 k k  1 k  Ta phải chứng minh cúng n = k + 1, nghĩa Sk1  k k k Ta có : Sk1  Sk  k k   k    tức với n = k + Vậy đẳng thức cm Vận dụng, tìm tòi mở rộng: Bài Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh Giải: Ta chứng minh khẳng định với n ��* , n ≥ Với n = 4, ta có tứ giác nên có hai đường chéo Mặt khác thay n = vào cơng thức, ta có số đường chéo tứ giác theo công thức là: 4(4-3)/2 = Vậy khẳng định với n= Giả sử khẳng định với n = k ≥ 4, tức đa giác lồi k cạnh có số đường chéo k(k – 3)/2 Ta phải chứng minh khẳng định với n = k + Nghĩa phải chứng minh đa giác lồi k + 1cạnh có số đường chéo Xét đa giác lồi k + cạnh Nối A1 Ak, ta đa giác k cạnh A1A2…Ak có k(k-3)/2 đường chéo (giả thiết quy nạp) Nối Ak+1 với đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta thêm k -2 đường chéo, A1Ak đường chéo Vậy số đường chéo đa giác k + cạnh Như vậy, khẳng định với đa giác k + cạnh Vậy toán chứng minh V HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Tiết 1: - HS nhà xem lại lý thuyết ví dụ - Xem lại tập để chuẩn bị tiết sau làm tập Tiết 2: - HS nhà xem lại lý thuyết tập - Làm tập lại SGK - Đọc trước DÃY SỐ chuẩn bị cho tiết sau