Olympic toán 8 kinh môn 2018 2019

UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN Thời gian làm 150 phút (Đề gồm câu, 01 trang) Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: x ¹ 0, x ¹ ±2 ỉ x2 ỉ 10 - x ữ ữ ỗ ữ ữ A =ỗ + + : x + ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ x +2 ứ ốx - x - 3x x + ø è với b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Câu (2,0 điểm) 1 2( + ) = − x y xy a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: b) Chứng minh tổng bình phương bốn số nguyên liên tiếp số phương Câu (2,0 điểm) x −1 x − x − x − 2016 + + + + = 2016 2017 2016 2015 a) Giải phương trình: b) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc a, b, c đôi khác 1 + 2 + 2 2 2 Hãy tính giá trị biểu thức: B = a + b − c b + c − a c + a − b Câu (3,0 điểm) µ =B µ = 900 AD < AB A Cho hình thang vng ABCD ( , ), AB = a (a>0) Gọi O trung điểm AB Trên cạnh AD lấy điểm E cho E nằm A D Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OE cắt cạnh BC F ∆OAE ∆FBO a) Chứng minh Hãy tính tích AE.BF theo a b) Gọi M hình chiếu O EF, H hình chiếu M AB Chứng minh AE = EM BE qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm E cạnh AD để diện tích tứ giác ABFE nhỏ 1 + + =1 xy yz xz Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2 A= + + ≤ yz(1 + x ) zx(1 + y ) xy(1 + z ) Chứng minh -Hết (Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay) Họ tên học sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN (Hướng dẫn gồm trang) ỉ x2 ỉ ư 10 - x ữ ữ ỗ ữ ữ A =ỗ + + : x + ỗ ỗ ữ ữ ữố ỗ ỗ x +2 ữ ốx - x - 3x x + ø ø æ x ö x - +10 - x ữ ỗ ữ A =ỗ + : ữ ç ÷ ç x +2 è( x - 2) ( x + 2) x - x + ø a A= 0.25 - x +2 ( x - 2) ( x + 2) 0.25 A= 2- x Câu (2.0 đ) A= Vậy 0.25 2- x với 0.25 x ¹ 0, x ¹ ±2 A = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 b Đặt x2 + 8x + 11 = t , ta có A = (t – 4)(t + 4) +15 = t2 – = (t – 1)(t + 1) A = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) 0,25 0,25 0,25 = (x + 8x + 10) (x + 2)(x +6) a Ta có: 1 2.( + ) = − x y xy ≠ ĐKXĐ: x 0, y 0,25 ≠ 0,25 ⇒ y + x + = xy ⇔ xy − x − y − = ⇔ x( y − 2) − (2 y − 4) − = Câu (2,0 đ) ⇔ ( y − 2)( x − 2) = Vì x,y nguyên nên x – ; y – nguyên ta có: 0,25 0,25 x–2 -1 -5 y–2 -5 -1 x -3 y -3 Thử lại Chọn Chọn Chọn Chọn Vậy nghiệm nguyên phương trình ∈ (x,y) {(3;7); (7,3); (1;-3); (-3;1)} 0,25 Gọi bốn số nguyên liên tiếp a-2, a-1, a, a+1 Tổng bình phương bốn số là: M = ( a − 2) + ( a − 1) + a + ( a + 1) = 4a − 4a + 0,25 = 4(a − a + 1) + 2 b Câu (2,0đ) a Do M chia cho dư Ta có số phương chia hết cho chia cho dư ⇒ n = (2k ) = 4k M4 Chứng minh: + Xét n = 2k ⇒ n = (2k + 1) = 4k + 4k + + Xét n=2k+1 Do n2 chia cho dư Vì M chia cho dư 2, mà số phương chia hết cho chia cho dư nên M khơng thể số phương x −1 x − x − x − 2016 + + + + = 2016 2017 2016 2015 x −1 x−2 x −3 x − 2016 ⇔ −1+ − 1+ − + + −1 = 2017 2016 2015 ⇔ x − 2018 x − 2018 x − 2018 x − 2018 + + + + =0 2017 2016 2015 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 ⇔ ( x − 2018)( Vì 1 + + + ) = 2017 2016 (1) 1 + + + ≠ 2017 2016 0.25 ⇔ x − 2018 = ⇔ x = 2018 (1) Vậy x = 2018 a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ a + b3 + c3 - 3abc = ⇔ (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b) -3abc = ⇔ ⇔ ⇔ b (a + b +c)  ( a + b ) − ( a + b )c + c    0.25 - 3ab(a +b + c) = (a + b +c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) =0 0.25 (a + b + c)(2 a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca) =0 [ ⇔ 2 ] (a + b + c) (a – b) + (b – c) + (c – a) =0 Mà a, b,c đôi khác nên a + b + c = ⇒ ⇒ ⇒ a + b = -c (a + b)2 = c2 a + b2 - c2 = -2ab Tương tự ta có: b2 + c2 – a2 = -2bc c2 + a2 – b2 = - 2ca 0.25 0.25 Thay vào biểu thức B ta được: B= Câu (3,0đ) 1 1 c+a+b + + =− =0 −2ab −2bc −2ca abc Vẽ hình A H E K I 0.25 D M O 0,25đ B a Chứng minh: Chứng minh · · AOE = BFO ∆OAE C F ( phụ với góc BOF) ∆FBO (g.g) 0,25đ 0,25đ ⇒ OA AE AB AB a = ⇒ OA.OB = AE.BF ⇒ AE.BF = = FB OB 2 Ta có: ∆OAE OE AE = OF OB OE AE OE OF = ⇒ = OF OA AE OA OA = OB ⇒ Mà Chứng minh: ∆OAE ∆FBO ⇒ ∆OAE ∆FOE · · ∆FOE ⇒ AEO = OEM 0,25đ (c.g.c) 0,25đ ΔOAE = ΔOME (ch - gn) ⇒ AE = ME b 0,25đ Chứng minh: (đpcm) Gọi I giao điểm BM AD.Gọi K giao điểm MH BE 0,25đ ΔOAE = ΔOME ⇒ OA = OM; EA = EM ⇒ Ta có OE trung trực AM ⇒OE ⊥ AM Mặc khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vng M ⇒OE // BM (vì vng góc AM) hay OE // BI +) Xét ∆ABI có OE qua trung điểm AB, song song với BI suy OE qua trung điểm AI ⇒ IE = AE ⇒ MK BK KH = = IE BE AE 0,25đ 0,25đ +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: Mà IE = AE ⇒ MK = HK ⇒BE qua trung điểm MH (đpcm) Tứ giác ABFE hình thang vng ⇒ SABFE = (AE + BF).AB 0,25đ Ta thấy AE, BF > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có AE + BF ≥ AE.BF = c AB2 1 = AB ⇒ SABFE ≥ AB2 = a 2 AE = BF = Dấu “=” xảy AB a = 2 Vậy diện tích tứ giác ABFE nhỏ cách điểm A đoạn Cấu (1đ) Theo ta có: Do 0.25đ a 2 a E thuộc cạnh AD 0.25đ 1 + + = ⇒ x + y + z = xyz xy yz xz yz(1 + x ) = yz + x yz = yz + x(x + y + z) = (x + y)(x + z) 0,25 xy(1 + z ) = (z + y)(x + z) Tương tự: ; zx(1 + y ) = (z + y)(x + y) A= x2 y2 z2 + + yz(1 + x ) zx(1 + y ) xy(1 + z ) A= x x y y z z + + x+y x+z x+y y+z x +z y+z Áp dụng bất đẳng thức Cơ si Ta có a+b ≥ ab 0,25 , dấu “ = ” xảy a = b x x x x ≤ ( + ) x+y x+z x+y x+z y y y y ≤ ( + ) x+y y+z x+y y+z z z z z ≤ ( + ) x+z y+z x+z y+z 0,25 x x y y z z A ≤ ( + + + + + )= x+y x+z y+z y+x y+z x+z A≤ Vậy Dấu xảy x = y = z = 0,25 Ghi chú: Học sinh làm cách khác điểm tối đa ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2016 -2017 MƠN: Tốn LỚP: Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 2  x +1  x − A= −  − x − 1÷ :  x  3x x +  3x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm) a Chứng minh A =    n (n − 7) − 36n  M   với ∀ n∈ Z b Cho P = n4 + Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tè Câu 3: (4 điểm) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11 x + 30 x + 13x + 42 18 a) Giải phương trình : b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Câu 4: (6 điểm) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB kẻ hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A) Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OC, đường thẳng cắt By D Từ O hạ đường vng góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N giao điểm BC AD Chứng minh MN//AC Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b +c = Chứng minh rằng: a + bc b + ca c + ab + + ≥2 b+c c+a a+b Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2016 - 2017 MƠN : TỐN Lớp: Ghi chú: Đáp án sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai khơng chấm điểm Nếu HS giải cách khác chấm điểm phần tương ứng HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM ĐIỂ M Câu a) 2  x +1  x −1 A= −  − x − 1÷ :  x  3x x +  3x ( x + 1) − x( x + 1)  x − 2 A= −  : x 3x  3x x + 0,5đ  2(1 − x)  x A= − 3x  x −  3x 0,5đ x 2x = x −1 x −1 0,5đ A = b) Với Để 0,5đ x ≠ 0; x ≠ ±1 A∈ Z A= Ta có 2x = 2+ x −1 x −1 (x-1) phải ước x − ∈ { ±1; ± 2} Suy Xét trường hợp tìm x 0,5đ 0,5đ 0,5đ Đối chiếu điều kiện tìm x = x = thỏa mãn kết luận 0,5đ Câu    n (n − 7) − 36n    a) Ta có: A = = n  n( n2 − 7) −   n( n2 − ) +  = n(n3 − 7n − 6)(n3 − 7n + 6)    A = n(n3 − n − 6n − 6)(n3 − n − 6n + 6) = n  n(n2 − 1) − 6(n + 1)   n(n2 − 1) − 6(n − 1)  ( ) ( )     = n(n + 1) n2 − n − ( n −1) n2 + n − = n ( n + 1) ( n + ) ( n − 3) ( n −1) ( n − ) ( n + 3) Do A tích số nguyên liên tiếp => A M7 với ∀ n∈Z b) b) P = n4 + = n4 + 4n2 + - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2 = (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1] Vì n sè tù nhiªn nªn (n + 1)2 + 2; Nh muốn P số nguyên tố ph¶i cã (n - 1) + = hay (n - 1)2 = 0, suy n = Khi P = số nguyên tố Cõu 3: a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; TXĐ : 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 Phương trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 ⇔ 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 0,5đ 1 − = ⇔ x + x + 18 ⇔ ⇔ 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 0,5đ Từ tìm x=-13; x=2 (thỏa mãn) 0,5đ Kết luận b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Ta có x, y, z >0 Từ suy a= y+z x+z x+ y ;b = ;c = 2 Thay vào ta A= = 0,5đ ; y+ z x+ z x+ y + + 2x 2y 2z 0,5đ 1 y x x z y z  ( + ) + ( + ) + ( + )  2 x y z x z y  ≥ Từ suy A (2 + + 2) hay A 0,5đ ≥3 0,5đ Câu (6 điểm) Hình vẽ D M C N A O ∆ a) Xét ACO µA = B µ = 900 ; · · COA = ODB Nên ∆ ∆ B BOD có (cùng phụ với ACO đồng dạng với · DOB ∆ 0,5đ ) BOD 0,5đ AO BD = AC BO => 0,5đ => AO.BO = AC.BD 0,5đ mà AO=BO Nên AO2 = AC.BD ∆ b) Xét · CMO CMO = · OMD · · OCM = DOM ∆ OMD có 0,5đ = 900 (cùng phụ với ∆ => CMO đồng dạng với Mà => ∆ ACO đồng dạng với CO OB = OD BD ∆ · COM ) OMD => ∆ BOD => CO OM = OD MD (1) 0,5đ CO AO = OD BD 0,5đ (2) (Do AO = OB) Từ (1) (2) ta có dạng · · MOD = BOD OM OB = MD BD => tam giác OMD tam giác OBD đồng 0,5đ ∆OMD = ∆OBD => => (cạnh huyền , góc nhọn) => OM = OB = OA suy tam giác AMB vng M c) Ta có AC // BD (cùng vng góc với AB) CN AC = NB BD => mà BD = MD (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) Tương tự ta chứng minh AC = CM Nên CN CM = BN DM => MN// BD//AC 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 5: - Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) VT = ( a + b)( a + c) (b + a)(b + c) (c + a)(c + b) + + b+c c+a a+b đó: áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có 0,5đ 0,5đ (a + b)(a + c) (b + a)(b + c) + ≥ 2( a + b ) b+c c+a (a + b)( a + c) (c + a )( c + b) + ≥ 2( a + c) b+c a+b (b + a )(b + c) (c + a )(c + b) + ≥ 2(b + c) a+c a+b Vậy VT =c= ≥ 4( a + b + c ) = hay VT ≥ ⇒ 0,5đ ĐPCM Đẳng thức xảy  a = b 0,5đ ... 2015 ⇔ x − 20 18 x − 20 18 x − 20 18 x − 20 18 + + + + =0 2017 2016 2015 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 ⇔ ( x − 20 18) ( Vì 1 + + + ) = 2017 2016 (1) 1 + + + ≠ 2017 2016 0.25 ⇔ x − 20 18 = ⇔ x = 20 18 (1) Vậy... 7) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 b Đặt x2 + 8x + 11 = t , ta có A = (t – 4)(t + 4) +15 = t2 – = (t – 1)(t + 1) A = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) 0,25 0,25 0,25 = (x + 8x + 10) (x + 2)(x... 1: Chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20 18 - 2019 MƠN TỐN (Hướng dẫn gồm trang) æ x2 æ ö ö 10 - x ữ ữ