Ung dung tich phan trong Ly Hoa Sinh_Ngoc Hanh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  TIỂU LUẬN MƠN: TỐN GIẢI TÍCH Đề tài: Ứng dụng tích phân Sinh viên: Trần Thị Ngọc Hạnh MSSV: 42.01.102.032 Lớp: Sư Phạm Lý A Năm học: 2016-2017 Tiểu luận Ứng dụng tích phân Toán _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -1- MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN LÀ GÌ? 1.1 Sự đời tích phân 1.2 Khái niệm phân loại cơng thức tính tích phân 1.2.a Khái niệm, phân loại 1.2.b Cơng thức tính CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC 2.1 Trong Toán học 2.2 Trong Vật Lý 14 2.3 Trong Sinh ho ̣c 24 2.4 Trong các linh ̃ vực khác 26 Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -2- C LỜI MỞ ĐẦU  ó thể nói, tích phân khơng khái niệm mẻ hay xa lạ sinh viên tụi em hay em học sinh lớp 12 Được tiếp xúc, tìm hiểu học tập cơng thức tích phân, cách tính tích phân từ chương trình sách giáo khoa Giải tích 12, học sinh, sinh viên dường tự tay làm hàng trăm tích phân từ dễ đến khó để đạt điểm số cao kiểm tra Nhưng tích phân dường chủ tập đơn với yêu cầu đề ‘hãy tính tích phân sau’ Như vậy, câu hỏi đặt “Học tích phân để làm gì? Tại phải học tích phân?” Chắc hẳn có nhiều học sinh, sinh viên thân em tìm câu trả lời Chính thế, với đề tài thầy đưa ra, em chọn đề tài “Ứng dụng tích phân” để hoàn thành tiểu luận giảng đường đại học em Do lần làm tiểu luận nên không tránh khỏi sai sót, mong thầy góp ý chỉnh sửa bổ sung để em có thêm kinh nghiệm làm tiểu luận tốt Cảm ơn thầy! Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -3- CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN LÀ GÌ? 1.1Sự đời tích phân - Cách khoảng 2500 năm, nhà toán học gặp số khó khăn gặp phải tốn như: tính diện tích hình phằng (khơng có hình dáng cụ thể), tính thể tích vật thể trịn xoay Và nhà vật lý học khơng có cách xác định giá trị đại lượng biến đổi liên tục, chẳng hạn vận tốc tức thời xe chạy đường hay cường độ dòng điện mạch điện xoay chiều,…Vì vậy, khó khăn vừa mầm mống, vừa sở cho đời tích phân sau - Nhà vật lý học tiếng Archimedes thực phép tính tích phân vào khoảng cách 2000 năm ơng tính diện tích bề mặt thể tích khồi hình cầu, hình nón hình parabol - Tuy nhiên, vào khoảng cuối thể kỉ XVII, nhà khoa học Issac Newton Gottfried Leibniz nghiên cứu phát triển tích phân cách độc cứu độc lập với nên có hịa lẫn khơng ý ký hiệu cách diễn đạt dùng vi tích phân Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -4- - Tiếp theo sau đó, tích phân phát triển cách mạnh mẽ nhà khoa học lớn giới như: J.B Fourier (biến đổi tích phân), Gauss (ứng dụng tích phân), Cauchy(mở rộng tích phân sang số phức)…Và ngày giải số lượng lớn khổng lồ toán quan trọng toán học, vật lý, thiên văn học,… 1.2 Khái niệm, phân loại cơng thức tính tích phân - Ở đây, em tìm hiểu tích phân quen thuộc sử dụng phổ biến tích phân Riemann 1.2.a Khái niệm phân loại Phân loại Tích phân bất định Tích phân xác định Được định nghĩa diện Là nguyên hàm F(x) tích S giới hạn Khái niệm hàm số f(x) cộng với hệ đường cong y = f(x) trục số bất định C hoành, với x chạy từ giá trị a đến b 1.2.b Cơng thức tính Tiểu luận Ứng dụng tích phân Toán _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -5-  Tích phân bất định Ví dụ 1: Tính tích phân sau:  = x2 – x + C f(x) F(x)  * Trong đó: - f(x) biểu thức dấu tích phân - dx biểu diễn việc tích phân theo biến x * Ngồi ra, ta thay biểu thức f(x)dx f(y)dy, f(u)du,…  Ở đây, kết ta thu có chứa hệ số bất định C, nên tích phân bất định cho ta họ nguyên hàm Vì với C bất kì, ta đạo hàm F(x) cho kết f(x)  Tích phân xác định a = F(x) b= F(a) – F(b) - Trong đó: + a gọi cận + b gọi cận Ví dụ: Tính tích phân sau ∫1 𝑑𝑥 Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -6- CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2.1 Trong Tốn học 2.1.a Tính diện tích hình phẳng  Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a x = b là: 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 Tiểu luận Ứng dụng tích phân Toán _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -7- Lưu ý: Muốn phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối tích phân, xét f(x)=0 vơ nghiệm (a;b) thì: 𝑏 𝑏 S= ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 = S∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 f(x)=0 có nghiệm c ∈ (a;b) thì: 𝑏 𝑐 S= ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 𝑎 + ∫𝑏 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥  Xét ví dụ: Tin ́ h diê ̣n tić h hiǹ h phẳ ng đươ ̣c giới ̣n bởi đường −3𝑥−1 cong (C) : f(x))= 𝑥−1 Giải: Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -8-  Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục [a; b] Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) hai đường thẳng x = a, x = b là: - Đối với dạng này, ta thường tìm giao điểm hai đồ thị hàm số y = f1(x) y = f2(x) dựa vào phương trình hồnh độ giao điểm để xác định cận cận - Xét dạng để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối  Xét ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2 (x≥0) , y = – x Giải: - Theo phương trình hồnh độ giao điểm, ta có: x2 = 2-x  x2 + x -2 =0  - Diện tích hình phẳng cần tính y= 2-x y= x2 S = ∫−2 𝑑𝑥 = ∫−2 = – 2x + 𝑑𝑥 = (đvdt) Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -9-  Dạng 3: Hình phẳng giới hạn đường cong cho dạng tọa độ cực r= r(𝜑), 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽 Liên hệ toạ độ Descartes toạ độ cực là: Khi đó, diện tích hình phẳng là:  Xét ví dụ: Tính diện tích hình trái tim giới hạn đường Cardioid (đường trái tim), hệ tọa độ cực cho phương trình: r = a(1 + cos 𝜑) Giải: - Đường trái tim Cardioid quỹ tích điểm chu vi đường trịn lăn khơng trượt chu vi đường trịn khác có bán kính - Vì hình có tính đối xứng qua trục Ox nên diện tích: 𝜋 S= 2S1= ∫0 𝜋 𝜋 𝑑𝜑 = a2 ∫0 (1 + 2𝑐𝑜𝑠𝜑 + = a2 ∫0 (1 + 2𝑐𝑜𝑠𝜑 + = S1 1+𝑐𝑜𝑠2𝜑 )𝑑𝜑 )𝑑𝜑 = a2 ( 𝜑 + 2sin𝜑 + sin2𝜑) (đvdt) Tiểu luận Ứng dụng tích phân Toán _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -10- Với t=0; v=15m/s nên C=15 Biể u thức vâ ̣n tố c: v= -9,8t + 15 Lấ y tić h phân biể u thức vâ ̣n tố c trên, ta đươ ̣c: s=∫ 𝑣 𝑑𝑡 = ∫(−9,8𝑡 + 15) = -4,9 t2 + 15t + C Với t=0, s=0 nên C=0 Vâ ̣y biể u thức quañ g đường là: s=-4,9 t2 + 15t Khi t=3s thì tên lửa đươ ̣c quañ g đường, hay đó cũng chiń h là đô ̣ cao mà tên lứa đa ̣t đươ ̣c: s= -4,9.32 + 15.3 = 0,9 (m) - Ngoài ra, dùng tích phân, ta thiết lập công thức tổng quát cho quãng đường vận tốc biết số gia tốc 𝑎, vị trí ban đầu vật thể vận tốc đầu v0 v=∫ 𝑎 𝑑𝑡 = at + C Khi t=0, ta đươ ̣c v=v0 nên C= v0, vây nên v= v0 + at Tương tự, ta cũng thiế t lâ ̣p đươ ̣c công thức tổ ng quát của quañ g đường: s= v0t + at2 2.2.c Thiế t lâ ̣p công thức của đinh ̣ lí biế n thiên đô ̣ng - Mô ̣t chấ t điể m chuyể n đô ̣ng mô ̣t quỹ đa ̣o bấ t ki.̀ Khi nó tới vi ̣ trí quỹ đa ̣o, vâ ̣n tố c của nó là v1 và mô ̣t lực F bấ t kì tác du ̣ng vào cho tới nó tới vi ̣ trí với vâ ̣n tố c bằ ng v2 Theo đinh ̣ luâ ̣t Niutơn thứ hai, ta viế t đươ ̣c 𝑑𝑣 F= m 𝑑𝑡 Nhân vế với ds : Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -17- 𝑑𝑣 F ds = m 𝑑𝑡 𝑑𝑠 ds = m 𝑑𝑡 dv = mv dv = d( 𝑚 ) Lấ y tić h phân cả vế theo quañ g đường từ vi ̣trí đế n vi ̣trí 2: 𝑚 A(1 2) = ∫1 𝐹 𝑑𝑠 = ∫ 𝑑( )= 𝑚 - 𝑚 2.2.d Momen quán tiń h của vâ ̣t rắ n - Mô men quán tính đại lượng vật lý (kg.m2) đặc trưng cho mức quán tính vật thể chuyển động quay, tương tự khối lượng chuyển động thẳng - Với khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mô men quán tính tính bằng: I= mr2 - Với vật thể rắn đặc, chứa phần tử khối lượng gần liên tục khoảng cách, phép tổng thay tích phân tồn thể tích vật thể: Trong đó: dm phần tử khối lượng vật r khoảng cách từ dm đến tâm quay Nếu khối lượng riêng vật ρ thì: dm = pdV (dV phần tử thể tích) 2.2.e Hiê ̣u điê ̣n thế qua tu ̣ điê ̣n  Định nghĩa: Cường độ dòng điện 𝑖 (đơn vị Ampere) mạch điện với thời gian tốc độ thay đổi điện tích 𝑞 (đơn vị Coulomb) qua điểm cho trước mạch Ta viết thành biểu thức theo thời gian 𝑡 sau: i= 𝑑𝑞 𝑑𝑡 Bằ ng cách viế t: i.dt = dq và lấ y tić h phân vế , ta đươ ̣c q=∫ 𝑖 𝑑𝑡 Hiê ̣u điê ̣n thế UC qua tu ̣ điê ̣n có điê ̣n dung C, có biể u thức: Tiểu luận Ứng dụng tích phân Toán _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -18- 𝑞 UC = = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 𝐶 𝐶  Xét ví du ̣: Trong mạch máy tính, cường độ dịng điện (đơn vị 𝑚𝐴) hàm số theo thời gian: 𝑖 = 0,5 – 0,1t Tổ ng điê ̣n tić h qua mô ̣t điể m ma ̣ch 0.07s là bao nhiêu? Giải: Ta có biểu thức tính điện tích 𝑞 sau q= ∫ 𝑖 𝑑𝑡 = ∫(0,5 − 0,1𝑡) = 0,5t – 0,05t2 + C Khi t=0, q=0, vì vâ ̣y ta tiń h đươ ̣c C=0 Vâ ̣y: sau 0.07s điê ̣n tích cầ n tính là q= 0,5t – 0,05t2 = 0,5.0,07 – 0,05.(0,07)2 = 0,035 (mC)  Xé t ví dụ 2: Hiệu điện qua tụ điện có điện dung 8.5 𝑛𝐹 đặt mạch thu sóng FM gần Nếu có cường độ dòng điện 𝑖 = 0.048𝑡 (theo 𝑚𝐴) nạp vào tụ, tìm hiệu điện sau 0,1𝜇𝑠 Giải: 𝑛𝐹 = 10−9 F; 𝜇𝑠 = 10−6 𝑠 Đồng thời 0,042𝑡 (𝑚𝐴) = 0.042 × 10−3 𝑡 (𝐴) Ta có : UC = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 = 𝐶 0,048 8,5 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = 2,82.10-3 + C Theo giả thié t, t=0 thì UC = nên C=0 Do đó : UC = 2,82.10-3 t2 Vâ ̣y t= 0,1𝜇𝑠, ta đươ ̣c: UC = 2,82.10-3.(0,1.10-6)2 = 2,82.10-17 (V) Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -19- 2.2.f Nhiê ̣t lươ ̣ng tỏa mô ̣t điê ̣n trở R của dòng điê ̣n xoay chiề u - Dịng điện xoay chiều dịng điện có chiều cường độ biến đổi theo thời gian - Biể u thức cường đô ̣ dòng điê ̣n: i=I0cos(𝜔𝑡 + 𝜑) Ta thấ y cường đô ̣ dòng điê ̣n I là mô ̣t đa ̣i lươ ̣ng có giá tri ̣biế n đổ i theo thời gian nên nhiê ̣t lươ ̣ng tỏa dây dẫn cũng biế n đổ i - Công thức tiń h nhiê ̣t lươ ̣ng mô ̣t đơn vi ̣thời gian  Xét ví du ̣: Giải: 2.2.g Công của dòng điê ̣n xoay chiề u  Ta xét ví du ̣ sau: Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -20- Giải: 2.2.g Vectơ cường độ điện trường hệ điện tích gây - Theo nguyên lý chồng chất điện trường: E = ∑𝑛𝑖=1 , vectơ cường độ điện trường gây hệ điện tích điểm tổng vectơ cường độ điện trường thành phần gây điện tích điểm hệ - Do vậy, để xác định vectơ cường độ điện trường vật mang điện có kích thước gây ta có biểu thức sau: Tiểu luận Ứng dụng tích phân Toán _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -21- (Ở đây, ta thay dấu tổng dấu tích phân ∫ (vì tổng lượng vơ bé; r bán kính vectơ hướng từ điện tích điểm đến điểm bất kì) Xét ví dụ : Xác định Vectơ cường đọ điện trường gây vật mang điện dây tích điện L(có tiết diện ngang nhỏ so với chiều dài)? Giải: - Điện tích phân tử chiều dài dl dây bằng:dq=  dl (  mật độ điện dài dây, tức lượng điện tích đơn vị dài) - Vectơcường độ điện trường dây gây điểm M là: E =∫(𝐿) 4𝜋 𝑑𝑙 𝑟 𝜀 𝑟 2.2.h Thiết lập biểu thức lượng vật dẫn lập tích điện - Ban đầu, lượng tương tác hệ n điện tích q1, q2,…,qn tính theo cơng thức tổng: W = ∑𝑛𝑖=1 (với Vi điện vị trí điện tích qi vật khác gây - Tương tự vectơ cường độ điện trường, ta chia nhỏ vật dẫn thành coi điện tích điểm dq Khi đó, cơng 1 thức lượng viết: W = ∫ 𝑉𝑑𝑞 = 𝑉 ∫ 𝑑𝑞 = Vq 2 Mà q = CV, với C điện dung vật dẫn nên ta viết: 1 2 𝐶 W = qV = CV2 = Tiểu luận Ứng dụng tích phân Toán _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -22- - Ta áp dụng cơng thức vào tập dạng tính lượng tụ điện giả thiết đề cho đại lượng công thức 2.2.i Định luật Jun – Lenxơ dòng điện i biến đổi - Nhiệt lượng tỏa dây dẫn có dịng điện khơng đổi I chạy qua là: Q = RI2t - Đối với dịng điện i biến đổi theo thời gian, ta tính nhiệt lượng tỏa mạch có điện trở R sau thời gian t công thức: - Ứng dụng hiệu ứng tỏa nhiệt Jun tất dụng cụ để đốt nóng điện bếp điện, bàn điện, lò sưởi điện, hàn điện, đúc điện đèn điện nóng sáng 2.2.j Suất điện động tượng cảm ứng điện từ - Từ thơng qua khung dây dẫn gồm N vịng có diện tích S quay từ trường B có biểu thức:  = NBScos(𝜔𝑡 + 𝜑) = cos(𝜔𝑡 + 𝜑) - Vì từ thơng qua khung dây biến thiên nên suất điện động đại lượng biến thiên theo thời gian: 2.2.k Công sinh hệ nhiệt động lực học Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -23- - Ta biết rằng, hệ giãn co lại tác dụng nhiệt độ, tức có thay đổi thể tích, lực áp ś t có điểm đặt di chuyển sinh công - Công A của ̣ sinh quá trình cân bằ ng hữu ̣n từ tra ̣ng thái đầ u I đế n tra ̣ng thái cuố i F đươ ̣c tính theo công thức sau: 2.4 Trong Sinh học (thiế t lập công thức tính cung lượng tim) - Cung lươ ṇ g tim là khối lươ ṇ g má u đươ c̣ bơm bở i tim mỗ i đơn vi ̣ thờ i gian, có nghi ã là , tố c đô ̣ củ a dò ng chá y và o đô ̣ng ma ̣ch chủ củ a tim - Phương pháp pha loañ g chấ t chỉ thi ̣ màu đươ ̣c sử du ̣ng để đo cung lươ ̣ng tim Giả sử c(t) là nồ ng đô ̣ chấ t chỉ thi ̣ màu ta ̣i thời điể m t, F là tố c đô ̣ dòng chảy mà ta cầ n xác đinh, ̣ A là số lươ ̣ng chấ t chỉ thi ̣màu Ta có: Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -24-  Xét ví du ̣: Mô ̣t lươ ̣ng 5mg chấ t chỉ thi ̣ mà đươ ̣c tiêm vào tâm nhi ̃ phải Nồ ng đô ̣ chấ t chỉ thi ̣ màu (trong mg mỗi lít) đo đô ̣ng ma ̣ch chủ khoảng thời gian 1s biể u đồ sau t c=(t) t c(t) 0 6.1 0.4 4.0 2.8 2.3 6.5 1.1 9.8 10 8.9 Tiń h cung lươ ̣ng tim? Giải: Ở A = 5, ∆𝑡 = và T = 10 Áp du ̣ng công thức Vâ ̣y cung lươ ̣ng tim là: Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -25- ... tính CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC 2.1 Trong Toán học 2.2 Trong Vật Lý 14 2.3 Trong Sinh ho ̣c 24 2.4 Trong các linh ̃ vực khác 26 Tiểu luận... UC qua tu ̣ điê ̣n có điê ̣n dung C, có biể u thức: Tiểu luận Ứng dụng tích phân Tốn _ Lý – Sinh – Trần Thị Ngọc Hạnh -18-