PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Phương pháp tọa độ không gian 0.1 Hệ tọa độ không gian Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCE với A(3; 1; 2), B(1; 0; 1), C (2; 3; 0) Tọa độ đỉnh E A E(4; 4; 1) B E(0; 2; −1) C E(1; 1; 2) D E(1; 3; −1) Hướng dẫn giải Gọi tọa độ điểm E E( x; y; z) ABCE hình bình hành, ta có     = x −   x =    # » #» BA = CE ⇔ = y − ⇔ y =        z = 1 = z Chọn đáp án A #» #» #» Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho #» a = − i + j − k Tìm tọa độ véc-tơ #» a A (2; −3; −1) B (−3; 2; −1) C (−1; 2; −3) D (2; −1; −3) Hướng dẫn giải #» #» #» a = (−1; 2; −3) Ta có #» a = − i + j − k ⇒ #» Chọn đáp án C Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) C ( x; y; 6) thẳng hàng Giá trị biểu thức x + y A 16 B 14 C 18 D 20 Hướng dẫn giải # » # » • Ta có AB = (1; 2; 1), AC = ( x − 2; y − 5; 3) # » # » • Ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) C ( x; y; 6) thẳng  hàng AB, AC phương Điều x = x−2 y−5 nầy tương đương với = = ⇔  y = 11 Vậy x + y = + 11 = 16 Chọn đáp án A #» Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba véctơ #» a = (1; 2; −1), b = (3; −1; 0), #» c = (1; −5; 2) Mệnh đề sau mệnh đề đúng? #» #» A #» B #» a phương với b a , b , #» c không đồng phẳng #» #» C #» a , b , #» c đồng phẳng D #» a vuông góc với b Hướng dẫn giải "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ #» #» #» Ta có #» a ; b = ⇒ Hai véc-tơ #» a , b không phương #» #» #» a ; b · #» c = −1 + − 14 = ⇒ Ba véc tơ #» a , b , #» c đồng phẳng Chọn đáp án C Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) C ( x; y; 6) thẳng hàng Giá trị biểu thức x + y A 16 B 14 C 18 D 20 Hướng dẫn giải # » # » • Ta có AB = (1; 2; 1), AC = ( x − 2; y − 5; 3) # » # » • Ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) C ( x; y; 6) thẳng  hàng AB, AC phương Điều x = y−5 x−2 = = ⇔ nầy tương đương với  y = 11 Vậy x + y = + 11 = 16 Chọn đáp án A #» Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba véctơ #» a = (1; 2; −1), b = (3; −1; 0), #» c = (1; −5; 2) Mệnh đề sau mệnh đề đúng? #» #» A #» B #» a phương với b a , b , #» c không đồng phẳng #» #» #» #» #» C a , b , c đồng phẳng D a vng góc với b Hướng dẫn giải #» #» #» Ta có #» a , b = ⇒ Hai véc-tơ #» a , b không phương #» #» #» c = −1 + − 14 = ⇒ Ba véc-tơ #» a , b , #» c đồng phẳng a , b · #» Chọn đáp án C Câu Trong không gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M(13; 2; 15) mặt phẳng tọa độ (Oxy) điểm H ( a; b; c) Tính P = 3a + 15b + c A P = 48 B P = 54 C P = 69 D P = 84 Hướng dẫn giải Hình chiếu vng góc điểm M(13; 2; 15) mặt phẳng tọa độ (Oxy) điểm H (13; 2; 0) Do a = 13, b = 2, c = ⇒ P = 3a + 15b + c = · 13 + 15 · + = 69 Chọn đáp án C Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 3; 5), B(2; 0; 1) G (1; 4; 2) trọng tâm Tìm tọa độ điểm C A C (0; 0; 9) B C ; ; 3 C C (0; −9; 0) D C (0; 9; 0) Hướng dẫn giải "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX   xC = 3xG − ( x A + x B ) =    Do G (1; 4; 2) tọa độ trọng tâm tam giác ABC, ta có yC = 3yG − (y A + y B ) =     z = 3z − (z + z ) = C G B A Vậy C (0; 9; 0) Chọn đáp án D Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C (−3; 5; 1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D (−4; 8; −5) B D (−4; 8; −3) C D (−2; 8; −3) D D (−2; 2; 5) Hướng dẫn giải Gọi D ( x D ; y D ; z D ) A Ta có ABCD hình bình hành # » # » AB = DC (1), # » AB = (1; −3; 4), # » DC = (−3 − x D ; − y D ; − z D )    − − xD = x D = −4       Do từ (1) có − y D = −3 ⇔ y D =       1−z =  z = −3 D D B C D Vậy D (−4; 8; −3) Chọn đáp án B Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) B(3; 0; −5) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I (2; 1; −1) B I (2; 2; −2) C I (4; 2; −2) D I (−1; 1; 4) Hướng dẫn giải Tọa độ trung điểm I 1+3 2+0 3−5 ; ; 2 ⇒ I (2; 1; −1) Chọn đáp án A Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 3), B(2; 3; −4), C (−3; 1; 2) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D (−4; −2; 9) B D (−4; 2; 9) C D (4; −2; 9) D D (4; 2; −9) Hướng dẫn giải # » #» Giả sử D ( x; y; z), ta có ABCD hình bình hành ⇔ AD = BC # » #» Ta có AD = ( x − 1; y;z − 3), BC (−5; − 2; 6)   x = −4 x − = −5       # » #» Do AD = BC ⇔ y = −2 ⇔ y = −2 ⇔ D (−4; −2; 9)       z = z−3 = Vậy tọa độ cần tìm D D (−4; −2; 9) Chọn đáp án A "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 3; 4), B(2; −1; 0), C (3; 1; 2) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC A G (2; 1; 2) C G 3; ; B G (6; 3; 6) D G (2; −1; 2) Hướng dẫn giải Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC G x A + x B + xC y A + y B + yC z A + z B + zC ; ; 3 ⇒ G (2; 1; 2) Chọn đáp án A Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 1) , B(2; −1; 3) Điểm M ( a; b; c) điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) cho MA2 − 2MB2 lớn Tính P = a + b + c A P = −1 B P = C P = D P = Hướng dẫn giải #» #» #» Gọi I điểm thỏa mãn I A − IB = #» #» Giả sử I ( x;  y; z) ⇒ I A(1 − x; − y; −z), IB(2 − x; −1 − y; − z)    − x − 2(2 − x ) = x =     Ta có (1) ⇔ − y − 2(−1 − y) = ⇔ y = −4 ⇒ I (3; −4; 5)        − z − 2(3 − z ) = z = Ta có #» # » IA − IM (1) #» # » − IB − I M # » #» #» = − MI + I A2 − 2IB2 − I M I A − IB MA2 − 2MB2 = = − I M2 + I A2 − 2IB2 Do I, B, A cố định nên biểu thức đạt giá trị lớn ⇔ I M nhỏ ⇔ M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng ( P)   x=3    Đường thẳng (δ) qua I vng góc với (Oxy) có phương trình y = −4     z = + t   a=3    Phương trình mặt phẳng (Oyz) : z = ⇒ + t = ⇒ t = −5 ⇒ M(3; −4; 0) ⇒ b = −4     c = Vậy ta có P = a + b + c = − + = −1 • Cách khác: Cách đại số Do M ∈ (Oxy) ⇒ c = Ta có MA2 − 2MB2 = ( a − 1)2 + (b − 2)2 + (0 − 1)2 − ( a − 2)2 + (b + 1)2 + (0 − 3)2 = − a2 − b2 + 6a − 8b − 22 = −( a − 3)2 − (b + 4)2 + ≤ "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Dầu xảy ⇔  a =  b = −4 Vậy ta có a + b + c = − + = −1 Chọn đáp án A Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #» x = (2; 1; −3) #» y = (1; 0; −1) Tìm tọa độ véc-tơ #» a = #» x + #» y A #» a = (4; 1; −1) B #» a = (3; 1; −4) C #» a = (0; 1; −1) D #» a = (4; 1; −5) Hướng dẫn giải Ta có #» a = #» x + #» y = (2 + 2; + 0; −3 − 2) = (4; 1; −5) Chọn đáp án D Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; −2) B(3; −1; 1) Tìm tọa độ # » # » điểm M cho AM = AB A M (9; −5; 7) B M(9; 5; 7) C M(−9; 5; −7) D M (9; −5; −5) Hướng dẫn giải Xét điểm M ( x; y; z) Ta có   x−0 = 3·3    y − = · (−2) , từ có M (9; −5; 7)    z+2 = 3·3 Chọn đáp án A Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −4; 3) B(2; 2; 7) Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A (1; 3; 2) B (2; −1; 5) C (2; −1; −5) D (2; 6; 4) Hướng dẫn giải  x + xB 2+2   xI = A = =2   2   −4 + y + yB Trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ y I = A = = −1  2      z = z A + z B = + = I 2 Vậy I (2; −1; 5) Chọn đáp án B Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2) B(3; 1; 0) Tọa độ trung điểm I đoạn AB A I (2; 0; 1) B I (1; 1; −1) C I (2; 2; −2) D I (4; 0; 2) Hướng dẫn giải Tọa độ trung điểm I AB I + −1 + + ; ; 2 hay I (2; 0; 1) Chọn đáp án A Câu 18 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(−1; 2; 0), B(3; 1; 0), C (0; 2; 1) D (1; 2; 2) Trong có ba điểm thẳng hàng "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX A A, C, D PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ B A, B, D C B, C, D D A, B, C Hướng dẫn giải # » # » Ta có AC = (1; 0; 1) AD = (2; 0; 2) # » # » Từ ta AD = (2; 0; 2) = AC = (1; 0; 1) điểm A, C, D thẳng hàng Chọn đáp án A Câu 19 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; 0; 2), B(2; 1; −3) C (1; −1; 0) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D (0; 2; −1) B D (−2; −2; 5) C D (−2; 2; 6) D D (2; 2; −5) Hướng dẫn giải # » # » Gọi D ( x; y; z) Ta có AB = (3; 1; −5) DC =  (1 − x; −1 − y; −z)  x = −2    # » # » Để ABCD hình bình hành AB = DC ⇔ y = −2     z = Chọn đáp án B #» Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho #» a = (2; −3; 3), b = (0; 2; −1), #» c = (3; −1; 5) #» Tìm tọa độ vec-tơ #» u = #» a + b − #» c A (10; −2; 13) B (−2; 2; −7) C (−2; −2; 7) D (−2; 2; 7) Hướng  dẫn giải  #» a = (4; −6; 6)    #» #» Ta có b = (0; 6; −3) nên #» u = #» a + b − #» c = (−2; 2; −7)     #» c = (6; −2; 10) Chọn đáp án B Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 3; 2), B(3; −1; 4) Tìm tọa độ trung điểm I AB A I (2; −4; 2) B I (4; 2; 6) C I (−2; −1; −3) D I (2; 1; 3) Hướng dẫn giải Ta có I trung điểm AB nên I 1+3 3−1 2+4 ; ; Vậy I (2; 1; 3) 2 Chọn đáp án D Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 7), B(5; 5; 1) mặt phẳng √ ( P) : 2x − y − z + = Điểm M thuộc ( P) cho MA = MB = 35 Biết M có hồnh độ ngun, ta có OM √ A 2 √ B √ C D Hướng dẫn giải Gọi M( x; y; z) Ta có M ∈ ( P) : 2x − y − z + =0 (1)  MA = MB  x + 2y − 3z = −2 (2) √ Lại có MA = MB = 35 ⇔ ⇔ √  MA = 35  x2 + y2 + z2 − 6x − 2y − 14z = −24 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates (3) Trang PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX  ( x; y; z) = (0; 2; 2)  Từ (1), (2), (3) suy  14 20 20 ; ; ( x; y; z) = 3 Theo giả thiết M có hồnh độ ngun nên M(0; 2; 2) thỏa mãn √ Khi OM = 2 Chọn đáp án A Câu 23 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; −2) B(−1; 3; 2) Trung điểm đoạn AB có tọa độ A (1; 2; 0) B (2; −1; −2) D (4; −2; −4) C (2; 4; 0) Hướng dẫn giải Trung điểm đoạn AB có tọa độ + (−1) + −2 + ; ; 2 = (1; 2; 0) Chọn đáp án A Câu 24 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 1; 1), B(9; 11; 6) C (5; 10; 7) Giả sử điểm # » # » M( a; b; c) thuộc đường thẳng AB cho tích vơ hướng AB · MC = 45 Khi a + b + c A 19 B 32 C 16 D 24 Hướng dẫn giải # » # » Do M thuộc đường thẳng AB nên AM = k AB với k số thực Theo giả thiết # » # » # » # » AB = (10; 10; 5), AC = (6; 9; 6) ⇒ AB · AC = 180, AB2 = 225 # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AB · MC = AB( AC − AM ) = AB · AC − k AB2 = 180 − 225k = 45, suy k = # » Do AM = (6; 6; 3) ⇒ M(5; 7; 4) Vậy a + b + c = 16 Chọn đáp án C Câu 25 Trong khơng gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD Biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) D (1; −1; 1), tọa độ điểm C A (2; 0; 2) B (2; 2; 2) C (2; −2; 2) D (0; −2; 0) Hướng dẫn giải #» # » Gọi C ( x; y; z), ta có BC = ( x − 2; y − 1; z − 2) AD = (0; −1; 0) Vì ABCD hình bình hành nên     x−2 = x=2       #» # » BC = AD ⇔ y − = −1 ⇔ y =       z−2 =  z = Vậy C (2; 0; 2) C D B A Chọn đáp án A #» Câu 26 Trong không gian Oxyz, cho #» a = (2; 1; 3), b = (4; −3; 5) #» c = (−2; 4; 6) Tọa độ #» #» #» #» vectơ u = a + b − c A (10; 9; 6) B (12; −9; 7) "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates C (10; −9; 6) D (12; −9; 6) Trang PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Hướng dẫn giải #» Ta có #» a = (2; 1; 3), b = (8; −6; 10), #» c = (−2; 4; 6) #» ⇒ #» u = #» a + b − #» c = (12; −9; 7) Chọn đáp án B Câu 27 Trong không gian Oxyz cho điểm A(4; −2; 1) véc-tơ #» v = (1; 1; −2) Tìm tọa độ điểm A ảnh A qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng trục Ox phép tịnh tiến theo #» v A A (5; 1; 1) B A (5; 3; −1) C A (5; −1; −3) D A (5; 3; −3) Hướng dẫn giải Gọi A ( a; b; c) điểm cần tìm, P điểm đối xứng với A qua trục Ox Khi P(4; 2; −1)     a=5 a−4 =       # » PA = #» v ⇔ b−2 = ⇔ b =        c = −3  c + = −2 Vậy A’(5;3;-3) điểm cần tìm Chọn đáp án D #» Câu 28 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho véc-tơ #» a = (−1; 10), b = (1; 1; 0), #» c = (1; 1; 1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? √ √ #» A | #» B #» C | #» a | = c ⊥ b c | = #» D #» a ⊥ b Hướng dẫn giải #» #» #» c = · + · + · = = c ⊥ b sai b · #» Chọn đáp án B Câu 29 Cho #» u = (−1; 1; 0), #» v = (0; −1; 0), góc hai vectơ #» u #» v A 120◦ B 45◦ C 135◦ D 60◦ Hướng dẫn giải Ta có cos( #» u , #» v) = #» −1 u · #» v =√ #» #» |u| · |v| Suy ( #» u , #» v ) = 135◦ Chọn đáp án C #» Câu 30 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #» a = (−3; 4; 0), b = (5; 0; 12) Tính #» cơ-sin góc hai véc-tơ #» a b 5 A B − C − D 13 13 6 Hướng dẫn giải Ta có #» cos #» a, b = #» a· a|· | #» #» b #» = b −3 · + · + · 12 =− √ 13 (−3)2 + 42 + 02 · 52 + 02 + 122 Chọn đáp án B "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Câu 31 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; −1), B(1; 4; 3) Độ dài đoạn thẳng AB √ √ √ A 13 B C D Hướng dẫn giải Độ dài đoạn thẳng AB AB = (1 − 1)2 + (4 + 2)2 + (3 + 1)2 = √ √ 52 = 13 Chọn đáp án A Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #» u = (3; 0; 1) #» v = (2; 1; 0) Tích vơ hướng #» u · #» v A B D −6 C Hướng dẫn giải Ta có #» u · #» v = + + = Chọn đáp án B Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C (0; −3; 0) Tính bán kính mặt cầu √ ngoại tiếp tứ diện OABC √ 14 A B 14 Hướng dẫn giải √ C 14 √ D Phương trình mặt cầu qua gốc O có dạng x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz = 14 (∗) Do mặt cầu qua điểm A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C (0; −3; 0) nên thay tọa độ điểm vào phương trình (∗)ta có hệ    a=   − 2a =   √     √ 14 + 4c = ⇔ c = −1 Suy bán kính mặt cầu R = a2 + b2 + c2 =        − 6b =   b = Chọn đáp án D Câu 34 Trong không gian Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; −4) diện tích mặt cầu 36π A ( x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = B ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 4)2 = C ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = D ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = Hướng dẫn giải Ta có diện tích mặt cầu S = 36π ⇔ 4πR2 = 36π ⇔ R = Vậy phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; −4) bán kính R = (S) : ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = Chọn đáp án D Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1) Mặt cầu đường kính AB có phương trình A ( x + 1)2 + ( y − 3)2 + ( z − 3)2 = √ 45 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates B ( x − 1)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 45 Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ C ( x − 1)2 + ( y − 3)2 + ( z + 3)2 = √ 45 D ( x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45 Hướng dẫn giải √ Mặt cầu đường kính AB có tâm trung điểm I (−1; 3; 3) AB bán kính R = I A = Phương trình mặt cầu cần tìm ( x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45 Chọn đáp án D Câu 36 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : ( x + 3)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = Xác định tọa độ tâm I mặt cầu (S) A I (−3; 1; −1) B I (3; 1; −1) C I (−3; −1; 1) D I (3; −1; 1) Hướng dẫn giải Mặt cầu ( x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có tâm I ( a; b; c) Do mặt cầu cho có tâm I (−3; −1; 1) Chọn đáp án C Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −2; 3) Gọi I hình chiếu vng góc M trục Ox Phương trình sau phương trình mặt cầu tâm I bán kính I M? √ A ( x − 1)2 + y2 + z2 = 13 B ( x − 1)2 + y2 + z2 = 13 C ( x + 1)2 + y2 + z2 = 13 D ( x + 1)2 + y2 + z2 = 17 Hướng dẫn giải Do I hình chiếu M(1; −2; 3) Ox nên I (1; 0; 0) Vậy mặt cầu tâm I bán kính I M = (1 − 1)2 + (−2 − 0)2 + (3 − 0)2 = √ 13 có phương trình ( x − 1)2 + y2 + z2 = 13 Chọn đáp án B Câu 38 Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; −2; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox √ hai điểm A B cho AB = A ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 B ( x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 20 C ( x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25 D ( x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = Hướng dẫn giải Do A, B ∈ Ox nên A( a, 0, 0) B(b, 0, 0), a < b Theo giả thiết ta có hệ phương trình  √ a = 1−     √ √   AB =  (b − a)2 = 12 a = 2−b  b = 1+ ⇔ ⇔ ⇔ a = b (loại) ⇔ √   I A = IB  ( a − 1)2 = ( b − 1)2   (1 − b )2 =    a = 1+    a = 2−b  b = − √3   (b − a)2 = 12    "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 10 PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Chọn đáp án B √ √ Câu 135 Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0; 2; , B 0; 0; , điểm C ∈ (Oxy) tam giác OAC vuông C, hình chiếu vng góc O BC điểm H Khi điểm H ln thuộc đường tròn cố định có bán kính √ A 2 B C √ D Hướng dẫn giải Dễ thấy B ∈ Oz Ta có A ∈ (Oxy) C ∈ (Oxy), suy OB ⊥ B (OAC )  AC ⊥ OC ⇒ AC ⊥ (OBC ), mà OH ⊂ (OBC ) Suy Ta có  AC ⊥ OB AC ⊥ OH (1) Mặt khác ta có OH ⊥ BC, (theo giả thiết) H (2) Từ (1) (2) suy OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH ⊥ AB OH ⊥ H A Với OH ⊥ AB suy H thuộc mặt phẳng ( P) với ( P) mặt O C phẳng qua O vng góc với đường thẳng AB Phương I trình ( P) y − z = √ Với OH ⊥ H A ⇒ A OH A vng H Do H thuộc mặt cầu (S) có tâm I 0; 2; trung √ OA điểm OA bán kính R = = 2 Do điểm H ln thuộc đường tròn ( T ) cố định giao tuyến mặt phẳng ( P) với mặt cầu (S) √ Giả sử ( T ) có tâm K bán kính r IK = d ( I, ( P)) = r = R2 − IK2 = Vậy điểm H ln thuộc đường tròn cố định có bán kính Chọn đáp án D Câu 136 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo d1 : d2 : x−2 y+2 z−6 = = −2 x−4 y+2 z+1 = = Phương trình mặt phẳng ( P) chứa d1 song song với d2 −2 A ( P) : x + 4y + 3z − 12 = B ( P) : x + 8y + 5z + 16 = C ( P) : x + 8y + 5z − 16 = D ( P) : 2x + y − = Hướng dẫn giải Ta có véc-tơ phương d1 #» u = (2; 1; −2), véc-tơ phương d2 #» u = (1; −2; 3) điểm M (2; −2; 6) ∈ d1 Véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) #» n = [ #» u , #» u ] = (−1; −8; −5), suy phương trình mặt phẳng ( P) −( x − 2) − 8(y + 2) − 5(z − 6) = ⇔ x + 8y + 5z − 16 = Chọn đáp án C x−1 y+1 z−m = = mặt cầu (S) có 1 phương trình ( x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân Câu 137 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d : "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 43 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX biệt E, F cho độ dài đoạn thẳng EF lớn m = m0 Hỏi m0 thuộc khoảng đây? 1 A −1; − B (−1; 1) C D (0; 2) ;1 2 Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; 1; 2) bán kính Đường thẳng d khơng qua tâm I, d qua điểm N (1; −1; m) có véc-tơ phương #» u = (1; 1; 2) Gọi H trung điểm EF ⇒ I H ⊥ EF √ Ta có HE = IE2 − I H = − [d( I, d)]2 E H A B I F EF lớn ⇔ HE lớn ⇔ d( I, d) nhỏ #» #» Ta có: I N = (0; −2; m − 2), I N, #» u = (−2 − m; m − 2; 2) #» I N, #» u u| | #» ( m + 2)2 + ( m − 2)2 + √ Suy d( I, d) = = = √ Vậy d( I, d) nhỏ m = √ √ 2m2 + 12 √ ≥ Chọn đáp án B Câu 138 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x−1 y+2 z = = −1 x+2 y−1 z = = Phương trình mặt phẳng ( P) chứa d1 cho góc mặt phẳng ( P) −1 đường thẳng d2 lớn là: ax − y + cz + d = Giá trị T = a + c + d 13 A T = −6 B T=− C T = D T = Hướng dẫn giải d2 : Gọi d đường thẳng qua I ∈ d1 d A d2 Lấy A ∈ d, A = I gọi H, K hình chiếu A lên ( P) d1 d2 Khi (d2 ; ( P)) = (d; ( P)) = AI H IH IK Mà cos AI H = ≥ = const nên AI H đạt giá IA IA trị lớn H ≡ K d1 H I K Suy mặt phẳng ( P) chứa d1 vng góc với mặt phẳng (d; d ) có véc-tơ pháp tuyến [u#», u#»] 1 Vậy mặt phẳng ( P) chứa d1 tạo với d2 góc lớn ⇒ ( P) qua M = (1; −2; 0) ∈ d1 nhận véc-tơ pháp tuyến n# » = [[u#», u#»] , u#»] = (7; −1; 5) P ⇒ ( P) : 7x − y + 5z − = ⇒ a = 7, c = 5, d = −9 Vậy T = a + c + d = Chọn đáp án C x y z = = mặt phẳng ( P) : x + 2 2y − 2z = Gọi ( Q) mặt phẳng chứa (∆) cho góc hai mặt phẳng ( P) ( Q) nhỏ Câu 139 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (∆) : Phương trình mặt phẳng ( Q) A x − 2y + z = B x + 22y + 10z = "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates C x − 2y − z = D x + 10y − 22z = Trang 44 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Hướng dẫn giải Gọi #» n (Q) = ( a; b; c), ( a2 + b2 + c2 = 0) pháp véc-tơ mặt phẳng ( Q) Ta có #» n · #» n = ⇔ 2a + 2b + c = (1) ( Q) (∆) Gọi α góc hợp hai mặt phẳng ( P) ( Q) | #» n ( P) · #» n ( Q) | | a + 2b − 2c| (1) |5a + 6b| √ √ = = Ta có cos α = #» #» | n ( P) | · | n ( Q) | · a2 + b2 + c2 · 5a2 + 5b2 + 8ab  √ a = , ta có cos α = • Với (2) b = • Với b = 0, cos α = |5t + 6| a √ với t = b · 5t2 + 8t + t=− −100t2 − 110t + 12 25t2 + 60t + 36  Xét f (t) = , f (t) = , f (t) = ⇔  5t2 + 8t + (5t2 + 8t + 5)2 t= 10 Ta có bảng biến thiên  t −∞ − − f (t) 10 + +∞ − 65 f (t) √ Ta đươc ≤ cos α ≤ 65 (3) Từ (2) (3), ta thấy góc ( P) ( Q) nhỏ cos α =    a=1     2a + 2b + c =  Do vậy, ta a ⇒ b = 10 ⇒ ( Q) : x + 10y − 22z =    =    b 10 c = −22 Cách khác: "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates √ 65 Trang 45 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Gọi A giao điểm (∆) với ( P) (∆) M Gọi H hình chiếu vng góc M ∈ (∆) lên ( P ) Gọi (d) đường thẳng thuộc ( P) vng góc với (∆) A Gọi (∆ ) thuộc ( P) qua A Gọi K hình chiếu vng góc H lên (∆ ) Gọi α góc ( P) ( Q) MH Ta thấy tan α = HK Ta có α nhỏ ⇔ K ≡ A Ta có #» u = #» u , #» n = (6; −5; −2) (d) (∆) α H K A (d) (∆ ) ( P) ( P) Ta #» n (Q) = #» u (∆) , #» u (d) = (1; 10; −22) Vậy ( Q) : x + 10y − 22z = Chọn đáp án D Câu 140 Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng d : y z+1 x−3 y z−1 x = = , ∆1 : = = , 1 −2 1 x−1 y−2 z = = Đường thẳng ∆ vng góc với d đồng thời cắt ∆1 , ∆2 tương ứng H, K cho độ dài HK nhỏ Biết ∆ có véc-tơ phương #» u = (h; k; 1) Giá trị h − k ∆2 : A B C D −2 Hướng dẫn giải Ta có   x = + 2t    • H ∈ ∆1 : ⇔ H (3 + 2t; t; + t) y=t    z = 1+t   x = 1+m    • K ∈ ∆2 : y = + 2m ⇔ K (1 + m; + 2m; m)    z = m # » Khi HK = (m − 2t − 2; 2m − t + 2; m − t − 1) Đường thẳng d có véc-tơ phương #» u d = (1; 1; −2) # » ∆ ⊥ d ⇔ #» u d · HK = ⇔ m − t + = ⇔ m = t − # » Suy HK = (−t − 4; t − 2; −3) Ta có HK2 = (−t − 4)2 + (t − 2)2 + (−3)2 = 2(t + 1)2 + 27 ≥ 27, ∀t ∈ R √ Do độ dài HK nhỏ HK = 27, đạt t = −1 # » Khi ta có HK = (−3; −3; −3) = −3 (1; 1; 1), suy #» u = (1; 1; 1) ⇒ h = k = ⇒ h − k = Chọn đáp án A "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 46 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Câu 141 Trong không gian Oxyz, cho #» a = (1; −1; 0) hai điểm A (−4; 7; 3), B(4; 4; 5) Giả sử M, N √ # » hai điểm thay đổi mặt phẳng (Oxy) cho MN hướng với #» a MN = Giá trị lớn | AM − BN | √ √ A 17 B 77 √ C − D √ 82 − Hướng dẫn giải # » # » Vì MN hướng với #» a nên ∃t > : MN = t #» a Hơn nữa, √ √ MN = ⇔ t · | #» a | = ⇔ t = # » Suy MN = (5; −5; 0) Gọi A ( x ; y ; z ) điểm thỏa mãn     x =1 x + =       # » # » AA = MN ⇔ y − = −5 ⇔ y =        z = z −3 = Do A (1; 2; 3) Dễ thấy điểm A , B nằm phía so với mặt phẳng (Oxy) chúng có cao độ dương Hơn cao độ chúng khác nên đường thẳng A B cắt mặt phẳng (Oxy) điểm cố định # » # » Từ AA = MN suy AM = A N nên | AM − BN | = | A N − BN | ≤ A B dấu xảy N giao điểm đường thẳng A B với mặt phẳng (Oxy) Do max | AM − BN | = A B = (4 − 1)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = √ 17 đạt N = A B ∩ (Oxy) Chọn đáp án A Câu 142 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) mặt phẳng ( P) : x + 2y = Gọi ∆ đường thẳng qua A song song với ( P) cách điểm B(−1; 0; 2) khoảng ngắn Hỏi ∆ nhận véc-tơ véc-tơ phương? A #» B #» C #» u = (6; 3; −5) u = (6; −3; 5) u = (6; 3; 5) D #» u = (6; −3; −5) Hướng dẫn giải B Gọi mặt phẳng ( Q) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng ( P) Khi phương trình mặt phẳng ( Q) x + 2y − = Gọi H hình chiếu điểm B lên mặt phẳng ( Q), đường thẳng BH qua B(−1; 0; 2) nhận #» n (Q) = (1; 2; 0) làm véc-tơ phương có   x = −1 + t    phương trình tham số y = 2t     z = "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates ∆ Q A H K Trang 47 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Vì H = BH ∩ ( Q) nên H ∈ BH, từ H (−1 + t; 2t; 2) H ∈ ( Q) nên ta có −1 + t + · 2t − = ⇔ t = ⇒ H − ; ; 22 5 # » Khi ta có AH = − ; ; = − · (6; −3; −5) 5 Gọi K hình chiếu B lên đường thẳng ∆, ta có d( B, d) = BK ≥ BH nên khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ BK = BH, đường thẳng ∆ qua A có véc-tơ phương #» u = (6; −3; −5) Chọn đáp án D Câu 143 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 0), B(1; −1; 3), C (1; −1; −1) mặt phẳng ( P) : 3x − 3y + 2x − 15 = Xét điểm M( a; b; c) thuộc mặt phẳng ( P) cho 2MA2 − MB2 + MC2 nhỏ Giá trị a + b + c A B D −1 C Hướng dẫn giải # » # » # » #» Gọi G ( x; y; z) điểm thỏa mãn 2GA − GB + GC = 2x − x B + xC   =1 xG = A     2y − y B + yC Ta có yG = A = ⇒ G (1; 2; −2)       z = 2z A − z B + zC = −2 G Khi # » # » 2MA2 − MB2 + MC2 = MG + GA # » # » + MG + GC # » # » # » # » = 2MG2 + 2GA2 − GB2 + GC2 + MG 2GA − GB + GC # » # » − MG + GB = 2MG2 + 2GA2 − GB2 + GC2 Như MG nhỏ M hình chiếu vng góc G mặt  phẳng ( P)  x = + 3t    Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua G vng góc với ( P) y = − 3t     z = −2 + 2t Vì M ∈ ∆ nên M(1 + 3t; − 3t; −2 + 2t) Mặt khác M ∈ ( P) nên 3(1 + 3t) − 3(2 − 3t) + 2(−2 + 2t) − 15 = ⇔ t = Vậy M (4; −1; 0) a + b + c = + (−1) + = Chọn đáp án A x+1 y z−1 = = điểm A(1; 2; 3) Gọi −2 1 ( P) mặt phẳng chứa d cách điểm A khoảng lớn Véc-tơ véc-tơ Câu 144 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : pháp tuyến ( P)? A #» n = (1; 0; 2) B #» n = (1; 0; −2) C #» n = (1; 1; 1) D #» n = (1; 1; −1) Hướng dẫn giải "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 48 PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Đường thẳng d có véc-tơ phương #» u = (−2; 1; 1) Gọi H hình chiếu vng góc A d Khi đó, H (−1 − 2t; t; + t) với t ∈ R # » Ta có AH = (−2 − 2t; t − 2; t − 2) # » AH ⊥ #» u ⇔ −2(−2 − 2t) + t − + t − = ⇔ t = ⇒ H (−1; 0; 1) Gọi K hình chiếu vng góc A ( P) Ta có AK ≤ AH đẳng thức xảy K ≡ H Do đó, khoảng cách từ A đến ( P) lớn AH ⊥ ( P) # » Suy AH = (−2; −2; −2) véc-tơ pháp tuyến ( P) Vậy #» n = (1; 1; 1) véc-tơ pháp tuyến ( P) Chọn đáp án C Câu 145 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; −3), B(−2; −2; 1) mặt phẳng (α) : 2x + 2y − z + = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (α) cho M ln nhìn đoạn AB phương trình đường thẳng  góc vuông Xác định   MB MB đạt giá trịlớn     x = −2 − t x = −2 + 2t x = −2 + t x = −2 + t             A B C D y = −2 + 2t y = −2 − t y = −2 y = −2 − t              z = + 2t  z = + 2t  z = + 2t  z = Hướng dẫn giải Tam giác ABM vuông M suy BM = √ AB2 − AM2 Do BM lớn AM nhỏ M hình chiếu A mặt phẳng ( α ) Véc-tơ phương đường thẳng qua AM #» u = #» n (α) = (2; 2; −1)     x = + 2t  Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm A, M y = + 2t (t ∈ R)     z = −3 − t Suy M(1 + 2t; + 2t; −3 − t) với t ∈ R Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng (α) ta 2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) − (−3 − t) + = ⇔ t = −2 ⇒ M(−3; −2; −1)   x = −2 + t    # » Suy MB = (1; 0; 2) phương trình đường thẳng BM y = −2     z = + 2t Chọn đáp án C Câu 146 Đường thẳng  ∆ qua điểm M(3; 1; 1), nằm mặt phẳng (α) : x + y − z − = tạo  x=1    với đường thẳng d : y = + 3t góc nhỏ phương trình ∆     z = −3 − 2t "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 49 LATEX   x=1    A y = −t     z = 2t PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/   x = + 5t    B y = −3 − 4t    z = 2+t   x = + 2t    C y = 1−t     z = − 2t   x = + 5t    D y = − 4t     z = + 2t Hướng dẫn giải Đường thẳng d có vectơ phương #» u = (0; 3; −2) #» Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n = (1; 1; −1) Vì #» u · #» n = · + · + (−2) · (−1) = = nên d cắt (α) Gọi d1 đường thẳng qua M d1 d, suy d1 có phương trình   x=3    y = + 3t     z = − 2t Lấy N (3; 4; −1) ∈ d1 Gọi K, H hình chiếu vng góc N mặt phẳng (α) đường thẳng ∆ NK NH ≥ MN MN Do (d, ∆) nhỏ K ≡ H hay  ∆ đường thẳng MK  x = 3+t    Đường thẳng NK có phương trình y = + t     z = −1 − t Ta có (d, ∆) = N MH sin N MH = Tọa độ điểm K ứng với t nghiệm phương trình (3 + t) + (4 + t) − (−1 − t) − = ⇔ t = − ⇒ K # » Đường thẳng ∆ có véc-tơ phương MK = − ; ;− 3 ; ; 3 = − (5; −4; 1) Chọn đáp án B Câu 147 Trong không gian Oxyz cho A(4; −2; 6), B(2; 4; 2), M ∈ (α) : x + 2y − 3z − = cho # » # » MA · MB nhỏ Tọa độ M 29 58 37 −56 68 A B (4; 3; 1) C (1; 3; 4) D ; ; ; ; 13 13 13 3 Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AB ⇒ I (3; 1; 4) Gọi H hình chiếu I xuống mặt phẳng (α) # » # » # » #» # » #» # » # » #» Ta có MA · MB = MI + I A · MI + IB = MI + MI · I A + IB − I A2 = MI − I A2 # » # » Do I A không đổi nên MA · MB nhỏ MI nhỏ ⇔ MI = I H ⇔ M ≡ H Gọi ∆ đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng (α) Khi ∆ nhận #» n (α) = (1; 2; −3) làm   x = 3+t    véc-tơ phương Do ∆ có phương trình y = + 2t     z = − 3t H ∈ ∆ ⇔ H (3 + t; + 2t; − 3t) H ∈ (α) ⇔ (3 + t) + 2(1 + 2t) − 3(4 − 3t) − = ⇔ t = ⇔ H (4; 3; 1) Vậy M(4; 3; 1) Chọn đáp án B "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 50 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Câu 148 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(4; −2; 1), song song với mặt phẳng (α) : 3x− 4y + z − 12 = cách khoảng lớn  điểm A(−2; 5; 0)     x = + 4t x = 4−t x = 4+t          A B C y = −2 + t y = −2 − t y = − 2t          z = 1+t z = 1+t z = 1+t D   x = 4+t    y = −2 + t    z = 1+t Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc A ∆ Ta có M ∈ ∆ nên A d( A, ∆) = AH ≤ AM ∆ Do d( A, ∆) lớn AM ∆ ⊥ AM M # » Ta có AM = (6; −7; 1), #» n = (3; −4; 1) véc-tơ pháp tuyến (α) Khi ∆ song song với mặt phẳng (α) vng góc với AM nên # » có véc-tơ phương #» n , AM = (3; 3; 3) Hay ∆ nhận véc-tơ H M α #» u = (1; 1; 1) làm véc-tơ phương   x = 4+t    Phương trình tham số ∆ : y = −2 + t     z = + t Chọn đáp án D 0.4 Ứng dụng phương pháp tọa độ Câu 149 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = cm, AC = √ cm Các tam √ giác SAB, SAC vuông B C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tích 5π cm3 Tính khoảng cách từ C tới (SAB) √6 √ √ √ 5 A cm B cm C cm D cm 2 4 Hướng dẫn giải Tam giác ABC vuông A suy √ √ BC = AC2 + AB2 = + = S z Gọi I trung điểm SA Hai tam giác SAB SAC vuông B C suy I I A = IS = IC Suy I tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABC Khối tích √ cầu ngoại √ tiếp hình chóp S.ABC √ 5 5 π⇔ π = πR3 ⇔ R = 6 √ Suy SA = 2R = √ √ SB = SA2 − AB2 = − = 2, √ √ √ SC = SA2 − AC2 = − = "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates A C B y x Trang 51 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Xét hệ trục tọa độ hình vẽ ta có A(0; 0; 0), B(1; 0; 1), C (0; √ 3; 0) Giả sử S( a; b; c), (chọn c > 0) √ √ # » # » #» #» Suy raAB = (1; 0; 0), AC= (0; 3; 0), CS = ( a;b − 3; c), AS = ( a; b; c) # » #»    a=1 AB · BS = a−1 =          √ √ # » #» ⇔ b= Ta có AC · CS = ⇔ b − =           c =  AS2 =  a2 + b2 + c2 = √ √ #» Suy S(1; 3; 1) ⇒ AS = (1; 3; 1) √ #» # » Ta có #» n = [ AS, AB] = (1; 1; − 3) Mặt phẳng (SAB) qua A nhận #» n làm véc-tơ pháp tuyến √ 3z = Phương trình mặt phẳng ( SAB ) y − √ Vậy d(C, (SAB)) = cm Chọn đáp án A Câu 150 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng ( AMC ) (SBC √) A Hướng dẫn giải √ B √ C √ D Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A ≡ O, trục Ox, Oy, Oz z qua điểm B, D, S hình Khi đó: # » # » a a M 0; ; a ⇒ AM 0; ; a ; AC ( a; a; 0) 2 Gọi n#»1 véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( AMC ) S M D Ta có: # » # » n#»1 = [ AM, AC ]  a a a = ; a y A a ; a a   a B x C − a2 − a2 , a2 , #» #» Từ S B ⇒ SB( a; 0; −2a) ; SC ( a; a; −2a) Gọi n#»2 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng #» #» Suy n#»2 = [SB, SC ] = 2a2 ; 0; a2 = a2 −5 √ ·a a #» #» | n1 · n1 | 2 Suy ra: cos ϕ = #» #» = = = √ √ | n1 | · | n2 | a 9a a4 + a4 + · 4a4 + a4 · 5a4 4 √ 1 Mà + tan2 ϕ = ⇒ tan2 ϕ = − = − = ⇒ tan ϕ = 2 5 cos ϕ cos ϕ Chọn đáp án C − a2 · 2a2 − "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 52 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Câu 151 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính số đo góc hai mặt phẳng ( BA C ) ( DA C ) A 30◦ B 120◦ C 60◦ D 90◦ Hướng dẫn giải # » # » # » Chọn hệ tọa độ Oxyz có A ≡ O, AB, AD, AA #» #» #» hướng với véc-tơ đơn vị i , j , k z A D Lấy a = 1, suy B(1; 0; 0), D (0; 1; 0), A (0; 0; 1), C (1; 1; 0) C B Mặt phẳng ( BA C ) có véc-tơ pháp tuyến # » #» n#» = BA ∧ BC = (−1; 0; −1) Mặt phẳng ( DA C ) có véc-tơ pháp tuyến # » # » n#» = DA ∧ DC = (0; 1; 1) D y A Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( BA C ) ( DA C ), ta có 1 |n#» · n#»2 | cos ϕ = |cos (n#»1 , n#»2 )| = #»1 #» = √ √ = | n1 | · | n2 | 2· Suy ϕ = 60◦ B C x Chọn đáp án C Câu 152 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính số đo góc hai mặt phẳng ( BA C ) ( DA C ) A 30◦ B 120◦ C 60◦ D 90◦ Hướng dẫn giải # » # » # » Chọn hệ tọa độ Oxyz có A ≡ O, AB, AD, AA #» #» #» hướng với véc-tơ đơn vị i , j , k z A D Lấy a = 1, suy B(1; 0; 0), D (0; 1; 0), A (0; 0; 1), C (1; 1; 0) C B Mặt phẳng ( BA C ) có véc-tơ pháp tuyến # » #» n#» = BA ∧ BC = (−1; 0; −1) Mặt phẳng ( DA C ) có véc-tơ pháp tuyến # » # » n#» = DA ∧ DC = (0; 1; 1) D y A Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( BA C ) ( DA C ), ta có 1 |n#»1 · n#»2 | #» #» cos ϕ = |cos (n1 , n2 )| = #» #» = √ √ = | n1 | · | n2 | 2· Suy ϕ = 60◦ B C x Chọn đáp án C √ Câu 153 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a 3, mặt bên SAB tam giác cân với ASB = 120◦ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM, BN "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 53 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ S M N C A B √ 327a A 79 Hướng dẫn giải √ B √ 237a C 79 237a 79 √ 237a D 79 z Gọi O trung điểm AB, ∆SAB cân S S ⇒ SO⊥ AB  (SAB) ⊥ ( ABC )(gt)    Ta có (SAB) ∪ ( ABC ) = AB ⇒ SO ⊥ ( ABC )     SO ⊥ AB(cmt) Xét ∆SOB vuông O có OSB = 60◦ OB = a ⇒ SO = tan 60◦ √ Mà OC đường cao tam giác ABC cạnh 2a nên M N A C y O OC = 3a B x Gắn hình chóp S.ABC lên hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ √ √ √ # » Khi ta có O(0; 0; 0), B a 3; 0; , A − a 3; 0; , C (0; 3a; 0), S(0; 0; a)⇒ AB = 2a 3; 0; 3a a 9a a ; , N 0; ; 2 4 √ #» a = (2 3; 3; 1) M, N trung điểm SC, MC nên M 0; √ 3a a a 3; ; 2 √ 9a a √ # » BN có véc-tơ phương BN = − a 3; ; #» a = (−4 3; 9; 1) 4 #» # » √ #» a , b · AB 237a Ta có d( AM, BN ) = = #» #» 79 a, b # » AM có véc-tơ phương AM = Chọn đáp án C Câu 154 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh Gọi M, N trung điểm AB B C Bán kính mặt cầu √ ngoại tiếp tứ diện MNCA √ √ 77 35 A B C 2 Hướng dẫn giải "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates √ D Trang 54 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C D D (0; 2; 0), A (0; 0; 2) N A B Khi C (2; 2; 0), M (1; 0; 1) , N (2; 1; 2) Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp MNCA có dạng M (S) : x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + r = C D B A Do A ∈ (S) nên r = M,  N, C ∈ (S) nên ta có hệ   12 + 02 + 12 + m + n · + p = m=1       ⇔ n = −5 22 + 12 + 22 + 2m + n + 2p =        p = −3  22 + 22 + 02 + 2m + 2n + p · = √ 35 Vậy bán kính mặt cầu R = + + = 2 2 Chọn đáp án C √ Câu 155 Cho lăng trụ ABC.A B C có AB = 3, BB = Gọi M, N, P tương ứng trung điểm A B , A C , BC Nếu gọi α độ lớn góc hai mặt phẳng ( MNP) ( ACC ) cos α A Hướng dẫn giải B √ C √ Tam giác ABC cạnh nên √ = AP = AB · Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ bên Ta có tọa độ √ điểm sau: P(0; 0; 0), A(3; 0; 0), B 0; − 3, , √ √ √ C 0; 3; , A (3; 0; 2), B 0; − 3, , C 0; 3; , √ √ 3 3 ;− ;2 , N ; ;2 M 2 2 √ D Z C N A M B y x A C P B Khi # » • PM = √ √ 3 # » ;− ; Ta có PM phương với #» u = 3; − 3; 2 # » • PN = √ √ 3 # » ; ; Ta có PN phương với #» v = 3; 3; 2 √ √ ⇒ [ #» u , #» v ] = −8 3; 0; Gọi #» n véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng ( MNP) Do #» n phương với [ #» u , #» v ] nên ta chọn #» n = (−4; 0; 3) √ √ # » # » # » # » Ta có CA = 3; − 3; ; CC = (0; 0; 2) ⇒ CA, CC = −2 3; −6; "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 55 PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX # » # » Gọi n#»2 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ACC ) Do #» n phương với CA, CC nên ta √ chọn #» n2 = 3; 3; √ #» #» − | n · n 2| √ = Ta có cos α = #» #» = | n 1| | n 2| 5·2 Chọn đáp án B Câu 156 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, cạnh bên SA vuông góc với ( ABCD ), SA = AB = BC = AD Tính góc hai mặt phẳng (SAD ), (SCD ) 1 1 A arccos B arccos C arccos √ D arccos √ 6 Hướng dẫn giải S Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 2; 0), S(0; 0; 1) Hai mặt phẳng (SAD ), (SCD ) nhận n#» = (1; 0; 0), n#»2 = (1; 1; 2) làm véc-tơ pháp tuyến Gọi φ góc hai mặt phẳng D A 1 |n#» · n#»2 | cos φ = #»1 #» = √ ⇒ φ = arccos √ | n1 | · | n2 | 6 C B Chọn đáp án C Câu 157 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt đáy nằm hình vng ABCD Hai mặt phẳng (SAD ), (SBC ) vng góc với nhau; góc hai mặt (SAB) (SBC ) 60◦ ; góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD ) 45◦ Gọi α góc hai mặt √ phẳng (SAB) ( ABCD √ ), tính cos α √ 2 A cos α = B cos α = C cos α = 2 Hướng dẫn giải D cos α = x Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD ) S Kẻ HM, HN, HP vng góc với AD, BC, AB y Kẻ HE, HF, HK vng góc với SM, SN, SP Từ giả thiết suy ba cạnh HE, HF, HP đôi vuông E góc Gắn trục Hx ≡ HE, Hy ≡ HF, Hz ≡ HP Từ giả thiết suy # » # » # » # » HK, HF = 60◦ , HK, HE = 45◦ Lấy #» u HE = (1; 0; 0), #» u HF = (0; 1; 0), #» u HP = (0; 0; 1) #» đặt u HK = ( a; b; c) với a2 + b2 + c2 = Thay công thức # » # » góc tính góc HK, HP = 60◦ K A z M F D H P B N C Do góc cần tính KPH = 30◦ Chọn đáp án C "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 56 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Câu 158 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, AD = 2a, AA = 3a Gọi M, N, P trung điểm BC, C D DD Tính khoảng cách từ A đến ( MNP) 15 15 A a B a C a D a 11 22 11 Hướng dẫn giải z Gán hệ trục tọa độ hình vẽ với độ dài đơn vị D A trục a Khi đó, ta tính tọa độ điểm sau A(0; 0; 0), M(1; 1; 0), N 2; ; , P 2; 0; 2 N C B P # » Ta có MN = # » 1; − ; MP = 1; −1; 2 # » # » ; ;− vtpt ( MNP) Chọn MN, MP = 2 Suy ( MNP) : 9x + 6y − 2z − 15 = 15 Do d( A, ( MNP)) = 11 15a Vậy d( A, ( MNP)) = 11 3a x A≡O y B M 2a a D C Chọn đáp án A ĐÁP ÁN A C A C A C C D B 10 A 11 A 12 A 13 A 14 D 15 A 16 B 17 A 18 A 19 B 20 B 21 D 22 A 23 A 24 C 25 A 26 B 27 D 28 B 29 C 30 B 31 A 32 B 33 D 34 D 35 D 36 C 37 B 38 A 39 A 40 D 41 B 42 C 43 A 44 A 45 C 46 D 47 A 48 C 49 B 50 A 51 A 52 A 53 C 54 A 55 A 56 D 57 C 58 A 59 A 60 C 61 C 62 A 63 B 64 D 65 B 66 A 67 C 68 A 69 C 70 D 71 D 72 D 73 B 74 D 75 C 76 A 77 C 78 C 79 B 80 D 81 B 82 A 83 B 84 A 85 B 86 A 87 C 88 A 89 C 90 A 91 B 92 B 93 C 94 A 95 D 96 D 97 C 98 D 99 A 100 C 101 A 102 D 103 B 104 B 105 A 106 D 107 C 108 C 109 A 110 C 111 D 112 D 113 B 114 D 115 B 116 C 117 D 118 D 119 A 120 C 121 A 122 A 123 D 124 A 125 B 126 C 127 C 128 C 129 C 130 A 131 D 132 D 133 B 134 B 135 D 136 C 137 B 138 C 139 D 140 A 141 A 142 D 143 A 144 C 145 C 146 B 147 B 148 D 149 A 150 C 151 C 152 C 153 C 154 C 155 B 156 C 157 C 158 A "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 57