Phân loại các bài toán số phức

Phân loại toán số phức STT 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 MỤC LỤC Nội Dung Mục lục Phần I: Mở Đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Giới hạn Nhiệm vụ đề tài Phương pháp nghiên cứu Thời gian nghiên cứu Phần II: Nội dung đề tài Cơ sở lí luận khoa học Thực trạng đề tài Giải vấn đề Nội dung 4.1 Kiến thức 4.2 Một số dạng toán 4.3 Bài tập trắc nghiệm Phần III: Kết luận, khuyến nghị Phần IV: Tài liệu tham khảo 1/29 Trang 2 3 3 4 4 5 21 28 29 Phân loại toán số phức Phần I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thơng Việt Nam hình thành sở ban đầu trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu điều kiện hoàn cảnh đất nước người Việt Nam Trong giai đoạn nay, mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam cụ thể hoá văn kiện Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam kết luận hội nghị trung ương khố IX, mục tiêu gắn với sách chung giáo dục đào tạo “ Giáo dục đào tạo gắn liền với phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng văn hố người mới…”, “Chính sách giáo dục hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trò, vị trí quan trọng mơn học cơng cụ học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết mơn Tốn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Sách giáo khoa tốn tài liệu thống sử dụng nhà trường phổ thông Bài toán số phức toán quan trọng thường hay xuất đề thi THPT quốc gia Vì vậy, bạn học sinh lớp 12 luyện thi THPT quốc gia cần phải ý nhiều đến dạng tập Qua trình giảng dạy nhận thấy nhiều học sinh, kể học sinh giỏi mơ hồ, hiểu chưa đầy đủ khái niệm số phức dẫn đến việc giải tốn số phức nhiều sai sót chí có lời giải sai kiến thức dẫn đến học sinh chọn sai đáp án làm trắc nghiệm Vì vậy, phần hệ thống tốn số phức tơi cố gắng phân loại để học sinh dễ dàng nhận biết áp dụng cách giải cho dạng toán cụ thể Từ lí chọn đề tài, từ sở thực tế giảng dạy với kinh nghiệm thân , tơi hệ thống hố lại kiến thức thành chuyên đề: “Phân loại toán số phức” Mục đích nghiên cứu: - Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học - Qua nội dung đề tài muốn cung cấp cho học sinh số kĩ phát dạng toán số phức phương pháp giải toán số phức cách phù hợp 2/29 Phân loại toán số phức - Học sinh thơng hiểu trình bày tốn hợp logíc khơng mắc sai lầm giải toán số phức Hi vọng đề tài nhỏ đời giúp em học sinh có cách nhìn khái quát toàn diện số phức Đối tượng nghiên cứu: Bài toán số phức cho học sinh lớp 12a7, 12a13 Giới hạn đề tài: - Một số toán số phức bản, nâng cao nằm chương trình Giải tích 12 Nhiệm vụ đề tài: - Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp cho học sinh phát triển tư logíc, thấy Tốn học gần gũi với đời sống thực tế xung quanh ta - Rút kết luận đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường THPT Phương pháp nghiên cứu: Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…) Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) Phương pháp thực nghiệm Thời gian nghiên cứu: Năm học 2017-2018 3/29 Phân loại toán số phức Phần II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận khoa học - Trong chương trình giáo dục phổ thơng, mơn tốn mơn học quan trọng Mơn tốn có tiềm để khai thác góp phần phát triển trí tuệ chung, rèn luyện phát triển tư - Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững kiến thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống Biết vận dụng lí luyết linh hoạt vào dạng tốn Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh có tư logic, cách suy nghĩ khoa học sáng tạo, cách trình bày hợp lí chặt chẽ ngắn gọn Giáo viên cần định hướng cho học sinh nghiên cứu tốn học cách có hệ thống, vận dụng lí thuyết vào thực hành tập - Do mạnh dạn viết sáng kiến với mục đích giúp cho học sinh vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn số phức Thực trạng đề tài 2.1 Cách thực : - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên tổ nhóm chun mơn - Liên hệ thực tế với nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy - Thông qua việc dạy trực tiếp lớp 12 2.2 Khảo sát chất lượng : Thông qua việc khảo sát chất lượng trước thực đề tài lớp giảng dạy, thấy đa số học sinh chưa phân biệt dạng toán số phức để đưa phương pháp giải hợp lí cho tốn số phức đó, số học sinh có đáp số chưa lập luận để dẫn đến kết có lập luận lủng củng, chưa chặt chẽ rõ ràng em chọn ngẫu nhiên đáp án tốn trắc nghiệm 2.3 Tìm hiểu ngun nhân dẫn đến kết - Số phức mảng tương đối mơ hồ nhiều học sinh tập SGK khơng phong phú đa dạng hạn chế Cho nên học sinh học rời rạc ,khơng có hứng thú - Mặt khác, thời lượng phân phối chương trình dành cho tập nên giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ giải cho học sinh - Học sinh thụ động có tâm lí ngại khó học phần Giải vấn đề Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút từ kinh nghiệm thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp: Hệ thống lại kiến thức cần nắm vững phân dạng toán số phức 4/29 Phân loại toán số phức NỘI DUNG 4.1 LÝ THUYẾT 4.1.1 Định nghĩa Mỗi biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 gọi số phức Ký hiệu số phức z viết z = a + bi Trong đó: i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực số phức z = a + bi, ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi, ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo 4.1.2 Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i a  a ' b  b ' z = z’   4.1.3 Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi 4.1.4 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z  z '  (a  a' )  (b  b' )i z  z '  (a  a' )  (b  b' )i 4.1.5 Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z.z'  aa'bb'(ab'a' b)i 4.1.6 Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a  bi = a - bi Chú ý: 1) z = z  z z gọi hai số phức liên hợp với 2) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z  z (2): z  z '  z  z ' (3): z.z '  z.z ' (4): z.z  a  b (z = a + bi ) 5/29 Phân loại tốn số phức 4.1.7 Mơđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z mơđun số phức z, số thực không âm xác định sau: uuuuuv - Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi, z = OM = a  b2 - Nếu z = a + bi, z = z.z = a  b2 4.1.8 Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số phức nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số z-1= Thương 1 z z a b z z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z' z  z ' z 1  z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường 4.2 MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN 4.2.1 Các phép tính số phức Phương pháp giải: Sử dụng công thức cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức Chú ý cho HS: Trong tính tốn số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức…  i 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Ví dụ 1: Cho số phức z = Giải: a) Vì z = 3  i  z =  i 2 2   3 b) Ta có z =   i  =  i  i =  i 2  2  4 2   3  ( z ) =   i    i  i   i 4 2  2  c) 3 3 ( z )  ( z ) z  (  i)(  i)   i i i 2 2 4 4 6/29 Phân loại tốn số phức d) Ta có: + z + z2 =  1 3  1  i  i  i 2 2 2 Nhận xét: Trong tốn này, để tính  z  ta sử dụng đẳng thức số thực Với tốn trắc nghiệm ta sử dụng máy tính để tìm đáp án sau b) +Bước 1: Ấn MODE  (CMPLX)   +Bước 2: Nhập   i   2  3  i Vậy z =  i 2 2 +Bước 3: Ấn dấu “=” ta kết c) +Bước 1: Ấn MODE  (CMPLX) √ +Bước 2: Nhập ( ) +Bước 3: Ấn dấu “=” ta kết i Vậy ( z )3 = i d) +Bước 1: Ấn MODE  (CMPLX)   +Bước 2: Nhập 1+  i +   i  2  2  +Bước 3: Ấn dấu “=” ta kết Vậy 1+ z + z2 = √ z √ √ √ Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z  Giải: Ta có :   2i    3i   1  2i   4i   2i   i    3i  6i   11  3i   4i   4i  4i 55  44i  15i  12 67 29    i 41 41 41 z 41 67 29  i 41 41 Với toán trắc nghiệm ta sử dụng máy tính để tìm đáp án sau +Bước 1: Ấn MODE  (CMPLX) +Bước 2: Ấn SHIFT    ALPHA  )  ) Khi hình máy tính xuất Conjg( X) với Conjg( X) z 7/29 Phân loại toán số phức +Bước 3: CALC (3  2i)[(4  3i)  (1  2i)] Ấn dấu “=” ta kết  4i 67 29 67 29  i Vậy  z   i 41 41 41 41 Ví dụ 3: Cho số phức z  (2  i )(1 i )  3i Tìm mơđun số phức z Giải: Ta có : z  (2  i )(1 i )  3i   2i  i  i  3i   2i Vậy, mô đun z bằng: z  32  2  13 Với toán trắc nghiệm ta sử dụng máy tính để tìm đáp án sau +Bước 1: Ấn MODE  (CMPLX) +Bước 2: Nhập (2  i )(1 i )  3i +Bước 3: Ấn dấu “=” Được kết hình bên +Bước 4: Vì tính Mơđun nên ta ấn tiếp Shift + hyp (Abs) (phím giá trị tuyệt đối) + Ans (kết  2i trên) + Bước 5: Ấn dấu “=” Kết hình bên Ví dụ 4: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i 3x  y  y   Giải hệ ta được: 5 x  x  y   x    y   Ví dụ 5: Tính: i109 + i27 + i24 – i38 Giải: Để tính tốn này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: Với n ta có: 8/29 Phân loại tốn số phức { Nếu n nguyên âm, i = (i ) =   i n -1 -n n   i  n Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i109 + i27 + i24 – i38 = i4.27+1 + i4.6+3 + i4.6 – i4.9+2 = i – i + + = Ví dụ 6: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i Với tốn trắc nghiệm ta sử dụng máy tính để tìm đáp án sau +Bước 1: Ấn MODE  (CMPLX) +Bước 2: Nhập (1+i)15 +Bước 3: Ấn dấu “=” ta kết 128 – 128i Vậy z = 128 – 128i 1 i   1 i  Ví dụ 7: Tính số phức sau: z =      1 i   1 i  16 Giải: Ta có:   i (1  i)(1  i) 2i   i 1 i 2 1 i 1 i   1 i   i Vậy  =i16 +(-i)8 =    1 i  1 i   1 i  16 Với toán trắc nghiệm ta sử dụng máy tính để tìm đáp án sau +Bước 1: Ấn MODE  (CMPLX) 1 i   1 i  +Bước 2: Nhập      1 i   1 i  +Bước 3: Ấn dấu “=” ta kết Vậy z = 4.2.2 Các toán chứng minh Trong dạng ta gặp tốn chứng minh tính chất, đẳng thức số phức Để giải toán dạng trên, ta áp dụng tính chất phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mơđun số phức chứng minh Ví dụ 1: Cho z1, z2  CMR: E = z1 z2  z1.z2  16 9/29 Phân loại toán số phức Để giải toán ta sử dụng tính chất quan trọng số phức liên hợp là: z z= z Thật vậy: Giả sử z = x + yi  z = x – yi z = z  x + yi = x – yi  y =  z = x  Giải tốn trên: Ta có E = z1 z2  z1.z2  z1 z2  z1 z2 = E  E  Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1) E1 =   i     i   7 19  7i   20  5i  2) E2 =        i    6i  n n Giải: 1) Ta có: E1 =   i     i     i     i     i     i   E1 7 7 7  E1  19  7i   20  5i   19  7i  (9  i )    20  5i  (7  6i )  2) E2          82 85   i    6i      n n n n n n  164  82i   170  85i       2  i  2  i  82   85   E2  E2  E2  n n Ví dụ 3: Cho z  CMR: z   |z2 + 1| ≥ Giải:   z 1  Ta chứng minh phản chứng: Giả sử   z2 1   Đặt z = a+bi  z2 = a2 – b2 + 2abi   2 2(a  b )  4a    z 1  (1  a)  b     2  2 2 (a  b )  2(a  b )  (1  a  b )  4a 2b    z2 1    Cộng hai bất đẳng thức ta được: (a2 + b2 )2 + (2a+1)2 <  vơ lý  đpcm 4.2.3 Các tốn mơđun số phức biểu diễn hình học số phức Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thoả mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến mơđun số phức) Khi ta giải tốn sau: 10/29 Phân loại toán số phức +) Nếu w = a > (a  )  w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a  )  w có hai bậc hai i a i a +) Nếu w = a + bi (b  0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc ) bậc hai w  z2 = w  (x+yi)2 = a + bi  x2  y  a  2 xy  b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Có nhiều cách để giải hệ này, sau hai cách thường dùng để giải Cách 1: Sử dụng phương pháp thế: Rút x theo y từ phương trình (2) vào pt (1) biến đổi thành phương trình trùng phương để giải Cách 2: Ta biến đổi hệ sau:  x  y 2  a  x2  y  a  2 x  y  a   2 2 2 xy  b    x  y  a  b   2 xy  b  xy  b / 2 xy  b    Từ hệ này, ta giải x2 y2 cách dễ dàng, sau kết hợp với điều kiện xy=b/2 để xem xét x, y dấu hay trái dấu từ chọn nghiệm thích hợp Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ : Tìm bậc hai số phức sau: 1) 1) + i 2) 2) -1 - i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y ) bậc hai w = + i  y (1)   x  y    x 2  Khi đó: z = w  (x+yi) = + i     x  45  (2) 2 xy   x2 2 (2)  x4 – 4x2 – 45 =  x2 =  x = ± x=3y= x = -3  y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y ) bậc hai w = -1- i 15/29 Phân loại tốn số phức Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = -1-2 i   (1)  x  y  1  y  x   2 xy  2  x   1 (2)  x2 2 (2)  x4 + x2 – =  x2 =  x = ± x= y=- x=- y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 4.2.5 Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C  , A  0) Phương pháp: Tính  = B2 – 4AC *) Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = (trong  bậc hai ) *) Nếu  = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 =  B   B   , z2 = 2A 2A B 2A Ví dụ : Giải phương trình bậc hai sau: 1) 1) z2 + 2z + = 2) 2) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = Giải: 1) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có:  = -4 = 4i2  phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i 2) Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i Bây ta phải tìm bậc hai 2i 1) Giả sử z = x +yi (x, y ) bậc hai w = 2i  y  x  y   x    2 xy   x2    x2 2  x   y 1    x  1    y  1 Vậy số phức 2i có hai bậc hai là: 1+i -1 –i 3i    i  2i 3i    i  1  i z2 =  Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 16/29 Phân loại toán số phức Nhận xét: Ngồi phương pháp tìm bậc hai trên, nhiều ta phân tích  thành bình phương số phức Chẳng hạn: 2i = i2 + 2i + = (i+ 1)2 từ dễ dàng suy hai bậc hai 2i + i -1 – i 4.2.6 Phương trình quy bậc hai Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử (để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc bậc hai Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải 4.2.6.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1) 1) a) Chứng minh (1) nhận nghiệm ảo 2) b) Giải phương trình (1) Giải: a) Đặt z = yi với y  Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i =  -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được:  2 y  y  giải hệ ta nghiệm y =   y  y  y  10    Vậy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i b) Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i  vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  ) đồng hoá hai vế ta giải a = b =  z  2i z  2i     z  1  2i  (1)  (z – 2i)(z2 + 2z + 5) =   z  2z    z  1  2i  Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: 1) 1) z3 – 27 = 2) 2) z3 = 18 + 26i, z = x + yi ; x,y  Giải: z  z 1   1) z3 – 27 =  (z – 1) (z2 + 3z + 9) =    z  3  3i  z  3z   2,3  17/29 Phân loại toán số phức Vậy phương trình cho có nghiệm 2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i   x  3xy  18 Theo định nghĩa hai số phức nhau, ta được:   3x y  y  26 Từ hệ trên, rõ ràng x  y  Đặt y = tx , hệ  18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 )  18(3t-t3 ) = 26(1-3t2)  18t3 – 78t2 – 54t+26 =  ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = Vì x, y   t   t = 1/3  x = y =  z = + i Ví dụ 3: 1) 1) Tìm số thực a, b để có phân tích: z3 +3z2 +3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) 2) 2) Giải phương trình: z3 +3z2 +3z – 63 =0 Giải: 1) Giả thiết  z3 +3z2 +3z – 63 = z3 +(a-3)z2 +(b-3a)z – 3b a   a   b  a     b  21 3b  63  2) Áp dụng phần 1) ta có: z3 +3z2 +3z – 63 =0  (z – 3)(z2 +6z + 21)=0 z     z  3  3i  z  3  3i  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1) Giải: Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z = (1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) =  (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = z  z  z     z   z  2i  z     z  2i Vậy phương trình cho có nghiệm 4.2.6.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: 18/29 Phân loại toán số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  1  23i z   z  z    t  6 1  23i t2 + 4t – 12 =     z  t  z  z    z    z  2 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Cho phương trình: z4 - 2z3 – z2 – 2z + = (1) a) Bằng cách đặt y = z + đưa phương trình dạng: y2 – 2y – = z b) Từ giải (1) Giải: Do z = khơng nghiệm (1)  chia hai vế phương trình cho z2 ta được: z2 - 2z – - 1 + = z z Đặt y = z +  phương trình có dạng: z  y  1 y2 – 2y – =   y  1  i = -1  z = z 3 Với y =  = z + =  z = z Với y = -1  = z + Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t  z t2 +2zt – 3z2 =  (t – z)(t+3z) =   t  3z  z  1  5i + Với t = z  z2 + 3z +6 –z =  z2 + 2z + =    z  1  5i  z  3  + Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z =  z2 + 6z + =    z  3  19/29 Phân loại tốn số phức Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình: z4 – z3 + z2 +z+1=0 (1) Giải: Do z = khơng phải nghiệm phương trình (1) nên: 1 1 (1)  z2 – z + + + =  (z - )2 – (z - ) + = z z z z Đặt y = z -  pt có dạng: y2 – y + = z  3i  y   2y2 – 2y + =    y   3i  1  3i  3i +) Với y = z- =  2z2 – (1+3i)z – = (2) z 2 Ta có :  = (1+3i) + 16 = +6i = (3+i)2  phương trình (2) có nghiệm: z1 = 1+i 1 z2 =  + i 2 1  3i  3i +) Với y = z- =  2z2 – (1-3i)z – = (3) z 2 Ta có :  = (1- 3i) + 16 = - 6i = (3 - i)2  phương trình (3) có nghiệm: z3 = 1-i z4 =  - i Vậy phương trình cho có nghiệm 4.2.7 Giải hệ phương trình phức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ẩn z w: (1)  z  w  3(1  i)  3  z  w  9(1  i) (2) Giải: Từ (2) ta có: (z + w)3 – 3zw(z + w) = 9(-1+i) (3) Thay (1) vào (3) ta được: 27(1+i)3 – 9zw(1+i) = (-1+i)  3(1+3i+3i2+i3) – zw(1+i) = -1 + i 20/29 Phân loại toán số phức  zw = 5  5i  5i 1 i  z  w  3(1  i) Vậy ta có hệ phương trình:   z.w  5i Theo định lý Viet  z, w nghiệm phương trình: t2 -3(1+i) + 5i = (4) Ta có:  = -2i = (1 – i)2 t   i  Phương trình (4) có hai nghiệm  t   2i Vậy hệ cho có hai nghiệm (z;w) (2+i; 1+2i) (1+2i;2+i) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ẩn : (1)  z1  z2  z3    z1 z2  z2 z3  z3 z1  (2) z z z  (3)  Giải: Ta có z1, z2 , z3 nghiệm phương trình: (z – z1)(z – z2)(z-z3) =  z – (z1+z2+z3)z2 +(z1z2 +z2z3 + z3z1 )z - z1z2z3 =  z3 – z2 + z – =  z = z = ±i Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (là hoán vị ba số 1, i –i) 4.3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (Đề minh họa 2017) Cho hai số phức z1   i z2   3i Tính mơđun số phức z1  z2 A z1  z2  13 B z1  z2  C z1  z2  D z1  z2  Câu 2: (Đề minh họa 2017) Cho số phức z   5i Tìm số phức w=iz+z A w   3i B w  3  3i C w   7i D w  7  7i Câu 3: Cho số phức z   5i    2i  3  i  Trong khẳng định sau, khẳng  4i định A Phần thực 18 Phần ảo 0i B Phần thực 18 Phần ảo 0i C Phần thực 18 Phần ảo D Phần thực 18 Phần ảo Câu 4: Cho số phức z    3i 1  2i  Môđun z A 13 B 13 C 13 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn: z    2i    3i   1  2i   4i 21/29 D 13 Số phức z Phân loại toán số phức 67 29 67 29 67 29 C D   i  i  i 41 41 41 41 41 41 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z    2i   3i   1  i   Điểm biểu diễn số A 67 29  41 41 B phức mặt phẳng phức có tọa độ A  4; 3 B  4; 3 C  4;3 D  4;3 Câu 7: Cho z1   i, z   i Giá trị z1  z1 z2 A B 10 C D 2014 2015 2016 Câu 8: Giá trị A  i  i  i A i B 2i C D i Câu 9: Cho số phức z  a  bi Khi z  z có kết A 2a B 2a  2bi C 2bi D Câu 10: Cho số phức z  a  bi Khi đó, z.z có kết là: A 2ab B 2ab C a  b2 D a  b2 Câu 11: Số thực x, y thỏa mãn điều kiện x  y  yi   3x  y   x  y  i    x    x  x3 B  C  D   y  1 y  y     2 Câu 12: Trong tập số phức  C  , bậc hai số phức z  4i là:   x  A  y    A 2 1  i  B  1  i  C  1  i  D khơng có bậc hai Câu 13: Trong tập số phức  C  , bậc hai số phức z  8  6i là: A  1  3i  B 10 C  1  3i  D khơng có bậc hai Câu 14: (30 – 101 – THPTQG 2017) Cho số phức z   2i Điểm điểm biểu diễn số phức w  iz mặt phẳng tọa độ? A Q 1;  B N  2;1 C M 1; 2  D P  2;1 Câu 15: (14 – 103 – THPTQG 2017) Tìm tất số thực x, y cho x2   yi  1  2i A x   2, y  B x  2, y  C x  0, y  D x  2, y  2 Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M điểm biểu diễn số phức z ( hình vẽ bên) Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức 2z ? 22/29 Phân loại toán số phức y Q E M x N A Điểm N P B Điểm Q C Điểm E Câu 17: Nếu số phức z thỏa mãn z  phần thực C D Điểm P bằng: 1 z B  A D Một giá trị khác Câu 18: Cho hai số phức z1   i, z2   3i , tìm số phức w   z1  z2 A w   4i B w   4i C w  6  4i D w  6  4i 22 Câu 19: Cho số phức z  1  i   1  i    1  i  Phần thực số phức z là: A 211 B 211  C 211  D 211 Câu 20: Giá trị x, y thỏa mãn 1  2i  x    24i  y  4  18i  x  3 y 1 A  x  y 1 x   y  1 B  C   x  3  y  1 D  Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  i   z  2i Mô-đun số phức w  z  2z  z2 A B C 10 D Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn   i  z   Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức z có tọa độ A   ;  5   B  ;  5 C  ;     D   ;   5 5  5 Câu 23: Gọi z =a+bi nghiệm phương trình   3i  z  1  5i    3i Giá trị a -2b A B C 2 D 1 Câu 24: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z   Giá trị P  z1  z2 A B C D Câu 25: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình 3z  z   Giá trị 2 P  z1  z2 23/29 Phân loại toán số phức A B C D Câu 26: Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z  3z   , z1 có phần ảo dương Giá trị P  z1  z A i 11 B 9  i 11 C 9  i 11 Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z  z  13  Giá trị z  D 2 z i A B 17 C 17 D 10 Câu 28: Nghiệm phương trình z  1  i  z  5i  tập số phức  z  1  2i  z  3  i  z   2i  z  2  i A   z  1  2i  z  2  i B  C   z   2i  z  3  i D  hai nghiệm phức phương trình 2 1  i  z    i  z   3i  Giá trị z1  z2 A B C D Câu 30: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z - z - 2z + 6z - = Câu 29: Gọi z1 z2 1 1 + 2+ 2+ 2? z1 z2 z3 z4 B tập số phức, tổng: S = Câu 31: Gọi z1; z2 nghiệm phức phương trình: z  z   Giá trị A A   z1  1 2016   z2  1 2016 C D ? A 21008 B 22016 C 21009 D 21010 Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z    i  z   3i  Mô-đun số phức w = z - + 3i ? A w = 2 B w = C w = D w = Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn z - 1+ i.z = + 5i Mô-đun số phức z ? A B C D Câu 34: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z  1; z1  z  Giá trị z1  z ? A B C D Câu 35: (36-101-THPTQG 2017) Cho số phức z  a  bi ( a, b  ) thỏa mãn z   3i  z i  Tính S  a  3b A S  B S  5 C S  24/29 D S   Phân loại toán số phức Câu 36: (46-101-THPTQG 2017) Có số phức z thỏa mãn z  3i  z số ảo? z4 A B.Vô số C D Câu 37: (44-102-THPTQG 2017) Có số phức z thỏa mãn z   i  2  z  1 số ảo A B C D Câu 38: (38-103-THPTQG 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   z  2i  z   2i Tính z A z  17 B z  17 C z  10 D z  10 Câu 39: (36-104-THPTQG 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  z   z   10i Tính số phức w  z   3i A w  3  8i B w   3i C w  1  7i D w  4  8i Câu 40: Số nghiệm phương trình z  z  A B C D.Vô số Câu 41: Xét số phức z=x+yi ( x, y  ) thỏa mãn z   i  z Khi z có mơ đun nhỏ giá trị P  x  y bao nhiêu? D 25 25 Câu 42: Trong số phức z thỏa mãn z  z   4i , số phức có mơ đun nhỏ A  25 B  25 C bao nhiêu? A B C Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn z  i   z  2i Giá trị nhỏ z là? A B C Câu 44: Cho số phức z D D thỏa mãn z  2i   z  Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z để MA ngắn với A  2;4 Khi độ dài MA bao nhiêu? A B C D 2 Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn z  i  z  Tìm GTNN w với w  z  2i A w  B w  C w  D w  Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện w   z   i  z   3i  số thực Tìm giá trị nhỏ z là? A 2 B C 3 25/29 D Phân loại toán số phức Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2i  z  Giá trị nhỏ biểu thức P  z  2i  z   9i A 70 B 10 C D 74 Câu 48: Cho số phức z thỏa điều kiện v   z  i   i  số ảo Tìm giá trị nhỏ z   3i A B 85 C 64 D 17 Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z là: A 2  2  B   C D   Câu 50: Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  z   i  z  1 4i , biết số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1   i  2 Tính M  n2 A M  n2  200 B M  n2  20  12 C M  n2  216 D M  n2  10  Câu 51: Tìm giá trị lớn z , biết số phức z thỏa mãn điều kiện 2  3i z 1   2i A B Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn: C D 1 i z   , đặt m  z ; M  max z , tìm 1 i m  iM A m  iM  10 B m  iM  C m  iM  10 D m  iM  Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn: z   i  , gọi z1 z2 số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ Giá trị z1  z2 A B C D Câu 54: [ Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 , giá trị lớn giá trị nhỏ z là: A 10 B C D Câu 55: Trong số phức z thỏa mãn z   z   , tìm số phức z có mơ-đun nhỏ A z   3i B z  1  3i C z  D z   i Câu 56: Trong số phức z thỏa mãn z  3i  iz   10 Hai số phức z1 z2 có mơ-đun nhỏ Hỏi tích z1.z2 26/29 Phân loại toán số phức A 25 B 25 C 16 D 16 Câu 57:( ĐHKH Huế Lần – 2017) Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  z1  z2  z3  Mệnh đề đúng? A z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 B z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 C z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 D z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 Câu 58: (Chuyên ĐHSP Hà Nội Lần 3-2017) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 2 z1  z2  Khi z1  z2  z1  z2 A B.4 C D Câu 59: (Sở Quảng Ninh-2017) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 2 z  z  z1  z2  z1  z2  Tính giá trị biểu thức P        z2   z1  A P   i B P  1  i C P  1 D P   i Câu 60: Xét số phức z thỏa mãn z  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  z  Giá trị M m A 3 B 13 C 27/29 13 D 39 Phân loại toán số phức Phần III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1, Kết luận: Trên tốn mà tơi đúc rút kinh nghiệm q trình giảng dạy tơi trường THPT Hồi Đức A Sau nghiên cứu thực giảng dạy theo đề tài gây hứng thú học tập cho học sinh giúp học sinh giải nhiều khó Giải dạng tập giúp học sinh rèn luyện khả tư duy, phát huy tính tích cực sáng tạo học tốn giúp học sinh hệ thống kiến thức phương pháp giải để học sinh tự tin bước vào kì thi Thực tế thực đề tài chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt Khảo sát trước làm đề tài: Học sinh câu 2, 3, 11, 38, 42 phần tập áp dụng đề tài Lớp Số Điểm Điểm 6,5 Điểm đến Điểm đến Điểm 12 HS 10 đến 6,5 A7 41 14,63% 10 24,39% 11 26,83% 12 29,27% 4,88% A13 40 7,5% 20% 13 32,5% 11 27,5% 12,5% Khảo sát sau làm đề tài: Học sinh câu 4, 6, 15, 39, 43 phần tập áp dụng đề tài Lớp Số Điểm - 10 Điểm 6,5 đến Điểm đến Điểm đến Điểm 12 HS 6,5 A7 41 22 53,66% 11 26,83% 17,07% 2,44% 0% A13 40 12 30% 16 40% 10 25% 5% 0% Đề tài kiểm nghiệm năm học 2017-2018, học sinh đồng tình đạt kết cao Các em học tập hứng thú hơn, tạo đam mê u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu 2, Khuyến nghị: Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh có nhiều tài liệu tham khảo đổi để học sinh tự học, tự nghiên cứu Nhà trường cần tổ chức buổi hội thảo với chuyên đề toán học để học sinh hiểu sâu kiến thức Đối với học sinh tăng cường khả tự học, học theo nhóm , tổ chức câu lạc để học sinh có hội thể thân Mặc dù cố gắng viết này, thời gian có hạn nên viết khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để viết hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội,ngày 15 tháng năm 2018 Tác giả 28/29 Phân loại toán số phức 1) 2) 3) 4) Đăng Thị Thủy Phần IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi thử THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017 số trường đề thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017 www.diendantoanhoc.net www.math.vn www.doc123.org.vn 29/29 ... học sinh số kĩ phát dạng toán số phức phương pháp giải toán số phức cách phù hợp 2/29 Phân loại toán số phức - Học sinh thơng hiểu trình bày tốn hợp logíc khơng mắc sai lầm giải toán số phức Hi... nắm vững phân dạng toán số phức 4/29 Phân loại toán số phức NỘI DUNG 4.1 LÝ THUYẾT 4.1.1 Định nghĩa Mỗi biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 gọi số phức Ký hiệu số phức z... nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z.z'  aa'bb'(ab'a' b)i 4.1.6 Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức