Phần I . Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Các phơng pháp cơ bản I. Phơng pháp đặt nhân tử chung 1. Phơng pháp + Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. + Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một hạng tử. + Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc. (Dựa và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng). 2. Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) 5xy - x 2 y 2 + 2x 2 y b) 2x(x-y) + 3y(y-x) c) 20xy(y+z) - 5(2y+2z)z 2 Bài làm a) 5xy - x 2 y 2 + 2x 2 y = xy(5-xy+2x) b) 2x(x-y) + 3y(y-x) = 2x(x-y) - 3y(x-y) = (x-y)(2x-3y) c) 20yz(y+z) - 5(2y+2z)z 2 = 20yz(y+z) - 10(y+z)z 2 = 10z(y+z)(2y-z) 3. Bài tập Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) 12xy 2 - 3xy + 3y b) 15x + 10y - 20z c) 5 2 x(y-2008) - 3y(y-2008) d) x(y+1) + 3(y 2 +2y+1) Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau. a) 85.12,7+5.3.12,7 b) x(x-y) + y(y-x) Với x=53 và y=3 c) 2x 3 (x-y) + 2x 3 (y-x) + 2x 3 (z-x) Với x=2008; y=2009; z=2010 II. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức. 1. Phơng pháp Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc dới dạng luỹ thừa của một đa thức đơn giản. * Môt số hằng đẳng thức 1. (A+B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 2. (A-B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 3. A 2 -B 2 = (A-B).(A+B) 4. (A+B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 5. (A-B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 6. A 3 +B 3 = (A+B)(A 2 -AB+B 2 ) 7. A 3 -B 3 = (A-B)(A 2 +AB+B 2 ) 8. (A+B+C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 +2AB + 2BC + 2AC 9. A n -B n = (A-B)(A n-1 +A n-2 B+ +AB n-2 +B n-1 ) 10. A 2k -B 2k = (A+B)(A 2k-1 -A 2k-2 B+ -B 2k-1 ) 11. A 2k+1 +B 2k+1 = (A+B)(A 2k -A 2k-1 B+A 2k-2 B 2 - +B 2k ) 12. (A+B) n = A n + nA n-1 B - ( 1) 1.2 n n A n-2 B 2 + + ( 1) 1.2 n n A 2 B n-1 + B n 13. (A-B) n = A n -nA n-1 B + ( 1) 1.2 n n A n-2 B 2 - +(-1) n B n 2. Ví dụ 2.1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) x 6 - y 6 b) 9x 2 + 6xy + y 2 c) (3x+1) 2 – (x+1) 2 d) x 3 - 3x 2 + 3x – 1 Bµi lµm a) x 6 - y 6 = (x 3 ) 2 -(y 3 ) 2 = (x 3 -y 3 )(x 3 +y 3 ) = [(x-y)(x 2 +xy+y 2 )][(x+y)( x 2 -xy+y 2 )] b) 9x 2 + 6xy + y 2 = (3x) 2 + 2.(3x)y + y 2 = (3x+y) 2 c) (3x+1) 2 – (x+1) 2 = [(3x+1)-(x+1)][(3x+1)+(x+1)] = 2x(4x+2) = 4x(2x+1) d) x 3 - 3x 2 + 3x – 1 = (x-1) 3 2.2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) a 3 + b 3 + c 3 - 3abc b) (a+b+c) 3 - a 3 - b 3 - c 3 Bµi lµm a) a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a+b) 3 – 3ab(a+b) + c 3 – 3abc = (a+b+c)[(a+b) 2 -(a+b)c+c 2 ] – 3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca) b) (a+b+c) 3 - a 3 - b 3 - c 3 = (a+b) 3 + c 3 + 3c(a+b)(a+b+c) – a 3 – b 3 – c 3 = 3(a+b)(ab+bc+ac+c 2 ) = 3(a+b)(b+c)(c+a) 3. Bµi tËp Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x-24) 2 - 25 b) 16 – (3-x) 2 c) (7x-4) 2 – (2x+1) 2 d) 49(y-4) 2 – 9(y+2) 2 Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 8x 3 + 27y 3 b) (x-1) 3 + (x+2) 3 c) 1 – y 3 + 6xy 2 – 12x 2 y +8x 3 d) 2008 2 16 III. phơng pháP nhóm nhiều hạng tử. 1. Phơng pháp - Sử dụng cac tích chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm. - áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán. 2. Ví dụ 2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 - x y 2 y b) 7x 2 7xy 4x + 4y c) x 2 2xy z 2 + y 2 d) xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz Bài làm a) x 2 - x y 2 y = (x 2 -y 2 ) (x+y) = (x+y)(x-y) (x+y) = (x+y)(x-y- 1) b) Cách 1: 7x 2 7xy 4x + 4y = (7x 2 7xy) (4x - 4y) = 7x(x-y) 4(x-y) = (x-y)(7x-4) Cách 2: 7x 2 7xy 4x + 4y = (7x 2 4x) (7xy - 4y) = x(7x-4) y(7x-4) = (x-y)(7x-4) c) x 2 2xy z 2 + y 2 = (x 2 2xy + y) z 2 = (x-y) 2 z 2 = (x-y-z)(x-y+z) d) xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz = [xy(x+y)+xyz)] + [yz(y+z)+xyz)]+xz(x+z) = xy(x+y+z) +yz(x+y+z) + xz(x+z) = y(x+y+z)(x+z) = xz(x+z) = (x+z)(xy+y 2 +yz+xz) = (x+z)(x+y)(y+z) 2.2 - Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz Bài làm a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz = (x 2 z + y 2 z + 2xyz) + x 2 y + xy 2 + x 2 z + yz 2 = z(x+y) 2 + xy(x+y) + z 2 (x+y) = (x+y)(xz+yz+xy+z 2 ) = (x+y)[(xz+xy)+(yz+z 2 )] = (x+y)[x(z+y)+z(y+z)] = (x+y)(x+z)(y+z) b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz = (x 2 y+ x 2 z+xyz) + (xy 2 +y 2 z+xyz) + (xz 2 +yz 2 +xyz) = x(xy+xz+yz) + y(xy+yz+xz) + z(xz+yz+xy) = (x+y+z)( xy+xz+yz) 3. Bài tập Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 4 + 3x 2 9x 27 b) x 4 + 3x 3 - 9x 9 c) a 3 a 2 x ay + xy Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x(y 2 - z 2 ) + y(z 2 - y 2 ) + z(x 2 - y 2 ) b) xy(x - y) xz(x - z) yz(2x + y - z) c) x(y + z) 2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 4xyz d) yz(y + z) + xz(z - x) xy(x + y) IV. Phơng pháp phối hợp nhiều phơng pháp 1. Phơng pháp Vận dụng linh hoạt các phơng pháp đã biết và thơng tiến hành theo trình tự sau: - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử 2. Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x 3 27x b) x 3 x + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 y Bài làm a) 3x 3 27x = 3x(x 2 9) = 3x(x - 3)(x + 3) b) x 3 x + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 y = (x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) (x + y) = (x + y) 3 (x + y) = (x + y)[(x + y) 2 1)] = (x + y)(x + y - 1)(x + y + 1) 3. Bài tập Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2a 2 b + 4ab 2 a 2 c + ac 2 4b 2 c + 2bc 2 4abc b) 8x 3 (x+z) y 3 z+2x) z 3 (2x-y) c) [(x 2 +y 2 )(a 2 +b 2 ) + 4abxy] 2 4[(a 2 +b 2 ) + ab(x 2 +y 2 )] 2 Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử. (x+y+z) 3 x 3 y 3 z 3 H ớng dẫn (x+y+z) 3 x 3 y 3 z 3 = [(x+y+z) 3 x 3 ] (y 3 + z 3 ) = (x + y + z - x)[(x + y + z) 2 + (x + y + z)x + x 2 ] (y + z)(y 2 yz + z 2 ) = (y + z)(x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz + xy + xz + x 2 + x 2 - y 2 + yz - z 2 ) = (y + z)(3x 2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(x + y)(y + z)(x + z) V. phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. 1. Phơng pháp Trong phơng pháp này ta tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để làm xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức 2. Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử. x 3 7x 6 Bài làm Cách 1: x 3 7x 6 = x 3 x 6x 6 = x(x 2 1) 6(x + 1) = (x + 1)(x 2 x 6) = (x + 1)(x 2 4 x 2) = (x + 1)[(x 2)(x + 2) (x+2)] = (x + 1)(x + 2)(x 3) Cách 2: x 3 7x 6 = x 3 4x 3x 6 = x(x 2 4) 3(x + 2) = (x + 2)(x 2 2x 3) = (x + 2)(x 2 1 2x 2) = (x + 2)[(x 1)(x + 1) 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x 3) 3. Bài tập Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 2x 3 b) x 2 6x + 5 c) x 2 10x + 16 d) x 2 + 14x + 48 Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 + 4x 2 29x + 24 b) x 3 + 6x 2 + 11x + 6 c) x 2 -7xy + 10y d) x 8 + x + 1 VI. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử. 1. Phơng pháp. Trong phơng pháp này ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện các nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đợc thành nhân tử bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đảng thức 2. Ví dụ 2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử. x 3 7x 6 = x 3 + 8 7x 14 = (x + 2)(x 2 2x + 4) 7(x + 2) = (x + 2)(x 2 2x - 3) = (x + 2)(x 2 2x + 1 4) = (x + 2)[(x 1) 2 4] = (x + 2)(x 1 2)(x 1 + 2) = (x + 2)(x 3)(x + 1) 2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 4 + 4y 4 b) x 8 + x +1 Bài làm a) x 4 + 4y 4 = x 4 + 4x 2 y 2 + 4y 4 4x 2 y 2 = (x 2 + 2y 2 ) 2 4x 2 y 2 =(x 2 + 2y 2 2xy)(x 2 + 2y 2 + 2xy) b) x 8 + x +1 = x 8 x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 4 1) + (x 2 + x + 1) c) = x 2 (x 2 1)(x 2 + 1) + (x 2 + x + 1) = x 2 (x - 1)(x 3 + 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 6 - x 5 + x 3 x 2 + 1) 3. Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 5 + x 4 + 1 b) x 8 + x 7 + 1 c) x 8 + 4 Bài 12. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 3 + 5x 2 + 3x 9 b) x 3 + 9x 2 + 11x 21 c) x 16 + x 8 2 Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 5x 2 + 8X -4 b) x 3 3x = 2 c) x 3 5x 2 + 3x + 9 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 e) x 3 +3x 2 + 6x + 4 * Một số phơng pháp khác VII. Phơng pháp đặt biến số (đặt biến phụ) 1. Phơng pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức thành đa thức dới biến mới dễ phân tích thành nhân tử hơn. 2. Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 6x 4 11x 2 + 3 b) (x 2 + x + 1) 2 (x 2 + x + 2) 12 c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 24 Bài làm a) Đặt x 2 = y. Đa thức đã cho trở thành: 6y 2 11y + 3 = (3y 1)(2y 3) Trả lại biến cũ: 6y 2 11y + 3 = (3x 2 1)(2x 2 3) = ( 3 x 1)( 3 x + 1)( 2 x - 3 )( 2 x + 3 ) b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 24 = (x 2 + 7x + 10)(x 2 +7x + 12) -24 Đặt x 2 + 7x + 11 = t . Suy ra: x 2 + 7x + 10 = t 1 x 2 +7x + 12 = t + 1 (x 2 + 7x + 10)(x 2 +7x + 12) -24 = (t 1)(t + 1) 24 = t 2 25 = (t 5) (t + 5) Trả lại biến cũ: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 24 = (x 2 + 7x + 11 5)( x 2 + 7x + 11 + 5) = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)( x 2 + 7x + 16) 3. Bài tập Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x 2 + x) 2 2(x 2 + x) 15 b) (x 2 + 2x) 2 + 9x 2 + 18x + 20 c) (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x(x 2 + 4x + 8) + 2x 2 Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử. [...]... 1, n 2 Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) A = x3 + 11x + 30 Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1 Nên nếu A phân tích đợc thì A có dạng: A = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số ta có: a + b = 0 ab + c = 11 ac = 30 Chọn a=2 c = 15; b = -2 Vậy x3 + 11x + 30 = (x + 2)(x2 -2x + 15) b) B = x4 14x3 + 15x2 . x 3 + 11x + 30 = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số ta có: 0 11 30 a b ab c ac + = + = = Chọn a=2 c = 15; b = -2 Vậy x 3 + 11x + 30. 5) Trả lại biến cũ: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 24 = (x 2 + 7x + 11 5)( x 2 + 7x + 11 + 5) = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)( x 2 + 7x