Hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGOAN HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGOAN HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VƠ TẬN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường Thầy nhiệt tình hướng dẫn cho tác giả lời khuyên quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy ln động viên khích lệ tác giả cố gắng vươn lên học tập Tác giả bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Tốn tổ Giải tích q thầy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành chương trình cao học luận văn tốt nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD ĐT Hà Nội, ban Giám hiệu trường THPT Đông Anh, tổ Tốn trường THPT Đơng Anh, Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ngoan LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn trực tiếp TS Bùi Kiên Cường Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ngoan Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM 1.1 Không gian hàm suy rộng tăng chậm 1.2 Đạo hàm hàm suy rộng 14 1.3 Tích chập phép biến đổi Fourier 15 LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN 26 2.1 Các không gian hàm suy rộng ơn hòa 26 2.2 Lớp biểu trưng tổng quát (SG-symbols) toán tử 28 2.3 Lớp hàm suy rộng tăng chậm phân rã vô tận 32 2.3.1 Hàm suy rộng giảm nhanh 32 2.3.2 Hàm suy rộng s−giảm, s ∈ R 42 KẾT LUẬN 51 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong phân tích phương trình đạo hàm riêng, lớp hàm suy rộng tăng chậm S (Rd ) kỹ thuật dựa phép biến đổi Fourier sử dụng rộng rãi Tuy nhiên, số tốn kiểu tồn cục biến khơng gian, cần thiết phải biết dáng điệu nghiệm toán Cauchy |x| → ∞, ta cần phải xét hàm suy rộng đốn triệt tiêu vơ cực Điều thực tác động đến số tác giả, nghiên cứu tồn nghiệm số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên kiểu hypebolic, với (t, x)− phụ thuộc hệ số chấp nhận dáng điệu đa thức x |x| → ∞ Trong báo [3], cỏc tỏc gi Alessia Ascanelli, Sandro Coriasco v Andrộ Să uß nghiên cứu lớp hàm suy rộng tăng chậm có tính chất phân rã vô tận, đặc trưng phần tử thuộc lớp nghiên cứu tính chất phép biến đổi tích phân Fourier SG phần tử thuộc khơng gian hàm Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp không gian hàm suy rộng tăng chậm phân rã vô tận, hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài: "Hàm suy rộng tăng chậm phân rã vô tận" để nghiên cứu thực luận văn tốt nghiệp Với nội dung nghiên cứu này, phần lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Kết tập trung Chương Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết lý thuyết hàm suy rộng không gian hàm suy rộng MỞ ĐẦU tăng chậm, không gian hàm giảm nhanh, đạo hàm hàm suy rộng phép biến đổi Fourier Chương luận văn trình bày số định nghĩa không gian DLp (Rd ), p ∈ (1, +∞], không gian hàm suy rộng ơn hòa lớp SG-biểu trưng, với phép tính giả vi phân tốn tử tích phân Fourier tương ứng chúng Sau đó, luận văn trình bày đặc trưng S (Rd )∞ S (Rd )s theo nghĩa tích chập Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa lớp khơng gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rd ) Trình bày lớp không gian hàm suy rộng tăng chậm phân rã vơ tận với tính chất phép biến đổi tích phân Fourier SG lớp hàm Nhiệm vụ nghiên cứu Làm báo cáo tổng quan thể đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội dung phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (R), không gian hàm suy rộng tăng chậm phân rã vơ tận, phép biến đổi tích phân Fourier SG Đặc trưng S (Rd )∞ S (Rd )s theo nghĩa tích chập cấu trúc kết Phạm vi nghiên cứu : Các báo tài liệu nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt tài liệu nước vấn đề mà luận văn đề cập tới BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT N: Tập hợp số tự nhiên N∗ : Tập hợp số nguyên dương |α| : Bậc đa số α, d αi , α = (α1 , , αd ) ∈ N∗ |α| = i=1 R: Tập hợp số thực Rd : Không gian Euclide d-chiều C: Tập hợp số phức Zd+ : Zd+ = {z = (z1 , , zd ) | zj ∈ Z+ , j = 1, 2, , d} C∞ : Không gian hàm khả vi vô hạn C0∞ (Ω) : Tập hợp hàm khả vi vô hạn giá compact C0 (Rn ) : Khơng gian hàm liên tục có giá compact D(Ω) : Không gian hàm S (Rd ) : Không gian hàm giảm nhanh S (Rd ) : Không gian hàm tăng chậm (f ∗ g)(x) : Tích chập f g , (f ∗ g)(x) = Rd f (y)g(y − x)dy f , F(f ) : Biến đổi Fourier hàm f F −1 (f ), fˇ : Biến đổi Fourier ngược hàm f F, fˆ : Liên hợp biến đổi Fourier hàm f X α f (x) : Toán tử nhân, X α f (x) = xα f (x) Lp : Không gian hàm đo Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn, BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT f Lp (Ω) p |f (x)| dx = p Ω H t,τ (Rd ) : Không gian Sobolev-Kato Dα f : Đạo hàm cấp α f, Dα f = (−1)|α| Dα f Chương KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM Trong chương này, luận văn trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết lý thuyết hàm suy rộng phép biến đổi Fourier Tài liệu tham khảo chương [1],[2]và [17] 1.1 Không gian hàm suy rộng tăng chậm Cho N = {1, 2, } tập hợp số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập hợp số nguyên không âm, R tập hợp số thực, C tập hợp √ số phức Đơn vị ảo −1 = i Trong toàn luận văn, với số tự nhiên d ∈ N, tập Rd không gian Euclide d-chiều Chuẩn Euclide với x = (x1 , x2 , , xd ) ∈ Rd 1/2 d x2k x = k=1 tích vô hướng d xy = x k yk k=1 Ký hiệu tập Zd+ = {z = (z1 , , zd )|zj ∈ Z+ , j = 1, 2, , d}; C tập √ hợp số phức với đơn vị ảo −1 = i Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN Bổ đề 2.3 Với m ∈ R, ta có S m,−∞ (R2d ) = S m (Rd ) ⊗π S (Rd ) Chứng minh Điều suy từ kết tổng quát không gian véc tơ tôpô (xem [16]), đồng thời để ý S m,−∞ (R2d ) = S m (Rd , S −∞ (Rd )) = S m (Rd , S (Rd )) S (Rd ) không gian hạch (nuclear space) Nhận xét 2.4 Theo định nghĩa π -tích đầy đủ không gian Fréchet trên, Bổ đề 2.3 suy rằng, với a ∈ S m,−∞ (R2d ), tồn dãy {bj }j∈N ⊂ S m (Rd ), {cj }j∈N ⊂ S (Rd ), λ∈ , cho dãy {bj }j∈N , {cj }j∈N bị chặn, ta có N λj (bj ⊗ cj ) −→ a aN = j=1 N −→ +∞ không gian tôpô S m,−∞ (R2d ) Tiếp theo kết quan trọng dùng cho việc chứng minh Định lý 2.7 Định lý 2.8 Giả sử ϕ hàm pha SG m ∈ R (a) Nếu b ∈ S m (Rd ), χ ∈ S (Rd ), c = χ đặt a(x, ξ) = (b ⊗ c)(x, ξ) = b(x) · c(ξ) ∈ S m,−∞ (R2d ), u ∈ S (Rd )∞ (b) =⇒ Opϕ (a)u ∈ S (Rd ) Kết với a ∈ S m,−∞ (R2d ) Chứng minh (a) Từ giả thiết cho, với u ∈ S (Rd )∞ , ψ ∈ S (Rd ), theo định nghĩa (tính đối ngẫu) tác động tốn tử tích phân Fourier SG loại I hàm suy rộng tăng chậm, ta có (Opϕ (a)u)(ψ) = u(ψ), 39 Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VƠ TẬN ψ(y) = (2π)−d ei(− y,ξ +ϕ(x,ξ)) = (2π)−d Fξ→y χ(ξ) a(x, ξ)ψ(x)dxdξ eiϕ(x,ξ) b(x)ψ(x)dx = (2π)−d F·→y (χg), eiϕ(x,ξ) b(x)ψ(x)dx ∈ S (Rd ), g(ξ) = xem [4] Theo định nghĩa biến đổi Fourier S (Rd ) u ∗ χ ∈ S (Rd ), điều kéo theo χu = u ∗ χ ∈ S (Rd ), ta suy (Opϕ (a)u)(ψ) = u(ψ) = (2π)−d u(χg) = (2π)−d (χu)(g) = (2π)−d = (2π)−d = (χu)(ξ)g(ξ)dξ (χu)(ξ)eiϕ(x,ξ) b(x)ψ(x)dxdξ b(x)(2π)−d eiϕ(x,ξ) u ∗ χ(ξ)dξ ψ(x)dx = (b · Opϕ (1)(u ∗ χ))(ψ) Theo tính chất liên tục tốn tử tích phân Fourier SG loại I, ta có Opϕ (a)u = b · Opϕ (1)(u ∗ χ) ∈ S (Rd ) (b) Theo Bổ đề 2.3 Nhận xét 2.4, tồn dãy {aN }N ∈N ⊂ S m,−∞ (R2d ) tổ hợp tuyến tính hữu hạn N aN = λj aj j=1 tích tenxơ có dạng aj (x, ξ) = (bj ⊗ χj )(x, ξ), bj ∈ S m (Rd ), χj ∈ S (Rd ), j ∈ N, 40 Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN cho ta có aN −→ a khơng gian tơpơ S m,−∞ (R2d ), với λ = {λj } ∈ , {bj } bị chặn S m (Rd ), {χj } bị chặn S (Rd ) Điều kéo theo Opϕ (aN ) −→ Opϕ (a), N −→ +∞, (2.9) tốn tử tuyến tính từ S (Rd ) vào nó, tốn tử tuyến tính từ S (Rd ) vào Hơn nữa, theo phần (a) định lý này, với N ∈ N, ta có N λj bj · Opϕ (1)(u ∗ χj ) ∈ S (Rd ) vN = Opϕ (aN )u = (2.10) j=1 Tiếp theo, ta {vN } dãy Cauchy S (Rd ) dẫn đến hội tụ đến v ∈ S (Rd ) Điều kết hợp với (2.9), ta chứng minh khẳng định, Opϕ (a)u = lim Opϕ (aN )u = N →+∞ lim vN = v ∈ S (Rd ) N →+∞ Thật vậy, theo (2.10), từ tính bị chặn {bj } {χj }, tính liên tục S (Rd ) bj = Op(bj ⊗ 1) Opϕ (1), đồng thời kết hợp với Hệ 2.1, với nửa chuẩn pk S (Rd ), tồn nửa chuẩn pl S (Rd ) số q(u) cho với M ≥ N , ta có M pk (vM − vN ) λj bj · Opϕ (1)(u ∗ χj ) = pk j=N M ≤ |λj |pk (bj · Opϕ (1)(u ∗ χj )) j=N M |λj |pl (u ∗ χj ) j=N M |λj | < ε, q(u) j=N với N đủ lớn, {λj } ∈ Sau chứng minh Định lý 2.7 41 Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN Chứng minh Định lý 2.7 Bằng phép tính tốn tử tích phân Fourier SG, với χ ∈ S (Rd ), m, µ ∈ R, a ∈ S m,µ (R2d ), u ∈ S (Rd )∞ ϕ trên, đồng thời đặt p(x, ξ) = χ(ξ) ∈ S 0,−∞ (R2d ), ta có (Opϕ (a)u) ∗ χ = (Op(p) ◦ Opϕ (a))u = Opϕ (h)u, với h ∈ S m,−∞ (R2d ) Khi đó, theo Định lý 2.8 (b) Bổ đề 2.1, ta suy ∀χ ∈ S (Rd ) (Opϕ (a)u) ∗ χ ∈ S (Rd ) ⇐⇒ Opϕ (a)u ∈ S (Rd )∞ Định lý chứng minh hoàn toàn Tiếp theo, ta nói đến lớp hàm suy rộng tăng chậm khác mà có tốc độ phân rã hữu hạn vô tận 2.3.2 Hàm suy rộng s−giảm, s ∈ R Định nghĩa 2.11 Cho s ∈ R Hàm suy rộng u ∈ S (Rd ) gọi hàm suy rộng s-giảm (s-decreasing distribution) với s ∈ R · s u ∈ DL∞ (Rd ) Ký hiệu S (Rd )s không gian tất hàm suy rộng s−giảm Định nghĩa 2.12 Với r ∈ R, Khơng gian L1r (Rd ) có trọng định nghĩa L1r (Rd ) = = · f : Rd −→ C đo : −r f L1r (Rd ) := |f (x)| x r dx < +∞ L1 (Rd ) Không gian DL1r (Rd ) tương ứng định nghĩa DL1r (Rd ) = {ψ ∈ E (Rd ) : ∀α ∈ Zd+ , Dα ψ ∈ L1r (Rd )}, (2.11) với khái niệm hội tụ cách tự nhiên, nghĩa là, giống Định nghĩa 2.1, (1), với chuẩn L1r thay cho chuẩn Lq 42 Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN Chú ý rằng, ta có d r ∞ d (L1r (Rd )) ≡ L∞ −r (R ) = · L (R ) Bổ đề 2.4 Với r ∈ R, ta có ψ ∈ DL1r (Rd ) ⇐⇒ x r ψ ∈ DL1 (Rd ) Chứng minh Ta kiểm tra rằng, với ψ ∈ E (Rd ), ta có ψ ∈ DL1r (Rd ) ⇐⇒ ∀α ∈ Zd+ , · r Dα ψ ∈ L1 (Rd ) ⇐⇒ ∀α ∈ Zd+ , Dα ( · r ψ) ∈ L1 (Rd ) (2.12) ⇐⇒ · r ψ ∈ DL1 (Rd ) Sự tương đương (2.12) với α = với |α| ≤ Thật vậy, |α| = · r Dα ψ = Dα (ψ · r ) − ψ(Dα · r ) = Dα (ψ · r ) − (ψ · r ) · gα , gα ∈ S −1 (Rd ), S −1 (Rd ) ⊂ S (Rd ) ⊂ L∞ (Rd ) ∩ C ∞ (Rd ) =⇒ S −1 (Rd ) · L1 (Rd ) ⊂ L1 (Rd ) Khi đó, mặt ta thu · r Dα ψ ∈ L1 (Rd ), |α| ≤ ⇒ Dα ( · r ψ) = · r Dα ψ + (ψ · r ) · gα ∈ L1 (Rd ), với |α| ≤ Mặt khác, ta lại có Dα ( · r ψ) ∈ L1 (Rd ), |α| ≤ ⇒ · r Dα ψ = Dα (ψ · r ) − (ψ · r ) · gα ∈ L1 (Rd ), với |α| ≤ Bây giờ, ta tiếp tục phép quy nạp |α|, nghĩa là, giả sử (2.12) với ψ ∈ E (Rd ) với α ∈ Zd+ thỏa mãn |α| ≤ k, k ≥ Ta đặt |α| = k + 43 Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN Suy α = β + γ, |β| = k, |γ| = Khi đó, (2.12) với |α| ≤ k · r Dα ψ ∈ L1 (Rd ), |α| ≤ k + ⇒ Dα ( · r ψ) = Dβ ( · r Dγ ψ) + Dβ ((ψ · r ) · gγ ) ∈ L1 (Rd ), |α| ≤ k + (I) (II) Thật vậy, từ giả thiết ta có · r Dγ ψ ∈ L1 (Rd ) ∩ C ∞ (Rd ) theo giả thiết quy nạp ta có Dβ ( · r Dγ ψ) ∈ L1 (Rd ) ⇐⇒ · r (Dβ (Dγ ψ)) ∈ L1 (Rd ), điều |β + γ| = |α| = k + Thành thử, (I) ∈ L1 (Rd ) Điều (II) theo cơng thức Leibniz giả thiết quy nạp, tổ hợp tuyến tính hữu hạn số hạng L1 (Rd ) Mặt khác, ta có (2.12) với |α| ≤ k Dα ( · r ψ) ∈ L1 (Rd ), |α| ≤ k + ⇒ · r Dα ψ = Dα ( · r ψ) − (I) · r Dβ ψ · gαβ ∈ L1 (Rd ), |α| ≤ k +1 β≤α |β| thích hợp, miễn số phân rã s đủ lớn Định lý 2.10 Giả sử m, µ ∈ R, a ∈ S m,µ (R2d ) ϕ hàm pha SG quy, nghĩa là, ϕ có giá trị thực, ϕ ∈ S 1,1 (R2d ) thỏa mãn d d (2.5), (2.6) Hơn nữa, giả sử s > ε ∈ (0, δ] , δ = s − Khi đó, ta có 2 d d Opϕ (a) : S (R )s −→ S (R )s−m− d −ε Chứng minh Theo Định lý 2.9 (c), với u ∈ S (Rd )s , tồn M ∈ N, β ∈ Zd+ , fj ∈ L∞ (Rd ) ∩ C(Rd ), j = 1, , M, cho M D βj ( · u = −s fj ) j=1 Đặt δ = s− d > cố định ε ∈ (0, δ] Khi đó, ta có gj = · − d2 −ε fj ∈ L2 (Rd ), fj ∈ L∞ (Rd ), j = 1, , M · − d2 −ε ∈ L2 (Rd ) = H 0,0 (Rd ) Bằng cách đặt k = s− d − ε ≥ κ = − max |βj | ≤ 0, j ta suy M u = i|βj | Dβj · −s+ d2 +ε i|βj | Dβj · −k (· − d2 −ε fj ) j=1 M = j=1 48 gj ∈ H k,κ (Rd ) Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VƠ TẬN Thật vậy, theo tính chất ánh xạ toán tử giả phân SG không gian Sobolev–Kato, bao hàm chúng hai số tăng, ta có gj ∈ H 0,0 (Rd ) =⇒ i|βj | Dβj · −k gj ∈ H k,−|βj | (Rd ) ⊆ H k,κ (Rd ), j = 1, , M =⇒ u ∈ H k,κ (Rd ) Theo Định lý 2.3 (b), ta có Opϕ (a)u ∈ H k−m,κ−µ (Rd ) Bây giờ, với χ ∈ S (Rd ) tùy ý, cách đặt c(x, ξ) = χ(ξ) ∈ S 0,−∞ (Rd ), lại theo tính chất ánh xạ toán tử giả vi phân SG không gian Sobolev–Kato, ta suy (Opϕ (a)u) ∗ χ = Op(c)(Opϕ (a)u) ∈ H k−m,+∞ (Rd ) = · =⇒ · s−m− d2 −ε ((Opϕ (a)u) ∗ χ) ∈ · m−k H 0,+∞ (Rd ) s−m− d2 −ε+m−s+ d2 +ε H 0,+∞ (Rd ) = H 0,+∞ (Rd ) Để ý rằng, theo Bổ đề Sobolev, H 0,+∞ (Rd ) ⊂ C ∞ (Rd ) w ∈ H 0,+∞ (Rd ) =⇒ Dα w ∈ L∞ (Rd ) với α ∈ Zd+ Khi đó, ta kết luận · s−m− d2 −ε ((Opϕ (a)u) ∗ χ) ∈ L∞ (Rd ) ∩ C ∞ (Rd ) Từ đó, theo Định lý 2.9 (b) ta có điều cần chứng minh 49 Chương LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN Kết luận Chương Trong Chương này, tác giả trình bày tổng quan lớp hàm suy rộng tăng chậm phân rã vơ tận tính chất ánh xạ khơng gian đó, dựa kết tài liệu tham khảo số [3] Chương trình bày được: • Một số khái niệm khơng gian không gian hàm giảm nhanh đối ngẫu chúng • Biểu trưng tổng quát tốn tử tích phân Fourier tương ứng với số tính chất điển hình chúng • Khái niệm không gian hàm suy rộng tăng chậm phân rã vơ tận với tính chất tốn tử tích phân Fourier SG lớp khơng gian 50 KẾT LUẬN Luận văn “Hàm suy rộng tăng chậm phân rã vơ tận” trình bày số vấn đề sau: Trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết lý thuyết hàm suy rộng không gian hàm suy rộng tăng chậm, không gian hàm giảm nhanh, đạo hàm hàm suy rộng phép biến đổi Fourier Trình bày số định nghĩa không gian DLp (Rd ), p ∈ (1, +∞], không gian hàm suy rộng ôn hòa lớp SG-biểu trưng, với phép tính giả vi phân tốn tử tích phân Fourier tương ứng chúng Luận văn trình bày đặc trưng S (Rd )∞ S (Rd )s theo nghĩa tích chập cấu trúc kết Hơn nữa, luận văn rằng, ánh xạ tốn tử tích phân Fourier SG quy từ S (Rd )s vào S (Rd )s−m− d −ε , ε ∈ (0, δ], với δ > thích hợp, miễn số phân rã s đủ lớn 51 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Đặng Anh Tuấn, (2005), Lý thuyết hàm suy rộng khơng gian Sobolev, Giáo trình [2] Vũ Nhật Huy, (2012), Nghiên cứu tính chất hàm số thơng qua giá phép biến đổi Fourier, Luận án tiến sĩ [B] Tiếng Anh [3] Alessia Ascanelli, Sandro Coriasco, André Să uò, (2017), On Temperate Distributions Decaying at Infinity, Springer International Publishing, Vol 260, pp 1-18 [4] Ascanelli, S Coriasco, A Sub, (2016), solution theory of hyperbolic stochastic partial differential equations with polynomially bounded coefficients, arXiv: 1610.01208 [5] H.O Cordes., (1995), The Technique of Pseudodifferential Operators Cambridge Univ Press [6] S Coriasco, (2002), Fourier Integral Operators in SG classes I: Composition Theorems and Action on SG Sobolev Spaces, Rend Sem, Mat Univ Politec Torino, 57, (1999), pp 249-302 [7] S Coriasco, K Johansson, J Toft, (2013), Global wave-front sets of Banach, Frechet and Modulation space types, and pseudo-differential operations, J.Differential Equations, 254, pp 3228-3258 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [8] S Coriasco, M Ruzhansky, (2014), Global Lp -continuity of Fourier Intergral Operators Trans Amer Math Soc., 366, 5, pp 2575-2596 [9] Y.V Egorov, B-W Schulze, (1997), Pseudo-differential operetors, singularities, applications, Operator Theory: Advances and Applications 93, Brikhauser Verlag, Basel [10] R Melrose, (1995), Geometric scattering theory, Stanford Lectures, Cambridge University Press, Cambridge [11] M.Oberguggemberger, M.Schwarz, (2014), Fourier Integral Operators in Stochastic Structural Analysis Proceedings of the 12th International Probabilistic Workshop [12] C Parenti, (1972), Operatori pseudodifferenziali in Rn e applicazioni, Ann Mat Pura Appl., 93, pp 359-389 [13] M Ruzhansky, M Sugimoto, (2006), Global L2 boundedness theorems for a class of Fourier integral operations Comm Partial Differential Equations, 31, pp 547-569 [14] E Schrohe, (1986), Spaces of weighted symbols and weighted Sobolev spaces on manifolds In: H.O Cordes, B Gramsch, and H Widom (eds), Proceedings, Oberwolfach, Springer LMN, New York, 1256, pp 360-377 [15] L Schwartz, (2010), Théorie des Distributions Hermann, 2nd edition [16] F Trèves, (1967), Topological Vector Spaces, Distriutions, and Kernels, Academic Press [17] V.S Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Generalized Functions, Taylor Francis, London, New York 53 ... LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VƠ TẬN 26 2.1 Các khơng gian hàm suy rộng ơn hòa 26 2.2 Lớp biểu trưng tổng quát (SG-symbols) toán tử 28 2.3 Lớp hàm suy rộng tăng chậm phân rã vô tận. .. hàm suy rộng tăng chậm f hàm suy rộng tăng chậm Nói cách khác, đạo hàm suy rộng Dα f phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian S (Rd ) Do đó, đạo hàm Dα f hàm suy rộng thuộc không gian hàm tăng chậm. .. hàm suy rộng tăng chậm 13 ∀ϕ ∈ S (Rd ) Chương KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM 1.2 Đạo hàm hàm suy rộng Định nghĩa 1.4 Cho hàm suy rộng f ∈ S (Rd ), α = (α1 , , αd ) ∈ Zd+ Đạo hàm suy