Phương pháp phân rã dantzig wolfe giải bài toán quy hoạch kích thước lớn

Khóa luận tốt nghiệp hệ đại học chính quy về Phương pháp phân rã dantzig wolfe giải bài toán quy hoạch kích thước lớn Kèm file nguồn Tex cho các bạn dễ dàng tham khảo cách gõ cũng như cách trình bày luận văn bắng Latex

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Trịnh Văn Hải PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DANTZIG-WOLFE GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH KÍCH THƯỚC LỚN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Toán - Tin ứng dụng Người hướng dẫn: ThS Trần Đình Quốc Hà Nội - 2008 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô môn Giải tích nói riêng dạy bảo dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Như Thắng, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên Hà Thị Ngoan Phần mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến nghiên cứu sâu rộng Sau báo [3] Brezis-Nirenberg, phương trình nửa tuyến tính với số mũ Sobolev thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, xem [1,5,10,15] Trường hợp số mũ tới hạn kép nghiên cứu lần đầu vào năm 90 gần tiếp tục mở rộng xét hàm trọng đổi dấu hay xét toán tử suy biến [9,16,17] Trong luận văn xét lớp toán nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Sobolev, xuất biên vế phải:     −∆u + u = |u|p−2 u,    ∂u = λ|u|q−2 u, ∂n Ω (1) ∂Ω Ω ⊂ RN , N ≥ 3, miền bị chặn với biên trơn, n véc-tơ pháp tuyến đơn vị λ tham số dương Các số mũ thỏa mãn điều kiện < p < 2∗ = 2N , N −2 < q < 2∗b = 2(N − 1) N −2 (2) Chúng chọn đề tài nghiên cứu luận văn "Đa tạp Nehari cho toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến" dựa báo [17] năm 2013 Zhang Liu Với đề tài này, sử dụng đa tạp Nehari phương pháp thớ để chứng minh kết nghiệm bội cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến Chúng hạn chế p, q thỏa mãn trường hợp sau: (a) p = 2∗ , q ∈ (1, 2) (b) p ∈ (2, 2∗ ), q = 2∗b (c) p = 2∗ , q = 2∗b Khi đó, luận văn trình bày chi tiết kết sau: Định lí (Zhang& Liu) Tồn số dương λ∗ cho với λ ∈ (0, λ∗ ), toán (1) có hai nghiệm dương Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu, tổng hợp trình bày kết tồn nghiệm bội dương toán biên nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến xuất biên vế phải, với số mũ Sobolev tới hạn Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết tìm hiểu lí thuyết đa tạp Nehari kĩ thuật ánh xạ phân thớ, sau đó, chứng minh tồn hai nghiệm dương toán tham số λ đủ nhỏ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu lớp toán elliptic nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến xuất vế phải biên, thỏa mãn điều kiện tới hạn tới hạn Phạm vi nghiên cứu tồn nghiệm bội dương toán (1) toán rẽ nhánh từ giá trị riêng toán giá trị riêng tương ứng q = Định hướng phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức học phương trình elliptic, giải tích hàm phi tuyến việc tham khảo tài liệu báo liên quan Để giải toán (1), sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu điểm tới hạn phiếm hàm: J(u) = (| u|2 + |u|2 ) dx − Ω p |u|p dx − Ω λ q |u|q ds (3) ∂Ω Để chứng minh tồn nghiệm toán cho, kết hợp hướng tiếp cận phân thớ đề xuất Drabek-Pohozaev [6] kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari Để vượt qua khó khăn trường hợp số mũ tới hạn kép (cả p q trùng với số mũ tới hạn), sử dụng phương pháp compact tập trung đề xuất Lions [10] vận dụng ý tưởng [9] Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến, đưa vài khái niệm sơ ánh xạ thớ đa tạp Nehari, kết tính lồi-lõm trường hợp tới hạn Chương Sự tồn nghiệm dương toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến Trong chương 2, trình bày tồn nghiệm dương toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến trường hợp số mũ tới hạn toán rẽ nhánh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu hệ Trong luận văn ta xét toán elliptic nửa tuyến tính:     −∆u + u = |u|p−2 u Ω,    ∂u = λ|u|q−2 u ∂n (1.1) ∂Ω, đó, Ω ⊂ RN miền bị chặn với biên ∂Ω trơn N ≥ ∂ ∂n đạo hàm theo hướng pháp tuyến λ > tham số Chú ý toán (1.1) có số hạng phi tuyến Một số hạng |u|p−2 u lấy từ phương trình số hạng |u|q−2 u lấy từ điều kiện biên Ở đây, số mũ p q thỏa mãn: 1 cho toán (1.1) có nghiệm dương với λ ∈ (0, λ3 ) Chứng minh Theo định nghĩa vε (xem (2.18)) với t > t2 J(tvε ) = vε ∗ ∗ t2 − ∗ 2∗ |vε | Ω t2b dx − λ ∗ 2b ∗ |vε |2b ds (2.20) ∂Ω Vì J(tvε ) → −∞ t → ∞ J(tvε ) > với t đủ nhỏ, tồn t0 > cho sup J(tvε ) = J(t0 vε ) t≥0 Khi vε ∗ − t20 2∗ −2 ∗ −2 ∗ |vε |2 dx − λt0b Ω |vε |2b ds = o(1) (2.21) ∂Ω Từ (2.21) (2.19) có ∗ t20 −2 2∗ −2 , λt0b ≤ vε 2∗ ∗ |vε |22∗ ,Ω + |vε |2b∗ ,∂Ω b = α2 uε (2.22) 2∗ ∗ ∗ ∗ α2 |uε |22∗ ,Ω + α2b |uε |2b∗ ,∂Ω b ≤ α2 uε , ∗ ∗ ∗ α2 , α2b |uε |22∗∗ ,Ω + |uε |2b∗ ,∂Ω b α = |uε |22∗ ,Ω +|uε |22∗ ,∂Ω b Điều dễ thấy α → +∞ ε → Khi tồn α > cho α2 < ∗ ∗ 2∗b ∗ 2 ε→0 α , α b |u |2 2∗ ,Ω + |u1 |2∗ ,∂Ω lim b Do từ (2.22) có ∗ 2∗ −2 t20 −2 , λt0b 1 ∗ < S˜ nghĩa t0 < max S˜ 2∗ −2 , S˜ 2b −2 t20 S˜ 2∗ b ∗ ∗ < max S˜ 2∗ −2 , S˜ 2b −2 36 λ 2∗ −2 b λ 2∗ −2 b , Từ (2.20) ta có t2 J(t0 vε ) = vε ∗ t2 − 0∗ 2∗ |vε | Ω ≤ t20 2∗ tb dx − λ 0∗ 2b ∗ |vε |2b ds ∂Ω  vε − max = − max < 1 − ∗ 2b 1 , 2∗ 2∗b 1 , 2∗ 2∗b  t20∗ 2∗ ∗ ∗ |vε |2 dx + λt0b Ω |vε |2b ds ∂Ω t20 S˜ 2∗ b ∗ ∗ max S˜ 2∗ −2 , S˜ 2b −2 λ 2∗ −2 b Lấy ε đủ nhỏ cho sup J(tv) < t>0 1 − ∗ 2b 2∗ b ∗ ∗ max S˜ 2∗ −2 , S˜ 2b −2 λ 2∗ −2 b , cuối với λ ∈ (0, λ∗∗ ) có − α < 1 − ∗ 2b max S˜ 2∗ 2∗ −2 , S˜ 2∗ b 2∗ −2 b λ 2∗ −2 b Điều phải chứng minh Lấy λ3 = {λ∗∗ , λ∗ } Tương tự chứng minh Định lý 1.2, có tồn nghiệm toán với hai số mũ tới hạn Chứng minh Định lý 1.4 Chứng minh tương tự Định lý 1.2, sử dụng Mệnh đề 2.9 thay cho Mệnh đề 2.5 2.2 Kết rẽ nhánh: trường hợp q=2, 1 Ω u ∈ H (Ω) : u = u  ,  −λ   |u|2 ds >  ∂Ω Tương tự, định nghĩa B− , B0 , L− , L0 thay “ > ”bởi “ < ”hoặc “ = ” Do có hai trường hợp sau: Trường hợp (I) u |u|2 ds > 0; −λ ∂Ω Trường hợp (II) u |u|2 ds < −λ ∂Ω Chúng ta ý rằng, trường hợp (I), φu (t) < với t đủ nhỏ φu (t) → +∞ t → ∞ với u ∈ B+ ∩ L+ ánh xạ thớ φu (t) có cực tiểu địa phương điểm    tmin =    u p |u| dx Ω −λ ∂Ω 39  2−p     |u| ds  , thỏa mãn tmin u ∈ N Đồ thị φu xem hình 2.1 Trong trường hợp (II), có u ∈ B+ ∩ L− φu (t) ngặt giảm với t > 0, φu điểm chuyển hướng u nằm N Đồ thị φu xem hình 2.1 Giả sử < λ < λ1s , u −λ |u|2 ds > u |u|2 ds ≥ − λ1 ∂Ω ∂Ω với u ∈ H (Ω) \ {0} , L− L0 rỗng Khi có kết sau Mệnh đề 2.10 Giả sử < λ < λ1S Khi N + bị chặn J bị chặn N + Chứng minh Giả sử {un } ⊆ N + không bị chặn Khi tồn dãy con, kí hiệu {un } ⊆ N + cho un → ∞ n → ∞ Lấy = un un , không tính tổng quát giả sử tồn v0 ∈ H (Ω) cho v0 H (Ω) → v0 L2 (∂Ω) Lp (Ω), < p < Từ un ∈ N + , có  −λ un |vn |2 ds =   un |un |2 ds −λ ∂Ω ∂Ω |un un = |p |vn |p dx un 2−p dx = Ω Ω → n → ∞ 40 (2.24) Bây chứng minh → v0 H (Ω) Giả sử ngược lại Khi v0 < lim inf n→∞ v0 −λ |v0 |2 ds < lim inf n→∞ ∂Ω Do đó, v0 v0 −λ |vn |2 ds = ∂Ω ∈ L− , điều L− = ∅ Do → v0 H (Ω) Do đó, v0 = v0 |v0 |2 ds = 0, −λ ∂Ω v0 ∈ L0 điều không xảy L0 = ∅ Do N + bị chặn Bây chứng minh J bị chặn N + Với un ∈ N + , theo Định lý phép nhúng Sobolev thực tế N + bị chặn, có J(un ) = 1 − p |un |p dx Ω ≥ 1 − p (2.25) C1p un p , C1 số phép nhúng Sobolev Bởi J bị chặn N + Điều phải chứng minh Mệnh đề 2.11 Giả sử < λ < λ1S Khi tồn cực tiểu J N + Chứng minh Từ J bị chặn N + , lấy dãy cực tiểu {un } ⊆ N + cho inf J(u) = lim J(un ) u∈N + n→∞ Từ Mệnh đề 2.2.1, dãy {un } bị chặn, không tính tổng quát giả sử tồn u0 cho 41 un u0 H (Ω), un → u0 L2 (∂Ω) Lp (Ω), < p < Từ hình 2.1 tồn t0 cho t0 u0 ∈ N + J(t0 u0 ) < Bây chứng minh un → u0 H (Ω) Giả sử ngược lại Khi u0 < lim inf un Do đó, với un ∈ N + , n→∞   lim φun (t0 ) = lim t0 un n→∞ n→∞ − tp−1 |un |p dx − λt0 Ω > t0 u0 − tp−1 ∂Ω |u0 |p dx − λt0 Ω |un |2 ds |u0 |2 ds ∂Ω = φu0 (t0 ) = 0, Suy φun (t0 ) > với n đủ lớn Từ un = · un ∈ N + , từ hình 2.1, dễ thấy φun (t) < với t ∈ (0, 1) φun (1) = với n Do phải có t0 > Mặt khác, φu0 (t) giảm (0, t0 ) J(t0 u0 ) < J(u0 ) < lim J(un ) = inf J(u), n→∞ u∈N + Điều mâu thuẫn Do un → u0 H (Ω) Suy J(un ) → J(u0 ) = inf J(u) n → ∞ u∈N + Do đó, u0 điểm cực tiểu J N + Khẳng định chứng minh Với < p < 2, hiểu toán (2.23) tuyến tính tiệm cận tương ứng với toán biên phi tuyến S(Ω) Từ L− = ∅ với λ < λ1S , từ Mệnh đề 2.11 suy J có điểm cực tiểu N + với λ < λ1S Kết tương ứng với nghiệm dương rẽ nhánh từ vô số điểm bên trái λ = λ1S |ϕ|p dx > 0, ϕ1 hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ1S Ω 42 Bây chứng minh Định lý 1.5 Chứng minh Định lý 1.5 Từ Mệnh đề 2.10, 2.11 Bổ đề 1.6, toán (1.1) có nghiệm không tầm thường uλ ∈ N + Vì J(uλ ) = J(|uλ |) |uλ | ∈ N + nên uλ nghiệm dương toán (1.1) với < p < q = Mặt khác, từ < λ < λ1S , có ϕ1 |ϕ1 |2 ds = (λ1S − λ) −λ ∂Ω |ϕ1 |2 ds > 0, ∂Ω ϕ1 ∈ L+ ∩ B+ , cụ thể là, ϕ1 −λ |ϕ1 |2 ds |ϕ1 |p dx dấu Ω ∂Ω Do từ phân tích trường hợp (I), ánh xạ thớ φϕ1 có điểm chuyển hướng  tϕ1   =   ϕ1 p |ϕ1 | dx Ω −λ ∂Ω 43  2−p     |ϕ1 |2 ds  , cho tϕ1 ϕ1 ∈ N +  J(tϕ1 ϕ1 ) = 1 − p  t2ϕ1  ϕ1 |ϕ1 |2 ds −λ ∂Ω  =  2−p |ϕ1 |p dx  1   − p   ϕ1     |ϕ1 |2 ds  Ω −λ   ϕ1  −λ |ϕ1 |2 ds ∂Ω ∂Ω  2−p  |ϕ1 |p dx  = 1 − p Ω p  2−p   ϕ1 |ϕ1 |2 ds −λ ∂Ω  2−p  = 1 − p λ1S − λ p 2−p |ϕ1 |p dx  Ω  p  2−p |ϕ1 |2 ds  ∂Ω Nghĩa lim inf J(uλ ) → −∞ p 1 − p u ∈N + λ→λ− 1S λ Từ uλ ∈ N + , có 1 − p C2p uλ ≤ |uλ |p dx = J(uλ ) → −∞ Ω λ → λ− 1S với C2 > Do với uλ ∈ N+ có uλ → ∞ λ → λ− 1S Điều phải chứng minh Chú ý 2.12 Phương pháp sử dụng chứng minh Định lý 1.5 áp dụng với điều kiện < p < 2∗ , q = tức p thay cho số hạng lồi Chứng minh kết tồn lập luận giống [15] với < p < 2∗ 44 Nếu λ > λ1 tập L− có phần tử ϕ1 Suy L− = ∅ L− ∩ B+ = ∅ Khi từ Bổ đề báo [3], có J không bị chặn N Các kết không tồn cho phương trình (1.1) biết Chú ý 2.13 Với λ > λ1S , tồn nghiệm dương u phương trình (1.1), lấy ϕ1 hàm thử, có up−1 ϕ1 dx + λ ( u ϕ1 + uϕ1 ) dx = Ω Ω uϕ1 ds, ∂Ω (λ1S − λ) up−1 ϕ1 dx > 0, uϕ1 ds = Ω ∂Ω ϕ1S hàm riêng liên kết với giá trị riêng λ1S Suy λ < λ1S Do đó, phương trình (1.1) nghiệm dương với λ > λ1S 45 Kết luận chương 2: Trong chương này, trình bày tồn nghiệm dương toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến trường hợp tới hạn toán rẽ nhánh Chúng trình bày chứng minh Định lý sau: Định lý 1.2 Với p = 2∗ < q < 2, tồn λ1 > cho toán (1.1) có nghiệm dương với λ ∈ (0, λ1 ) Định lý 1.3 Với p = 2∗ < q < 2, tồn λ2 > cho toán (1.1) có nghiệm dương với λ ∈ (0, λ2 ) Định lý 1.4 Với p = 2∗ < q < 2, tồn λ3 > cho toán (1.1) có nghiệm dương với λ ∈ (0, λ3 ) Định lý 1.4 Nêú λ thỏa mãn < λ < λ1S q = 2, < p < toán (1.1) có nghiệm uλ cho uλ > Ω lim− uλ → ∞ đó, λ1S λ→λ1S giá trị riêng thứ toán Steklov 46 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Tìm hiểu, tổng hợp trình bày sơ ánh xạ thớ đa tạp Nehari • Giới thiệu chi tiết hóa kết tính lồi lõm trường hợp độ tăng trưởng tới hạn: < q < < p < 2∗ • Trình bày chi tiết tồn nghiệm dương toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến trường hợp: số mũ tới hạn vế phải, số mũ tới hạn biên số mũ tới hạn kép • Cuối cùng, chứng minh chi tiết toán rẽ nhánh trường hợp q = 2, < p < 47 Tài liệu tham khảo [1] A Ambrosetti, H Brezis and G Cerami, Combined effects of concave and convex non-linearities in some elliptic problem, J Funct Anal 122 (1994) 519–543 [2] P A Binding, P Drabek and Y.X Huang, On Neumann boundary value problems for some quasilinear elliptic equations, Elec J Diff Equations (1997) 1–11 [3] H.Brezis, L Nirengerg, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm Puer Appl Math 36 (1983) 437–477 [4] K.J Brown, The Nehari manifold for a semilinear elliptic equation involing a sublinear term, Calc Var 22 (2005) 483–494 [5] K.J Brown, T.F Wu, A fibering map approach to a semilinear elliptic boundary valu Elec J Diff Equation 69 (2007) 1–9 [6] P Drabek, S.I Pohozaev, Positive solutions for the p-Laplacian: application of the fibrering methods, Proc Royalo Soc Edinburgh 127 (1997) 703–726 [7] Emerson A.M Abreu, P.C Carrião and O Hiroshi, Remarks on a class of Neumann problems involving critical exponents, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 66 (2005) 1–15 48 [8] H Fan, X Liu, Multiple positive solutions for degenerate elliptic equations with critical cone Sobolev exponent on singular manifolds, Elec J Diff Equations 181 (2013 )1–22 [9] T X Li, T F Wu, Multiple positive solutions for a Dirichlet problem involving critical Sobolev exponent, J Math Anal Appl 369 (2010) 245– 257 [10] P.L Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of variations The limit case, Rev Mat Iberoamericana, (1985) 145–201, and (1985) 45–121 [11] Z Nehari, On a class of nonlinear second-order differential equations, Trans Amer Math Soc 95 (1960) 101–123 [12] D Pierotti, S Terracini, On a Neumann problem with critical exponents and critical nonlinear on boundary, Comm Part Diff Euqations 20 (1995) 1155–1187 [13] S.I Pohozeav, Nonlinear variational probelms via the fibering method, Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, Vol.5, Elsevier (2008) 49–209 [14] M Willem, Minimax Theorems, Birkhauser, Boston, 1996 [15] T F Wu, A semilinear elliptic problem involving nonlinear boundary condition and sign-changing potential, Elec J Diff Equations 131 (2006) 1–15 49 [16] T F Wu, Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problem in RN involving sign-changing weight, J Funct Anal 258 (2010) 99-131 [17] J Zhang, X Liu, The Nehari manifold for a semilinear elliptic problem with the nonlinear boundary condition, J Math Anal Appl 400 (2013) 100–119 50 [...]... q = 2, ta có bài toán rẽ nhánh từ giá trị riêng thứ nhất Bài toán giá trị riêng được hiểu như bài toán Steklov     −∆u + u = 0 trên Ω, (S)     ∂u ∂n = λu trong ∂Ω Giá trị riêng thứ nhất λ1S của bài toán (S) phải là hằng số tốt nhất trong phép nhúng trong không gian Sobolev H 1 (Ω) → L2 (∂Ω) theo nghĩa λ1S |u|2L2 (∂Ω) u 2 Ta sẽ sử dụng phương pháp đa tạp Nehari để giải quy t bài toán (1.1) với... phần này, chúng ta xét tính giải được của bài toán biên phi tuyến (1.1) với số mũ tới hạn ở vế phải của phương trình và trong điều kiện biên   ∗   −∆u + u = |u|2 −2 u trong Ω, (2.14)  ∗ ∂u   = λ|u|2b −2 u trên ∂Ω ∂n Định nghĩa hàm Euler-Lagrange J : H 1 (Ω) → R liên kết với bài toán (2.14) với cặp số mũ tới hạn, J(u) = 1 u 2 2 − 1 2∗ ∗ |u|2 dx − Ω λ 2∗b ∗ |u|2b ds ∂Ω Bài toán S˜ = inf | u|22,RN... tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, 1.11 và Định lý 1.1, bài toán (1.1) có hai nghiệm dương u3 và u4 trong H 1 (Ω) sao cho − u+ n → u3 , un → u4 khi n → ∞ J(u3 ) = inf J(u), J(u4 ) = inf J(u) u∈N − u∈N + Cuối cùng, N + ∩ N − = ∅ suy ra u3 và u4 là các nghiệm dương phân biệt của bài toán (1.1) trong trường hợp (I) Ta có kết quả tương tự cho bài toán sau:    ∗  −∆u = λ|u|q−2 u + |u|2 −2 u trong Ω,... , sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u2 là nghiệm dương của bài toán (1.1) Định lý được chứng minh Bây giờ ta có thể chứng minh Định lý 1.1 Chứng minh Định lý 1.1 Từ Mệnh đề 1.10, 1.11 và Bổ đề 1.6, ta có bài toán (1.1) có hai nghiệm dương u1 ∈ N + và u2 ∈ N − trong H 1 (Ω) Do N + ∩ N − = ∅ nên hai nghiệm này phân biệt Định lý được chứng minh Chú ý 1.12 Phương pháp chứng minh trong luận văn có thể áp dụng với... chứng minh bài toán (1.1) 18 Hoặc có thể xét bài toán elliptic nửa tuyến tính với hàm thế đổi dấu     −∆u + u = µf (x)|u|p−2 u trong Ω,    ∂u = λg(x)|u|q−2 u ∂n trên ∂Ω, ¯ → R là các hàm liên tục, nó đổi dấu trong Ω ¯ và số mũ q, p thỏa mãn ở đó f, g : Ω 1 < q < 2 < p < 2∗ = 2N N −2 hoặc 1 < p < 2 < q < 2∗b = 19 2(N −1) N −2 Kết luận chương 1: Trong chương này, chúng tôi giới thiệu bài toán elliptic... một dãy con hội tụ 1.3 Kết quả về tính lồi-lõm trong trường hợp dưới tới hạn Trong mục này, ta xét bài toán (1.1) với 1 < q < 2 < p < 2∗ = 2N N −2 bằng cách sử dụng phương pháp thớ và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari Ta xét hàm ψ(t) = t2−q u 2 − tp−q |u|p dx Ω Rõ ràng, với t > 0, tu ∈ N ⇔ t là nghiệm cuả phương trình |u|q ds ψ(t) = λ (1.7) ∂Ω Hơn nữa, điều kiện p − q > 2 − q > 0 có nghĩa là hàm ψ(t)... ứng với điểm cực tiểu địa phương, điểm cực đại địa phương và điểm uốn Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) bằng cách chỉ ra sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm J trên tập N Mặc dù N là tập nhỏ của H 1 (Ω), ta xem bên dưới, cực tiểu địa phương trên đa tạp Nehari N luôn là điểm tới hạn của J Bổ đề sau sẽ chỉ ra điều đó Bổ đề 1.6 Giả sử u0 là điểm cực tiểu địa phương của J trên N và u0... Từ J(u1 ) = J(|u1 |) và |u1 | ∈ N + , sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u1 là nghiệm dương của bài toán (1.1) Tiếp theo, ta đi chứng minh sự tồn tại của điểm cực tiểu địa phương của J trên N − Mệnh đề 1.11 Với 0 < λ < λ0 hàm J có một điểm cực tiểu u2 và thỏa mãn 1) J(u2 ) = inf − J(u); u∈N 2) u2 là một nghiệm dương của bài toán (1.1) Chứng minh Tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, ta có J bị chặn dưới trên... chương 1 được tham khảo từ tài liệu [10] 20 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến 2.1 Các kết quả trong trường hợp tới hạn Sau công trình [3] của Brezis và Nirenberg, nhiều công trình nghiên cứu đã được dành trọn cho bài toán tới hạn tăng trưởng, chủ yếu cho toán tử −∆ và −∆p với điều kiện biên Dirichlet; ví dụ, xem [9] Để chứng minh các... sử dụng phương pháp đa tạp Nehari để giải quy t bài toán (1.1) với 1