hinh hoc luyen thi 10

O K F E D C B A ÔN THI 10 Bài 1. Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đờng tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. Giải a. Ta có KEB= 90 0 mặt khác BFC= 90 0 ( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn) do CF kéo dài cắt ED tại D => BFK= 90 0 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK. b. BCF= BAF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Mà BAF= BAE=45 0 ( tính chất hình vuông)=> BCF= 45 0 Ta có BKF= BEF( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Mà BEF= BEA=45 0 (EA là đờng chéo của hình vuông ABED) => BKF=45 0 Vì BKC= BCK= 45 0 => tam giác BCK vuông cân tại B Bài 2 : Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành. b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng. c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất. Giải a. Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH AB và BH AC => BD AB và CD AC . Do đó: ABD = 90 0 và ACD = 90 0 . Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD của đờng tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhng ADB = ACB nhng ADB = ACB H O P Q D C B A K O N M I D C B A Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 180 0 => APB + AHB = 180 0 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 180 0 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c). Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O Bài3: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD. a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I là trung điểm của MN. b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi. c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định. Giải a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N b) Do MâN = 90 0 nên MN là đờng kính Vậy I là trung điểm của MN b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì MKD vuông cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta có IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN đi qua hai điểm A, B cố định . Bài 4 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2 . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Một góc xOy = 45 0 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lợt tại D và E.Chứng minh rằng: a. DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ). b. RDER << 3 2 a.áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R ABOC là hình vuông Kẻ bán kính OM sao cho BOD = MOD MOE = EOC Chứng minh BOD = MOD B M A O C D E OMD = OBD = 90 0 Tơng tự: OME = 90 0 D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R DE < R Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Bài 5: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC. a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d. Giải a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có CB CH PB EH = ; (1) Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC POB Do đó: OB CH PB AH = (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH 2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) và do AH = 2EH ta có .)2( 2PB AH.CB 2PB AH.CB AH 2 = R AH 2 .4PB 2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB 2 = 4R.PB.CB - AH.CB 2 AH (4PB 2 +CB 2 ) = 4R.PB.CB 2 222 222 222 2222 d Rd.2.R 4R)R4(d Rd.8R (2R)4PB 4R.2R.PB CB4.PB 4R.CB.PB AH = + = + = + = từng vế ta đợc: 3DE > 2R DE > 3 2 R Vậy R > DE > 3 2 R O B C H E A P c b a I C B A 2 2 1 1 Q P M F E D C B A Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đờng thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q. a) Chứng minh DM.AI= MP.IB b) Tính tỉ số : MQ MP Giải Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=> MPD đồng dạng với ICA => IA MP CI DM = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1). Ta có góc ADC = góc CBA, Góc DMQ = 180 0 - AMQ=180 0 - góc AIM = góc BIA. Do đó DMQ đồng dạng với BIA => IA MQ BI DM = => DM.IA=MQ.IB (2) Từ (1) và (2) ta suy ra MQ MP = 1 Bài 7 Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, )90( 0 == A Chứng minh rằng AI = cb Cosbc + 2 .2 (Cho Sin2 CosSin2 = ) Giải + ; 2 . 2 1 cSinAIS ABI = + ; 2 . 2 1 bSinAIS AIC = + ; 2 1 bcSinS ABC = AICABIABC SSS += cb bcCos cbSin bcSin AI cbAISinbcSin + = + = += 2 2 )( 2 )( 2 Bài 8: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 45 0 . Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q. a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn. b/ Chứng minh rằng: S AEF = 2S A Q P c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD= CMD Giải a/ A 1 và B 1 cùng nhìn đoạn QE dới một góc 45 0 tứ giác ABEQ nội tiếp đợc. FQE = ABE =1v. chứng minh tơng tự ta có FBE = 1v Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF. b/ Từ câu a suy ra AQE vuông cân. AE AQ = 2 (1) tơng tự APF cũng vuông cân AF AB = 2 (2) từ (1) và (2) AQP ~ AEF (c.g.c) AEF AQP S S = ( 2 ) 2 hay S AEF = 2S AQP c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD và APD= CPD MCD= MPD= APD= CPD= CMD MD=CD MCD đều MPD=60 0 mà MPD là góc ngoài của ABM ta có APB=45 0 vậy MAB=60 0 -45 0 =15 0 Bài 9: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho AC>AB và AC > BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE. a. Chứng minh rằng DE// BC b. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp c. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F Chứng minh hệ thức: CE 1 = CQ 1 + CE 1 Giải a. Sđ CDE = 2 1 Sđ DC = 2 1 Sđ BD = BCD => DE// BC (2 góc vị trí so le) b. APC = 2 1 sđ (AC - DC) = AQC => Tứ giác APQC nội tiếp (vì APC = AQC cùng nhìn đoan AC) c.Tứ giác APQC nội tiếp CPQ = CAQ (cùng chắn cung CQ) CAQ = CDE (cùng chắn cung DC) CPQ = CDE => DE// PQ Ta có: PQ DE = CQ CE (vì DE//PQ) (1) FC DE = QC QE (vì DE// BC) (2) Cộng (1) và (2) : 1 == + =+ CQ CQ CQ QECE FC DE PQ DE => DEFCPQ 111 =+ (3) G E H MD C B A ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy ra PQ = CQ Thay vào (3) : CECFCQ 111 =+ Bài 10: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn; vẽ đờng cao AD và BE. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm của tam giác ABC. a. Chứng minh : tgB . tgC = HD AD b. Chứng tỏ rằng : HG // BC tgB . tgC = 3 a) (2,5 điểm) Xét ADB tg B = BD AD Xét ADC tg C = CD AD tg B . tg C = CDBD AD . 2 Ta có BDH ~ ADC DC DH AD BD = BD . DC = DH . AD tgB . tgC = DH AD ADDH AD CDBD AD == 22 b)Ta có 3 = GM AM Do đó Xét ADM có : HG // BC HG // DM HD AD GM AM = tgB.tgC = 3 . O K F E D C B A ÔN THI 10 Bài 1. Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn. EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy ra PQ = CQ Thay vào (3) : CECFCQ 111 =+ Bài 10: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn; vẽ đờng cao AD và BE. Gọi H là trực tâm