Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
2,88 MB
Nội dung
Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Biên soạn : Lưu Văn Chung TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 ĐỀ BÀI Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A B Vẽ đường kính AC AD (O) (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) F , tia DA cắt đường tròn (O) E Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) (O’) M N Chứng MC minh tỉ số không đổi đường thẳng MN quay quanh A NF Tìm quỹ tích trung điểm I MN Gọi K giao điểm NF ME Chứng minh đường thẳng KI qua điểm cố đònh đường thẳng MN quay quanh A Khi MN // EF Chứng minh MN = BE + BF Bài Cho hình vuông ABCD cố đònh E điểm di động cạnh CD (E C D ) Tia AE cắt đường thẳng BC F Tia Ax vuông góc với AE A cắt đường thẳng DC K CKF Chứng minh CAF Chứng minh KAF vuông cân Chứng minh đường thẳng BD qua trung điểm I KF Gọi M giao điểm BD AE Chứng minh IMCF nội tiếp ID Chứng minh điểm E thay đổi vò trí cạnh CD tỉ số CF không đổi Tính tỉ số đó? Bài Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH BC H , vẽ MI AC I ICM Chứng minh IHM Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K.Ch/ minh MK BK DF cắt EB M, HF cắt EC N.Chứng minh MIH ~ MAB WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp Suy ME EF Bài Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B C hai tiếp điểm ).Vẽ CD AB D cắt (O) E Vẽ EF BC F; EH AC H Chứng minh tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp Chứng minh EF2 = ED EH Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp Chứng minh MN EF Bài Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn Vẽ tiếp tuyến AM cát tuyến ACD ( tia AO nằm hai tia AM AD) Gọi I trung điểm CD Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn Xác đònh tâm K Gọi H giao điểm MN OA Chứng minh CHOD nội tiếp Đường tròn đường kính OA cắt (O) N Vẽ dây CB MO cắt MN F Chứng minh CFIN nội tiếp Tia DF cắt AM K Chứng minh KE AM Bài Cho OM = 3R , MA , MB hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O) C , BC cắt MA F , AC cắt MB E Chứng minh MAOB nội tiếp Chứng minh EB2 = EC.EA Chứng minh E trung điểm MB Chứng minh BC.BM = MC.AB Tia CF phân giác MCA Tính S BAD theo R Bài Cho MA , MB hai tiếp tuyến (O) C điểm thuộc cung nhỏ AB Vẽ CD AB CE MA , CF MB Chứng minh tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC Chứng minh CE.CF = CD2 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 AC cắt ED H, BC cắt DF K Chứng minh CHDK nội tiếp Chứng minh HK // AB Chứng minh HK tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp CKF CEH Gọi I giao điểm thứ hai hai đường tròn (CKF) (CEH) Chứng minh đường thẳng CI qua trung điểm AB Bài Cho đường thẳng d cắt (O;R) C D M điểm di động d (M đường tròn MC < MD ) Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A B hai điểm) , H trung điểm CD Chứng minh MIHF OHEI tứ giác nội tiếp Chứng minh MA2 = MC.MD Chứng minh CIOD nội tiếp Chứng minh 4IF.IE = AB2 Chứng minh M di động đường thẳng AB điểm qua điểm cố đònh Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai đường cao AD BE cắt H ( D BC ; E AC ; AB < AC ) Chứng minh tứ giác AEDB CDHE nội tiếp Chứng minh OC vuông góc với DE CH cắt AB F Chứng minh : AB AC BC AH.AD + BH.BE + CH.CF = Đường phân giác AN BAC cắt BC N , cắt đường tròn (O) K.(K khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp CAN Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đường tròn (O) Bài 10 Cho (O;R) dây BC = 2a cố đònh M tia đối tia BC Vẽ đường tròn đường kính MO cắt BC E , cắt (O) A D (A cung lớn ) AD cắt MO H , cắt OE N BC Chứng minh MA tiếp tuyến (O) MA2 = MB.MC Gv : Lưu Văn Chung WWW.MATHVN.COM Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp Tính ON theo a R Tia DE cắt (O) F Chứng minh ABCF hình thang cân Bài 11 Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB C điểm AB , K trung điểm BC AK cắt (O) M Vẽ CI vuông góc với AM I cắt AB D Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp Suy số đo góc OID Chứng minh OI tia phân giác COM Chứng minh CIO ~ CMB Tính tỉ số Tính tỉ số IO MB AM Từ tính AM , BM theo R BM Khi M điểm cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIO theo R Bài 12 900 ) Gọi I , K trung Cho ABC (AC > AB BAC điểm AB AC Các đường tròn (I ) đường kính AB (K ) đường kính AC cắt điểm thứ hai D Tia BA cắt (K) E ; tia CA cắt (I) F Chứng minh B,C, D thẳng hàng Chứng minh BFEC nội tiếp Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với với đường tròn ngoại tiếp AEF So sánh DH DE Bài 13 Cho đường tròn (O) dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm đường tròn Từ điểm E cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB D Tia CE cắt (O) điêm I Các tia AB FI cắt K Chứng minh EDKI nội tiếp Chứng minh CI.CE =CK.CD Chứng minh IC tia phân giác đỉnh I AIB Cho A , B , C cố đònh Chứng minh đường tròn (O) thay đổi Gv : Lưu Văn Chung WWW.MATHVN.COM Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 qua A , B đường thẳng FI qua điểm cố đònh Bài 14 Cho ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm D Vẽ đường tròn (O) đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) E AE cắt (O) F Chứng minh ABCE nội tiếp = ACF Chứng minh BCA Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đường thẳng BC Chứng minh BMCN nội tiếp Xác đònh vò trí D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ Bài 15 C nhọn đường tròn đường kính AB AC Cho ABC có B cắt H Một đường thẳng d tùy ý qua A cắt hai đường tròn M N Chứng minh H BC Tứ giác BCNM hình ? Tại sao? Gọi I K trung điểm BC MN Chứng minh bốn điểm A , H, I , K đường tròn Từ suy quỹ tích I d quay quanh A Xác đònh vò trí d để MN có độ dài lớn Bài 16 Cho hai đường tròn (O) (O’) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B cắt (O) E , cắt (O’) F Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB (C (O) ; D (O’) ), Gọi K giao điểm CE FD Chứng minh AEKF ACKD tứ giác nội tiếp Chứng minh EKF cân Gọi I trung điểm EF Chứng minh I , A , K thẳng hàng Khi EF quay quanh B I K di chuyển đường nào? Bài 17 Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với (O) Vẽ dây BD // AC AD cắt (O) K Tia BK cắt AC I Chứng minh IC2 = IK.IB Chứng minh BAI ~ AKI Chứng minh I trung điểm AC Tìm vò trí điểm A để CK AB Bài 18 Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố đònh với OA = 2R BC đường kính quay quanh O Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳng AO I Chứng minh OI.OA = OB.OC Suy I điểm cố đònh Trường hợp AB , AC cắt (O) D E DE cắt OA K a Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp b Tính AK theo R c Gọi N giao điểm đường tròn ngoại tiếp ADE với OA Chứng minh tứ giác BOND nội tiếp Suy N điểm cố đònh Tìm vò trí BC để diện tích ABC lớn Tìm vò trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ Bài 19 Cho đường tròn (O; R) dây AB cố đònh M điểm di chuyển cung lớn AB Vẽ hình bình hành MABC Vẽ MH BC H cắt (O) K BK cắt MC F Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp Suy K trực tâm MBC Tia phân giác AMB cắt (O) E cắt tia CB N.Chứng minh MBN cân Suy N thuộc cung tròn cố đònh tâm O’ M di chuyển cung lớn AB Chứng minh AB tiếp tuyến (O’) Khi AB = R Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 20 Cho đường tròn (O; R) dây AB cố đònh ( AB < 2R ) Một điểm M tùy ý cung lớn AB ( M A , B ) Gọi I trung điểm dây AB (O’) đường tròn qua M tiếp xúc với AB A Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) giao điểm thứ hai N , P Chứng minh IA2 = IP.IM Chứng minh tứ giác ANBP hình bình hành Chứng minh IB tiếp tuyến đường tròn (MBP) Chứng minh M di chuyển P chạy cung tròn cố đònh Bài 21 Cho ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC giao điểm thứ hai H Một đường thẳng d quay quanh A cắt đường tròn (O) (O’) M N cho A nằm M N Chứng minh H BC tứ giác BCNM hình thang vuông HM Chứng minh tỉ số không đổi HN Gọi I trung điểm MN , K trung điểm BC Chứng minh điểm A , H , I , K thuộc đường tròn I di chuyển cung tròn cố đònh Xác đònh vò trí đường thẳng d để diện tích MHN lớn Bài 22 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax By vuông góc với AB Một đường thẳng d thay đổi cắt Ax M , cắt By N cho AM.BN = a2 vuông Chứng minh AOM ~ BON MON Gọi H hình chiếu O MN Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn cố đònh H Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp MON chạy tia cố đònh Tìm vò trí đường thẳng d cho chu vi AHB đạt giá trò lớn , tính giá trò lớn theo a Bài 23 Cho ABC có ba góc nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D // BC cắt đường thẳng AH E Chứng minh A , B , C , D , E thuộc đường tròn Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , chứng minh OAC BE = CD BAE Gọi M trung điểm BC , đường thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm ABC Bài 24 Cho ba điểm cố đònh A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ) Một đường tròn (O) thay đổi qua B, C Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O) Đường thẳng MN cắt AO AC H K Chứng minh M , N di động đường tròn cố đònh Gọi I trung điểm BC Vẽ dây MD // BC Chứng minh DN qua điểm cố đònh Chứng minh đường tròn (OHI) qua điểm cố đònh Bài 25 Cho ABC có A 450 , BC = a O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC B’ C’ chân đường cao hạ từ B C xuống cạnh tương ứng Gọi O’ điểm đối xứng O qua đường thẳng B’C’ Chứng minh A , B’ , O’ , C’ thuộc đường tròn tâm I Tính B’C’ theo a Tính bán kính đường tròn (I) theo a Bài 26 Cho đường tròn (O;R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) Chứng minh AMB tính MA theo R Qua điểm C thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA E cắt MB F Chứng minh chu vi MEF không đổi C chạy cung nhỏ AB WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 10 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 OF cắt AB K , OE cắt AB H Chứng minh EK OF = 900 Tính EF diện tích OHK theo R Khi sđ BC Bài 27 Cho đường tròn (O;R) dây BC cố đònh Điểm A di chuyển Các đường cao BD CE cắt H cung lớn BC Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB AC M N Chứng minh MN // ED điểm B, C , M , N thuộc đường tròn Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A qua điểm cố đònh Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H qua điểm cố đònh O’ Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O) Bài 28 Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R Vẽ đường tròn (M) đường kính BC Lấy điểm A (M) (A (O) ) AB , AC cắt (O) D E Đường cao AH ABC cắt DE I Chứng minh AD.AB = AE.AC Chứng minh I trung điểm DE AM cắt ED K Chứng minh IKMH nội tiếp Bài 30 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (O) (O’) C D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O) (O’) M N Các đường thẳng BC BD cắt đường thẳng MN P Q; đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh : Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD EPQ cân Bài 31 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ) Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với hai cạnh AB AC I K Gọi E giao điểm thứ hai MK với (O) Chứng minh ME tia phân giác AMC Tia phân giác Mx BMC cắt IK F Chứng minh tứ giác FKCM FIBM nội tiếp Chứng minh BIF ~ FKC Chứng minh FM2 = MB.MC Chứng minh tia CF phân giác BCA Bài 32 Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB CD vuông góc với I điểm di động bán kính OB ( I B O ).Tia CI cắt đường tròn E Chứng minh OIED nội tiếp Chứng minh CI.CE = 2R2 DB cắt CE H AE cắt CD K Chứng minh HK // AB Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi I di động OB ( I O B ) Bài 33 Cho đường tròn (O;R) dây cung AB cố đònh Gọi M điểm , cung nhỏ AB Lấy điểm C tùy ý trên cung nhỏ MB kẻ tia Ax vuông góc với tia CM H , cắt đường thẳng BC K Tính DE tỉ số AH theo R AK Tìm vò trí điểm A để diện tích ADE lớn Bài 29 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đường tròn tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với (O’) B Tiếp tuyến cỏa (O) P cắt (O’) điểm thứ hai D (D P), đường thẳng AP cắt đường thẳng BD K Chứng minh : Bốn điểm A , B , Q , K thuộc đường tròn BPK cân Đường tròn ngoại tiếp PQK tiếp xúc với PB KB 11 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 12 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh CM tia phân giác ACK Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp ABK sđ AKB không phụ thuộc vào vò trí điểm C Tia KM cắt tia AB E cắt đường tròn điểm thứ hai F Chứng minh tích ME.MF không đổi C di động tính tích theo R MAB Bài 34 Cho đường tròn (O;R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp MO AB Chứng minh AMB tính MA theo R Qua điểm C thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA E cắt MB F OF cắt AB K OE cắt AB H Chứng minh EK OF Chứng minh EF = 2HK Bài 35 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ) Đường cao BE tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) K Kẻ KD vuông góc với BC D Chứng minh điểm K ; E ; D ; C thuộc đường tròn Xác đònh tâm đường tròn Chứng minh KB phân giác AKD Tia DE cắt đường thẳng AB I Chứng minh KI AB Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB H Chứng minh CH // KI Bài 36 Cho hình vuông ABCD cạnh a M , N hai điểm di động AD 450 BM , BN cắt AC E F DC cho MBN Chứng minh NE BM Gọi H giao điểm ME NF Chứng minh HF.HM =HE.HN Tia BH cắt MN I Tính BI theo a Suy đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố đònh Cho a = 5, AM = Tính EF Bài 37 Cho đường tròn (O;R) điểm A cố đònh đường tròn Một có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn B góc nhọn xAy C.Vẽ hình bình hành ABDC Gọi E trực tâm BDC Chứng minh E thuộc đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm ABC Chứng minh EH , BC AD đồng quy điểm I quay quanh A cho Ax Ay cắt (O;R) Khi góc xAy H di chuyển đường cố đònh ? Bài 38 Cho hình vuông ABCD cạnh a Một đường thẳng d qua tâm O hình vuông cắt AD BC E F Từ E kẻ đường thẳng song song với BD , từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt I Chứng minh A , I , B thẳng hàng Kẻ IH EF H Chứng minh H thuộc đường tròn cố đònh d quay quanh O Đường thẳng IH cắt đường trung trực AB K Chứng minh AKBH nội tiếp Suy K cố đònh Tìm vò trí đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn Bài 39 Cho đường tròn (O;R) dây AB cố đònh I điểm cung lớn AB M điểm di động cung lớn AB K trung điểm AB Vẽ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI H cắt đường thẳng MB C Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp Chứng minh AMC tam giác cân Chứng minh M di động C thuộc đường cố đònh Gọi E điểm đối xứng với A qua I F điểm đối xứng với B qua đường thẳng MI Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp 13 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 14 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Tìm vò trí M để chu vi ABM lớn Tìm vò trí M để chu vi ACM lớn Bài 40 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R C trung điểm AO Vẽ đường thẳng Cx AB C cắt đường tròn I, K điểm di động đoạn CI ( K C I), Tia AK cắt (O) M Đường thẳng Cx cắt đường thẳng BM D, cắt tiếp tuyến M (O) N Chứng minh AK.AM = R2 Chứng minh NMK cân Khi K trung điểm CI Tính diện tích ABD theo R Chứng minh K di động đoạn CI tâm đường tròn ngoại tiếp ADK thuộc đường thẳng cố đònh Bài 41 Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB I điểm thuộc AO cho AO = 3IO Qua I vẽ dây CD AB Trên CD lấy K tùy ý Tia AK cắt (O) M Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp Chứng minh đường thẳng AM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp MKC Chứng minh tâm P đường tròn ngoại tiếp CMK thuộc đường cố đònh Tính khoảng cách nhỏ DP Bài 42 Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm thuộc cung nhỏ AC Tia AM cắt tia BC D Chứng minh ADC ACM 2 Chứng minh AC = AM AD Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MCD Lấy E điểm thuộc tia đối tia MB cho ME = MC Chứng minh ABDE nội tiếp Chứng minh C thuộc cung tròn cố đònh Xác đònh tâm cung tròn Bài 43 Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d không cắt đường tròn Vẽ OH d H M điểm thuộc d Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) ( A , B tiếp điểm ) Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp Đường thẳng AB cắt OH I Chứng minh IH.IO = IA.IB Chứng minh I cố đònh M chạy đường thẳng d Cho OM = 2R , OH = a Tính diện tích MAI theo a R Bài 44 Cho đường tròn (O;R) điểm A đường tròn Vẽ đường thẳng d OA A Lấy điểm M d Vẽ tiếp tuyến MC với (O) C tiếp điểm ) Chứng minh điểm M , A , O , C thuộc đường tròn AC cắt (O) B, Tiếp tuyến B (O) cắt MC E , cắt đường thẳng d D Chứng minh M, E, O, D thuộc đường tròn Chứng minh A trung điểm MD Chứng minh EOD ~ COA Cho OM = 2R OA = a Tính DE theo a R Bài 45 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)( AB < AC ) Kẻ đường cao AH đường kính AD đường tròn (O) Phân giác cắt (O) E BAC Chứng minh AE phân giác HAD Chứng minh AB.AC = AH.AD ABC Chứng minh HAD ACB EO cắt AC F , BF cắt AH M Chứng minh AFM cân Cho AB = , AC = , R = Tính BC (lấy chữ số thập phân ) Bài 46 Trên Cho ABC nội tiếp (O;R) M điểm cung nhỏ BC dây AM lấy điểm E cho ME = MB Chứng minh MBE 15 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 16 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh CBM = ABE Tìm vò trí điểm M cho tổng MA + MB + MC lớn nhỏ E chạy đường cố đònh Khi M chạy BC Gọi F giao điểm AM BC Chứng minh 1 MF MB MC 2 2 Chứng minh MA MB MC R Bài 47 Cho đường tròn (O;R) dây AB Vẽ đường kính CD vuông góc với AB K.( D thuộc cung nhỏ AB ) M điểm thuộc cung nhỏ BC DM cắt AB F Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp Chứng minh DF DM = AD2 Tia CM cắt đường thẳng AB E Tiếp tuyến M (O) cắt AF I Chứng minh IE = IF FB KF Chứng minh EB KA Hd : d) Chú ý F trực tâm CDE Suy : KE.KF = KC.KD Bài 48 Cho ABC vuông A ( AB < AC ) Tia phân giác ABC cắt AC M Đường tròn (O) đường kính MC cắt tia BM H, cắt BC N Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp Chứng minh HC2 = HM.HB HO cắt BC K Chứng minh K trung điểm NC Cho AB = cm , HC = cm Tính độ dài cạnh BC Bài 49 Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB CD vuông góc với nhỏ AE cắt DC N , CE cắt AB M E điểm thuộc DB Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp Chứng minh AN AE = 2R2 Chứng minh ANC ~ MAC Tìm vò trí E để diện tích NEN lớn Biết AM = 3BM Tính DN EB theo R Bài 50 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC cắt BC E cắt (O) D Tia OD cắt BC Phân giác BAC K.Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Chứng minh tứ giác MAOK nội tiếp Chứng minh MA2 = MB.MC Chứng minh MA = ME Kẻ tiếp tuyến MF (O) ( F tiếp điểm ) Chứng minh tia FE v đường thẳng DO cắt điểm thuộc (O) Biết BE = a EC = b Tính AM theo a b Bài 51 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Phân giác cắt BC D cắt đường tròn E góc BAC Vẽ DK AB DM AC K M Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp KM AE Chứng minh AD.AE = AB.AC Chứng minh MK = AD sin BAC So sánh diện tích tứ giác AKEM diện tích ABC Bài 52 Cho điểm A đoạn BC cho AB = 2AC Vẽ đường tròn (O;R) đường kính AB đường tròn (O’) đường kính AC Chứng minh (O) (O’) tiếp xúc Lấy điểm H đoạn OB cho OH = OB Vẽ tia Hx vuông góc AB cắt (O) D Tia DA cắt (O’) M Vẽ đường kính MN (O’) OD cắt BN K Chứng minh OD // MN tính OK theo R Chứng minh BN tiếp tuyến (O’) DA cắt BN E Tính diện tích BEA theo R 17 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 18 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 53 Cho AOB cân O ( AOB 900 ) Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ MC // OB MD // OA Vẽ đường tròn (C;CM) đường tròn (D;DM) cắt điểm thứ hai N Chứng minh A (C ; CM) B (D;DM) Chứng minh ANB ~ CMD Chứng minh N thuộc đường cố đònh M chạy AB Chứng minh ONM vuông Bài 54 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Vẽ đường cao AH ABC , đường kính AD Gọi E F hình chiếu C B lên AD M trung điểm BC Chứng minh tứ giác ABHF BFOM nội tiếp Chứng minh HE // BD AB AC BC Chứng minh S ABC = 4R Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp EFH Bài 55 Cho đường tròn (O;R) dây BC cố đònh , A điểm di chuyển Vẽ đường cao BE CF ABC cắt H cung lớn BC Chứng minh AFE ACB ) AN cắt Vẽ bán kính ON BC M ( N cung nhỏ BC BC D Chứng minh AB.NC = AN.BD AH cắt (O) K Chứng minh : BC AK = AB.CK + AC.BK Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp ADC thuộc đường cố đònh A di chuyển cung lớn BC Bài 56 Cho hai đường tròn (O;R) (O’: r) (R > r) cắt Avà B Vẽ đường kính AC (O) đường kính AD (O’) M điểm thuộc cung nhỏ BC MB cắt (O’) N AN Chứng minh C , B , D thẳng hàng Tính tỉ số theo R r AM 19 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung CM DN cắt E Ch minh tứ giác AMEN nội tiếp Chứng minh điểm E thuộc đường cố đònh M thay đổi Chứng minh AMB ~ AED Bài 57 Cho ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB AC E D Chứng minh AD.AC = AE.AB Gọi H giao điểm BD CE , K giao điểm AH BC Chứng minh BHK AED Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với (O) với M , N tiếp điểm Chứng minh KA phân giác NKM Chứng minh ba điểm M, N , H thẳng hàng Bài 58 Cho (O;R) điểm P đường tròn Từ P vẽ hai tia Px , Py cắt góc nhọn đường tròn A B cho xPy Vẽ hình bình hành APBM Gọi K trực tâm ABM Chứng minh K thuộc đường tròn (O) Gọi H trực tâm APB , I trung điểm AB Chứng minh H , I , K thẳng hàng Khi hai tia Px Py quay quanh P cho Px Py cắt không đổi H chạy đường cố đònh đường tròn xPy Bài 59 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Điểm M di Từ M kẻ MH AB MK AC động trên cung nhỏ BC Chứng minh MBC ~ MHK Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh MD BC Tìm vò trí M để độ dài đoạn HK lớn Bài 60 Cho hai điểm A B thuộc đường tròn (O) ( AB không qua O ) có hai điểm C D lưu động cung lớn AB cho AD // BC ( C 20 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Gọi E tâm đường tròn (ADK) ta có EN // AB ( CD ) FN // AK ( FN đường trung bình DAK EF // BK ( AD ) CB2 = BI.BA = EN FN 1 Suy ENF ~ BAK EN = AB R AB AK 2 Do E thuộc đường thẳng d song song với đường thẳng CD cố đònh cách đường thẳng khoảng R.Vậy E thuộc đường thẳng cố đònh Bài 41 CMK ACD ( chắn CK ) Mà CMK CEK ACD CEK Mà CEK KCE 900 ( CKE vuông ) 900 AC CE ACD KCE C M Chứng minh AC = AM.AD Chứng minh AMC ~ ACD ( g-g) AC2 = AM.AD E H I D (O) ) MCB ( chắn MB MAB Tính khoảng cách nhỏ đoạn DF R2 2R 4R CD = 3 WWW.MATHVN.COM C D Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MCD Gọi I tâm đường tròn (MCD) Vẽ đường kính CK đường tròn (I) Chứng minh CK AC ( tương tự câu 41 ) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp Suy E D thuộc cung tròn cố đònh ABC CMD ( hs tự chứng minh ) Ta có EMD AMB ACB MCB C, B , E thẳng hàng MCE F đường thẳng CB cố đònh 57 K I B (F) ) MKE ( chắn ME Mà MCE CO IO R O O MAB ( đv ) Ta có KE // AB ( DC ) MKE Ta có : CI = E M B A AC tiếp xúc với (F) C Chứng minh F thuộc đường thẳng cố đònh 4R 4R BI CD 8R 8R DH = CB 2R 6 F K Vẽ DH CB H DH không đổi Ta có : DF nhỏ DF = DH Ta chứng minh DH.CB = BI.CD Bài 42 Chứng minh ADC = ACM ( góc BMD ) Ta có : AMB ADC MBC A ( Mà AMB ABC AB AC ) AMB ABM MBC ADC ABM ACM Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp CMK Vẽ đường kính CE đường tròn (F) ngoại tiếp CMK Ta có : AD AC ( đường kính AB dây CD ) 4R 8R 2R R CB = 3 Gv : Lưu Văn Chung AME = AMC AME AMC AEB ACM ADB tứ giác ABDE nội tiếp Chứng minh E thuộc cung tròn cố đònh Xác đònh tâm cung tròn Chứng minh AE = AB = AC E cung tròn tâm A , bán kính AB 58 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 AI MD R(a R a ) R R 3(a R a ) = 2a 8a S IMA = Bài 43 Chứng minh MAOH nội tiếp ( hs tự chứng minh ) Chứng minh IH.IO =IA.IB Chứng minh AMBO nội tiếp Bài 44 A OMA OBA OMA ( AMHO nội tiếp ) Mà OHA OBA OHA AIH ~ OIB (g-g) IO.IH = IA.IB O Chứng minh M , C , O , A thuộc đường tròn ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh M , E , O , D thuộc đường tròn D I B d M H Chứng minh I điểm cố đònhkhi M chạy đường thẳng d Gọi D giao điểm OM AB Ta chứng minh DMHI nội tiếp R2 Suy OI.OH = OD.OM = OA2 = R2 OI = không đổi OH Mà O cố đònh I OH cố đònh I điểm cố đònh Cho OH = a, OM = 2R Tính diện tích IAM theo a R R Khi OM = 2R ta tính : MA = AB = R AD = 2 3R 3R Và MD = MA2 AD 3R OM OH R a DI OI Ta có : ODI ~ OHM MH OM R2 4R2 a OI MH R 4R2 a2 a DI = OM 2R 2a 2 R R 4R a R(a R a ) AI = AD + DI = 2a 2a BEO Chứng minh BCO OMD BEO OMD Mà BCO MDOE nội tiếp Chứng minh A trung điểm MD Ta có : DOA ( BOAD nội tiếp ) DBA ECB ( EB = EC ) DBA ACM ( đđ) ECB WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung O E C ACM AOM ( ACOM nội tiếp ) A D M OA phân giác củ DOA MOA a DOM Mà OA đường cao DOM cân A A trung điểm DM Chứng minh EOD ~ COA ( Học sinh tự chứng minh ) Cho OM = 2R OA = a Tính DE theo a R Ta có : MH = 59 B OB OE OB.OM 2R OE OA OM OA a 4R R OE OB R2 a2 a a Chứng minh OBE ~ OAM OBE vuông EB = OBD vuông DB = OD OB R R R Suy ED = BD – BE = R 60 R R(a a ) a2 a a WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung d Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 45 Bài 46 Chứng minh AE phân giác AHD Ta có : OE BC ( dk – dc ) OE // AH AEO EAH ( AEO cân ) Mà AEO DAE EAD HAE AE phân giác AHD Chứng minh AB.AC = AH.AD Chứng minh AHB ~ ACD ( g – g ) Chứng minh MBE Ta có MB = ME (gt) MBE cân A Mà BME AB ) ACB 600 ( chắn MBE tam giác Chứng minh CBM = ABE F O EBM EBC 60 EBC Ta có : MBC M B C H = Chứng minh HAD ABC - ACB D E DAC ( AHB ~ ACD ) Ta có : ABC ADC ; BAH ABC 900 BAH 900 ( HAD DAC ) ACB 900 HAC (900 BAH ) 900 ( HAD DAC ) = HAD ABC ACB Chứng minh AFM cân FMA ( slt ) HAC ( đ v ) MFE EFC CFE ( F trung trực BC ) Mà BFE AMF AMF cân F Suy : FAM Cho AB = , AC = ; R = Tính BC (lấy chữ số thập phân) Ta có AH = AB AC 4.5 10 AD 2.3 125 5 10 AC AH 52 3 100 11 11 5 (2 11 5) = = 5, BC = BH + HC = 3 BH = 61 EBC 600 EBC ABE ABC ABE Do : MBC AB AH 16 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung O E B D F C M Từ chứng minh : ABE = CBM ( c-g-c ) Tìm vò trí M để tổng MA + MB + MC lớn Từ ABE = CBM AE = MC ME = MB Suy : MA + MB + MC = MA + ME + EA = MA + MA = 2MA Vậy tổng MA + MB + MC lớn MA lớn AM đường kính M điểm cung nhỏ BC E chạy đường cố đònh ? Khi M chạy cung nhỏ BC 120 E thuộc cung chứa góc 1200 dựng đoạn Tính BEA AC cố đònh Chứng minh MF = MB + MC MF MF 1 MF MB MC MB MC MF FC FC Ta chứng minh : ( MFC ~ MBA ) MB AB BC MF BF BF ( MFC ~ BFA ) MC AB BC MF MF FB FC BC Suy : đpcm MB MC BC BC BC Ta có : HC = A = + Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 Trên tia đối tia MC lấy điểm D cho MD = MB MA = CD 62 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 600 Ta chứng minh BMD BDM (KB + BE )KF = KC.KD KF.EB = KB2 – KF.KB FB KF KF EB = KB.(KB – KF) KF.EB = KA BF EB KA MB MC MA2 Ta có (MB + MC )2 = MA2 – MB MC = Bài 48 p dụng đònh lý hàm số cosin BDC ta có : BC = BD + DC – 2DB.DC.cos BDC 2 3R2 = BM2 + AM2 – 2BM.MA.cos600 3R2 = BM2 + AM2 – 2BM.MA 3R2 = BM2 + AM2 – BM.AM 3R2 = BM2 + AM2 – BM(BM + MC) 3R2 = BM2 + AM2 – BM2 – BM.MC MB MC MA2 2 3R = AM + 6R2 = 2AM2 + MB2 + MC2 – MA2 MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh HC2 = HM.HB Chm HMC ~ HCB ( g-g ) Chứng minh K trung điểm NC DCM DMI A Ta có : MFI MIF cân I MI = FI KHC ( HOC cân ) Mà : MCH FB = O A M O 5BC = BC2 – 2HC2 BC2 – 5BC – 36 = ( HC = ) K F B I KF WWW.MATHVN.COM K Ta có BN.BC = BM BH ( hs tự chứng minh ) 5.BC = (BH – MH ).BH 5BC = BH2 – BH.MH 5BC = BH2 – HC2 5BC = BC2 – HC2 – HC2 M EB KA Ta có : F trực tâm CDE KE.KF = KC.KD = KB2 63 N KHC MBC BCH 900 ( BHC vuông ) H Do : MBC BCH 90 HKC vuông K HK NC KHC K trung điểm NC ( tính chất đường kính – dây cung ) Cho AB = cm , HC = cm Tính độ dài cạnh BC Chứng minh BN = AB = cm ( BAM = BNM ) C D IMF EMF 900 Ta có IME MEI 900 ( FME vuông M ) MFI MFI ( cmt ) IME IEM MIE cân I Mà : IMF IE = IM Vậy IF = IE Chứng minh ) MBC ( = MBA Ta có : MCH Bài 47 Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh DF.DM = AD2 Chứng minh DF.DM = DK.DC DK.DC = AD2 Suy : DF.DM = AD2 Chứng minh IE = IF B Gv : Lưu Văn Chung E Giải ta : BC = cm Bài 49 Chứng minh NOBE nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh AN.AE = 2R2 Chứng minh AN.AE = AO.AB = R.2R = 2R2 Chứng minh ANC ~ MCA 64 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung C Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh đường thẳng FE đường thẳng DO cắt điểm thuộc đường tròn (O) + sđ BC + sđ = (sđ EB ) Ta có : EAC AMC = (sđ EB AC ) Mà : AC BC EAC AMC ) Ta lại có : ACD BAC ( AD BC AM.NC = AC2 = 2R2 SANMC = R2 S ENM = S EAC – SANMC = S EAC – R2 ANC ~ MCA ( g g ) Do : Ta có : NC.MA = AC2 = 2R2 ( cmt ) R 3R AM = D 2R 2R 4R R MA R 2R DN = 2R – 3 NC = lớn cắt điểm cung BC N O A O M B 2 E B M R2 3R R C MC = OC OM R 4 R R MB.MC 2 R Ta có : MBE ~ MCA EB = AC R 2 I A Vậy đường thẳng FE đường thẳng DO E BFM ( chắn BF ) BCF MEF BCF ( góc EFC ) Mà : EFC EFM BFM Do : EFC EFB EFB Tia FE phân giác BFC lớn Tia FE qua điểm BC nhỏ Mặt khác : D điểm BC lớn tia DO qua điểm BC S ENM lớn S EAC lớn E điểm DB Biết AM = 3BM Tính DN EB theo R Từ AM = 3BM AM + BM = 2R AM = MB MFE Ta có : EMF cân M MEF Cho BE = a EC = b Tính AM theo a b D F Đặt MA = x ME = x MB = ME – EB = x – a MC = ME + EC = x + b Ta có : MA2 = MB.MC x2 = (x – a)(x + b) x2 = x2 + (b – a)x – ab x= ab ab ( AB < AC a < b ) Vậy MA = ba ba Bài 51 Bài 50 A Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp KM AE ( học sinh tự chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp ) Chứng minh tứ giác MAKO nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh MA2 = MB.MC ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh MA = ME MAE AME cân M MA = ME Chứng minh : MEA C K Ta có AD phân giác BAC Mà DK AB DM AC AKD = AMD DK = DM AK = AM F O M K B C D E 65 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 66 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 40 R BD 4R 2R BE = 25 BK 2R 6 4R Ta có DK = BH = ( hs tự chứng minh ) 1 R 4R R S BDE = BE.DK 2 15 1 2R 2R S BDA = AB.DH R 2 5 2R 4R2 2R2 S BAE = S BDA – S BDE = 15 15 AD trung trực KM AE KM 2 Chứng minh AD.AE = AB.AC Chứng minh ABD ~ AEC ( g-g ) Chứng minh MK = AD sin BAC Vẽ KF AC F Chứng minh KFM ~ AKD (g-g) KF KM KF = AD sin BAC MK = AD AK AD AK So sánh diện tích tứ giác AKEM diện tích ABC ( hs tự chứng minh ) Ta có : 2S ABC = AB.AC.sin BAC ( MK = AD.sin BAC ) 2SAKEM = AE.MK = AE.AD.sin BAC = 2S ABC Mà AE.AD = AB.AC (cmt) 2SAKEM = AB.AC.sin BAC Vậy SAKEM = S ABC Bài 52 Bài 53 Chứng minh (O) (O’) tiếp xúc ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh OD // MN tính OK theo R OAD MAO ' AMO ' Chứng minh ODA OD // MN OK BO O ' N BO ' BO.O ' N R.0,5 R R OK = O'B 2,5 R Ta có : OK // O’N M H O A O' B Chứng minh BN tiếp tuyến (O’) Chứng minh BOK = DOH ( c- g- c ) C K E N D 900 BN O’N BN tiếp tuyến (O’) OKB Tính diện tích BEA theo R 2R R 10 Tính BK = DH = BD = 5 Ta có : ADB vuông D DB2 = BK.BE 67 WWW.MATHVN.COM Chứng minh A (C) B (D) Chứng minh ACM BDM cân CA = CM A (C) DB = DM B (D) Chứng minh ANB ~ CMD Gv : Lưu Văn Chung Chứng minh DC phân giác NDM CDM NBM DCM Tương tự : NAM ANB ~ CMD ( g-g ) O N D C B A M Chứng minh M di động AB N chạy đường cố đònh Ta có : CMD AOB ( hình bình hành ) CMD ANB ( ANB ~ CMD ) ANB AOB không đổi , mà A , B cố đònh nên 68 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 N cung chứa góc AOB dựng đoạn AB cố đònh Chứng minh ONM vuông NBA MDC OCD ON // CD Chứng minh : NOC Mà CD MN ON MN ONM vuông N BAO ( tứ giác ABHF nội tiếp ) Do : MHF BAO BAO MFH BAO Và AOB cân BOD MHF MHF cân M BAO MFH MFH MH = MF (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài 54 Bài 55 A A Chứng minh ABHF BMFO nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) Chứng minh HE // BD Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp CAD CHE CBD ( chắn CD ) Mà CAD CBD CHE O F M B HE // DB ( góc đồng vò nhau) Chứng minh S ABC = C H E D AB.AC.BC 4R AB AC AD 1 AB AC AB AC BC Ta có : S ABC = AH.BC = BC = 2 AD 4R Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp EFH Ta chứng minh : ABH ~ ADC ( g-g ) AH = Ta cần chứng minh ME = MF = MH Ta có tứ giác OM BC ( M trung điểm BC ) Chứng minh AFE = ACB E Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Chứng minh AB.NC = AN.BD Chứng minh ABD ~ ANC ( g-g ) O Chứng minh BC.AK = AB.CK + AC.BK F H Vẽ đường kính AI (O) Chứng minh BKIC hình thang cân B D M S = S BI = CK ; BK = CI BKC BCI K Mà SABKC = S ABC + BKC N SABIC = S ABC + BCI SABKC = SABIC 2SABKC = 2SABI + 2SACI T AK.BC = AB.BI + AC.CI G A AK.BC = AB.KC + AC.BK đpcm Chứng minh tâm Q đường tròn ngoại tiếp ADC thuộc đường cố đònh A di chuyển cung lớn BC OCB OBC OMEC nội tiếp ( hs tự chứng minh ) OEM MFE MFE OEM Mà BOFM nội tiếp ( cmt ) OBC EMF cân M ME = MF (1) MFH MHF ( góc MFH ) Ta lại có FMC BOD ( tứ giác BOFM nội tiếp ) Mà FMC MFH MHF BOD N DTC NGC ( chắn DC (Q) ) Mà DTC DAC NAC tứ giác NAGC nội tiếp G (O) NGC 69 70 Gv : Lưu Văn Chung WWW.MATHVN.COM I Q O Gọi Q tâm đường tròn (ADC ) F Vẽ đường kính CT (Q) cắt tia NO G B Ta có : TD DC mà NO DC NG // DT WWW.MATHVN.COM C H D C M K Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 (O) G cố Mà NG BC G điểm cung lớn BC đònh, Do Q đường thẳng CG cố đònh A chạy cung lớn Chứng minh AOKN nội tiếp AON AKN Do KA phân giác MKN Mà AOM AON AKN AKM BC Chứng minh M , N , H thẳng hàng Chứng minh KHDC nội tiếp AD.AC = AH.AK Chứng minh AM2 = AD.AC AM2 = AH.AK Bài 56 Chứng minh C , B , D thẳng hàng Tính tỉ số Chứng minh ABC ABD 900 C , D , B thẳng hàng Chứng minh ACM ~ AND AN AD r AM AC R AN AM AKM AMH AHM ~ AMK ( c-g-c ) 1 Mà AKM AOM MON AMH MON 2 1 Mặt khác : AMN MON AMH AMN M , H , N thẳng hàng theo R r A O O' D B Chứng minh K thuộc đường tròn (O) Chứng minh EKFM nội tiếp FKB AMB E H N B K C O AED AHD = BHK Chứng minh KA phân giác NKM Chứng minh AKOM nội tiếp AKM AOM 71 WWW.MATHVN.COM A Gv : Lưu Văn Chung E M K I O F H P D M Chứng minh BHK = AED Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp APB FKB APBK nội tiếp K đường tròn (APB ) Hay K (O) E A Bài 57 Chứng minh AD.AC = AE.AB Chứng minh ABD ~ ACE x Mà : AMB APB ( PAMB hình bình hành ) BCM EAD Chứng minh MAB AMB ACD AED Từ AMB ~ AED Bài 58 N Chứng minh AMEN nội tiếp C ( hs tự chứng minh ) Chứng minh điểm E thuộc đường cố đònh M Chứng minh tứ giác ACED nội tiếp E đường tròn ngoại tiếp ACD cố đònh Chứng minh AMB ~ AED B y Chứng minh H , I , K , thẳng hàng Ta có BH AP ( H trực tâm APB ) AK BM ( K trực tâm AMB ) Mà : AP // BM BH // AK Ta chứng minh : AH // BK ( Ay ) Suy : AKBH hình bình hành Mà I trung điểm AB I trung điểm HK K , H , I thẳng hàng Chứng minh H thuộc đường cố đònh Ta có BK PB PK đường kính (O) O trung điểm PK 72 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Mà I trung điểm KH OI đường trung bình KPH PH = 2OI Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp DMC không đổi Do APB không đổi AB không đổi OI không đổi PH không đổi Vậy H chạy đường tròn tâm P cố đònh có bán kính PH không đổi DOA DCM DOA Ta có : DOI 2 DOI DCM DOMC nội tiếp Gọi K tâm đường tròn (DCM) Bài 59 Chứng minh BMC ~ HMK Chứng minh AKMH nội tiếp K tâm đường tròn (DOC) Vẽ KH OD H H trung điểm OD R Ta có DO = R HO = I A O B K D C H H C (K) không đổi sđ CD = sđ CD không đổi sđ DO không đổi HKO HO KO = không đổi sin HKO O M A B E Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp DCM không đổi Tìm vò trí M để KH lớn M HK HM HK = BC.sin HBM Ta có : = sin HBM BC BM lớn HBM = Do BC cố đònh HK lớn sin HBM 900 Chứng minh IP phân giác EIM PIM ( PM PN ) Mà PMN PIM EIP IP phân giác EIM Bài 60 Chứng minh I , O , M thẳng hàng Tứ giác ABCD hình thang nội tiếp (O) ABCD thẳng hàng cân M giao điểm hai đường chéo MA = MD Mà IA = ID ( hai tiếp tuyến cắt ) Và OA = OD ( bán kính ) M , O , I thuộc đường trung trực AD M , I , O thẳng hàng WWW.MATHVN.COM Bài 61 PMN Tứ giác MPIN nội tiếp EIP ACM 900 AM đường kính (O) 73 K Lại có CD = AB không đổi HAM KHM KAM HKM BCM KAM CBM Mà : HAM CBM HKM BCM KHM Do BCM ~ HKM (g-g ) Chứng minh MD BC Học sinh tự chứng minh D Gv : Lưu Văn Chung K P I H Chứng minh E thuộc cung tròn O cố đònh Chứng minh PI = PM = PM F D M E thuộc cung tròn tâm P có N L bán kính PM G Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MFG PGM Chứng minh PMF 74 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Vẽ đường kính ML đường tròn (MFG) Chứng minh PM ML PM tiếp tuyến đường tròn (MFG) 5x2 – 8Rx + 3R2 = x = R ( loại ) x = Bài 63 Tính tích PF.PG theo R = PMN Chứng minh PMF ~ PGM (g-g ) PF.PG = PM2 PNM PH = OP.sin = R.sin Vẽ OH PM POH PM = 2R.sin PF.PG = 4R2.sin2 Bài 62 Chứng minh QBOA nội tiếp OQ AB ( Học sinh tự chứng minh ) Tìm quỹ tích E Q di chuyển tia Ax Gọi I trung điểm OA B I cố đònh IA = R Ta có IE // Ax ( đường trung bình ) O H y E I x A Q K Vậy E chạy tia Ay // Ax cố đònh cách tia Ax đoạn R Tìm quỹ tích H Chứng minh AH // OB BH // OA BOAH hình bình hành Mà OA = OB BOAH hình thoi AH = OA = R Vậy H di chuiyển đường tròn tâm A cố đònh có bán kính R Cho AQ = 2R Tính KH theo R OAQ có KH // OA KQ AQ R KQ = 2HK HK AO R A Chứng minh MK // BC DH = DK Chứng minh MK BC vuông góc với AK MK // BC E Chứng minh CB tia phân giác HCK O HCK cân C F H CB trung trực HK I DH = DK B D Chứng minh HM qua trung điểm I BC Chứng minh BHCM hình bình hành K HM BC cắt trung điểm I BC HD HE HF Chứng minh + + =1 AD BE CF 2S BHC = HD.BC ; 2S AHC = HE.AC ; 2S AHB = HF.AB ; 2S ABC = AD.BC = BE.AC = CF.AB Từ ta có : 2S BHC + 2S AHC + 2S AHB = 2S ABC WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung C M 2SBHC 2SAHC 2SAHB HD HE HF 1 1 2SABC 2SABC 2SABC AD BE CF Chứng minh AD + BE + CF HD HE HF Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : 1 1 ( với x ; y ; z ) x y z Thật theo BĐT Cauchy ta có : x + y + z 3 xyz (x + y + z) Đặt : HK = x ( < x < R HK < AH = R) QK = 2x AK = 2(R – x) AHK vuông K AH2 = HK2 + AK2 R2 = x2 + 4(R – x)2 75 3R 3R Vậy HK = 5 Và : 76 1 1 33 x y z xyz WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1 1 x y z HD HE HF AD BE CF p dụng ta có : + + AD BE CF HD HE HF HD HE HF AD BE CF Mà : 1 + + 9 AD BE CF HD HE HF Nhân hai BĐT theo vế ta có : (x + y + z) N Bài 64 d FBC FCB ( góc FBC ) MFB 600 Do MFB MEB 600 Ta có MEB ACB 600 ( BEAC nội tiếp ) MFB tứ giác BMEF nội tiếp Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố đònh BMF FBK EKB góc chung Ta có : BEK EBK ~ BFK KB = KF.KE ( ) MBE ECB Tương tự ta có : FKC EFM EKC góc chung FKC ~ CKE CK = CF.CE ( ) Từ (1) (2) KC = KB K trung điểm BC Vậy đường thẳng EF qua trung điểm K BC cố đònh A Bài 65 E M Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp BFA Chứng minh BMN Chứng minh IMNA hình thang vuông Tìm độ dài EF theo R để B IMNA hình chữ nhật O F K B KNF 900 Chứng minh BNM C 900 KN NM MNK Tương tự : IM MN IMNA hình thang vuông Chứng minh MBA ~ ACN ACN ( Ta có : MBA AB AC ) 600 AB // CN MAB Ta có : ACN BAC ANC ( đv ) Do : MBA ~ ACN ( g-g ) Chứng minh tích MB.CN không đổi Từ MBA ~ ACN MB AC MB BC AB CN BC CN MB.CN = BC2 không đổi Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp BCN 1200 Ta chứng minh : MBC MB BC ( cmt ) BC CN N O M Để IMNA hình chữ nhật E I A IK = MN K EF = 2MN EF = 4R D Chứng minh tích AI.AK không đổi MN thay đổi Chứng minh KO // BF IO // BE IO OK IOK vuông Mà OA đường cao AI.AK = OA2 = R2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp IBK qua điểm cố đònh khác B Gọi D giao điểm đường tròn (BIK) đường thẳng BA ( D B ) Ta chứng minh AB.AD = AI.AK = R2 AD = R FMB MBC ~ BCN FBC FMB 180 MBC 600 FBC FCB 600 Mà FCB Vậy D điểm cố đònh ( D đường thẳng AB cố đònh AD = 77 78 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung WWW.MATHVN.COM R ) Gv : Lưu Văn Chung F Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 HND FND HND ( góc nội tiếp góc tâm đường tròn (N) ) Mà DAH DAH FND Ta lại có : DAH AEH ( chắn cung AH (O) ) Và : AEH HDM ( tứ giác EMHD nội tiếp ) FND HDM FDN 900 HDM FDN 900 MDN 900 Mà FND Bài 66 Chứng minh DE tiếp tuyến (O) ( hs tự chứng minh ) Chứng minh EC phân giác AED ( hs tự chứng minh ) Chứng minh MH AH Ta có M trung điểm AE ; I trung điểm AK IM // BE BEA IMA AHI ( chắn IMA Mà BEA AB ) IHA Suy tứ giác IMHA nội tiếp Ta lại có : IM AK ( IM // BE AK BE ) AH MH N Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp Suy : BD ND D BD tiếp tuyến đường tròn ( AHD ) Khi M trung điểm OC Tính diện tích MHC theo R Khi M trung điểm OC Chứng minh ABE cạnh R ( tứ giác IMHA nội tiếp ) Ta có : AMH AIH BIK Chứng minh AK qua O KE = BK = BIK 90 ( BIK vuông K ) Do : HBE HBE Và : HMC AMH 900 HMC A H I C B O M 3R 3R IK = 2 R 3R R 21 BI = IK BK 16 4 Chứng minh BIM ~ BMH (g – g ) IM BI IM BM 3R MH MH BM BI Chứng minh AHM ~ MGH ( HG đường cao MHD ) MH 9R MH2 = GH.AM HG = = AM 14 Ta lại có : AK = BM = ) HBE ( chắn HE mà HEC HEC suy : HMC tứ giác EMHC nội tiếp R R IM = F D C F 9R2 Vậy diện tích MHD = GH MD 56 K E Chứng minh đường thẳng BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AHD Gọi N tâm đường tròn (AHD) NHD cân N Bài 67 Vẽ đường cao NF NHD NF phân giác HND 79 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 80 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp KCE BNE Chứng minh điểm O , B , A , E , K thuộc đường tròn đường Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác đònh tâm I (học sinh tự chứng minh ) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC K Chứng minh KF.KE = KB.KC ( Học sinh tự chứng minh ) AK cắt đường tròn (O) M Chứng minh MFEA nội tiếp Chứng minh KM.KA = KB KC KM KA = KF KE CBA kính OA CKE CBA Mà ME // AB ( OB ) CME CME tứ giác CKME nội tiếp CKE = BFE DEF ( góc tam giác FEN ) Ta có BNE MCK ( BCE BFE DEF MCK ) = BCE = KCE Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp AE AO AH AF góc chung AEH ~ AOF EHA Với EAH AFO Chứng minh AE.AF = AH.AO = AB2 Suy tứ giác EHOF nội tiếp ( góc góc đối diện góc ) Chứng minh tia FM qua trung điểm AB ( cmt ) KCE BNE KCE ( tứ giác KMEC nội tiếp ) DMK BNE Mà DMK MEF Chứng minh KFA ~ KME ( c-g-c) MAF Suy tứ giác AMFE nội tiếp Chứng minh M , H , I thẳng hàng Chứng minh điểm A , M , F , H , E thuộc đường tròn đường kính AH HM AM ( ) Vẽ đường kính AN (O) NM AM ( ) Từ (1) (2) N , H , M thẳng hàng (3) Chứng minh BHCN hình bình hành H , I , N thẳng hàng (4) Từ (3) (4) M , H , I thẳng hàng Ta có A Suy : KM // FB FEN có K trung điểm EF KM // FN M trung điểm EN D F B N E M M K O E O H F H A D K B C I N C Bài 69 Bài 68 81 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung 82 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh CH = DE ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh CA.CD = CB.CE ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh ABED nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) CF cắt AB Q Hỏi K điểm đặc biệt OCQ Ta có (O) (K) cắt hai điểm C F OK CF trung điểm I CF ( tính chất hai đường tròn cắt ) OI AH hai đường cao OCQ K trực tâm OCQ Chứng tỏ Q giao điểm DE đường tròn (OKF) Ta cần chứng minh Q , D , E thẳng hàng tứ giác OKFQ nội tiếp Vẽ tiếp tuyến xy (O) C , ta chứng minh xy // DE DE OC mà OK OC nên Q , D , E thẳng hàng ( ý K DE ) Hay Q thuộc đường thẳng DE (1) IKF IKC OKH Ta có KI phân giác CKF FQH Chứng minh HKIQ nội tiếp OKH FQH tứ giác OKFQ nội tiếp Từ OKH Vẽ tiếp tuyến chung xy hai đường tròn Ta có : BDx B BAD ' Dy DA 'B' AB // A’B’ A' D B ' D AD BD A ' D AD B ' D BD AD BD AA ' BB ' AD BD AA ' CC ' AA ' BB ' CC ' Tương tự ta chứng minh : AD CD AD BD CD Trên BC lấy điểm M cho BMD ACD Ta chứng minh : BMD ~ ACD (g-g) BM.AD = AC.BC (1) A DMC 1800 ( kề bù ) Ta lại có : BMD C D ACD ABD 1800 ( ABDC nội tiếp ) DMC ABD ( BMD ACD ) y I F DMC ~ DBA ( g-g) MC.AD = AB.DC (2) K E O AA ' BB ' CC ' AD BD CD b Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD Hay Q thuộc đường tròn ngoại tiếp OKF (2) Từ (1) (2) Q giao điểm đường thẳng DE đường tròn x ngoại tiếp OKF A a Chứng minh Q H B O M C B Cộng (1) (2) theo vế ta có : AD.BC = AC.BD + AB.CD D c Chứng minh : AA1.BC = BB1.AC = CC1.AB Ta chứng minh : AA12 = AD AA’ ; BB12 = BD.BB’ ; CC12 = CD.CC’ Từ : Bài 70 83 A WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung O 84 AA ' BB ' CC ' AD BD CD AA ' AD BB '.BD CC '.CD AD BD CD WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung Bài tập luyện thi vào lớp 10 AA BB CC12 AA1 BB1 CC1 12 AD BD CD AD BD CD AA1.BC BB1 AC CC1 AB BB1.AC CC1 AB AD.BC BD AC CD AB BD AC CD AB 2 Mà : AD.BC = AC.BD + AB.CD AA1.BC = BB1.AC = CC1.AB 85 WWW.MATHVN.COM Gv : Lưu Văn Chung WWW.MATHVN.COM