CÁC DẠNG TOÁN số PHỨC THƯỜNG gặp

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c  h t t p : / /  w w w t a i l i e u p r o c  h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c h t t p : / / w  w w  t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://w tailieupro.c  w  w  http://www  . t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An Lạng Sơn Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm gần đây, toán số phức thường hay xuất với dạng tốn tìm phần thực, phần ảo, tìm mơđun số phức, giải phương trình…bài viết giới thiệu số dạng toán số phức A Tóm tắt lí thuyết * Định nghĩa: Số phức số có dạng z  a  bi(a, b  R) , i đơn vị ảo, tức i  1 a gọi phần thực z, kí hiệu a  Re z b gọi phần ảo z, kí hiệu b  imz Tập hợp số phức kí hiệu C * Các phép toán số phức: +) Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i +) z1  z2  a1  a2  b1  b2 i +) z1  z2  a1  a2  b1  b2 i +) z1.z2  a1  b1i a2  b2i  a1a2  a1b2i  a2b1i  b1b2i  a1a2  b1b2  (a1b2  a2b1 )i +) a bi a  b i a2  b2i z1 a a  b b  (a b  a b )i  1  1  2 22 1 z2 a2  b2i a2  b2i a2  b2i a2  b2 * Mô đun số phức, số phức liên hợp Cho số phức z  a  bi Khi : +) Đại lượng a  b gọi môđun z Kí hiệu z  a  b2 +) Số phức z  a  bi gọi số phức liên hợp z B Hệ thống tập I Các phép tốn số phức Ví dụ 1: Cho z1   i, z2   i Tính z1  z1 z2 Lời giải z1  z1 z2   i   i  i  10  10  0i  z1  z1z2  102  02  10 Ví dụ Tìm số phức z biết z  z   i 1 i (1) Lời giải: nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o   http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w ta i l i e  u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w  t a  i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w t w a i lt ia  eiu l iper uo p cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c   http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Giả sử z  a  bi  z  a  bi (1)  a  bi  2(a  bi)  (23  3.22 i  3.2i  i3 )(1  i)  a  bi  2a  2bi  (8  12i   i)(1  i)  (11i  2)(1  i) 13  3a  13 a  13   3a  bi  11i  11i   2i  13  9i    z   9i b  b  9 Ví dụ Cho z1   3i, z2   i Tính z1  3z2 ; z1  z2 ; z13  3z2 z2 Lời giải +) z1  3z2   3i   3i   6i  z1  3z2  52  62  61 +)  4i  i z1  z2  4i 7i z z 49        z2 1 i 1 i z2 4 +) z13  3z2   36i  54i  27i3   3i  49  6i  z13  3z2  2437 Ví dụ Tìm số phức z biết: z  3z   2i 2  i (1) Lời giải Giả sử z=a+bi, ta có: (1)  a  bi  3a  3bi   12i  4i 2  i   12i  i  4a  2bi  10  24i  5i  12i  22  19i  a  Ví dụ Tìm phần ảo z biết: z  3z   i 11 19 11 19 Vậy z   i ;b  12 2 2  i (1) Lời giải Giả sử z=a+bi (1)  a  bi  3a  3bi   12i  6i  i  i   11i  i  4a  2bi   2i  22i  11i  20i  15  a  15 ; b  10 Vậy phần ảo z -10 (1  i 2)  i Ví dụ Tìm mơđun z biết z  z  2i (1) Lời giải nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c (1)  a  bi  2a  2bi   3a  bi  a (1  i 2)  2i  i 2i  2i  2i 2i (2i  2)  i i(4  2)    4i 2 4  2 ;b  15  z  32   16  144  72  144 225  128  225 15 Ví dụ (A+A 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z  i)   i (1) z 1 Tính môđun số phức    z  z Lời giải Giả sử z=a+bi (1)  5(a  bi  i)  2i a  bi   5a  5i(b  1)  2a  2bi    bi  i  3a   b  i(5b   2b  a  1)  3a   b  a     z  1 i 3b  a   b      i   2i    3i      13 Ví dụ (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2  i) z  2(1  2i)   8i (1) 1 i Tìm mơđun số phức   z   i Lời giải Giả sử z  a  bi (1)  (2  i)(a  bi)  2(1  2i)   8i 1 i  2a  2bi   bi  2(1  2i)(1  i)   8i  i2  2a  b   a    2a  2bi   bi   i  2i  2i   8i   2b  a   b  Do    2i   i   3i    16   nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w . t a i  l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c   http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Ví dụ (A-2011) Tìm tất số phức z, biết z  z  z (1) Lời giải (1)  a  bi  a  b  a  bi  a  b 2i  2abi  a  b  a  bi 1  a   ; b  2b  a    2b  a  bi  2abi     b  0; a  b  2ab   1 1 a  ; b  2  Vậy z  0; z  1 1  i; z   i 2 2 Ví dụ 10 ( A-2011) Tính mơđun số phức z biết: (2 z  1)(1  i)  ( z  1)(1  i)   2i (1) Lời giải (1)  (2a  2bi  1))(1  i)  ( a  bi  1)(1  i)   2i  2a  2ai  2bi  2bi   i  a   bi  bi   i   2i  3a  3ba   bi  2i   2i  a   3a  3b  1   Suy z    a  b     9  b   Ví dụ 11 Tìm số nguyên x, y cho số phức z  x  iy thỏa mãn z  18  26i Lời giải  x  3xy  18 Ta có ( x  iy )  18  26i    18(3x2 y  y3 )  26( x3  3xy ) 3 x y  y  26 3 Giải phương trình cách đặt y=tx ta t   x  3, y  Vậy z=3+i Bài luyện tập Bài Thức phép tính: a (3i  4) (3  2i )  (4  7i) d  4i  7i g 3  4i   7i  5i b  5i  i  3i  2i c  i 2012 e  i   2i 3 h f  i 3  2i  5i 2i    4i  2i Bài Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun số phức liên hợp số phức sau: a z1  (2i  1)2  3i(i  1)  2i b z2   2i  3i i2 c z4  3i10  2i  Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: z = ( + i) (1- i) nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Bài Cho số phức z thỏa mãn: (2  3i)z  (4  i) z  (1  3i)2 Xác định phần thực phần ảo z Bài Tính mô đun số phưc sau: z1  (2  3i)  (3  4i); z2  (3  2i) 3; z3  (2i 1)  (3  i) Bài Cho số phức z thỏa mãn: z  (1  3i)3 Tìm mơđun z  iz 1 i Bài Tính mơ đun số phức z , biết (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )   2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z  z  6; z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 Bài 10 Tìm số phức z, biết: z  z.z  25 5i 1  z Bài 11 Tìm số thực x, y thỏa mãn: x(3  5i)  y(1  2i)3   14i ( z  z )(1  6i ) 37(1  i ) z  1 i 10 Bài 12 Tìm số phức z biết: II Căn bậc số phức phương trình bậc hai tập số phức Định nghĩa: Cho số phức z  a  bi Căn bậc hai số phức z số phức z1  a1  b1i thỏa mãn z12  z Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức z   12i Lời giải Giả sử m+ni (m; n R) bậc hai z Ta có: (m  ni)2   12i  m2  2mni  n2i   12i  m2  2mni  n2   12i m2  n  5(1) m2  n     2mn  12 m  (2) n  6 Thay (2) vào (1) ta có:    n2   36  n4  5n2 n  n4  5n2  36   n2  4; n2  9(loai) n   m   n  2  m  3  Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Ví dụ 2: Tìm bậc hai số phức z  164  48 5i Lời giải Giả sử m+ni (m; n R) bậc hai z Ta có: (m  ni)2  164  48 5i  m2  2mni  n2  164  48 5i m2  n  164(1) m2  n  164    24 (2) n  2mn  48 m  Thay (2) vào (1) ta có: m2  ( 24 )  164  m4  164m2  2880  m  m2  16; m2  180(loai) m   n    n  4  m  6 Vậy z có hai bậc hai  5i,   5i Bài luyện tập Tìm bậc số phức sau: 5  12i,   24i,  3i,  23  6i III Giải phương trình bậc hai tập số phức Xét phương trình az  bz  c  0( a, b, c  C ; a  0) Cách giải Tính   b2  4ac Gọi  k bậc hai  , nghiệm phương trình là: z  b  k b  k ,z 2a 2a Đặc biệt b=2b’, ta tính  ' Gọi  k ' bậc hai  ' , nghiệm phương trình là: z  b ' k ' b ' k ' ,z a a Ví dụ 1: Giải phương trình: z  (3i  8) z  11i  13  Lời giải   (3i  8)2  4(11i  13)  4i  Giả sử m+ni (m; n R) bậc hai  Ta có: (m  ni)2   12i nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i  e u p r o c http://www.tailieupro.c    h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c  m  2mni  n 2i   4i  m  2mni  n   4i m2  n  3(1) m2  n     2 mn   n  (2) m  m2  2 Thay (2) vào (1) ta có: m      m  3m     m  m  1(loai) m   n   m  2  n  1  Vậy  có hai bậc hai 2+i -2-i  3i   i   2i  z  Do nghiệm phương trình   z  3i   i   i   Ví dụ Giải phương trình: z  z   Lời giải  '  22   3  3i  bậc hai  ' i Vậy nghiệm phương trình là: z  2  3i, z  2  3i Ví dụ giải phương trình: z  z  (4  i) z   3i  (1) Lời giải Dễ thấy z=-i nghiệm (1) nên (1)  ( z  i)( z  (4  i) z   3i)  z  i    z  (4  i) z   3i  0(2) Giải (2)   (4  i)2  12  12i  16   8i  12  12i   4i   2.2.i  i  (2  i)2 Vậy  có hai bậc hai là: 2+i -2-i  4  i   i  1  i z  Do nghiệm (2)   z  4  i   i   3  Vậy (1) có nghiệm –i, -3, -1+i Ví dụ Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình:  i z   i z   3i  Tính z1  z2 2 Lời giải Ta có  '   i   i  3i  16 Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1  1 2  i, z2    i Do z1  z2  2 2 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Ví dụ Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z  z3  2z  6z   tập số phức tính tổng: S  1 1    z12 z22 z32 z42 Lời giải PT: z  z3  2z  6z    z  z  z  z   (1)  z1   z  2 Khơng tính tổng qt ta gọi nghiệm của(1)là   z3   i   z4   i Thay biểu thức ta có: S  1 1 1     1  z1 z2 z3 z4 1 i Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức C: z  z   1 i  z2  z   (1) Lời giải Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z  Chia hai vế PT (1) cho z2 ta : ( z  Đặt t= z  1 )  ( z  )   (2) z z 1 Khi t  z    z   t  z z z Phương trình (2) có dạng : t2-t+  (3)     9  9i 2 Vậy PT (3) có nghiệm t= Với t=  3i  3i , t= 2  3i 1  3i  z  (1  3i ) z   (4) ta có z   z Có   (1  3i)  16   6i   6i  i  (3  i) Vậy PT(4) có nghiệm : z= (1  3i )  (3  i ) (1  3i )  (3  i ) i    i , z=  4 Do PT cho có nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= i 1  i 1 ; z= 2 Bài luyện tập Giải phương trình sau: z  z  11  i  nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c z  2(1  2i) z  (7  4i)  z  2(2  i) z   8i  z  (2  i) z  i   z  (2  i) z  (2  2i) z  2i  IV Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Cách giải: Giả sử z = a + b i ; thay vào giả thiết, tìm hệ thức a b Từ suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  z   3i số z i ảo Lời giải Giả sử z  a  ib ( a, b  R) , u  a   bi  3i (a   (b  3)i)(a  (b  1)i)  a  (b  1)i a  (b  1)2 Tử số a2  b2  2a  2b   2(2a  b  1)i a  b2  2a  2b   (a  1)2  (b  1)  u số ảo   a  b    (a; b)  (0;1), (2; 3) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1; 1) , bán kính , khuyết điểm (0;1) (-2;-3) Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z   3i  1(*) z 4i Lời giải Giả sử z  a  bi (*)  a   (b  3)i  x   (b  1)i  (a  2)2  (b  3)2  (a  4)2  (b 1)  3a  b   Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0 Ví dụ Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức   (1  i 3) z  biết số phức z thỏa mãn: z   (1) Lời giải nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w  t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Giả sử   a  bi Ta có a  bi  (1  i 3) z   z  (1)  a   bi a   (b  3i )  z 1  1 i 1 i a   (b  3)i (a  3)  (b  3) a   (b  3)i 2 2 2  1 i 1 i  (a  3)2  (b  3)  16 Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình tròn ( x  3)2  ( y  3)2  16 (kể điểm nằm biên) Bài luyện tập Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: a  z  i  z b z  c z  z   4i z i f | z  (3  4i) |  g z  z d z i  e | z  i |  | (1  i)z | zi V Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Bài toán: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G Tìm số phức z có mơ đun nhỏ nhất, lớn Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma  nb  k Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau ta sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương Ví dụ Biết số phức z thỏa mãn u  ( z   i)( z   3i) số thực Tìm giá trị nhỏ |z| Lời giải Giả sử z  a  ib , ta có u  (a   (b  1)i)(a   (b  3)i)  a2  b2  4a  4b   2(a  b  4)i uR  a b4   a  b | z |min  | z |2 | z |2  a2  b2  (b  4)2  b2  2b2  8b  16  2(b  2)2   Dấu = xảy b  2  a  Vậy | z |min  z   2i 10 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w  w  t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co  h t t p : / / w ww.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc     http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z  i   z  2i Tìm giá trị nhỏ z Lời giải a  bi  i   a  bi  2i  a   b   a  b  2 2  a  2a   b  2b   a  b  4b   2a  2b    a  b   a   b  a  b  b   b  2b  2b    z  1 1  a  ; b  Vậy Min z  2 2 Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng ( x  a)2  ( y  b)2  k Bài tốn: Tìm GTNN, GTLN S  A sin mx  B cos nx  C Ta có S  A2  B (sin mx A A B 2  cos mx B A  B2 )C A  cos     A2  B Đặt  Khi S  A2  B2 (sin mx.cos   cos mx.sin  )  C B sin    A  B2 Do MinS   A2  B  C  x  MaxS  A2  B  C  x    k 2   2m m m  2m   m  k 2 m  x  a  k sin   y  b  k cos  Vì trường hợp để tìm GTNN, GTLN |z| ta đặt  Sau ta làm tương tự tốn Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z   4i  Tìm giá trị nhỏ z Lời giải Giả sử z=a+bi, ta có: a  bi   4i   a   b   16 2 a   4sin  a   4sin   b   4cos  b  4cos   Đặt   z  a  b   16sin   24sin   16cos   16  32cos   41  24sin   32cos   41  40( sin   cos  ) 5 11 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Đặt cos  ,sin   5  z  a  b  41  40sin(   )  Dấu = xảy        k 2         k 2 Do Min z  Ngồi để tìm GTNN, GTLN z ta sử dụng phương pháp hình học Ví dụ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   5, z2   3i  z2   6i Tìm giá trị nhỏ z1  z2 Lời giải Giả sử M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1  a  bi , N (c; d ) điểm biểu diễn số phức z2  c  di Ta có z1    (a  5)  b  25 Vậy M thuộc đường tròn (C ) :( x  5)2  y  25 z2   3i  z2   6i  8c  6d  35 Vậy N thuộc đường thẳng  : 8x  y  35 Dễ thấy đường thẳng  không cắt (C ) z1  z2  MN Bài tốn trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) :( x  5)2  y  25 đường thẳng  : 8x  y  35 Tìm giá trị nhỏ MN, biết M chạy (C ) , N chạy đường thẳng  L M d H Gọi d đường thẳng qua I vng góc với  PT đường thẳng d 6x-8y=-30 Gọi H giao điểm d  Tọa độ điểm H nghiệm hệ 12 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c x  8 x  y  35     H (1; ) 6 x  y  30  y  Gọi K, L giao điểm d với đường tròn (C ) Tọa độ K, L nghiệm hệ ( x  5)2  y  25  x  1; y  Vậy K(-1;3), L(-9;-3)    x  9; y  3 6 x  y  30 Tính trực tiếp HK, HL Suy MinMN  Min z1  z2   M  K , N  H Khi Bài luyện tập Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có môđun nhỏ z   2i Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có môđun nhỏ z 1  i nhất, lớn cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  i  5, z2   z2  Tìm giá trị nhỏ z1  z2 VI Dạng lượng giác số phức ứng dụng Xét số phức dạng đại số: z  a  bi  a Ta có z  a  b   2  a b  a Nhận xét    a b a Đặt cos = a2  b 2  i   a2  b  b  2   b       a b ;sin  =   1   b a2  b ; Khi z  a  b (cos +sin )=r(cos +isin ) (*) r  z  a2  b (*) Gọi dạng lượng giác số phức z,  gọi acgumen z 13 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Nhận xét: Nếu  acgumen z   k 2 acgumen z + Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho z1  r1 (cos1 +isin1 ); z = r2 (cos2 +isin2 ) Khi z1z  r1r2 [cos(1 +2 )+isin(1 +2 )] z1 r1  [cos(1  2 )+isin(1  2 )] z r2 Đặc biệt với z  r (cos +isin )  z2 = r (cos2 +isin2 ) z3 = r3 (cos3 +isin3 ) zn = r n (cosn +isinn ) (**) (**) gọi cơng thức moavơrơ Ví dụ Viết số phức sau dạng lương giác: z   i Lời giải  i         z  2     cos  sin i    cos  i sin  6  6     2 Ví dụ Tìm acgumen số phức: z   sin    icos   5 Lời giải       3 3  3 3    z   cos(  )  i sin(  )    cos  i sin    cos( )  i sin( ) 5  10 10  10 10      acgumen z 3  k 2 10 Ví dụ Cho z   2i Tìm dạng đại số z 2012 Lời giải     z 2 2  i  2   i  2 2       2  cos  i sin  4  Áp dụng công thức moavơrơ ta có: 2012 2012  i sin ) 4  (2 2) 2012 (1  i.0)  (2 2) 2012 z 2012  (2 2) 2012 (cos Ví dụ Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i 14 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Lời giải      z  2  i   2  cos  i sin  4         2  cos( )  i sin( )  4   Ví dụ 5.Tìm acgumen z   2i Lời giải       z   2i    i    cos  i sin    cos( )  i sin( )  6 6     2  Vậy acgumen z   k 2 Ví dụ Biết z   i Tìm dạng đại số z 2012 Lời giải 1 z   i = 2  i 2 3       cos  i sin   3        cos( )  i sin( )  3   2012 2012  i sin ) 4  (2 2) 2012 (1  i.0)  (2 2) 2012 z 2012  (2 2) 2012 (cos Ví dụ Cho z1   i ; z2   2i Tìm dạng đại số z 20 z15 Lời giải           i    cos  i sin    cos( )  i sin( )  z1   i   4 4      20 20   z120  ( 2) 20  cos( )  i sin( ) 4    210.(1  i.0)  210       i    cos  i sin  6   2  z2   2i   15 15  15  z15  i sin   cos  6    415.(0  i1)  415 i Suy z 20 z15  240 i 15 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c   Ví dụ Tìm acgumen z   sin   icos   7 Lời giải    z   sin  icos  7          cos(  )  i sin(  )  7   5 5  5 5      cos  i sin )  i sin( )    cos( 14 14  14 14     acgumen z 5  k 2 14   Ví dụ Tìm acgumen z  3  sin   icos   5 Lời giải    z  3  sin  icos  5         3  cos(  )  i sin(  )  5   3 3    3  cos  i sin  10 10    acgumen z 3  k 2 10 Ví dụ 10 (B-2012)Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình: z  3iz   , viết dạng lượng giác z1 ; z2 Lời giải z  3i.z   ,   3i     z1  3i  1; z2  3i   1  2 2   z1    i    cos  isin   3    1     z2    i    cos  isin  3  2  16 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c   http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 2010 2012 Ví dụ 11 Tính tổng S  C2012  C2012  C2012  C2012   C2012  C2012 Lời giải 2011 2011 2012 2012  C2012 i  C2012 i  C2012 i   C2012 i  C2012 i Ta có (1  i)2012  C2012 2011 2011 2012 2012 (1  i)2012  C2012  C2012 i  C2012 i  C2012 i3   C2012 i  C2012 i 2010 2012 Suy (1  i)2012  (1  i)2012  2(C2012  C2012  C2012   C2012  C2012  2S Mặt khác (1  i)2012  [ 2(cos (1  i) 2012  [ 2(cos    i sin )]2012  21006 (cos503  i sin 503 )  21006 4   2012  i sin )]  21006 (cos  503  i sin  503 )  21006 4 Từ S  21006 Bài luyện tập Bài Tìm acgumen số phức sau : a 1  i ;   4 b cos  i sin   8 ; c  sin  i cos ; d  sin  i cos Bài Viết dạng lượng giác số z =  Suy i       ; 2  bậc hai số phức z: Bài Viết dạng lượng giác số phức sau: a sin  i sin  b cos  i(1  sin ) Bài Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a 1 i 10 i ; b z 2000  z 2000 z biết z   VII Một số toán chứng minh Lời giải toán chứng minh thường dựa tính chất mơ đun liên hợp số phức, ý số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn tương ứng A, B OA  z1 ; OB  z2 ; AB  z1  z2 Từ suy ra: +) z1  z2  z1  z2 +) z1  z2  z1  z2 +) z1  z2  z1  z2 Ví dụ Giả sử z1 , z2 số phức khác không thỏa mãn z12  z1 z2  z22  gọi A, B điểm biểu diễn tương ứng z1 , z2 Chứng minh tam giác OAB Lời giải Ta có z13  z23  ( z1  z2 )( z12  z1z2  z22 )  , suy ra: 17 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c z13   z23  z1  z2  z1  z2  OA  OB 3 Lại có ( z1  z2 )2  ( z12  z1 z2  z22 )  z1 z2   z1 z2 nên z1  z2  z1 z2  AB  OA.OB  OA2 Suy AB=OA=OB  OAB Ví dụ cho số phức z1 , z2 , z3 có mơ đun Chứng minh rằng: z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 Lời giải Vì z1 z2 z3 =1 nên z1 z2  z2 z3  z3 z1  z1 z2  z2 z3  z3 z1 1    z1 z2 z3 z1 z2 z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3 (Đpcm) Ví dụ Cho số phức z  thỏa mãn z   Chứng minh z   3 z z Lời giải Đặt a  z  2 (a  0) Ta có: ( z  )3  z   6( z  ) Suy ra: z z z z a  z  z   z    6a z z z Do a  6a    (a  3)(a  3a  3)  Vì a2  3a   , nên a  z   (Đpcm) z Bài tập luyện tập Bài 1.Cho hai số phức z1 , z2 có mơ đun Chứng minh z  z1  z2  z1 z2 số thực Bài Cho số phức z  thỏa mãn z  1  Chứng minh z   z z Bài Chứng minh với số phức z, có hai bất đẳng thức sau xảy ra: z   z   18 nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm ... Tìm số phức z biết: II Căn bậc số phức phương trình bậc hai tập số phức Định nghĩa: Cho số phức z  a  bi Căn bậc hai số phức z số phức z1  a1  b1i thỏa mãn z12  z Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức. .. luyện tập Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có mơđun nhỏ z   2i Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có mơđun nhỏ z 1  i nhất, lớn cho hai số phức z1 , z2... biểu diễn số phức z Cách giải: Giả sử z = a + b i ; thay vào giả thiết, tìm hệ thức a b Từ suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  z   3i số z i