CÁC DẠNG TOÁN số PHỨC THƯỜNG gặp

c o m / CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An Lạng Sơn Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi tốt nghiệp trung học phổ thôn

Trang 1

h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m /

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An Lạng Sơn

Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông mấy năm gần đây, các bài toán về số phức thường hay xuất hiện với các dạng toán như tìm phần thực, phần ảo, tìm môđun của số phức, giải phương trình…bài viết này giới thiệu một số dạng toán cơ bản về số phức

A Tóm tắt lí thuyết

* Định nghĩa: Số phức là số có dạng z a bi a b( , R) , i là đơn vị ảo, tức là 2

1

i  

a gọi là phần thực của z, kí hiệu a Rez

b gọi là phần ảo của z, kí hiệu bimz Tập hợp các số phức kí hiệu là C

* Các phép toán trên số phức:

+) Cho z1 a1 b i z1, 2 a2b i2 +) z1 z2  a1 a2    b1 b i2  +) z1 z2  a1 a2    b1 b i2 

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

z z  a b i a b i a a a b ia b ib b i a a1 2 b b1 2 (a b1 2a b i2 1)

 1 1   1 1  2 2 

2 2

* Mô đun của số phức, số phức liên hợp

Cho số phức z a bi Khi đó : +) Đại lượng 2 2

a b gọi là môđun của z Kí hiệu 2 2

+) Số phức z a bi gọi là số phức liên hợp của z

B Hệ thống bài tập

I Các phép toán trên số phức

Ví dụ 1: Cho z1  3 i z, 2   2 i Tính z1z z1 2

Lời giải

z z z   i i  i   i 2 2

1 1 2 10 0 10

Ví dụ 2 Tìm số phức z biết    3 

z z i i (1)

Lời giải:

Trang 2

Giả sử z a bi   z a bi

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )

2

3a bi 11i 11i 2 2i 13 9i

13

9 3

9

b



 

Ví dụ 3 Cho z1  2 3 ,i z2   1 i Tính z1 3z2 ; 1 2

2

z



; 3

1 3 2

Lời giải

+) z1 3z2       2 3i 3 3i 5 6i  2 2

1 3 2 5 6 61

2 2

3 4 1

2

49 1 5 2

z



1 3 2 8 36 54 27 3 3 49 6

1 3 2 2437

Ví dụ 4 Tìm số phức z biết:    2 

Lời giải

Giả sử z=a+bi, ta có:

 2        (1)   a bi 3a 3bi  9 12  i 4i 2   i 5 12 2i i

4a 2bi 10 24i 5i 12i 22 19i

   Vậy 11 19

Ví dụ 5 Tìm phần ảo của z biết:    3 

Lời giải

Giả sử z=a+bi

 2 3        (1)   a bi 3a 3bi  8 12i 6i i 2  i 2 11 2  i i

4a 2bi 4 2i 22i 11i 20i 15

4

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 6 Tìm môđun của z biết   2

(1 2) 1

2

i



Lời giải

Trang 3



4 2 2; 4 2 2

32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2

Ví dụ 7 (A+A1 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 (1)

1

i z



Tính môđun của số phức 2

1 z z

Lời giải

Giả sử z=a+bi

1

a bi i

i

a bi

 

 

2

          1 1 i 1 2i 1 2 3i   4 9   13

Ví dụ 8 (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 ) 2(1 2 ) 7 8 (1)

1

i



Tìm môđun của số phức    z 1 i

Lời giải

Giả sử z a bi

2(1 2 )

1

i



2

2(1 2 )(1 )

1

i



Do đó        3 2i 1 i 4 3i   16 9   5

 

2

3

a bi

i



Trang 4

Ví dụ 9 (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết 2 2

(1)

Lời giải

2 2

;





Vậy 0; 1 1 ; 1 1

Ví dụ 10 ( A-2011) Tính môđun của số phức z biết:

(2z 1)(1   i) (z 1)(1   i) 2 2 (1)i

Lời giải

(1)  (2a 2bi 1))(1    i) (a bi 1)(1   i) 2 2i

 2a 2ai 2bi 2bi2      1 i a ai bi bi2    1 i 2 2i

 3a 3ba    ai bi 2i 2 2i

1

3

a

b

 





Suy ra 1 1 2

Ví dụ 11 Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z x iy thỏa mãn 3

18 26

Lời giải

Ta có

3 2 3

2 3





18(3x y y ) 26(x 3xy )

Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được 1 3, 1

3

t  x y Vậy z=3+i

Bài luyện tập Bài 1 Thức hiện phép tính:

a (3i 4) ( 3    2 )i   (4 7 )i  b  7 5  i 1  i  3i 2i c   2012

1 i

d    2 

3 4  i 5 7  i e    3  2

3 i   1 2i f    3  2

3 i   3 2i

g   5 7

3 4

6 5

i i

i



 h

Bài 2 Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

a 2 3

1 (2 1) 3 ( 1) 2

2

i



4 3 5 2 4

Bài 3 Tìm phần ảo của số phức z, biết: 2

z = ( 2 + i) (1- 2 i)

Trang 5

(2 3 )  i z   (4 i z )    (1 3 ) i

Xác định phần thực và phần ảo của z

Bài 5 Tính mô đun của các số phưc sau:

1 (2 3 ) ( 3 4 ); 2 (3 2 ) ; 3 (2 1) (3 )

Bài 6 Cho số phức z thỏa mãn:

3 (1 3 ) 1







i z

i Tìm môđun của z iz

Bài 7 Tính mô đun của số phức z , biết (2z 1)(1   i) (z 1)(1   i) 2 2i

Bài 8 Tìm số phức z thỏa mãn: z z 6; z z  25

Bài 9 Tìm số phức z thỏa mãn | z   (2 i ) |  10 và z z  25

Bài 10 Tìm số phức z, biết: z 5 i 3 1 0

z



Bài 11 Tìm các số thực x, y thỏa mãn: 3

(3 5 ) (1 2 ) 9 14

Bài 12 Tìm số phức z biết: ( 2 )( 1 6 ) 37(1 )

i z

i



II Căn bậc của số phức và phương trình bậc hai trên tập số phức

Định nghĩa: Cho số phức z a bi

Căn bậc hai của số phức z là số phức z1 a1 b i1 thỏa mãn 2

1

z  z

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của số phức z  5 12i

Lời giải

Giả sử m+ni (m; n  R) là căn bậc hai của z

Ta có: 2

(m ni )   5 12i

2 2

5

6

n

Thay (2) vào (1) ta có:

2

6

n

      

 

 

  



     



Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i

Trang 6

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của số phức z  164 48 5  i

Lời giải

Giả sử m+ni (m; n  R) là căn bậc hai của z

Ta có: 2

(mni)   164 48 5  i

2 2

164

24 5

m

Thay (2) vào (1) ta có: 2 24 5 2 4 2

m

   



    



Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5 ,  i   4 6 5i

Bài luyện tập

Tìm các căn bậc 2 của các số phức sau:

5 12 ,i 7 24 , 1i 3 ,i 23 4 6i

III Giải phương trình bậc hai trên tập số phức

Xét phương trình 2

az bz c a b cC a

Cách giải

Tính 2

4

Gọi k là căn bậc hai của  , nghiệm của phương trình là: ,

Đặc biệt nếu b=2b’, ta tính ' 

Gọi k' là căn bậc hai của '  , nghiệm của phương trình là: z b' k', z b' k'

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2

(3 8) 11 13 0

Lời giải

2

(3i 8) 4(11i 13) 4i 3

Giả sử m+ni (m; n  R) là căn bậc hai của 

Ta có: 2

(m ni )   5 12i

Trang 7

2 2

3

2

m

Thay (2) vào (1) ta có:

2

4 2

1(loai)

m

 

  



     



Vậy  có hai căn bậc hai là 2+i và -2-i

Do đó nghiệm của phương trình là

2 5 2

3 2

  



  



Ví dụ 2 Giải phương trình: 2

Lời giải

       các căn bậc hai của '  là i 3 Vậy nghiệm của phương trình là: z   2 3 ,i z   2 3i

Ví dụ 3 giải phương trình: 3 2

z  z  i z  i

Lời giải

Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên 2

(1)   (z i z)(   (4 i z)   3 3 )i  0

2

0 (4 ) 3 3 0(2)

 





Giải (2)

(4 i) 12 12i 16 1 8i 12 12i 3 4i 4 2.2.i i (2 i)

Vậy  có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

Do đó nghiệm của (2) là

1 2

3 2

z

   



    



Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i

Ví dụ 4 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình:   2  

Tính z12 z22

Lời giải

Ta có   2   

       Vậy phương trình có hai nghiệm phức

,

z   i z    i Do đó 2 2

Trang 8

Ví dụ 5 Gọi z z z z1, 2, 3, 4là bốn nghiệm của phương trình 4 3 2

z  z z  z  trên tập

số phức tính tổng: 2 2 2 2

1 2 3 4

S

Lời giải

PT: 4 3 2

Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là

1 2 3 4

1 2 1 1

z z





  



  



 



Thay và biểu thức ta có:

   2  2

1

S

Ví dụ 6 Giải phương trình sau trên tập số phức C: 4 3 2

2

z

z  z   z (1)

Lời giải

Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z  0

Chia hai vế PT (1) cho z 2 ta được : ( 0

2

1 )

1 ( )

1

2

z

z z

Đặt t=z 1

z

 Khi đó 1 2

2 2

z z

Phương trình (2) có dạng : t 2 -t+ 0

2

5  (3)

2

9 9 2

5 4





Vậy PT (3) có 2 nghiệm t=

2

3

1  i

, t=

2

3

1  i

Với t=

2

3

1  i

ta có 2 ( 1 3 ) 2 0

2

3 1

z

) 3 ( 6

9 6 8 16 ) 3 1 (  i    i  ii  i





Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z=  i  i  1 i

4

) 3 ( ) 3 1 (

, z=

2

1 4

) 3 ( ) 3 1 (  i  i  i

Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=

2 1



i

; z=

2 1



i

Giải các phương trình sau:

1 2

Trang 9

2 2

2(1 2 ) (7 4 ) 0

3 2

4 2

z  i z i  

5 3 2

z  i z   i z i

IV Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

Cách giải: Giả sử z =a b+ i ; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với a và

b Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

Ví dụ 1 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u z 2 3i

 



 là một số thuần

ảo

Lời giải

Giả sử z a ib a b( , R) , khi đó 2 3 ( 2 (2 3) )( 2( 1) )

u

Tử số bằng 2 2

u là số thuần ảo khi và chỉ khi



Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( 1; 1)   , bán kính bằng

5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3)

Ví dụ 2 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: 2 3 1(*)

4

 

Lời giải

Giả sử z a bi

(*)    a 2 (b 3)i    x 4 (b 1)i

(a 2) (b 3) (a 4) (b 1)

 3a b   1 0 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0

Ví dụ 3 Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức    (1 i 3)z 2 biết số phức z

thỏa mãn: z  1 2 (1)

Lời giải

Trang 10

Giả sử   a bi

i

  



2

i



(a 3) (b 3) 16

Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn 2 2

(x 3)  (y 3)  16 (kể cả những điểm nằm trên biên)

Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:

 c z   z 3 4i d 1

 e |z i | | (1i z) |

f | z   (3 4 ) | i  2 g   2

2

V Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất Bài toán: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G nào đó Tìm số phức z có mô đun

nhỏ nhất, lớn nhất

Trường hợp 1: giả thiết G có dạng manbk Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau đó ta

sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương

Ví dụ 1 Biết rằng số phức z thỏa mãn u   (z 3 i z)(   1 3 )i là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giải

Giả sử z a ib, ta có ( 3 ( 1) )( 1 ( 3) )

2 2

u       R a b a b

| |minz  | | minz

| |z a b   (b 4) b  2b  8b 16  2(b 2)   8 8 Dấu = xảy ra khi b    2 a 2

Vậy | |minz   z 2 2i

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	594,06 KB