HỆ TRỤC tọa độ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: THPT Chuyên Nguyễn Trãi Cho A2; 0; 0, B0; 2;0, C0; 0; 2 . Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho   2 MA MB MC . 3 là. A. Một điểm. B. Một đường tròn. C. Tập rỗng. D. Một mặt cầu HƢỚNG DẪN GIẢI Điểm M Oxy   nên M x y  ; ;0. Ta có: MA x y    2 ; ;0 ; MB x y     ;2 ;0 ; MC x y     ; ;2 .         2 2 2 2 2 MA MB MC x x y y x y . 2 2 4 . Do đó               2 2 2 2 2 1 . 3 2 2 2 2 1 0 0 2 MA MB MC x y x y x y x y . Ví dụ 2: TT Hiếu Học Minh Châu Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có và . Tọa độ trọng tâm của tam giác là. A. 1;1; 2  B. 1; 2; 1  C. 2;1; 2  D. 2;1; 1  HƢỚNG DẪN GIẢI . Gọi , , . Oxyz, ABCD A B C D .     A0;0;0 , B3;0;0 , D0;3;0 D0;3; 3  ABC   A a a a  1 2 3 ; ;  B b b b  1 2 3 ; ;  C c c c  1 2 3 ; ;  Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 2 Do tính chất hình hộp ta có: . . . Tọa độ trọng tâm của tam giác là: . Ví dụ 3: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A0; 2; 1   , B  2; 4; 3, C1; 3; 1  và mặt phẳng P x y z  : 2 3 0     . Tìm điểm M P   sao cho MA MB MC   2 đạt giá trị nhỏ nhất A.        1 1; ; 1 2 2 M B.         1 1 ; ;1 2 2 M . C. M2; 2; 4 . D. M  2; 2; 4 . HƢỚNG DẪN GIẢI Gọi I , O lần lượt là trung điểm của AB và IC , khi đó với điểm M bất kỳ ta luôn có MA MB MI IA MI IB MI           2 ; tương tự MI MC MO   2 . Suy ra d MA MB MC MI MC MO       2 2 2 4 nên d nhỏ nhất khi và chỉ khi MO nhỏ nhất   MO P  nên M là hình chiếu vuông góc của O lên P . 1 2 3 0 0 3 a AA DD a a                A0;0; 3   1 1 2 2 3 3 3 0 3 0 0 3;0; 3 3 3 b b BB DD b b B b b                              1 1 2 2 3 3 3 3 3 0 3 3;3;0 0 0 c c DC AB c c C c c                      G ABC   G2;1; 2   I A B M Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 3 Có A0; 2; 1   , B  2; 4; 3    I 1; 3;1 , kết hợp với C1;3; 1  ta có O0; 0; 0 . Đường thẳng qua O0; 0; 0 vuông góc với P có phương trình          : 2 x t d y t z t . Giao điểm của d và P chính là hình chiếu vuông góc M của O0;0;0  lên mặt phẳng P . Giải hệ               2 0  2 x 3 x y z t y t z t ta được      1 1 1 , , , 1 2 2 2 t x y z . Vậy        1 1; ; 1 2 2 M . Ví dụ 4: (THPT Đặng Thúc Hứa Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A0; 2; 2 , B2; 2; 4  . Giả sử I a b c  ; ;  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính    2 2 2 T a b c . A. T  8 B. T  2 C. T  6 D. T  14 HƢỚNG DẪN GIẢI Ta có OA   0;2; 2, OB   2;2; 4 . OAB có phương trình: xyz    0 I OAB       a b c 0. AI a b c     ; 2; 2, BI a b c      2; 2; 4 , OI a b c   ; ; . Ta có hệ      AI BI AI OI                            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 a c a c b c b c           4 2 a c b c Ta có hệ              4 2 0 a c b c a b c           4 2 a c b c           2 0 2 a b c . Vậy I 2;0; 2       2 2 2 T a b c 8 Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 4 Ví dụ 5: THPT Chuyên Lê Hồng PhongHCM Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A2; 3;1, B2;1; 0, C  3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và   3 ABCD ABC S S A. D8;7; 1   B.            8; 7;1 12;1; 3 D D C.            8;7; 1 12; 1; 3 D D D. D  12; 1; 3 HƢỚNG DẪN GIẢI Ta có:       1 . , 2 ABCD S AD BC d A BC       1 2 . 2 ABC ABCD S S AD BC BC .        . 3 ABC ABC AD BC S S BC    3BC AD BC   AD BC 2 . Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên AD BC  2 1 . BC     5; 2;1 , AD x y z      D D D 2; 3; 1. 1               2 10 3 4 1 2 D D D x y z            12 1 3 D D D x y z . Vậy D  12; 1; 3. 2. ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ 1 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT CÂU 1: THPT TRẦN QUỐC TUẤN Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh A(1;2;1), B(2;0; 1)  , C(6;1;0) Hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh D a b c ( ; ; ) , tìm mệnh đề đúng? A. a b c    6 . B. a b c    5 . C. a b c    8 . D. a b c    7 . CÂU 2: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A2; 3;7  , B0; 4;1, C3; 0; 5 và D3; 3; 3 . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng Oyz sao cho biểu thức MA MB MC MD    đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 5 M là: A. M0;1; 4 . B. M2;1;0 . C. M0;1; 2  . D. M0;1; 4 . CÂU 3: (Chuyên KHTN Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A2; 1;1  , M5; 3;1 , N 4;1; 2 và mặt phẳng P y z  : 27   . Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM , điểm C trên P và điểm D trên tia AN sao cho tứ giác ABCD là hình thoi. Tọa độ điểm C là A. 15; 21;6. B. 21; 21; 6. C. 15;7; 20 . D. 21;19; 8. CÂU 4: (THPT LƢƠNG VĂN CHÁNH) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 1; 1   , B3;1; 2, D1; 0; 3 . Xét điểm C sao cho tứ giác ABCD là hình thang có hai đáy AB , CD và có góc tại C bằng 45 . Chọn khẳng định đúng trong bốn khẳng định sau: A. Không có điểm C như thế. B.       7 0;1; 2 C . C. C5; 6; 6. D. C3; 4; 5. CÂU 5: (CHUYÊN VINH LẦN 3) Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2; 1  , đường thẳng       1 2 1 : 2 1 1 x z y d và mặt phẳng P x y z  : 2 1 0     . Điểm B thuộc mặt phẳng P thỏa m n đường thẳng AB vuông góc và c t đường thẳng d . ọa độ điểm B là A. 3; 2; 1    . B.   3;8; 3. C. 0; 3; 2 . D. 6; 7; 0  . CÂU 6: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp QB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có A2; 2;1, B4; 4; 2, C  2; 4; 3 . Đường phân giác trong AD của tam giác ABC có một vectơ chỉ phương là: A.   2; 4; 3 B. 6;0; 5 C.        1 0;1; 3 D.          4 1 ; ; 1 3 3 CÂU 7: SGD VĨNH PHÚC+ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2; 0, B3; 4;1, D1; 3; 2 . Tìm tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng 45 .  Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 6 A. C5; 9; 5. B. C1; 5; 3 . C. C3;1;1. D. C3;7; 4. CÂU 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M N m n P p 3;0;0 , , ,0 , 0;0;     . Biết   0 MN MON 13, 60 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức   2 2 A m n p 2 bằng A. 29. B. 27. C. 28. D. 30. CÂU 9: (THPT Quảng Xƣơng 1 Thanh Hóa Lần 1) Trong không gian Oxyz cho A1; 1; 2   ,             0 0 1 3 x f x x x , C0;1; 2  . Gọi M a b c  ; ;  là điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức S MA MB MB MC MC MA    . 2 . 3 . đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T a b c    12 12 có giá trị là A. T  3. B. T 3. C. T  1. D. T  1. CÂU 10: THPT Hai Bà Trƣng Lần 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2;0; 2  , B3; 1; 4   , C2; 2;0. ìm điểm D trong mặt phẳng Oyz có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2; khoảng cách từ D đến mặt phẳng Oxy bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là A. D0;3; 1  . B. D0; 3; 1    . C. D0;1; 1 . D. D0;2; 1  CÂU 11: (THPT Chuyên Bắc Ninh Lần 2) Cho ba điểm A1; 3   , B2; 6 và C4; 9  . Tìm điểm M trên trục Ox sao cho vectơ u MA MB MC    có độ dài nhỏ nhất. A. M 2; 0. B. M 4; 0 . C. M3;0. D. M 1;0 . CÂU 12: THPT chuyên Lê Quý Đôn+ Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp . Biết tọa độ các đỉnh , , , . Tìm tọa độ điểm của hình hộp. A. B. C. D. Oxyz ABCD A B C D .     A3;2;1 C4;2;0 B2;1;1 D3;5;4 A A3;3;3 A 3; 3; 3 A  3; 3;3 A3;3;1 Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 7 CÂU 13: 2H31.13 THPT Quảng Xƣơng 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1;1; 0) và M a b ( ; ; 0) sao cho P MA MB   2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a b  2 bằng : A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1 . CÂU 14: (THPT Ngọc Tảo Hà Nội – 2018) Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A1; 2; 1   , B2; 1; 3  , C4;7; 5 . ọa độ ch n đường ph n giác góc ABC của tam giác ABC là A.        11; 2;1 2 B.       2 11 1 ; ; 3 3 3 C. 2;11;1 D.       2 11 ; ;1 3 3 CÂU 15: (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A7;2;3, B1;4;3, C1;2;6, D1;2;3 và điểm M tùy ý. ính độ dài đoạn khi biểu thức P MA MB MC MD     3 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 3 21 4 OM  . B. OM  26 . C. OM  14 . D.  5 17 4 OM .  HƢỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 1 ĐÁP ÁN 1A 2D 3B 4D 5C 6C 7D 8A 9D 10A 11D 12A 13B 14D 15C CÂU 1: LỜI GIẢI Ta có AB    1; 2; 2   AB 3 ; BC  4;1;1   BC 3 2 . Theo giả thiết ABCD là hình thang vuông tại A và B và có diện tích bằng 6 2 nên    1 6 2 2 AB AD BC      1 .3. 3 2 6 2 2 AD   AD 2 1 3   AD BC . Do ABCD là hình thang vuông tại A và B nên  1 3 AD BC .

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: [THPT Chuyên Nguyễn Trãi] Cho A2; 0; 0, B0; 2;0, C0; 0; 2 Tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy cho  MA MB MC A Một điểm B Một đường tròn C Tập rỗng D Một mặt cầu HƢỚNG DẪN GIẢI Điểm M Oxy   nên M x y  ; ;0 Ta có: MA x y    2 ; ;0 ; MB x y     ;2 ;0 ; MC x y     ; ;2  2 2 MA MB MC x x y y x y 2 Do  22221 32222100 MA MB MC x y x y x y x y Ví dụ 2: [TT Hiếu Học Minh Châu] Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có Tọa độ trọng tâm tam giác A 1;1; 2  B 1; 2; 1  C 2;1; 2  D 2;1; 1  HƢỚNG DẪN GIẢI Gọi , , Oxyz, ABCD A B C D     A0;0;0 , B3;0;0 , D0;3;0 D0;3; 3  ABC   A a a a  ; ;  B b b b  ; ;  C c c c  ; ;  Luôn yêu để Sống, ln sống để học Tốn, ln học tốn để u PTM Do tính chất hình hộp ta có: Tọa độ trọng tâm tam giác là: Ví dụ 3: (Tốn Học Tuổi Trẻ) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A0; 2;   , B  2; 4; 3, C1; 3; 1  mặt phẳng P x y z  :     Tìm điểm M P   cho MA MB MC   đạt giá trị nhỏ A   1; ; 22 M B   1 ; ;1 22 M C M2; 2; 4  D M  2; 2; 4 HƢỚNG DẪN GIẢI Gọi I,O trung điểm AB IC , với điểm M ta ln có MA MB MI IA MI IB MI           ; tương tự MI MC MO   Suy d MA MB MC MI MC MO       2 nên d nhỏ MO nhỏ   MO P  nên M hình chiếu vng góc O lên P 0 a AA DD a a        A0;0; 3  11 22 33 303 0 3;0; 33 bb BB DD b b B bb     11 22 33 33 3 3;3;0 00 cc DC AB c c C cc     G ABC   G2;1;   I AB M Luôn yêu để Sống, sống để học Tốn, ln học tốn để u PTM Có A0; 2;   , B  2; 4; 3    I 1; 3;1 , kết hợp với C1;3; 1  ta có O0; 0; 0 Đường thẳng qua O0; 0; 0 vng góc với P có phương trình    : xt dyt zt Giao điểm d P hình chiếu vng góc M P x y z  :     Điểm B thuộc mặt phẳng P thỏa m n đường thẳng AB vng góc c t đường thẳng d ọa độ điểm B A 3; 2;    B   3;8; 3 C 0; 3; 2  D 6; 7;   CÂU 6: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có A2; 2;1, B4; 4; 2, C  2; 4; 3 Đường phân giác AD tam giác ABC có vectơ phương là: A   2; 4; 3 B 6;0; 5 C   0;1; D   41;;1 33 CÂU 7: *SGD VĨNH PHÚC+ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2; 0, B3; 4;1, D1; 3; 2 Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB , CD có góc C 45  Ln u để Sống, ln sống để học Tốn, ln học tốn để u PTM A C5; 9; 5 B C1; 5; 3 C C3;1;1 D C3;7; 4 CÂU 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M N m n P p 3;0;0 , , ,0 , 0;0;      Biết  MN MON 13, 60 , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức   2 A m n p A 29 B 27 C 28 D 30 CÂU 9: (THPT Quảng Xƣơng - Thanh Hóa- Lần 1) Trong không gian Oxyz cho A1; 1;   ,      01 x fxx x , C0;1; 2  Gọi Mabc;; điểm thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức S MA MB MB MC MC MA    đạt giá trị nhỏ Khi T a b c    12 12 có giá trị A T  B T 3 C T  D T  1 CÂU 10: *THPT Hai Bà Trƣng Lần 1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2;0;  , B3; 1;   , C2; 2;0 ìm điểm D mặt phẳng Oyz có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD 2; khoảng cách từ D đến mặt phẳng Oxy Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn toán A D0;3; 1  B D0; 3;    C D0;1; 1  D D0;2; 1  CÂU 11: (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2) Cho ba điểm A1;   , B2; 6 C4; 9  Tìm điểm M trục Ox cho vectơ u MA MB MC    có độ dài nhỏ A M 2; 0 B M 4; 0 C M3;0 D M 1;0  CÂU 12: [THPT chuyên Lê Quý Đôn+ Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp Biết tọa độ đỉnh , , , Tìm tọa độ điểm hình hộp A B C D Oxyz ABCD A B C D     A3;2;1 C4;2;0 B2;1;1 D3;5;4 A A3;3;3 A 3; 3; 3 A  3; 3;3 A3;3;1 Luôn yêu để Sống, sống để học Tốn, ln học tốn để u PTM CÂU 13: [2H3-1.1-3] [THPT Quảng Xƣơng 1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1;1; 0) M a b ( ; ; 0) cho P MA MB   đạt giá trị nhỏ Khi ab2 : A B 2 C D 1 CÂU 14: (THPT Ngọc Tảo - Hà Nội – 2018) Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có A1; 2;   , B2; 1;  , C4;7; 5 ọa độ ch n đường ph n giác góc ABC tam giác ABC A   11; 2;1 B  11 ;; 333 C 2;11;1 D      11 ; ;1 33 CÂU 15: (SỞ GD VÀ ĐT THANH HĨA) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A7;2;3, B1;4;3, C1;2;6, D1;2;3 điểm M tùy ý ính độ dài đoạn biểu thức P MA MB MC MD     đạt giá trị nhỏ A 21 OM  B OM  26 C OM  14 D  17 OM  HƢỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN 1-A 2-D 3-B 4-D 5-C 6-C 7-D 8-A 9-D 10-A 11-D 12-A 13-B 14-D 15-C CÂU 1: LỜI GIẢI Ta có AB    1; 2; 2   AB ; BC  4;1;1   BC Theo giả thiết ABCD hình thang vng A B có diện tích 62 nên    62 AB AD BC      3 2 AD   AD   AD BC Do ABCD hình thang vng A B nên  AD BC ... học tốn để u PTM Do tính chất hình hộp ta có: Tọa độ trọng tâm tam giác là: Ví dụ 3: (Tốn Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A0; 2;   , B  2; 4; 3,... không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A2; 3;7  , B0; 4;1, C3; 0; 5 D3; 3; 3 Gọi M điểm nằm mặt phẳng Oyz cho biểu thức MA MB MC MD    đạt giá trị nhỏ Khi tọa độ Luôn yêu... phẳng P Giải hệ           20 x3 x yz t yt zt ta  111,,,1 222 txyz Vậy   1; ; 22 M Ví dụ 4: (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho