PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HÌNH CỔ ĐIỂN Tạp chí và tư liệu toán học Đôi khi trong giải toán hình học không gian cổ điển ta sẽ gặp khá nhiều bài toán tính toán phức tạp, tuy nhiên trong phòng thi ta lại không có nhiều thời gian, vì thế trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp giải quyết nhanh các bài toán tính toán phức tạp và khó trong hình không gian cổ điển, liên quan tới cực trị, góc, khoảng cách. I. Ý TƯỞNG. PHƯƠNG PHÁP Trên mạng có một vài tài liệu nói về phương pháp này và chia thành rất nhiều dạng, điều đó làm chúng ta khi áp dụng có phần khó nhớ và máy móc, tuy nhiên chúng ta chỉ cần nắm được dấu hiệu và phương pháp sau Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ. Trong bước này ta sẽ xác định 3 đường vuông góc có trong bài toán và gọi đó là 3 đường cơ sở. Thông thường thì ta sẽ quy ước trục Ox hướng vào mình, trục Oz nằm ngang, còn lại là trục Oy Bước 2. Xác định tọa độ các điểm liên trên hình liên quan tới bài toán. Với những bạn chưa quen thì chúng ta xác định tọa độ hình chiếu của điểm cần tìm lên các trục, từ đó sẽ suy ra được tọa độ điểm cần tính. Bước 3. Áp dụng công thức. Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại một số công thức cần nhớ trong phần này. Diện tích và thể tích Diện tích tam giác ABC: 1 , 2 S AB AC Thể tích tứ diện ABCD: 1 , . 6 V AB AC AD Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB AD AA , . Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: 1 , . 2 V AB AD AA Góc giữa 2 mặt phẳng: Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n và mặt phẳng Q có vecto pháp tuyến n thì cos , = cos , P Q n n Góc giữa 2 đường thẳng: Đường thẳng d có VTCP u và d’ có VTCP v thì cos , cos , d d u v Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng d có VTCP u và (P) có VTPT n thì sin , cos , d P u n Khoảng cách từ M x y z 0 0 0 0 , , đến mặt phẳng: Oxy là 0 z ; Oyz là 0 x ; Ozx là 0 y P Ax By Cz D : 0 là 0 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M P A B C PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HÌNH CỔ ĐIỂN Điều ta biết là giọt nƣớc, điều ta chƣa biết là đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí và tƣ liệu toán học | 2 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng: Cho M x y z 0 0 0 0 , , và đường thẳng d qua A và có VTCP u AB thì 0 0 , , AM u d M d u Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng 1 d qua M1 và có VTCP 1 2 u d; qua M2 và có VTCP thì 1 2 1 2 1 2 1 2 , . , , u u M M d d d u u Chú ý. Thông thường các bài mà không có 3 đường vuông góc thì ta sẽ phải tự dựng thêm để gắn tọa độ và những bài liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có 3 đường vuông góc, lăng trụ đứng thì khi áp dụng phương pháp này sẽ giải rất nhanh
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN Tạp chí tư liệu tốn học Đơi giải tốn hình học khơng gian cổ điển ta gặp nhiều tốn tính tốn phức tạp, nhiên phòng thi ta lại khơng có nhiều thời gian, chương tìm hiểu phương pháp giải nhanh tốn tính tốn phức tạp khó hình khơng gian cổ điển, liên quan tới cực trị, góc, khoảng cách I Ý TƯỞNG PHƯƠNG PHÁP Trên mạng có vài tài liệu nói phương pháp chia thành nhiều dạng, điều làm áp dụng có phần khó nhớ máy móc, nhiên cần nắm dấu hiệu phương pháp sau Bước Chọn hệ trục tọa độ Trong bước ta xác định đường vng góc có tốn gọi đường sở Thơng thường ta quy ước trục Ox hướng vào mình, trục Oz nằm ngang, lại trục Oy Bước Xác định tọa độ điểm liên hình liên quan tới tốn Với bạn chưa quen xác định tọa độ hình chiếu điểm cần tìm lên trục, từ suy tọa độ điểm cần tính Bước Áp dụng cơng thức Sau nhắc lại số công thức cần nhớ phần Diện tích thể tích Diện tích tam giác ABC: , S AB AC Thể tích tứ diện ABCD: , V AB AC AD Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB AD AA , ' Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: ,.' V AB AD AA Góc mặt phẳng: Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n mặt phẳng Q có vecto pháp tuyến n' cos , = cos , ' P Q n n Góc đường thẳng: Đường thẳng d có VTCP u d’ có VTCP v cos , ' cos , d d u v Góc đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d có VTCP u (P) có VTPT n sin , cos , d P u n Khoảng cách từ Mxyz0000,, đến mặt phẳng: Oxy z ; Oyz x ; Ozx y P Ax By Cz D : 000 222 , Ax By Cz D dMP ABC PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho Mxyz0000,, đường thẳng d qua A có VTCP u AB 0 , , AM u dMd u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng 1d qua M1 có VTCP u d; qua M2 có VTCP 1212 12 12 , , , uuMM ddd uu Chú ý Thông thường mà khơng có đường vng góc ta phải tự dựng thêm để gắn tọa độ liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có đường vng góc, lăng trụ đứng áp dụng phương pháp giải nhanh ! ... đường vng góc ta phải tự dựng thêm để gắn tọa độ liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có đường vng góc, lăng trụ đứng áp dụng phương pháp giải nhanh ! ... Ozx y P Ax By Cz D : 000 222 , Ax By Cz D dMP ABC PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn... tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB AD AA , ' Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: ,.' V AB AD AA Góc mặt phẳng: Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n mặt phẳng Q có vecto pháp