Xác định giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi điểm O và đờng thẳng c với ∝.. CMR trung tuyến AP của tam giác AMN luôn nằm trên một mặt phẳng cố định.. Tìm giao tuyến của MNP với các mặt phẳn
Trang 1Đại c ơng hình học không gian
I- Bài tập về giao tuyến:
Bài 1. Trong mặt phẳng (∝) cho 2 đờng thẳng a và b: a∩b=O Gọi c là một đờng
thẳng cắt (∝) tại I ≠O
1/ Xác định giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi điểm O và đờng thẳng c với (∝)
2/ Gọi M là điểm di động trên đờng thẳng c (M ≠I) Xác định giao tuyến của (M,a) và (M,b) CMR khi M di động trên c thì giao tuyến đó nằm trên một mặt phẳng cố định
Bài 2. Trong mặt phẳng (∝) cho góc ∠Oxy và A không nằm trêb (∝) M,N là 2
điểm di động trên 0x, 0y
1/ Giả sử OM = ON CMR trung tuyến AP của tam giác AMN luôn nằm trên một mặt phẳng cố định
2/ Gọi d là một đờng thẳng cố định đi qua A và cắt (∝) tại một điểm I không nằm trên 0x, 0y nhng luôn cắt MN tại một điểm
a/ CMR: M luôn đi qua một điểm cố định
b/ Gọi B là một điểm cố định trên d (B ≠A, B không truộc (∝)) AM
∩BN=Q CMR: Q thuộc đồng thời 2 mặt phẳng cố định Từ đó CMR: Q thuộc đờng thẳng cố định
Bài 3. Cho tứ diện ABCD Gọi I,J lần lợt là trung điểm của AC và BC K là một
điểm trên BD: KD<KB Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC a/ Tìm giao
tuyến của (IBC) và (JAD)
b/ M∈AB, N ∈AC Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
Bài 5. Cho tứ diệk ABCD M là một điểm nằm trong tam giác ABD N là một điểm
nằm trong tam giác ACD Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :a/ (AMN) và (BCD).b/ (DMN) và (ABC)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD, O là ,ột điểm nằm bên trong tam giác BCD M là một
điểm trên AO
a/ Tìm giao tuyến của (MCD) với (ABC) và (ABD)
b/ I,J là 2 điểm nằm trên BC và BD Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJM) với (ACD)
Bài 7. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung
điểm của SB, SD P là một điểm trên SC (SP>PC) Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng (SAC), (SAB), (ABCD)
Bài 8. Cho tứ diện ABCD O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm
trên AB a/ Dựng đờng thẳng qua M cắt AO, CD
b/ N là một điểm trên BC và ON không song song với BD Dựng đờng thẳng
Trang 2qua N cắt AO và DM.
II- Bài tập tìm giao điểm
Bài 9. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AC và BC K là một
điểm trên BD và không trùng với trung điểm của BD
Xác định giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK)
Bài 10 Cho tứ diện ABCD M,N là trung điểm trên AC và AD O là một điểm bên
trong tam giác BCD Tìm giáo điểm của MN với (ABO); AO với (BMN)
Bài 11 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang Cạnh AB//CD; AB>CD.
I,J,K lần lợt là 3 điểm trên SA, AB, BC
a/ Tìm giao đỉêm của IK với (SBD).b/ Tìm giao điểm của (IJK) với SD, SC
Bài 12 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm
SC
a/ Tìm giáo điểm I của AM với (SBD) Chứng minh rằng:IA=2IM
b/ Tìm giao điểm F của SD với (ABM) Chứng minh rằng F là trung điểm SD
c/ Gọi N là điểm tuỳ ý trên AB Tìm giao điểm của MN với (SBD)
Bài 13 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là trung
điểm SB, G là trọng tâm tam giác SAD
a/ Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) Chứng minh rằng: I ∈CD: IC=2ID b/ Tìm giao điểm J của (OMG) với AD Tính tỷ số: JA/JD.c/ Tìm giao điểm
K của SA với (OMG) Tính tỷ số: KA/KS
Bài 14 Cho 2 điểm I,J lần lợt là 2 điểm bên trong tam giác ABC và ABD của tứ diện
ABCD M là một điểm tuỳ ý trên CD Tìm giao điểm của IJ và (ABM)
Bài 15 Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lợt lấy M,N sao cho MN không song
song với CD Gọi O là một điểm nằm bên trong tam giác BCD.a/ Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).b/ Giao điểm của BC, BD với (OMN)
Bài 16 Cho hình chóp SABCD M thuộc SC.Tìm giao điểm của AM với (SBD).Gọi N
∈BC Tìm giao điểm của SD với (AMN)
III- Bài tập về đồng quy - thẳng hàng
Bài 17 Cho hình chóp SABCD I,J là 2 điểm cố định trên SA và SC với SI>IA;
SJ<JC Một mặt phẳng quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N
a/ Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng quy (O là giao điểm của AC với BD)
Từ đó suy ra cách dựng N khi biết M
b/ AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F Chứng minh rằng S, E, F thẳng hàng
Bài 18 Cho tứ diện SABC Qua C dựng mặt phặng (P) cắt AB, SB tại B1,B' Qua B
dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tai C1, C' BB' và CC' cắt nhau tại O' BB1 và CC1 cắt nhau tại O1 Giả sử O'O1 kéo dài cắt SA tại I
Trang 3a/ Chứng minh rằng AO1, SO', BC đồng quy.
b/ CMR: I, B1, B' và I, C1, C' thẳng hàng
Bài 19.
Bài tập về vuông góc
Các kiến thức cơ bản:
Đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng:
⊥
a // b
2/ ⊥
⇒
⊥
a // b
Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
ĐN: a ⊥(P)⇔ ∀ ∈c (P) : a ⊥c
ĐL1:
∩ =
ĐL2: ⇒ ⊥
a // b
b (P)
(P) //(Q)
ĐL4:
(P) (Q)
(Q) a
ĐL5:
a b
b (P)
⇒
A (P)
A d
Trang 4ĐL9: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng d có hình chiếu vuông góc trên (P) là d’ a là đ-ờng thẳng trong (P): a ⊥ ⇔d a '
Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng:
ĐL1: (P) (Q)⊥ ⇔ ∃ ∈a (P) : a ⊥(Q)
ĐL2: (P)⊥(Q), (P)∩(Q)=a, b∈(P),b⊥ a⇔ b⊥(Q)
ĐL3:
(P) (R)
(P) (Q) a
Bài 1. Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA⊥(ABC) Gọi H,
K là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC
a/ CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b/ CMR AH⊥(SBC) từ đó suy ra AH⊥SC
c/ CMR SC⊥(AHK)
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD),
SA=b Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD
a/ CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b/ CMR BD⊥(SAC)
c/ CMR AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC
d/ CMR A, H, I, K đồng phẳng
e/ CMR HK//BD
g/ Tính diện tích tứ giác AHIK theo a và b
Bài 3. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC đều cạnh a Trên đờng thẳng d ⊥(α)
tại A lấy điểm S bất kỳ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác SBC
a/ CMR: SC⊥(BOH); SB⊥(COH)
b/ CMR: OH⊥(SBC)
c/ Gọi S' là giao điểm của OH với d CMR: SA S'A không đổi
d/ Xác định vị trí của A trên d để SS' ngắn nhất
Bài 4. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O SA=SC; SB=SD
a/ CMR: SO⊥(ABCD)
b/ Gọi I, J là trung điểm của BA và BC CMR: IJ⊥(SBD)
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và DBC là hai tam giác đều Cạnh BC
có trung điểm I
a/ CMR: BC⊥(AID)
b/ Vẽ đờng cao AH của tam giác AID CMR: AH⊥(BCD)
Bài 6. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau H là trực
Trang 5tâm của tam giác ABC.
1/ CMR: (BOH)⊥AC, OH⊥(ABC)
2/ CMR: 1 2 1 2 1 2 1 2
3/ CMR: Tam giác ABC là tam giác nhọn
Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD G là trọng tâm tam giác BCD, H là trung điểm AG
CMR: HB, HC, HD đôi một vuông góc với nhau
Bài 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=
a 3 Trên AC lấy điểm I sao cho AI=x x∈(0;a 2) Một mặt phẳng (P)
đi qua I và vuông góc với AC
1/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp
2/ Tính diện tích của thiết diện đó
3/ Xác định x để thiết diện có diện tích lớn nhất
Bài 9. Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là nửa lục giác đều đáy lớn AD=2a
SA⊥(ABCD), SA=2a Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD cắt SB,
SC, SC tại B', C', D'
1/ CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2/ CMR: AC'⊥SC; AB'⊥SB
3/ CMR: tứ giác AB'C'D' nội tiếp hình tròn
Bài 10 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là
tam giác đều, (SCD) là tam giác vuông cân đỉnh S I, J lần lợt là trung điểm cạnh AB và CD
a/ Tính các cạnh của tam giác SIJ CMR: SI ⊥(SCD); SJ⊥(SAB)
b/ H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ CMR: SH⊥AC
c/ Gọi M là một điểm trên CD sao cho BM⊥SA: Tính AM theo a
Bài 11 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là
tam giác đều và SC a 2= Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB
và AD
a/ CMR: SH⊥(ABCD)
b/ AC⊥SK; CK⊥SD
Bài 12 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=a 3
Mặt bên (SBC) vuông tại B, mặt bên (SDC) vuông tại D có AD=a 5
a/ CMR: SA⊥(ABCD) Tính SA theo a
b/ Đờng thẳng a đi qua A vuông góc với AC cắt CB và CD tại T và J Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên SC Xác định giao điểm K, L của SB, SD với (HIJ)
Trang 6c/ Tính diện tích tứ giác AKHL
Bài 13 Gọi I là một điểm bất kỳ trong đờngg tròn tâm O bán kính R CD là một dây
cung của đờng tròn đi qua I Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa
đờng tròn tại I lấy điểm S: SO=R Gọi E là điểm đối xứng tâm O của D trên
đờng tròn CMR:
1/ Tam giác SDE vuông tại S
2/ SD⊥CE
3/ Tam giác SCD vuông
Bài 14 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác MAB vuông tại M Trên đờng thẳng
vuông góc với (P) tại A lấy hai điểm C và D nằm ở hai phía của A Gọi C' là hình chiếu vuông góc của C trên MD H là giáo điểm của AM với CC'
1/ CMR: CC'⊥(MBD)
2/ Gọi K là hình chiếu của H trên AB CMR: K là trực tâm của tam giác BCD
Bài 15 Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn tâm O bán kính R Dựng AS=2R:
AS⊥(P) T là một điểm di động trên tiếp tuyến của (O) tại A Đặt
ABI (0,90 )
ϕ = ∈ Đờng thẳng BT gặp đờng tròn tại M Gọi N là hình chiếu của A trên SM
1/ CMR tứ diện SAMB có các mặt là các tam giác vuông
2/ CMR khi T di động thì đờng thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định 3/ Tìm ϕ để tam giác AHN cân
Bài 16 Cho hình chóp SABCD có SA⊥(ABCD), SA=2a Tứ giác ABCD là hình
thang vuông tại A và D: AB=BC=a, AD=2a M là một điểm trên AB: AM=x, 0<x<a (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB
1/ CMR tam giác CSD vuông
2/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp
3/ Tính diện tích thiết diện (2a.(a-x))
Bài 17 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đều cạnh a, SA⊥(ABC), SA=2a (P) là
một mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện
Bài 18 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a.
SA⊥(ABC), SA=a 3 M là một điểm tuỳ ý trên AB: AM=x, (0<x<a) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB
a/ Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp
b/ Tính diện tích thiết diện Tìm x để thiết diện lớn nhất
Bài 19.