Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. Cho hai tam giác cân ,ABC ABD có chung cạnh đáy AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng: a) ( )AB CID⊥ b) AB CD⊥ Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có ( )SA ABC⊥ . Gọi ,H K lần lượt là trực tâm của các tam giác ,ABC SBC . Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng , ,AH SK BC đồng quy. b) ( )SC BHK⊥ c) ( )HK SBC⊥ Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc giữa: a) Hai đường thẳng AB và MD . b) Các cạnh bên và mặt đáy. c) Độ dài đoạn nối D với hình chiếu của nó trên ( )ABC . Bài 4. Cho tứ diện ABCD có , ,AB CD a AC BD b AD BC c= = = = = = . a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện của tứ diện thì vuông góc với hai cạnh đó. b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD . Bài 5. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , các cạnh bên bằng nhau và bằng 2 3 3 a . Gọi O là tâm đa giác đáy. a) Tính độ dài đoạn nối S với hình chiếu của nó trên ( )ABC . b) Chứng minh ( )BC SAO⊥ và SA BC ⊥ . c) Tính góc giữa SA và ( )ABC . Bài 6. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O ; ( )SA ABCD⊥ và SA a = . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB . a) Chưng minh ( )IO ABCD⊥ . b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM và khoảng cách từ O đến đường thẳng SC . Bài 7. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông ở D , cạnh AB vuông góc với mặt phẳng ( )BCD , BD a= , CD b= , AB h= . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của BD và AC . a) Tính độ dài đoạn MN . b) Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,a b h để MN là đoạn vuông góc chung của BD và AC . Bài 8. Cho hai tia ,Ox Oy vuông góc nhau tại O ; ,M N là hai điểm di động lần lượt thuộc ,Ox Oy sao cho MN a= ( a là hằng số). Gọi I là trung điểm của MN ; trên đường thẳng qua O vuông góc với ( )Oxy lấy điểm S cố định. a) Khi ,M N di động trên ,Ox Oy thì I chạy trên đường nào ? b) Xác định vị trí của ,M N để tam giác SMN có diện tích lớn nhất. Bài 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và µ 0 60A = , 3 2 a SA SB SD= = = . a) Tính khoảng cách từ S đến ( )ABCD và độ dài cạnh SC . b) Chứng minh ( ) ( )SAC ABCD⊥ và SB BC⊥ . c) Gọi ϕ là góc giữa ( )SBD và ( )ABCD , tính tan ϕ . Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy bằng a . Gọi O là tâm của tứ giác ABCD . a) Tính độ dài đoạn thẳng SO . b) Gọi M là trung điểm của SC . Chứng minh rằng ( ) ( )MBD SAC⊥ . c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng ( ),( )MBD ABCD . Gv. Lê Minh Chơn trang 1 Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian Bài 11. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh a và có µ 0 60A = ; cạnh bên SC vuông góc với ( )ABCD và 6 2 a SC = . a) Chứng minh ( ) ( )SBD SAC⊥ . b) Trong tam giác SCA kẻ IK SA ⊥ tại K . Tính độ dài đoạn IK . c) Chứng minh · 0 90BKD = , từ đó suy ra ( ) ( )SAB SAD⊥ . Bài 12. Tứ diện SABC có ABC và SBC là hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. SBC là tam giác đều cạnh a , ABC là tam giác vuông tại A và · ABC = ϕ . a) Xác định hình chiếu H của S trên ( )ABC . b) Tính độ dài đoạn SA . c) Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh ( ) ( )SHI SAB⊥ . Tính khoảng cách từ H đến ( )SAB . Bài 13 (KD – 2007) . Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang, · · 0 90ABC BAD= = , BA BC a = = , 2AD a = . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và 2SA a= . a) Chưng minh tam giác SCD vuông tại C . b) Tính ( ,( ))d A SBC . Bài 14. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB . a) Chứng minh ( ) ( )SAD SAB⊥ . b) Tính góc ϕ giữa SD và ( )ABCD . c) Gọi F là trung điểm của AD . Chứng minh ( ) ( )SCF SID⊥ . d) Tính khoảng cách từ I đến ( )SCF . Bài 15. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , ( )SA ABCD⊥ và 2SA a= . Gọi ( )α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC , ( )α cắt , ,SB SC SD lần lượt tại , ,H M K . Chứng minh rằng: a) AH SB⊥ , AK SD⊥ . b) ( )/ /BD α , từ đó chứng minh / /BD HK . c) HK đi qua trọng tâm tam giác SAC . Bài 16. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA SB SC a = = = . Chứng minh: a) ( ) ( )SBD ABCD⊥ . b) Tam giác SBD vuông tại S . Bài 17. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3SA a = . Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu của A trên ,SB SD . a) Chứng minh rằng ( )SC AMN⊥ . b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( )ABCD . c) Tính chu vi tam giác AMN . Bài 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Trên đường thẳng qua O và vuông góc với ( )ABCD lấy điểm S sao cho 6 2 a SO = . Mặt phẳng ( ) α qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt , ,SB SC SD tại ', ', 'B C D . a) Tính độ dài đoạn 'AC . Chứng minh 'C là trung điểm của SC . b) Chứng minh , ', ' 'SO AC B D đồng quy và ' '/ /B D BD , từ đó suy ra cách xác định ', 'B D . c) Tính diện tích tứ giác ' ' 'AB C D . Gv. Lê Minh Chơn trang 2 . Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. Cho hai tam giác cân ,ABC ABD có chung cạnh đáy AB và không cùng nằm trong một mặt. SAC⊥ . c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng ( ),( )MBD ABCD . Gv. Lê Minh Chơn trang 1 Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian Bài 11. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD . AC . a) Tính độ dài đoạn MN . b) Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,a b h để MN là đoạn vuông góc chung của BD và AC . Bài 8. Cho hai tia ,Ox Oy vuông góc nhau tại O ; ,M N là hai điểm di