Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng v với mặt phẳng 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a. Chứng minh BC (SAB) b. Gọi AH là đờng cao của SAB. Chứng minh: AH (SBC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a. SO (ABCD) b. IJ (SBD) 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a. Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) b. Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK) c. Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC a. Chứng minh: BC (AID) b. Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH (BCD) 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chứng minh rằng: a. BC (OAH) b. H là trực tâm của ABC c. 2222 1111 OCOBOAOH ++= 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = 2a . Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a. Chứng minh: SH (ABCD) b. Chứng minh: AC SK và CK SD Vấn đề 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc 7. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD a. Chứng minh: AB (BCD) b. Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC) c. Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH (ADC) 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60 0 , SA (ABCD) và SA = 6a . Chứng minh: a. (SAC) (ABCD) và (SAC) (SBD) b. (SBC) (SDC) Vấn đề 3: Các bài toán về khoảng cách 9. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD) và AB = a. Tính k/c: a. Từ D đến (ABC) (đs : 3 2 a ) b. Từ B đến (ACD) (đs : 21 7 a ) 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b. Tính khoảng cách: a. Từ S đến (ABCD) (đs : 2 2 1 4 2 b a ) b. Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB (đs: 5 5 a ) c. Từ AD đến (SBC) (đs : 2 2 4 2 a b a b ) 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SA = SB = SC = AD = a 2 . Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC a. Chứng minh (SIJ) (SBC) b. Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB (đs : 42 7 a ) 12. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a. Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng(BCCB) ( đs: 3 2 a ) b. Tính khoảng cách từ A đến (ABC) ( đs: 21 7 a ) c. Cmr AB mp(ACCA) và tính khoảng cách từ A đến (ABC) (đs: 2 2 a ) 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng: a. SC và BD b. AC và SD ( đs: 6 6 a ; 3 3 a ) c. SB và AD d. AB và SC (đs: 2 2 a ; 2 2 a ) Vấn đề 4: Góc giữa Đờng thẳng và Mặt phẳng, giữa 2 Mặt phẳng 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 6a vuông góc với đáy. Tính góc của: a. SC với (ABCD) (60 0 ) b. SC với (SAB) = ữ ữ 7 tan 7 c. SB với (SAC) = ữ ữ 14 sin 14 15. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = 3a vuông góc với (ABCD). Tính góc: a. (SAB) và (ABC) (90 0 ) b. (SBD) và (ABD) ( ) =tan 6 c. (SAB) và (SCD) (30 0 ) 16. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB. a. Chứng minh SI (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) = ữ ữ 15 tan 5 b. Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD) = ữ ữ 3 6 ;sin 2 4 a c. Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) (ABCD). Tính góc hợp bởi SI với (SDC) = ữ 2 tan 3 17. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 0 và hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. a. Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2) b. Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan = 3) c. Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy ( ) =tan 2 3 18. Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (s: 60 0 ) 19. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (30 0 ) b. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy = ữ 2 tan 3 . 2 2 a ; 2 2 a ) Vấn đề 4: Góc giữa Đờng thẳng và Mặt phẳng, giữa 2 Mặt phẳng 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 6a vuông góc với đáy. Tính góc của: a. SC với (ABCD). 14 sin 14 15. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = 3a vuông góc với (ABCD). Tính góc: a. (SAB) và (ABC) (90 0 ) b. (SBD) và (ABD) ( ) =tan 6 c. (SAB) và (SCD) (30 0 ) 16. Cho hình vuông ABCD và. OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chứng minh rằng: a. BC (OAH) b. H là trực tâm của ABC c. 2222 111 1 OCOBOAOH ++= 6. Cho hình chóp S.ABCD