Bài tập Quan hệ vuông góc. Vectơ trong không gian – Toán 12

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song..[r]

CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VNG GĨC VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa phép tốn:

Định nghĩa, tính chất phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng Phép cộng, trừ vectơ:

 Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB BC AC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

D

AB A AC   

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', ta có:

' '

AB AD AA  AC

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Lưu ý:

 Điều kiện để hai vectơ phương:

Hai vectơ a b (b0)   !k :a k b 

 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k1), điểm O tùy ý

Ta có: MA k MB 

OA kOB OM

k  



                           



 Trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý

Ta có: IA IB  0 OA OB   2OI

 Trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm ABC, điểm O tùy ý

Ta có: GA GB GC    0 OA OB OC  3OG    

2. Sự đồng phẳng ba vectơ:

Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, ,    , a b khơng phương.

Khi đó: a b c  , , đồng phẳng  ! , m n:c m a n b   Cho ba vectơ a b c, ,

  

không đồng phẳng, x tùy ý. Khi đó: ! , , m n p :x m a n b p c  

   



3. Tích vơ hướng hai vectơ:

Góc hai vectơ khơng gian: Ta có: AB u AC v , 

                                                       

Khi đó: u v,  BAC

 



0

(0 BAC180 )

Tích vơ hướng hai vectơ không gian:

Cho u v , 0 Khi đó: u v u v .cos , u v      

 Với u0 v0, quy ước: u v  0  Với u v, 0

  

, ta có: u v u v 0

   

II. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Phân tích vectơ Áp dụng

cơng thức tính tích vơ hướng.

 Áp dụng phép toán vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân vectơ với số)  Áp dụng tính chất đặc biệt hai vectơ phương,

trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC A B C   , M trung điểm BB

Đặt CA a  ,CB b  

, AA'c  

Khẳng định sau đúng? A

1

AM  b a c

                                                        B

AM  a c b    

C

1

AM   a c b

                                                        D.

AM   b c a

                                                        . Hướng dẫn :

Cần lưu ý tính chất M trung điểm

1

2

AM  AB AB

                                          Khi :

1 1 1 1

2 2 2 2

AM  AB AB AB AB BBAB AAAC CB  AAa b  c

             

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm

thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, tập hợp điểm đồng phẳng

 Ứng dụng điều kiện hai vectơ phương, ba vectơ đồng phẳng

Ví dụ : Trong khơng gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:

A OA OC OB OD     . B OA OB OC OD      0. C

1

2

OA  OB OC    OD

                                    . D 1 2

OA OC OB  OD    

Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành AB CD AC BD Khi

A OA OC OB OD    OA OB OD OC    BA CD AB DC   

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

           

.

B OA OB OC OD      0 : Với O trọng tâm tứ giác (hoặc tứ

diện) ABCD. C

1

2

OA  OB OC    OD 1

2

OA OC OD OB

     

2

CA BD   

D

1 1 1

2 2 2

OA  OC OB     OD  OA OB    OD  OC  BA CD

         

         

         

         

         

         

         

         

         

Vậy chọn A

Bài GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

III.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Vectơ phương đường thẳng:

Vectơ a0 gọi vectơ phương đường thẳng d giá

của a song song trùng với đường thẳng d. 2 Góc hai đường thẳng:

Cho a a// ', b b// ' a', b' qua điểm Khi đó: 

 a b, a b', '

Giả sử u v,  

vectơ phương đường thẳng a, b  u v, 

 

Khi đó: 

   

 

0

0 0

90 ,

180 90 180

a b  

 

  

 

  

 

Nếu a b// a b 

 a b, 00

 3 Hai đường thẳng vng góc:





 , 900

a b  a b  Giả sử u v,

 

vectơ phương đường thẳng a, b Khi đó: a b  u v  0

Cho a b// Nếu ac b c

Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo

IV. KỸ NĂNG CƠ BẢN :

Ví dụ :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh bằng Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A A C  BD B BB BD C A B DC D BCA D . Hướng dẫn

Theo tính chất hình hộp, cạnh bên vng góc cạnh đáy nên BB BD

Bài ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG

V. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa: d ( )  da,  a ( )

2 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng:

( )

, ( )

d a d b

d a b

a b I

 

    

  

 

   

3 Tính chất:

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp tất điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng

  

  

 

 

  

a b

b a



   

//

a b

a a b

b     

 

 

 



   

   

//

a a

 

 

 

  

  



       

   //

a a  

  

   

 

 

 



   

//

a

b a b

   

  

  



 

 

 

//

a

a b a

b 

 

  

 

   

Cho a  b  , b' hình chiếu b lên   Khi đó:

'

a b  a b

5 Góc đường thẳng mặt phẳng:

Nếu d vng góc với   góc d   900

Nếu d khơng vng góc với   góc d   góc d d' với d' hình chiếu d   .

Chú ý: góc d    00  900 VI.KỸ NĂNG CƠ BẢN

Xác định góc đường thẳng mặt phẳng

Ví dụ : Khẳng định sau sai ?

A Nếu đường thẳng d   d vng góc với hai đường thẳng

trong  

B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm

() d  

C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt

nằm   d vng góc với đường thẳng nằm  

D Nếu d   đường thẳng a||  d a.

Hướng dẫn :

A Đúng d ( )  d a,  a ( ) .

B Sai Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt

nhau nằm   d  

C Đúng

    ,  

,

d a d b

d d c c

a b a b I

 

   

 

     

  

  

 .

D Đúng

   

//

a

d a d 

  

  

  

Bài GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

VII. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nếu

   

a b 

    

 

 góc hai mặt phẳng     góc giữa hai đường thẳng a b

Giả sử ( ) ( )   d Từ điểm I d , dựng

, ( )

, ( )

a d a b d b

 

 

 

 

 góc giữa hai mặt phẳng     góc hai đường thẳng a b. Chú ý: Gọi góc hai mặt phẳng     

0

0 ;90   

2 Diện tích hình chiếu đa giác:

Gọi S diện tích đa giác ℋ nằm   S’ diện tích đa giác ℋ’ hình chiếu vng góc đa giác ℋ lên   Khi

' cos

S S  với  góc hai mặt phẳng     . 3 Hai mặt phẳng vng góc:

Nếu hai mặt phẳng   vng góc mặt phẳng   góc hai mặt phẳng     900

Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau:

( )

( ) ( ) ( )

a a



  

 

 

   4 Tính chất:



       

   

d a a

a d

 

 

 

  

 



  

    



     

 

 

A

a A a

a

 





   

 

  

    



           

 

d d  

  

    

  

 

 



VIII. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có

 

SA ABC đáy tam giác vuông A. Khẳng định sau sai?

A SAB  ABC

B SAB  SAC

C Vẽ AH BC, H BC góc ASH là

góc hai mặt phẳng SBC

ABC

D Góc hai mặt phẳng SBC

SAC góc SCB.

Hướng dẫn : A Đúng

 

 

SA SAB SA ABC

   

 

  SAB  ABC.

B Đúng  

AB AC

AB SAC AB SA

 

 

 

 ,

 

 

AB SAB AC SAC

   

 

  SAB  SAC

C Đúng    

AH BC

BC SAH BC SH SAH AH SA

 

    

 



   

 ;   ;  

BC AH

SBC ABC SH AH SHA BC SH

 

  

 

 nên góc hai mặt phẳng

SBC ABC góc hai đường thẳng SH AH, góc SHA . D Sai cách xác định câu C.

S

B A

C

BÀI TẬP

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đềuABCD Khẳng định sau

đây sai:

A ADDC. B ACBD. C ADBC

 

D AB BC  AC

Câu 2. Trong khơng gian cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi vectơ

nào sau đồng phẳng?

A                                           AC AB AD AC, , , '. B.

' , ', ' ', '

A D AA A D DD  

                                                       

C                                           AC AB AD AA, , , '. D.

', , , '

AB AB AD AA      

Câu 3. Cho tứ diện ABCD M N, trung điểm AB CD. Chọn mệnh đề đúng:

A

1

( )

2

MN  AD BC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

B MN 2(AB CD  ). C

1

( )

2

MN  AC CD

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

. D .MN 2(AC BD )   

Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a b có vectơ

chỉ phương u v , Gọi  góc hai đường thẳng a b. Khẳng định sau đúng:

A  ( , ) u v  

B cos cos( , )u v  

C Nếu a b vng góc với u v  sin.

D Nếu a b vng góc với u v  0

Câu 5. Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Nếu AB BC CD DA     0 bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng

B Tam giác ABC có I trung điểm cạnh BC ta có đẳng

thức: 2AI  AB AC 

C Vì BA BC   0 nên suy B trung điểm AC

D Vì AB 2AC 3AD nên điểm A B C D, , , đồng phẳng.

A

1

( )

4

AG AB AC CD 

                                                        B ( )

AG BA BC BD

                                                        C ( )

AG AB AC AD    

D

1

( )

4

AG BA BC BD 

                                                       

Câu 7. Cho tứ diện ABCD Mệnh đề sau sai?

A               AD CD AC DC                 0 B AC BD 0   

C               AD BC  0. D               AB CD  0. Câu 8. Trong không gian cho vectơ u v, , w 

 

 

không đồng phẳng Mệnh đề sau đúng?

A Các vectơ u v v w     , ,  đồng phẳng.

B Các vectơ u v     , u, 2w đồng phẳng.

C Các vectơ u v v     , , 2w không đồng phẳng.

D Các vectơ 2u v  u, v

   

không đồng phẳng

Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Đặt AA'u, AB v  

, ACw Biểu

diễn vectơ BC ' qua vectơ u v w  , ,  Chọn đáp án đúng: A BC'  u v  w. B BC'  u v w

    C BC'   u v  w D BC' u v w

   

Câu 10. Trong mệnh đề sau, mệnh đề ?

A Nếu AB 3AC  4AD điểm A B C D, , , đồng phẳng.

B

1

3

AB AC BC CA

                                                        C Nếu

AB BC

 

B trung điểm AC.

D Cho d ( ) d' ( )  Nếu mặt phẳng ( ) ( ) vng góc

với hai đường thẳng d d' vng góc với nhau. Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC A B C   , M trung điểm

của BB Đặt CA a  ,CB b

 

, AA'c Khẳng định sau đúng? A

1

AM  a c b

                                                        . B

AM  b a c    

. C

1

AM   a c b    

. D

1

AM   b c a    

.

A

1

2

OA  OC OB    OD

   

   

   

B OA OB OC OD      0

C

1

2

OA OB OC  OD    

D OA OC OB OD      

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình

bình hành Đặt SA = a; SB = b; SC = c; SD = d Khẳng định nào sau đúng?

A a c d b       . B a b c d    . C a d b c     . D a c d b      0

 .

Câu 14. Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB b ,AC c , AD d

 

.Khẳng định sau đúng?

A  

1

MP c b d     

. B  

1

MP d b c     

.

C  

1

MP c d b     

. D  

1

MP c d b     

.

Câu 15. Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm O Gọi I là tâm hình bình hành ABCD Đặt AC' u,CA 'v, BD'x

 

, DB 'y. Chọn khẳng định đúng?

A  

1

4

OI   u v x y    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

. B  

1

2

OI   u v x y    

    

    

    

    

    

    

    

    

C  

1

4

OI  u v x y       

. D  

1

2

OI  u v x y       

.

Câu 16. Cho chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,

 

SA ABCD , SA a 6 Tính góc  đường SC mặt phẳng

SAD?

A  20 42'0 . B  20 70'0 C  69 17 '0 D.

69 30'

 

Câu 17. Cho S ABC có SAC SAB vng góc

với đáy, ABC cạnh a , SA2a Tính góc  SB (SAC) ?

A  22 47 '0 . B  22 79'0 . C  37 45'0 . D.

67 12

Câu 18. Cho SAB hình vng ABCD nằm mặt phẳng vng góc Tính góc SC ABCD ? A  18 35'0 . B 15 62 '0

  C  37 45'0 . D.

0

63 72 '

 

Câu 19. Cho S ABCD có đáy hình thang vng A

, , ,

B AD  a AB BC a SA    vng góc với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính góc SD và

mặt phẳng SAC?

A  24 5'0 B  34 15'0 . C  73 12'0 . D.

0

62 8'

  .

Câu 20. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  2a, đáy là tam giác vuông A, ABC 600

 , ,AB a Tính góc hai mặt phẳng SAC ABC ?

A  76 24'0 B  44 12'0 C  63 15'0 D.

0

73 53'

 

Câu 21. Cho S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SC tạo đáy góc 450, SA vng góc với đáy Tính góc (SAB) và

(SCD) ?

A  35 15'0 . B  75 09'0 . C  67 19'0 . D.

0

38 55'

  .

Câu 22. Cho chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh

,

a SA vng góc với mặt phẳng đáy SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tính góc SBC SCD.

A  74 12'0 B  42 34'0 . C  300. D  600

Câu 23. Cho S ABC có SA SB SC, , đơi vng góc Biết

rằng SA SB a SC a  ,  2. Hỏi góc SBC ABC ?

A  50 46'0 B  63 12 '0 . C  34 73'0 . D.

42 12'

  .

Câu 24. Cho S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a SA ,

và hợp với SAB góc 300 Tính góc SBC mặt phẳng

đáy?

A  83 81'0 . B  79 01'0 . C  62 33'0 . D.

0

54 44'

  .

Câu 25. Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ

nhật cạnh AB4a,AD3a. Các cạnh bên có độ dài 5 a Tính góc SBC ABCD ?

A  75 46'0 B  71 21'0 C  68 31'0 D. 65 12'0 Câu 26. Khẳng định sau khẳng định sai ?

A Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt

nhau nằm   ( ) d vng góc với đường thẳng nằm  

B Nếu đường thẳng d  d vng góc với hai đường

thẳng  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm

trong ( ) d 

D Nếu d   đường thẳng a//  ad

Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng  điểm

O Qua O có đường thẳng vng góc với ?

A Vơ số. B 2. C 3. D 1.

Câu 28. Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước?

A Vô số. B 2. C 3. D 1.

Câu 29. Mệnh đề sau mệnh đề sai ?

A Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song

B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song

Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, độ dài đường chéo là:

A 5 2. B 50. C 2 5. D 12.

Câu 31. Cho hình chóp S ABCD có SAABC ABC vng B AH đường cao SAB Khẳng định sau đây khẳng định sai ?

A SA BC . B AH BC. C AH AC . D. AH SC. Câu 32. Cho điểm A nằm mặt phẳng  P Gọi H

là hình chiếu A lên  P M, N điểm thay đổi  P Mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Nếu AM AN HM HN. B Nếu AM  AN HM HN

C Nếu AM  AN HM HN . D Nếu HM HN AM  AN

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi

vng góC Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau đây:

A Ba mặt phẳng ABC ;ABD ;ACD đơi vng góC

B Tam giác BCD vng

C Hình chiếu A lên mặt phẳng BCD trực tâm tam giác

BCD

D Hai cạnh đối tứ diện vng góc.

Câu 34. Cho đoạn thẳng AB (P) mặt phẳng trung

trực Mệnh đề sau mệnh đề sai?

A MAMB M P B MN  P  MN AB

C MN AB MN  P D M P  MA MB VẬN DỤNG THẤP

Câu 35. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Phân tích vectơ AC' theo vectơ                             AB AD AA, , ' Chọn đáp án đúng:

A

1

' '

2

AC  AA AB AD

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

B AC'AA' 2 AB AD 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

C  

1 ' '

2

AC  AA  AB AD

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

D AC'AA 'AB AD

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh

bằng a Tích vơ hướng hai vectơ AB A C' ' có giá trị

A a2

B a 2. C a2 2

D 2 a

Câu 37. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có: ' ' ' '

AB B C DD k AC

                                                       

Giá trị k là:

A 3. B 0. C 2. D 1.

Câu 38. Cho tứ diện ABCD, gọi M N, trung điểm

các cạnh AC BD, G trọng tâm tứ diện ABCD O là điểm không gian Giá trị k thỏa mãn đẳng thức OG k OA OB OC OD     

                                                                      là:

A 4. B

1

2. C

1

4. D

Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Đặt AA'a, AB b

                           

, AC c , Gọi I điểm thuộc CC' cho

1

' '

3

C I  C C

, G là trọng tâm tứ diện BA B C' ' ' Biểu diễn vectơ IG qua vectơ

, ,

a b c   Chọn đáp án đúng : A

1

2

IG  a b  c

                                                         

B  

1

2

IG a b  c

                                                        C 1

IG b c a

 

   

D  

1

2

IG a c  b    

Câu 40. Cho chóp S ABC có SAB cạnh a,ABC vuông cân B (SAB) ( ABC)

Tính góc SC (ABC) ?

A  39 12'0 . B  46 73'0 . C  35 45'0 . D  52 67 '0 Câu 41. Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình

vng cạnh a SA a,  3,SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc SB AC ?

A 69 17 '0

  . B  72 84 '0 . C  84 62'0 . D  27 38'0

Câu 42. Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có AB1,

 

'

AA m m Hỏi m để góc AB' BC' 600 ?

Câu 43. Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc SC và

AD ?

A 39 22 '0

  B  73 45'0 C  35 15'0 D  42 24 '0 Câu 44. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình

thoi cạnh a ABC, 60 ,0SA vng góc mặt phẳng đáy SA a

Tính góc SBC ABCD ? A 33 11'0

  B  14 55'0 C  62 17 '0 D  26 33'0 Câu 45. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy

hình chữ nhật,SAABCD, gọi E, F hình chiếu vng góc A lên SB SD Chọn mệnh đề :

A SCAEF B SCADE C SCABF D SC AEC

Câu 46. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  Gọi H hình chiếu vng góc S lên ABC Khi khẳng định nào đúng?

A H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. B H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. C H trọng tâm tam giác ABC.

D H trực tâm tam giác ABC.

Câu 47. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy là

hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng   qua điểm A vuông góc đường thẳng

SBcắt đường SB, SC M , N

1

MN BC SA MN

3 A D M N, ,  , không đồng phẳng.

4     SBC

5 Thiết diện cắt hình chóp S ABCD mặt phẳng   hình

bình hành

Có nhận định sai?

Câu 48. Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc hai mặt bên không liền kề

A

1

3. B

1

2. C

5

3. D

1 .

Câu 49. Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc hai mặt bên liền kề A

1



B

1

2. C

5



D

1 .

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh

đều a Gọi E trung điểm cạnh SC Tính cosin góc hai mặt phẳng SBD EBD

A

3. B

1

2. C

5



D

1 .

Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH a 3,

mặt phẳng đáy BC3a, BC P , A P Gọi A hình chiếu vng góc A lên  P Tam giác A BC vuông A Gọi  góc  P ABC Chọn khẳng định

A  300 B  600 C  450 D

2

cos 

Câu 52. Cho tam giác ABC cạnh a dB, dC

là đường thẳng qua B, C vng góc ABC  P mặt phẳng qua A hợp với ABC góc 60o

 P cắt dB, C

d D E ADa26, AE a 3 Đặt  DAE

Khẳng định sau khẳng định đúng?

A  30o. B

2 sin

6  

C

6 sin

2  

D  60o. Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC

giác ACD, bảy điểm A, B, C, D, E, F , K không trùng nhau. Khẳng định sau khẳng định sai?

A ABE  DFK B ADC  DFK

C ABC  DFK D ABE  ADC

Câu 54. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có O tâm

của hình vng ABCD, AB a , SO2a Gọi  P mặt phẳng qua AB vng góc với mặt phẳng SCD Thiết diện  P và hình chóp S ABCD hình gì?

A Hình thang vng. B Tam giác

cân

C Hình thang cân. D Hình bình

hành

Câu 55. Cho tứ diện ABCD có cạnh có độ dài

bằng a, M trung điểm đoạn CD Gọi  góc AC BM. Chọn khẳng định đúng?

A 30o

  B

3 cos

4

 

C

1 cos

3  

D

3 cos

6

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN 7.2

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

B D D C A A C A A D A B A C D II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đềuABCD Khẳng định sau sai:

A ADDC B ACBD C ADBC  

D AB BC  AC

Hướng dẫn giải

Tứ diện ABCDlà nên AD vuông góc với DC

Câu 2. Trong khơng gian cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi vectơ sau đồng phẳng?

A AC AB AD AC              , , , '. B.

' , ', ' ', '

A D AA A D DD  

                                                       

C               AC AB AD AA, , , '. D.

', , , '

AB AB AD AA      

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ ta thấy vectơ A D AA A D DD' , ', ' ', '    

thuộc mặt phẳng AA D D' ' 

Câu 3. Cho tứ diện ABCD M N, trung điểm AB CD. Chọn mệnh đề đúng:

A B

C D

A B

A

1

( )

2

MN  AD BC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

. B MN 2(AB CD  ). C

1

( )

2

MN  AC CD

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

. D .MN 2(AC BD )   

Hướng dẫn giải

Ta có:

MN MA AD DN MN MB BC CN

   

 

  

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta có:

2MN(MB MA  ) ( BD AC  ) ( DN CN )

2 ( ) ( )

2

MN BD AC MN AC BD          

Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a b có vectơ phương u v , Gọi  góc hai đường thẳng a b. Khẳng định sau đúng:

A  ( , ) u v  

B cos cos( , )u v  

C Nếu a b vng góc với u v  sin.

D Nếu a b vng góc với u v  0

Hướng dẫn giải

Ta có:  4IG IC '2IC'IC  CB C B ' 'C A' '

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

(Theo tính chất tích vơ hướng hai vectơ)

Câu 5. Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Nếu AB BC CD DA     0 bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng

B Tam giác ABC có I trung điểm cạnh BC ta có đẳng

thức: 2AI  AB AC 

C Vì BA BC   0 nên suy B trung điểm AC

D Vì AB 2AC 3AD nên điểm A B C D, , , đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Bằng quy tắc điểm ta nhận thấy AB BC CD DA     0 đúng

với điểm A B C D, , , nằm không gian riêng điểm đồng phẳng

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn mệnh đề đúng: A

B

C D

N

A

1

( )

4

AG AB AC CD 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

B

1

( )

3

AG BA BC BD

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

C

1

( )

4

AG AB AC AD    

D

1

( )

4

AG BA BC BD 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Hướng dẫn giải

Vì G trọng tâm tứ diện ABCDnên suy ra:

0

GA GB GC GD      

    

    

AG GB GC GD      

     

AG GA AB GA AC GA AD          

4AG AB AC AD      

 

1

AG AB AC AD

   

   

Câu 7. Cho tứ diện ABCD Mệnh đề sau sai?

A               AD CD AC DC                 0 B AC BD 0   

C AD BC 0

  

D               AB CD  0.

Hướng dẫn giải

Vì tứ diện ABCD tứ diện nên có cặp cạnh đối vng góc

Vậy               AC BD AD BC                                AB CD 0.

Câu 8. Trong không gian cho vectơ u v  , , w  không đồng phẳng Mệnh đề sau đúng?

A Các vectơ u v v w     , ,  đồng phẳng.

B Các vectơ u v     , u, 2w đồng phẳng.

C Các vectơ u v v     , , 2w không đồng phẳng.

D Các vectơ 2u v  u, v

   

không đồng phẳng Hướng dẫn giải

Vì u v w  , ,  không đồng phẳng nên :  u v v w  , ,

  

 

không đồng phẳng,  u v v  , , 2w

  

 

không đồng phẳng  u v   , u, 2w

  

 

không đồng phẳng Các vectơ 2u v  u, v

   

Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Đặt AA'u, AB v  

, ACw Biểu

diễn vectơ BC ' qua vectơ u v w  , ,  Chọn đáp án đúng:

A BC'  u v  w B BC'  u v w    

C BC'   u v  w D BC' u v w

    Hướng dẫn giải

Ta có:

' ' ' w w

BC BC CC BA AC CC   v   u u v            

Câu 10. Trong mệnh đề sau, mệnh đề ?

A Nếu AB 3AC  4AD điểm A B C D, , , đồng phẳng. B

1

3

AB AC BC CA

                                                        C Nếu

AB BC

 

B trung điểm AC.

D Cho d ( ) d' ( )  Nếu mặt phẳng ( ) ( ) vng góc

với hai đường thẳng d d' vng góc với nhau.

Hướng dẫn giải

3

AB AC AD

                                         

thỏa mãn biểu thức c ma nb    

(với m n, nhất) định lý vectơ đồng phẳng

Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC A B C   , M trung điểm

của BB Đặt CA a  ,CB b  , AA'c Khẳng định sau đúng?

A

1

AM  a c b

                                                        . B

AM  b a c    

. C

1

AM   a c b    

. D

1

AM   b c a    

. Hướng dẫn giải

Cần lưu ý tính chất M trung điểm

1

2

AM  AB AB

                                          Khi đó:

1 1 1 1

2 2 2 2

AM  AB AB AB AB BBAB AAAC CB  AAa b  c

                                                                                                                                  

Câu 12. Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:

A

1

2

OA  OC OB    OD

   

   

   

C

1

2

OA OB OC  OD    

D OA OC OB OD     Hướng dẫn giải

Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành AB CD AC BD . Khi

 OA OC OB OD    OA OB OD OC    AB CD

                                                                                                                                           

 OA OB OC OD   0     

: O trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD (Loại)



1

2

OA OB OC  OD

                                                   

    1 1

2

OA OC OD OB

     

2

CA BD   

(Loại) 

1 1 1

2 2 2

OA OC OB  OD OA OB  OD OC  BA CD          

(Loại)

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a; SB = b; SC = c; SD = d Khẳng định nào sau đúng?

A a c d b       . B a b c d    . C a d b c  

                                        

. D a c d b   0

     . Hướng dẫn giải

Gọi O tâm hình bình hành ABCD, SA SC SB SD     2SO. Vậy a c d b   

 

Câu 14. Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB b ,AC c

 

, AD d  

.Khẳng định sau đúng?

A  

1

MP c b d 

                                                       

. B  

1

MP d b c     

.

C  

1

MP c d b     

. D  

1

MP c d b     

. Hướng dẫn giải

 

1 1 1 1

2 2 2 2

MP MC MD MA  AC AD AB AC AD c d b 

                                                                                                                                             

Câu 15. Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm O Gọi I là tâm hình bình hành ABCD Đặt AC' u,CA 'v, BD'x

                           

A  

1

4

OI   u v x y    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

. B  

1

2

OI  u v x y       

C  

1

4

OI  u v x y       

. D  

1

2

OI  u v x y       

. Hướng dẫn giải

Do I tâm hình bình hành ABCD nên

4OI OA OB OC OD     

 

1

2

OI C A D B A C B D            

 

1

2

OI AC BD CA DB  

    

    

 

1

4

OI u v x y     

    

Câu 16. Cho chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,

 

SA ABCD , SA a 6 Tính góc  đường SC mặt phẳng

SAD?

A.  20 42'0 . B  20 70'0

C  69 17 '0 D. 69 30'0

Hướng dẫn giải

Ta có  

CD AD

CD SAD CD SA

 

 

 

 Tức D

là hình chiếu vng góc C lên SAD

 Góc SC SAD CSD .

2 7

SD SA AD a ;

 

tan 20 42'

7

CD

CSD CSD

SD

   

Câu 17. Cho S ABC có

SAC SAB vng góc với đáy, ABC cạnh a ,

2

SA a Tính góc  SB (SAC) ?

A  22 47 '0 . B  22 79'0 .

C  37 45'0 . D  67 120 .

B

A D

Hướng dẫn giải

Lấy H trung điểm AC. Dễ chứng minh

 

BH  SAC suy H hình chiếu vng góc B lên SAC.

 Góc SB SAC góc BSH.

2 17;

2

a a

SH  SA AH  BH 



tan 22 47 '

17

BSH 

   

Câu 18. Cho SAB hình vng ABCD nằm trong mặt phẳng vng góc Tính góc SC ABCD ?

A  18 35'0 . B 15 62 '0

 

C  37 45'0 . D  63 72 '0

Hướng dẫn giải

Lấy H trung điểm AB đóSH ABCD

 Góc SC ABCD là  .

SCH



2

0

3

,

2

3

tan 37 45'

5

a a

SH CH HB BC

SCH 

   

   

Câu 19. Cho S ABCD có đáy hình thang vng A và

, , ,

B AD  a AB BC a SA    vng góc với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính góc SD và

mặt phẳng SAC?

A.  24 5'0 B  34 15'0

C  73 12'0 . D  62 8'0 .

S

A C

B H

S

B C

D H

Hướng dẫn giải

Dễ chứng minh DC AC DC SA nên

 

DC SAC , góc SD SAC là  S

D C.

Dễ thấy góc SC tạo mặt phẳng đáy góc SCA nên SCA 60 0



6, 10,

SA a SD a CD a



tan S 24 5'

5

CD D C

SD 

    

Câu 20. Cho hình chóp S ABC có

SA SB SC   a, đáy tam giác vuông A, ABC 600

 , ,AB a Tính góc hai mặt phẳng SAC ABC ?

A  76 24'0 B  44 12'0

C  63 15'0 D  73 53'0

Hướng dẫn giải

Từ giải thiết có .SA SB SC  2a, ta hạ SH ABC H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC H trung điểm BC

Ta có:

   

 

SAC ABC AC AC SHM

 

 

 

 

 Góc

giữa SAC ABC SMH.

,

2

a

HM  SH a tanSMH SH MH

  

 73 53'0 SMH

 

Câu 21. Cho S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SC tạo đáy góc 450, SA vng góc với đáy Tính góc (SAB) và

(SCD) ?

A  35 15'0 . B  75 09'0 .

C  67 19'0 . D  38 55'0 .

Hướng dẫn giải S

D

C B

A

S

H C

B

Ta thấy giao tuyến SAB SCD đường d qua S và song song với AB

Dễ chứng minh dSAD nên góc SAB (SCD) DSA . Ta dễ thấy góc SC và mặt phẳng đáy góc SCA 450 Từ dễ dàng tính

2,

SA AC a  AD a .



tan 35 15'

2

DSA 

   

Câu 22. Cho chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh

,

a SA vng góc với mặt phẳng đáy SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tính góc SBC SCD.

A  74 12'0 B  42 34'0 .

C  300. D  600.

Hướng dẫn giải

Dễ chứng minh góc SCD đáy SDA 450

 nên SA a

Lấy M N, trung điểm SB SD, Dễ chứng minh AN SCD,AM SBC suy góc SBC SCD góc AN AM, .

2

2

DB a

AM AN MN    0

60

MAN

 

Câu 23. Cho S ABC có SA SB SC, , đơi vng góc Biết

rằng SA SB a SC a  ,  2. Hỏi góc SBC ABC ?

A.  50 46'0 B  63 12'0 .

C  34 73'0 . D  42 12'0 .

Hướng dẫn giải S

d

D A

B C

S

M

D A

B

Hạ SH BC BC(SAH) Góc (SBC) (ABC) SHA .



6

tan 50 46 '

3

SB SC a

SH SHA

BC 

     

Câu 24. Cho S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a SA , vng góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc 450

và hợp với SAB góc 300 Tính góc SBC mặt phẳng

đáy?

A  83 81'0

B  79 01'0 .

C  62 33'0 .

D  54 44 '0 .

Hướng dẫn giải

Dễ thấy SCA 45 , S0B C 30 2

SA x a

  

2 2 2

SBA SB SA AB x a

     

0

.tan 30

SBC SB BC

  

2 2 3.

x a x x a

    

2 BC x AC x a

2

SA a

 

Xét SAB có tanSBA  2 nên  54 44'0 .

Câu 25. Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ

nhật cạnh AB4a,AD3a. Các cạnh bên có độ dài 5 a Tính góc SBC ABCD ?

A  75 46'0 B  71 21'0 C  68 31'0 D. 65 12'0 Hướng dẫn giải

Hạ SH (ABCD). Do cạnh bên nên H tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, tức H là tâm đáy Lấy I trung điểm BC

nên góc SBC ABCD  .

SIH S

B

A D

C

S

A

B C

2 ,

2

a IH  a SH  SC  HC 



tan 65 12'

4

SIH 

   

Câu 26. Khẳng định sau khẳng định sai ?

A Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt

nhau nằm   ( ) d vng góc với đường thẳng nằm  

B Nếu đường thẳng d  d vng góc với hai đường

thẳng  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm ( ) d 

D Nếu d   đường thẳng a//  ad

Hướng dẫn giải:

 Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng song song nằm mặt phẳng   nên đáp án sai

 Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng   lúc vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng   nên vng góc với hai đường thẳng hiển nhiên

 đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng () vng góc với mặt phẳng   d vng với đường thẳng nằm ( ) hiển

nhiên

 Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng   d song song trùng với giá véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) do

đó đường thẳng a//  a d đúng.

Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng  điểm

O Qua O có đường thẳng vng góc với ?

A Vô số B 2. C 3. D 1.

Qua điểm O có vơ số đường thẳng vng góc với đường thẳng  cho trước chúng nằm mặt phẳng qua O vng góc với đường thẳng 

Câu 28. Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước?

A Vô số. B 2. C 3. D 1

Hướng dẫn giải:

Qua điểm O cho trước có mặt phẳng qua O và vng góc với đường thẳng cho trước

Câu 29. Mệnh đề sau mệnh đề sai ?

A Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song

B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song

D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song

Hướng dẫn giải:

Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song hai đường thẳng đồng phẳng Trong trường hợp khơng đồng phẳng chúng có thể chéo không gian

Các đáp án khác hiển nhiên

Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, độ dài đường chéo là:

A 5 2. B 50. C 2 5. D 12.

Hướng dẫn giải:

Độ dài đường chéo hình hộp 32 42 52  50 2 Vậy đáp án 2.

Câu 31. Cho hình chóp S ABCD có SAABC và ABC vng B AH đường cao SAB Khẳng định sau đây khẳng định sai ?

Hướng dẫn giải:

Ta có SAABC nên SA BC . Mà ABC vuông B: ABBC.

SA BC AB BC

  



  BCAH SAB;  

AH BC

AH SC SBC AH SB

 

  

 



Nếu  

AH AC

AC AB SAB SA AC

 

  

 

 ABC vng A (Vô lý) Vậy AH AC sai

Câu 32. Cho điểm A nằm mặt phẳng  P Gọi H hình chiếu A lên  P M, N điểm thay đổi  P Mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Nếu AM AN HM HN.

B Nếu AM  AN HM HN

C Nếu AM  AN HM HN .

D Nếu HM HN AM  AN

Hướng dẫn giải

Theo tính chất mối liên hệ đường xiên AM AN,  hình chiếu HM HN,  Đường xiên dài có hình chiếu dài và ngược lại Mệnh đề sai “Nếu AM  AN HM HN ”

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góC Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau đây:

A Ba mặt phẳng ABC ;ABD ;ACD đơi vng góC

B Tam giác BCD vng

C Hình chiếu A lên mặt phẳng BCD trực tâm tam giác

BCD

D Hai cạnh đối tứ diện vng góc. Hướng dẫn giải:

 Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi vng góc nên ABACD; ACABD; ADABCdo ba mặt phẳng ABC;

ABD; ACD đơi vng góc.

   

AH BCD  AH CD  CD ABH  CD BH

Tương tự AHBCD AH BC  CDADH  BC DH Do H trực tâm tam giác BCD.

 Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đơi vng góc nên

 

 

 

AB ACD AB CD AC ABC AC BD AD ABC AD BC

  

  

  

Vậy hai cạnh đối tứ diện vng góc  Vậy tam giác BCD vuông sai

Câu 34. Cho đoạn thẳng AB (P) mặt phẳng trung trực Mệnh đề sau mệnh đề sai?

A MAMB M P B MN  P  MN AB

C MN AB MN  P D M P  MA MB Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB tập hợp điểm không gian cách điểm A B  Nếu

 

M P  MA MB

Mặt phẳng  P mặt phẳng trung trực AB  AB P đó Nếu MN  P  MN AB

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB tập hợp điểm không gian cách điểm A B  Nếu

 

MAMB M P

Nếu MN AB MN ( )P sai MN đoạn thẳng qua A vng góc với AB lúc MN// P

VẬN DỤNG THẤP

Câu 35. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Phân tích vectơ AC' theo vectơ                             AB AD AA, , ' Chọn đáp án đúng:

A

1

' '

2

AC  AA AB AD

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

B AC'AA' 2 AB AD 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

C  

1 ' '

2

AC  AA  AB AD

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Lưu ý phép cộng vectơ hình vng ABCD : AB AD  AC. Ta có: AC'AC AA 'AA'AB AD

     

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Tích vơ hướng hai vectơ AB A C' ' có giá trị

bằng:

A. a2

B a 2. C a2 2

D

2

2

a Hướng dẫn giải

Ta có: A C AB' ',   AC AB,  BAC45

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

' ' ' ' cos ' ',

A C AB A C AB A C AB a a a                                    

Câu 37. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có:

' ' ' '

AB B C DD k AC

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Giá trị k là:

A 3. B 0. C 2. D.

Hướng dẫn giải

Ta có AC'AB BC CC  'AB B C ' 'DD'

      

Vậy k 1.

Câu 38. Cho tứ diện ABCD, gọi M N, trung điểm cạnh AC BD, G trọng tâm tứ diện ABCD O là điểm không gian Giá trị k thỏa mãn đẳng thức OG k OA OB OC OD     

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

là:

A 4. B

1

2. C.

1

4. D

Hướng dẫn giải

Vì G trọng tâm tứ diện nên:

0

GA GB GC GD      

         

GO OA GO OB GO OC GO OD

              

4GO OA OB OC OD 4OG OA OB OC OD                  

 

1

OG OA OB OC OD        Vậy

1

k

Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Đặt AA'a, AB b

                           

, AC c , Gọi I điểm thuộc CC' cho

1 ' '

3

C I  C C

trọng tâm tứ diện BA B C' ' ' Biểu diễn vectơ IG qua vectơ

, ,

a b c   Chọn đáp án đúng :

A.

1 2

IG  a b  c

                                                         

B  

1 2

3

IG a b  c

                                                        C

1 2

IG b c a

                                                         

D  

1 2

4

IG a c  b

                                                        Hướng dẫn giải

Ta có: G trọng tâm tứ diện BA B C' ' ' nên :

4IG IB IA  ' IB'IC'

     

4IG IC CB IC' C A' ' IC' C B' ' IC'

            

   

4IG IC' 2IC' IC CB C B' ' C A' '

      

      

1

4 ' '

3

IG CC CB AC AA CB AC

            

1

4 b c c IG a        1 2b

IG  a c                                                                

Câu 40. Cho chóp S ABC có SAB cạnh a,ABC vng cân B (SAB) ( ABC)

Tính góc SC (ABC) ?

A.  39 12'0 . B  46 73'0 . C  35 45'0 . D  52 67 '0 Hướng dẫn giải

Lấy H trung điểm AB. Dễ thấy SH ABC nên CH hình chiếu vng góc SC lên ABC Góc SC ABC là

 . SCH



3

, tan 35 45'

2

a a

SH  HC   SCH    

Câu 41. Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình vng cạnh a SA a,  3,SA vng

góc với mặt phẳng đáy Tính góc SB AC ?

A 69 17 '0

  B.  72 84 '0 C.

84 62'

  D  27 38'0

Lấy M trung điểm SD. Khi góc cần tìm góc OM và

OC

Ta có MC trung tuyến

2 2

2 2

2

SC DC SD

SCD MC  a

    

2

MC a

 

Xét MOC có :

 2

2 2

MO OC MC cosMOC

MO OC  

 

0

69 17 ' 

 

Câu 42. Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có AB1,

 

'

AA m m Hỏi m để góc AB' BC' 600 ?

A m B m1 C m D m Hướng dẫn giải

Lấy M N P, , trung điểm BB B C AB', ' ',  MP AB MN BC// ', // '

Suy góc cần tìm góc

,

MP MN

2 1

2

m MP MN  

Lấy Q trung điểm

' '

A B

2 2

4

PN PQ QN m

    

Suy 

2 2 1

2

PM MN PN cosPMN

PM MN

 

 

, từ tính m

Câu 43. Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc SC

AD ?

A 39 22 '0

  B  73 45'0 C  35 15'0 D.  42 24 '0

Hướng dẫn giải

A C

B P

Q

'

A

'

B

'

C M

Ta có BC AD// nên góc SC AD góc SC BC, vậy góc cần tìm SCB Dễ chứng minh SBC vng B nên



tan

2

SCB 0

35 15'



  .

Câu 44. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a ABC, 60 ,0SA vng góc mặt phẳng đáy SA a

Tính góc SBC ABCD ?

A. 33 11'0

  B  14 55'0 C  62 17 '0 D  26 33'0 Hướng dẫn giải

Lấy H trung điểm BC. Do ABC 600  nên ABC Dễ chứng minh

( )

BC SAH  Góc cần tìm SHA

,

2

a

AH  SA a

 

tan 26 33'

2

SHA SHA

   

Câu 45. Cho hình chóp

S ABCD có mặt phẳng đáy hình

chữ nhật,SAABCD, gọi E, F hình chiếu vng góc A lên SB SD Chọn mệnh đề :

A. SCAEF B SCADE

C SCABF D SCAEC

Hướng dẫn giải

 

 

SA ABCD

BC SA BC ABCD

  

 

  

 ;

BC SA

BC AE BC AB

 

 

 

 ;

AE BC

AE SC AE SB

 

 

  

Tương tự ta có AF SC. Vậy SCAEF

S

D A

C H

Câu 46. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  Gọi H hình chiếu vng góc S lên ABC Khi khẳng định nào đúng?

A. H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. B H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. C H trọng tâm tam giác ABC.

D H trực tâm tam giác ABC. Hướng dẫn giải

Do SA SB SC  nên hình chiếu vng góc SA SB SC, , lên mặt phẳng ABC HA HB HC, , thỏa HA HB HC  Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 47. Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng   qua điểm A vng góc đường thẳng

SBcắt đường SB, SC M , N

1

MN BC SA MN

3 A D M N, ,  , không đồng phẳng.

4     SBC

5 Thiết diện cắt hình chóp S ABCD mặt phẳng   hình bình hành

Có nhận định sai?

A 0 B 3 C. D 4

Hướng dẫn giải

Do tam giác SBD nên SB SD BD 

2 2 2

SA AB SA AD AB AD

     

SA AB AD

  

 SAB vuông cân A.

   

SB SB M 

    

  

SBC

 vng B có MN  SB MN SB Vậy MN đường

trung bình tam giác SBC

1 || ,

2

MN BC MN BC

 



 

 .

 

//

MN BC

MN SA SA ABCD BC

 

 



 

 

// //

MN BC AD bốn điểm A D M N, ,  , đồng phẳng Thiết diện được

tạo thành hình thang vng ADNM

    AMN  SBC MN có   AM MN nên     SBC Vậy có nhận định sai

Câu 48. Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc hai mặt bên khơng liền kề

A.

1

3. B

1

2. C

5

3. D

1 .

Hướng dẫn giải

Gọi M , N trung điểm cạnh AD BC, SM AD SNBC Giao tuyến hai mặt phẳng SAD

SBC đường thẳng d qua S và

song song AD, BC.

Vì SM AD SN BC nên SM d SN d Vậy góc hai mặt phẳng

SAD SBC góc MSN

Mặt bên tam giác cạnh a nên

3

a SM SN 

, MN AB a Khi :

 2

cos

2

SM SN MN MSN

SM SN  

 

Câu 49. Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc hai mặt bên liền kề

A.

1



B

1

2. C

5



D

1 .

Hướng dẫn giải S

A B

D C

Gọi E trung điểm cạnh SC, AC DE SCBE Giao tuyến hai mặt phẳng SCD SBC đường thẳng SC.

Vì ACDE SCBE nên góc hai mặt phẳng SCD

SBC góc BED

Mặt bên tam giác

cạnh a nên

3

a DE BE 

,

2

BD AB a . Khi : 

2 2 1

cos

2

BE DE BD MSN

BE DE

 

 

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Gọi E trung điểm cạnh SC Tính cosin góc hai mặt phẳng SBD EBD

A

3. B

1

2. C

5



D.

1 .

Hướng dẫn giải

Gọi O trung điểm cạnh BD. Theo tính chất hình chóp

SOBD

Mặt bên tam giác cạnh a nên

3

a DE BE 

, BD 2AB2 a 2

 

Nên tam giác EBD cân E, EOBD

Vậy góc hai mặt phẳng SBD EBD góc SOE

2 2

2

a SO SB  OB 

,

2

2

a OE BE  BO 

 2 2

cos

2 2

SO OE SE SOE

SO OE  

  

E S

B A

C D

S

B A

C D

Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH a 3, mặt phẳng đáy BC3a, BC P , A P Gọi A hình chiếu vng góc A lên  P Tam giác A BC vuông A Gọi  góc  P ABC Chọn khẳng định

A.  300. B  600. C  450. D

2

cos  Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có hình chiếu vng góc lên  P tam giác A BC .

1 3

2

ABC

a S  AH BC

ABAC có hình chiếu vng góc lên  P A B A C nên A B A C Vậy tam giác A BC vuông cân A

2

1

4

A BC

a S  BC 

3

cos 30

2

o A BC

ABC

S S

  

   

Câu 52. Cho tam giác ABC cạnh a dB, dC

là đường thẳng qua B, C vng góc ABC  P mặt phẳng qua A hợp với ABC góc 60o

 P cắt dB, C

d D E

6

a AD

, AE a 3 Đặt  DAE Khẳng định nào

sau khẳng định đúng?

A  30o. B.

2 sin

6  

C

6 sin

2  

D  60o. Hướng dẫn giải

Tam giác ADE có hình chiếu vng góc lên ABC tam giác ABC nên :

2 3 3

cos 60 ,

4

o ABC

ABC ADE

S AB a

S S

  

Mặt khác 

1

sin sin

2

ADE

S  AD AE DAE AD AE 

Vậy :

0

2

2 cos 60

sin

ABC ADE

S S

AD AE AD AE

   

Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC ABD vng góc với mặt phẳng BCD Gọi BE DF là hai đường cao tam giác BCD, DK đường cao tam giác ACD, bảy điểm A, B, C, D, E, F , K không trùng nhau. Khẳng định sau khẳng định sai?

A. ABE  DFK B ADC  DFK

C ABC  DFK D ABE  ADC

Hướng dẫn giải

     

CD BE

CD ABE ABE ACD

CD AB  

   

  



     

DF BC

DF ABC ABC DFK

DF AB  

   

  

 DF ABC DFAC;

     

DF AC

AC DFK ACD DFK

DK AC  

   

  



   

     

ABE DFK

AB DFK AB DK ABC DFK

 



   



 



 

DK AB

DK ABC DK AC

 

 

  

 

  //

DK ABC

DF DK DF ABC

  

 

 

 DF DK (vô lý) Vậy ABE  DFK khẳng định sai

Câu 54. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có O tâm hình vng ABCD, AB a , SO2a Gọi  P mặt phẳng qua AB vng góc với mặt phẳng SCD Thiết diện  P và hình chóp S ABCD hình gì?

A Hình thang vng. B Tam

giác cân

C. Hình thang cân D.

Gọi I , J trung điểm AB, CD Hiển nhiên SIJ  SCD Khi



2

17

cos

17

IO IO

SIJ

SI IO SO

   



nên góc SIJ góc nhọn Gọi K hình chiếu vng góc I lên SCD K nằm đoạn SJ .

Do cách xác định K, IK SCD, nên AB IK;    P hay  P là

ABK.

Gọi   P  SCD MN M , N nằm đoạn SC, SD

Khi : AB P , CDSCD , AB CD//  MN AB C// // D nên thiết diện

của  P hình chóp S ABCD hình hình thang ABMN.

Mặt khác IK vng góc AB, MN trung điểm I , K hai đoạn AB, MN nên ABMN hình thang cân.

Câu 55. Cho tứ diện ABCD có cạnh có độ dài a, M trung điểm đoạn CD Gọi  góc AC BM. Chọn khẳng định đúng?

A 30o

  B

3 cos

4

 

C

1 cos

3  

D.

3 cos

6

  Hướng dẫn giải

Gọi N trung điểm AD, MN AC// nên góc AC BM

bằng góc MN BM, góc BMN ,  BMN.

3

a BM BN 

;

a MN 



2 2 3

cos cos

2

BM MN BN BMN

BM MN

     