120 bài tập tích phân vận dụng cao

TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f  x   f 1  x    x Giá trị tích f '  x  d x  phân A Câu 2: B C D Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 0  f 1  Biết e x  f  x   f   x  d x  ae  b Tính Q  a 2018  b2018   A Q  2017  B Q  C Q  D Q  22017 1 Câu 3: Cho hàm số y  f  x , y  g  x  có đạo hàm liên tục 0;2 thỏa mãn  f '  x  g  x  d x  2,  / f  x  g '  x  d x  Tính tích phân I    f  x  g  x  d x 0 A I  1 C I  B I  x2 Câu 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục 0; thỏa  1  A f     4 1 B f    4 D I  1 f t  d t  x sin  x  Tính f     1  1 C f    4  f t  x Câu 5: Cho hàm số f  x  liên tục a;  với a  thỏa  D f     4  t2 a d t   x với x  a Tính f  4 A f 4   B f 4   C f 4   D f 4  16 Vấn đề Kỹ thuật đổi biến 2017 Câu 6:  Cho f  x  d x  Tính tích phân I  A I  e2017 1  x f ln  x  1 d x  x   B I  Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục  D I  C I    x  dx  4, f x   f sin x  cos xd x  Tính tích phân I   f  x d x A I  Câu 8: B I  Cho hàm số f  x  liên tục  C I    D I  10 f tan x  d x  4,  x f x x 1 d x  Tính tích phân I   f  x d x A I  B I  CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI C I  D I  1 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 Câu 9: TÍCH PHÂN  Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  tan x f cos x  d x  1, f 2 x  x  f  ln x  e phân I   e2 x ln x d x  Tính tích dx A I  B I  C I  D I  1  1 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  ;2 , thỏa f  x   f    x   Tính tích phân  2 I   x  x f x  d x x 1 A I  C I  B I  D I  Câu 11: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa f  x   f x    cos x với x   3 Tính I    f x d x 3 A I  6 C I  2 B I  D I  Câu 12: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục , thỏa f  x  x  3  x  với x   Tích phân  f  x  d x 2 A B 10 C 32 D 72 Câu 13: Cho hàm số f  x , g  x  liên tục 0;1, thỏa m f  x   n f 1  x   g  x  với m, n số thực khác  A m  n  f  x  d x   g  x  d x  Tính m  n B m  n  C m  n  D m  n  Câu 14: Cho hàm số f  x  xác định liên tục 0;1, thỏa mãn f '  x   f ' 1 x  với x  0;1 Biết f 0  1, f 1  41 Tính tích phân I   f  x  dx A I  41 B I  21 C I  41 D I  42 Câu 15: Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x   x với x   Tính I   f  x d x A I   4 C I   B I  D I  Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần Câu 16: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  x f   x .e f x  d x  f 3  ln Tính I   e A I  B I  11 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI f x  dx C I   ln D I   ln | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN     Câu 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;  , thỏa mãn  phân   f '  x  cos xd x  10 f 0  Tích f  x  sin xd x  B I  7 A I  13 C I  D I  13 Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn  f  x  1 d x  f 1  Tích 1 phân x f '  x  d x B  A 1 C D Câu 19: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0;2  Biết f 0   x  3x  f '  x  f  x  f 2  x   e2 x 4 x với x  0;2  Tính tích phân I   f x  A I   14 B I   32 C I   16 d x D I   16       cot x Câu 20: Cho biểu thức S  ln 1   2  sin x  e d x , với số thực m  Chọn khẳng định   n   m  khẳng định sau A S  B S        C S  cot   ln sin  2   4 m    m         ln  2    m  4  m  D S  tan  Vấn đề Tính a, b, c tích phân Câu 21: Biết  ln 9  x  dx  a ln  b ln  c với a, b, c   Tính P  a  b  c A P  13 Câu 22: Biết  B P  18 C P  26 D P  34   x  x  ex x 1 e  dx   ln  p   với m , n, p số nguyên dương Tính tổng m e ln n  e      e.2 x P  m  n  p A P   Câu 23: Biết  x  2 x  cos x  cos x   sin x x  cos x ln  ln B P  D P  c với a, b, c số hữu tỉ Tính P  ac3  b  C P  D P  1 b d x   ln  a a  b với a, b   Tính P  a  b a e 1  e 2x x A P  1 Câu 25: Biết d x  a  b  ln A P  Câu 24: Biết C P  B P    x  1 A P  12 B P  dx x  x x 1  a  b c B P  18 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI C P  D P  với a, b, c   Tính P  a  b  c C P  24 D P  46 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12  TÍCH PHÂN sin x Câu 26: Biết  cos2 x   sin x  A P  10 Câu 27: Biết  2 x D P  36 B P  e Câu 29: Biết I   ln x  ln x ln x  x  1 x cos x  1 x  x  D P  C P  D P  b dx   a e  2 với a, b   Tính P  b  a B P  6 C P  A P  8  C P  3 d x  a  b  c với a, b, c   Tính P  a  b  c A P  1 dx  a  A P  37 2 3  b c D P  10 với a, b, c số nguyên Tính P  a  b  c B P  35 C P  35 D P  41 Vấn đề Tính tích phân hàm phân nhánh  x  e2 x x  Câu 31: Cho hàm số f  x    3e  e2 x  A I  C P  14 B P  4 2 x   với a, b, c   Tính P  a  b  c B P  12 A P  5 Câu 30: Biết a b c x  ex  d x  a  eb  ec với a, b, c   Tính P  a  b  c 4x x e2 x Câu 28: Biết dx  Tính tích phân I   f  x  d x 1 7e  e2 B I  9e  e2 C I  1  D I  11e2 11 e2 Câu 32: Cho hàm số f  x  xác định  \  , thỏa f   x   , f 0   f 1  Giá trị biểu   x 1 thức f 1  f 3 B  ln 15 A ln 15 C  ln 15 D  ln 15 Câu 33: Cho hàm số f  x  xác định \ 2;1, thỏa mãn f   x   f 0   A x2  x 2 Giá trị biểu thức f 4   f 1  f 4 1 ln 20  3 B 1 ln  3 C ln 80  D Câu 34: Cho hàm số f  x  xác định 0; \ e, thỏa mãn f   x   ln  , x ln x 1 1 f    ln  e  1  Giá trị biểu thức f    f e3   e A ln  1 B ln f e2   , f 3  f 3  C ln  Câu 35: Cho F  x  nguyên hàm hàm số y  1  sin x D ln       với x   \   k , k   Biết   11  F 0  1, F    , tính giá trị biểu thức P  F    F    12   12  A P  B P   C P  D Không tồn P Vấn đề Tính tích phân dựa vào tính chất CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN 2 Câu 36: Cho hàm số f  x  hàm số lẻ, liên tục  4;4  Biết  f  x d x   f  x dx  Tính I   f  x dx tích phân A I  10 B I   C I  D I  10 1 Câu 37: Cho hàm số f  x  hàm số chẵn, liên tục 1;6  Biết  f  x dx   f 2 x d x  Tính I   f  x dx tích phân 1 A I  B I  C I  11 D I  14 Câu 38: Cho hàm số f  x  liên tục 3;7 , thỏa mãn f  x   f 10  x  với  f x dx  Tính x  3;7  I   xf  x  d x tích phân A I  20 B I  40 C I  60 D I  80  Câu 39: Cho hàm số y  f x  hàm số chẵn liên tục đoạn ; , thỏa mãn  f x d x  2018 Giá trị  tích phân A I   Câu 40: Biết  A I  f x  2018 x   dx B x sin 2018 x a dx  2018 sin x  cos x b 2018 P  B I 2018 C a, b   với Tính I  2018 D I  4036 D P  12 P  a  b P  C P  10 Vấn đề Kỹ thuật phương trình hàm     2  Câu 41: Cho hàm số y  f  x  liên tục  ;  thỏa mãn f  x   f x   cos x Tính tích phân  I   f  x  dx   A I  2 B I  C I  D I  Câu 42: Cho hàm số y  f  x  liên tục 2;2  thỏa mãn f  x   f x    x2 Tính tích phân I   f  x d x 2 A I    10 B I    20 C I   20 D I   10 Câu 43: Cho hàm số y  f  x  liên tục 0;1 thỏa mãn x f  x   f 1 x   x  x Tính tích phân I   f  x d x A I  B I  CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI C I  D I  | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN 1  1  f x dx Câu 44: Cho hàm số f  x  liên tục  ;2 thỏa mãn f  x   f    3x Tính tích phân I    2  x  A I  B I  x C I  D I  Câu 45: Cho hàm số f  x  liên tục 0;1 thỏa mãn f  x   f 1 x    x Tính tích phân I   f  x d x A  20 B  16 C  D  Vấn đề Kỹ thuật biến đổi Câu 46: Cho hàm số f  x  thỏa f  x  f   x   3x  x Biết f 0  2, tính f 2 A f 2  64 B f 2  81 C f 2  100 D f 2  144 Câu 47: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục nhận giá trị không âm 1; , thỏa f 1  0, e2 f  x   f   x   x  x  với x  1;  Mệnh đề sau đúng? A 1  f  4   B  f  4   C  f  4   D  f  4   Câu 48: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x   f  x  f   x   15 x  12 x với x   f 0  f  0   Giá trị f 1 A B C D 10 Câu 49: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;2  thỏa mãn f  x   0, x  1;2  Biết  f   x  d x  10  f x  f x  A f 2  20 d x  ln Tính f 2  B f 2  10 C f 2  10 D f 2  20 Câu 50: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;1 , thỏa mãn f  x   0, x   f '  x   f  x   Biết f 1  , giá trị f 1 A e2 B e3 C e4 D Câu 51: Cho hàm số f  x  xác định liên tục  đồng thời thỏa mãn    f  x   0, x    x  f '  x   e f  x , x      f 0    Tính giá trị f ln 2 A f ln 2  B f ln   C f ln 2  ln  D f ln 2  ln 2  Câu 52: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0; , biết f '  x   2 x  3 f  x   0, f  x   với x0 f 1  Tính P   f 1  f 2   f 2018 A P  1009 2020 B P  2019 2020 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI C P  3029 2020 D P  4039 2020 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN Câu 53: Cho hàm số f  x  liên tục  0;  , thỏa mãn f  x   1, f 0  f   x  x   x f  x   Giá trị f   A B C D Câu 54: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;4 , đồng biến 1;4 , thoản mãn x  xf  x    f   x  với x  1;4  Biết f 1  , tính tích phân I   f  x  d x 2 A I  1186 45 B I  1187 45 C I  1188 45 D I          Câu 55: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm 0;  , thỏa f  x  f '  x   cos x  f  x  với x  0;   f 0   Giá trị f   2  A B C D 2 Câu 56: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm 0;3, thỏa f  x  f   x   x f  x  1 với x  0;3 f 0  Giá trị f 3 A B C D 11 Câu 57: Cho hàm số f  x  có đạo hàm khơng âm 0;1, thỏa mãn f  x   với x  0;1  f  x   f '  x   x  1    f  x  Biết f 0  2, chọn khẳng định khẳng định       sau A  f 1  2 B  f 1  C  f 1  D  f 1  Câu 58: Cho hàm số f  x  liên tục \ 0;1, thỏa mãn x  x  1 f   x   f  x   x  x với x  \ 0;1 f 1  2 ln Biết f 2  a  b ln với a, b   , tính P  a  b2 A P  B P  C P  13 D P  Câu 59: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục 0;1, thỏa mãn f  0  1  f  x   f  x      với x  0;1 Đặt P  f 1 f 0 , khẳng định sau đúng?   f   x    A 2  P  1 B 1  P  C  P  D  P  Câu 60: Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm liên tục 0;2, thỏa mãn f ' 0 f ' 2  g  x  f '  x   x  x   e x Tính tích phân I   f  x  g '  x  d x A I  4 B I  C I  e  D I   e x   g  x    2018 f t  d t  Câu 61: Cho hàm số f  x   xác định có đạo hàm đoạn 0;1, thỏa mãn    g  x   f  x   Tính I   g  x d x 1009 A I  B I  505 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI C I  1011 D I  2019 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN  f 1  g 1   Câu 62: Cho hai hàm f  x  g x  có đạo hàm 1;4 , thỏa mãn  g  x   xf   x  với x  1;4  Tính   f  x   xg   x   tích phân I    f  x   g  x  d x A I  ln B I  ln C I  ln D I  ln Câu 63: Cho hai hàm f  x  g  x  có đạo hàm 1;2, thỏa mãn f 1  g1   x  g  x   2017 x   x  1 f   x   x  12  , x  1;2   x  g   x   f  x   2018 x  x   x  x 1 g x  f  x  d x  x   x Tính tích phân I    1 A I  B I  C I  D I    f 3  x  f  x   Câu 64: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm 0;3, thỏa mãn  với x  0;3  f  x   1  xf '  x  f 0   Tính tích phân I   dx 2   1  f 3  x  f  x  A I  B I  C I  D I  Câu 65: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn af b  bf a  với a, b  0;1 Tính tích phân I   f  x  dx A I  B I   C I   D I  Vấn đề Kỹ thuật đạo hàm Câu 66: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thoả mãn f  x   xf   x   x 2018 với x  0;1 Tính I   f  x  dx A I  2018  2021 B I  2019  2020 C I  2019  2021 D I  2018  2019 Câu 67: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;4 , thỏa mãn f  x   f   x   ex x  với x   0;4  Khẳng định sau đúng? A e4 f 4   f 0   26 B e4 f 4   f 0  3e C e4 f 4   f 0   e4 1 D e4 f 4  f 0  Câu 68: Cho hàm số f  x  có đạo hàm , thỏa mãn f '  x  2018 f  x   2018 x 2017 e2018 x với x   f 0  2018 Tính giá trị f 1 A f 1  2018e2018 B f 1  2017e2018 C f 1  2018e2018 D f 1  2019e2018 Câu 69: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f   x   xf  x   xe x f 0  2 Tính f 1 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN e A f 1  e e B f 1  e C f 1  D f 1     x Câu 70: Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm 0; , thỏa mãn hệ thức f  x   tan xf   x    2 cos x   Biết f    f    a  b ln a, b   Tính giá trị biểu thức P  a  b  3 6 9 A P   B P   C P  D P  14 Vấn đề 10 Kỹ thuật đưa bình phương loại   Câu 71: Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa       f     Tính tích phân  x   2 f  x  sin  x   dx     I   f  x d x  B I  A I   D I  C I  1 Câu 72: Cho hàm số f  x  liên tục 0;1 thỏa    f  x   ln  2  d x    f  x  ln  x  1 d x Tích phân e  1 I   f  x d x e e e A I  ln e C I  ln B I  ln D I  ln Câu 73: Cho hàm số f  x  có đạo liên tục 0;1, f  x  f '  x  nhận giá trị dương 0;1 thỏa mãn f 0    f '  x   f  x   1 d x        15 A I  15 B I  f '  x  f  x  d x Tính I    f  x  d x 17 C I  D I  19 Câu 74: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 0  1, 1  1   f '  x   f  x    d x      A I  f '  x  f  x  d x Tính I    f  x  d x B I  C I  D I  Câu 75: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm dương, liên tục đoạn 0;1, thỏa f 1  f 0  1  f '  x   f  x   1 d x   0 A f '  x  f  x  d x Giá trị tích phân   f  x  d x B 33  27 18 C 33 18 D 33  54 18 Vấn đề 11 Kỹ thuật đưa bình phương loại Kỹ thuật Holder Câu 76: Cho hàm số y  f x  1 liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn  f  x dx   xf x dx    f  x  0 dx  Giá trị tích phân   f x  dx B A CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI C 10 D 80 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN Câu 77: Cho hàm số y  f x  liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn  xf x dx   x f  x d x    f  x  d x  Giá trị tích phân   f x  dx A B Câu 78: Cho hàm số y  f x  C D 1 0 10 liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn  xf x dx   x f x dx  Giá trị tích 16 phân  f x dx A B C D D Câu 79: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;8 thỏa mãn  1  f  x  d x  f  x  d x  f  x  d x  38    3 15 Tích phân  f  x d x A ln 27 B ln 27 C Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  ,   f   x  d x   x f  x  d x  Tích phân A B  f  x  d x C D Câu 81: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  , x f  x  dx   f   x  d  f  x   A f 2  11 78 Tính f 2 13 B f 2   251 C f 2   256 D f 2   261 Câu 82: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  2, f 0    f '  x  d x  Tích phân   f  x   2018 x  d x A B 1011 C 2018 D 2022 Câu 83: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;2 , thỏa mãn   x 1 2   f '  x  f 2  2 d x  Tích phân A  f  x  dx   ,  f  x  d x 20 B 20 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI C  D 10 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 f x Câu 92: Cho hàm số TÍCH PHÂN 1;1, f 1  0, có đạo hàm liên tục  thỏa mãn     f '  x  d x  112 1  16 Tính tích phân I   f  x  d x 1 x f x dx  1 A I  84 B I  35 C I  x Lời giải Như trước, ta chuyển f  x  dx  1 35 D I  168 16 thông tin f '  x  cách tích d u  f '  x  d x  u  f  x  phân phần Đặt      d v  x d x 1  Khi x3 v   x f  x  dx  1 1 x3 1 1 f  x    x f '  x  d x  f 1  f 1  x f '  x  d x Tới ta bị 3 1 3 1 1 vướng f 1 giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau d u  f '  x  d x  u  f  x     với k số   d v  x d x v  x  k   Khi x 1 1  x3   x3  f  x  d x    k  f  x      k  f '  x  d x    1 3  1 x3  1       k  f 1    k  f 1     k  f '  x  d x       3  1  0 f 10 Ta chọn k cho 1 k   k  3 Khi 1 16   x f  x  d x     x  1 f '  x  d x     x 1 f '  x  d x  16 3 1 1 1 2 Hàm dấu tích phân  f '  x  ,  x 1 f '  x  nên ta liên kết với  f '  x     x 1 Ta tìm     f '  x   7  x 1  f  x   7   x 1 d x   x  x  C f 10   C  35 35   f x    x  x  4 Vậy I   f  x  dx  1 84 Cách Theo Holder  2 1 1 1 2 16 16      x 1 f '  x  d x     x 1 d x   f '  x  d x  112  256    1 Câu 93: Cho hàm số f x   0;1 , f  0, có đạo hàm liên tục   thỏa mãn     f '  x  f x    x 1 A d x  ln  2 d x   ln Tích phân  ln  f  x  d x B  ln C Lời giải Như trước, ta chuyển f x   x  1  ln d x  ln  tích phân phần Đặt D 3  ln thông tin f '  x  cách u  f  x  d u  f '  x  d x      d v  d x v      x  1 x 1  CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 53 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 Khi f x    x 1 TÍCH PHÂN dx   f x  f 'x  f 1 f 0  f 'x   dx     dx x 1 0 x  x 1 1 giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau u  f  x  d u  f '  x  d x       d v  d x v    k    x  1 x 1  Khi  f 10  Tới ta bị vướng f 0 với k số f x  1       k  f  x     k  f '  x  d x  d x          x  x   x  1    1  k  f 0      k  f '  x  d x  x   Ta chọn k cho 1  k   k  1 1 f x x x Khi ln    d x   f ' x d x   f '  x  d x   ln     x 1 x 1  x  1 0 Hàm dấu tích phân  f '  x  , Ta tìm   1   f 'x   x f ' x  x 1   x   x   nên ta liên kết với  f '  x    x x  f x    d x  x  ln x   C x 1 x 1    C  ln 1   f  x   x  ln  x  1  ln  f 0  Vậy f  x  dx   ln Chọn B Cách Theo Holder 2 1 1 x  3     x  d x  f '  x  d x    ln 2   ln 2   ln    f ' x d x         x 1      x  1         0 f x  Câu 94: Cho hàm số   f   x  d x    A 1;2 , 1;2 , f 0 có đạo hàm liên tục   đồng biến   thỏa mãn   ,  f  x .f '  x  d x  Tích phân  f  x  d x B C D 2 Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  , f  x  f   x  nên ta liên kết với bình phương  f   x    f  x  Nhưng khai triển vướng   2   f  x  d x nên hướng khơng khả thi Ta có   f  x .f '  x  dx  f x  2 f 2   f 1   f 2     f 2   (do đồng biến 1;2  nên f 2  f 1  ) Từ f 1  f 2  ta nghĩ đến  f '  x  d x  f  x   f 2   f 1    1 2 Hàm dấu tích phân  f   x  , f   x  nên ta liên kết với  f   x     f 10 Ta tìm      f '  x     f  x   x  C   C   2   f  x  dx  Vậy f  x   x   Chọn A CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 54 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 Câu 95: Cho hàm số TÍCH PHÂN f x  0;1 , f 0 có đạo hàm liên tục   thỏa mãn   ,  f  x  d x    f   x  f  x  d x  Giá trị f A  B   C  1 2  D   1 2  Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  f  x  f  x  nên ta liên kết với bình phương 2  f   x  f  x    f  x  Nhưng khai triển vướng    f  x  f '  x  d x nên hướng không khả thi Tích phân phần f  x  d x  kết hợp với f 1  0, ta  1  xf  x  f ' x  d x   Hàm dấu tích phân  f   x  f  x  xf  x  f '  x  nên ta liên kết với bình phương 2  f  x  f '  x   x    3  f x  f 'x    x   f  x  f 'x d x   Ta tìm       C  f 0 3   f  x   1  x   f2     32 Chọn f x 3 xd x    x C  2 A Câu 96: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;2 , thỏa mãn f 2  , x f  x  dx    f '  x  dx  32 Giá trị tích phân 2  f  x  d x A  15 B  C  D Lời giải Hàm dấu tích phân  f '  x  x f  x  Lời khuyên đừng có cố liên kết với bình phương nào, có tìm khơng Tích phân phần x f  x  dx   kết hợp với f 2  , ta 15 x f x dx  32 Áp dụng Holder lần ta  2  2   32 4      x f   x  d x    x xf   x  d x    x d x                 4 2   x  f ' x  d x       0  2 2       x d x    x d x   f '  x  d x      2 3 1048576  32    x d x     f '  x  d x       625   Dấu ''  '' xảy ra, tức xf '  x   kx  f '  x   kx thay vào   f '  x    f '  x   x  f  x    xd x  dx  32 tìm k  x f 21  C   C  1 2 Vậy f  x   x2 1    f  x  d x   Chọn B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 55 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN  f '  x   x  x  x  x f '  x     Do 2 0  f '  x  d x  x d x  x f   x  d x Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu     ''  '' xảy nên f '  x   x (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM f x  Câu 97: Cho hàm số 0;1 , f  ef 0 liên tục   thỏa mãn   dx   f '  x  d x  Mệnh đề sau đúng? f  x  0   2e e 1 A f 1  B f 1  Lời giải Ta có   ln f  x  e   e 1 1 dx    f '  x  d x   f x 0  ln f 1  ln f 0   ln Mà f 'x  nhận giá trị dương có đạo hàm C f 1  e2 e2  D f 1  e   e 1  AM GM f 'x  2   f '  x   d x   dx     f x   f x   f 1  ln e  f 0  dx   f '  x  d x  nên dấu ''  '' xảy ra, tức f '  x    f  x  f 'x   f  x  0  f x      f  x  f '  x  dx   xd x  f x   x  C   f  x   x  2C Theo giả thiết f 1  ef 0 nên ta có  2C  e 2C   2C  e2 2C  C  e 1   f x   2x  f x  Câu 98: Cho hàm số f 0  1  2 e2  f 1    e 1 e 1 e 1 Chọn C 0;1 , 0;1 , nhận giá trị dương   có đạo hàm dương liên tục   thỏa mãn 1  f x   f ' x   d x  f ' x f x d x Tính I  f x d x                0 A I   e 1 B I  e2  1 C I  e 1 2 D I  e  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM  G M cho ba số dương ta có f x  f  x    f '  x    f '  x   Suy    f Mà    f f x   3  f '  x  f  x  f x   f '  x  f  x  2  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  d x  3  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  d x nên dấu ''  '' xảy ra, tức  0  f '  x      1 f ' x  f x   f x   f x  f ' x   f x  x C f ' x  1  d x   d x  ln f  x   x  C   f x   e2 f x  2 1 Theo giả thiết f 0   C   f  x   e    f  x  d x   e 1 Chọn x A CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 56 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 f x  Câu 99: Cho hàm số  xf '  x  f x  TÍCH PHÂN 0;1 , 0;1 , nhận giá trị dương   có đạo hàm dương liên tục   thỏa mãn f 0  1, f 1  e2 d x  1 1 Tính giá trị f   2 1  A f    2 1  B f    2  xf '  x  Lời giải Hàm dấu tích phân đạo hàm f ' x  , f x  1 C f    e 2  f x f 'x   x f x  D f    e 2 , x  0;1 Điều làm ta liên tưởng đến muốn ta phải đánh giá theo AM  G M sau: f ' x  f x   mx  m xf '  x  f x  với m  x  0;1 Do ta cần tìm tham số m  cho   f ' x     dx  m  mx   f x     xf '  x  f x  dx hay ln f  x  m x2  m  ln f 1  ln f 0   m m  m  0   m 2 m  m  m  f 'x   4x f x Để dấu ''  '' xảy ta cần có   Với m  đẳng thức xảy nên f ' x    f x  d x   xd x  ln f  x   x  C  f  x   e2 x C  f 0   1  Theo giả thiết   C    f  x   e2 x   f    e Chọn C  f 1  e2    Cách Theo Holder 1  12     0  1  d x      f  x    xf '  x  Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f ' x  f x   x Câu 100: Cho hàm số f ' x  f x  x 1  f 'x  f 1 d x    xd x  d x  ln  f  x   f x f   0  0 f 'x   kx , thay vào  xf '  x  f x  d x  ta k  (làm tiếp trên) f x  0;1 , có đạo hàm liên tục   thỏa mãn   f  x  f '  x  d x  f 0  1, f 1  1 1 Tính giá trị f   2 1  1  A f    B f    C f    e 2 2  2  Lời giải Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với 1 D f    e 2 Hàm dấu tích phân  f  x  f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f  x  f '  x  , muốn ta phải đánh giá theo A M  G M sau:  f  x  f '  x   m  m f  x  f '  x  với m    Do ta cần tìm tham số m  cho CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 57 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN    f  x  f '  x    m dx  m  f  x  f '  x  d x 0 hay 1 m  m f x   1 m  m Để dấu ''  '' xảy ta cần có  m  m  m   f x  f ' x   Với m  đẳng thức xảy nên  f  x  f '  x      f  x  f '  x   1 1   f  x  f '  x  d x   d x   f  x  f '  x   1  0   f  x  f '  x  dx   dx   f  x  f '  x    f x  f x   x   1 (vô lý)  x  C   f  x   x  2C  f 0   1 Theo giả thiết   C    f  x   x    f    Chọn  f 1     Cách Ta có  f  x  f '  x  dx  f x  0  A 1 f 1  f 0    Theo Holder 1 1 2    f  x  f '  x  d x    12 d x   f  x  f '  x  d x  1.1     0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x  f  x   k, thay vào  f  x  f '  x  d x  ta k  Suy f '  x  f  x   (làm tiếp trên) Câu 101: Cho hàm số  f x  nhận giá trị dương có đạo hàm  f '  x    d x  24 f 1  1, f 2  16 Tính giá trị f xf  x  A f    B f    f 'x  1;2 , liên tục   thỏa mãn   C f    D f     f '  x       f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm Lời giải Hàm dấu tích phân  xf  x  x f x  f 'x  f x  , muốn ta phải đánh giá theo AM  G M sau:  f '  x     mx  m f '  x  với m  x  1;2  xf  x  f x Do ta cần tìm tham số m  cho   f '  x     f 'x    mx  d x  m dx     xf  x   f x    hay 24  2m 4 m f x   24  2m  m  f 2    2m f 1  24   12 m  m  16  2m Để dấu ''  '' xảy ta cần có 24   12 m  m  16 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 58 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN  f '  x    16 x  f '  x   x Với m  16 đẳng thức xảy nên  xf  x  f x    f ' x  f x  f  x   x  C   f x    x  C  d x   xd x   f 1  Theo giả thiết   C    f  x   x   f    Chọn  f 2   16   Cách Ta có f ' x  f x  f 'x  d x  2. f x  dx  f x  D   f 2   f 1     Theo Holder 2 f' x         d x         f  x    2   f '  x  x2   x d x    xd x  dx  24  36 xf  x  xf  x   1 f ' x  Vậy đẳng thức xảy nên ta có k  f ' x  Suy f x   x f 'x  xf  x  k x  f ' x  f x   kx , thay vào  f ' x  f x  d x  ta (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân f x x f   x   e x  x f   2e, Câu 102: Cho hàm số   liên tục  , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn   f    e2 Mệnh đề sau đúng? A f 2  4e 1 B f 2  2e  e2 C f 2  e2  2e D f 2  12 Lời giải Từ giả thiết x f   x   ex  x ta có u  x Đặt  d v  f   x    x f   x  d x   e x  x  dx 1 d u  d x   v  f   x   2  x2  Khi 1  x f   x    f   x  dx  e x     0 2  x2   x f   x   f  x   ex    0   2 f  2   f  0    f 2  f 0   e2  1  f 2  4e 1 (do f  2  2e, f 0  e2 ) Chọn A f  x   2, f  x   Câu 103: Cho hàm số f  x  dương liên tục 1;3, thỏa max 1;3 1;3 3 S   f  x  dx  1 3 B Lời giải Từ giả thiết ta có  C  f x   ,    Khi S   f  x  d x  1 suy f  x     f  x   f  x  d x   dx   biểu thức d x đạt giá trị lớn nhất, tính I   f  x  d x f x  A Suy f x  dx   1 D  f x  3 1 dx    dx    f x dx f x  f x  1   25 d x   f  x  d x 5   f  x  d x    f x  1 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 59 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN  5 25 25 (dạng t 5  t   t  5t  t     )  Dấu "  " xảy  f  x  d x  Chọn 2 4 D f x f x  f  x   Câu 104: Cho hàm số   có đạo hàm liên tục  , thỏa mãn   với x   f 0   f Giá trị lớn   A e  B e 1 e C e e 1 D e Lời giải Từ giả thiết f  x   f   x   , nhân thêm hai vế cho ex để thu đạo hàm ex f  x   e x f   x   e x , x    e x f  x    ex , x   Suy  e x f  x   d x   e x d x  ex f  x  0     f 1  f 0 e 1 e  e   ef 1 1 f 0   e 1 Chọn B Câu 105: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f   x  liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  2018 f 0  Giá trị nhỏ biểu thức M   1 d x    f   x  d x  f  x    A ln 2018 B ln 2018 C m  e D m  2018 e Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 1 f x  f 1 M  d x    f   x  d x   d x  ln f  x   ln  ln 2018 Chọn f x f     0   f  x  0 Câu 106: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1  1  x  B f   x  d x   Giá trị nhỏ nhật biểu thức   f  x  d x  f 0  A B 3 Lời giải Tích phân phần C  D  3  1  x  f   x  dx   , ta f 0    1  x  f  x  d x 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2  1  x  f  x  d x   1  x  d x    f  x  d x   f  x  Từ suy 0 d x   1  x  f  x  d x   1  x  d x 0 1  x     f  x  d x  f 0    3 1 Vậy   f  x  1 d x  f 0    Chọn D Câu 107: Cho hàm số f ( x ) liên tục [0; 1] thỏa mãn  xf  x  dx  max f  x   Tích phân [0; 1] e x f  x  d x thuộc khoảng khoảng sau đây? CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 60 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN  5 A ;    3  B  ; e 1 4 2  3 C  ;   Lời giải Với số thực    ta có e x f x d x    D e1;   2 e x f  x  d x    xf  x  d x 1 f  x e x   x  d x   f  x  e x   x d x   e x   x d x 0 Suy  0    e x f  x  d x   ex   x d x   e x   x d x  e 1    e  Chọn C    0;1   0;1     0 1 x Câu 108: Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục 0;1 Đặt g x     f t  d t Biết f  x  với x   0;1 , tích phân g x    A B dx có giá trị lớn g x  2 C D  g 0   Lời giải Từ giả thiết g  x     f t  dt , ta có  g  x   0, x  0;1  g '  x   f  x   x Theo giả thiết g  x   f  x    g x   g ' x   t Suy  Do  g 'x  g x t d x   1d x , t  0;1  g x  t g ' x  g x  t x  g ' x  g2  x   1 1  t   1 t g t  g 0  g t  1 d x   1  x  d x  Chọn B g x  f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1, Câu 109: Cho hàm số x f  x     f t  d t  g  x  với x  0;1 , tích phân A 1  thỏa mãn  g  x d x có giá trị lớn B C D  g 0   Lời giải Từ giả thiết g  x    3 f t  dt , ta có  g x   0, x  0;1  g '  x   f  x   x  g '  x    g 'x   g x  2 Theo giả thiết g x   f  x    gx    t Suy  Do  g 'x  t g x  dx   t 3 d x , t  0;1  g x   x 2 3  g  x d x    x  1 d x  Chọn   t  g t   g0   t  gt   t  B f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1, Câu 110: Cho hàm số x f  x   2018   f t  d t với x  0;1 Biết giá trị lớn tích phân thỏa mãn  f  x  d x có dạng ae2  b với a, b   Tính a  b A B 1009 x Lời giải Đặt g x   2018   C 2018 D 2020  g 0   2018 f t  d t , ta có  g x   0, x  0;1  g '  x   f  x   CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 61 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN Theo giả thiết g  x   f  x    g x   t Suy  g 'x  g x  g ' x  g 'x   g x  t t d x   2d x , t  0;1  ln g  x   t  2x 0  ln g t   ln g 0  2t  ln g t   2t  ln 2018  gt   2018.e2 t Do  1 f  x  d x   g  x  d x  2018  e2 x d x  1009 e2 x 0  1009e2  1009 Chọn A x2 Câu 111: Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 Đặt g  x     f t  d t Biết g  x   xf  x  với x  0;1 , tích phân  g  x  dx có giá trị lớn B e  A C  g 0   Lời giải Từ giả thiết g  x     f t  dt , ta có   g '  x   xf  x   g ' x  Theo giả thiết g  x   xf  x    g x   g 'x    g x  x2 t Suy  g ' x  g x  t t t 0 d x   1d x , t  0;1  ln g  x   x D e  g x   0, x  0;1  ln g t   ln g0  t  ln g t   t  gt   et Do  g  x  d x   ex d x  e 1 Chọn B Nhận xét Gọi F t  nguyên hàm hàm số f t  đoạn 0; x  x2 Khi g  x    F t  /   F  x   F 0    g '  x    F  x    x  F /  x   xf  x    / Câu 112: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f '  x   f  x   0, x  0;1 Giá trị lớn biểu thức f 0. d x f x  A B e 1 e e 1 e C Lời giải Từ giả thiết f '  x   f  x   0, x  0;1 ta có t Suy  f ' x  f x  Do f 0. t t t 0 d x   1d x , t  0;1  ln f  x   x f ' x  f x  D e   1, x   0;1  ln f t   ln f 0   t  f t   f 0  et 1 e 1 dx   x d x  Chọn f x  e e Câu 113: Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn B    f  x  d x   cos xf  x  d x  Giá trị nhỏ 0  tích phân  f  x  d x A  B  C  D 2 Lời giải Theo Holder CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 62 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN        0   1    cos xf  x  d x    cos xd x  f  x  d x   f  x  d x  Suy  0 f  x  d x  (Đến bạn đọc chọn A)  Dấu ''  '' xảy f  x   k cos x thay vào   f  x  d x  ta     f  x  d x  k  cos xd x  k sin x 0   0 Điều hồn tồn vơ lý Lời giải Ta có    f  x dx   0   a  a cos xf  x  d x   cos xf  x  d x       b  bf  x  d x    a, b   với  2 a  b  Theo Holder     a  b    a cos x  b f  x  d x    a cos x  b d x  f  x  d x   0 2 Lại có   a cos x  b dx   a  b  Từ suy  f  x  dx   Do   a  2b2  với a, b   a2  b2    a  2b2   a  b2  f  x  d x  max    a  2b2      Chọn B Nhận xét:  Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số a  b  Cách tìm giá trị lớn P  a  b2 ta làm sau: Nếu b    P  (chính đáp án sai mà làm trên)  a 2    a  t  a  b  b a  b t  2t  b b   P    2 a  2b t2 2  a      b  Nếu MODE dò tìm Kết thu GTLN P Tới ta khảo sát hàm số dùng a b t      a  b a  2b Vậy dấu ''  '' để toán xảy  thay ngược lại điều kiện, ta  f  x   b 2 cos x  1    f x    b 2 cos x  1 dx   b     Lúc  cos x     cos x  1 f  x  d x     d x      Cách khác Đưa bình phương Hàm dấu tích phân f  x , f  x , cos xf  x  nên ta liến kết với  f  x    cos x    Với số thực ,  ta có      0  f  x    cos x     f  x  d x   cos x    f  x  d x   cos x   2 d x      CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 63 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN     f  x  d x           Ta cần tìm ,  cho      2   đạt giá trị nhỏ Ta có    2 1 3                   2     2       Vậy với    ;     ta có   1 2   f  x    cos x     Suy      f x  dx    1 3 cos x  f  x  d x    f  x  cos x     Dấu ''  '' xảy f  x           Câu 114: Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn    sin xf  x  dx   cos xf  x  dx  Giá trị nhỏ  tích phân  f  x  d x A  B  C  D 2 Lời giải Liên kết với bình phương  f  x    sin x   cos x   Ta có   f  x    sin x   cos x  dx    0 2    f  x  d x    sin x   cos x  f  x  d x    sin x   cos x  d x   2  f  x  d x            2     2  2           2      Phân tích      Câu 115: Cho hàm số f  x  liên tục 0;1, thỏa mãn Chọn C  f  x  d x   e x f  x  d x  Gọi m giá trị nhỏ 0 tích phân   f  x  d x Mệnh đề sau đúng? A  m  B  m  Lời giải Từ giả thiết, ta có C  m  D  m   a  aex f  x  d x      b  bf  x  d x    Theo Holder 1 1  a  b    ae x  b f  x  dx    ae x  b dx  f  x  dx 0   2 Lại có x  ae  b d x   a e2 x  abex  b2  d x  CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI e 1 a2  e 1 ab  b2 64 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN a  b  Suy f x d x   Do với a, b   a2  b2  e 1 a  e  1 ab  b2     a  b     1    3,1316 Chọn f  x  d x  max    e e 1 2  e 1 a  e  1 ab  b  2  Câu 116: Cho hàm số f  x  liên tục 0;1 thỏa mãn 1  f  x  dx   0 D x f  x  d x  Giá trị nhỏ tích phân  f  x  d x A B Lời giải Từ giả thiết, ta có C D  a  a x f  x  d x      b  bf  x  d x    Theo Holder   1 a  b    a x  b f  x  d x    a x  b d x  f  x  d x     0 Lại có  a  x  b dx   a  b Suy  Do  a ab   b2 f  x  dx  với a, b   a2  b2  a ab  b    a  b2     Chọn D f  x  d x  max   a ab 2  b      2 Cách Liên kết với bình phương  f  x    x     Ta có   f  x    x    d x            f  x  d x    x   f  x  d x    x   d x   0  f  x  d x                2 2          1        18 3 Phân tích      Câu 117: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1;2 , thỏa x f  x  d x  31 Giá trị nhỏ tích phân  f  x  d x A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI D 923521 65 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN  2    314    x f  x  d x       x xf  x  d x        f x  dx   Suy 314 2    2  2     x d x   x f x d x    x d x          f x dx           2  3875 2   x d x     1   f  x   x Chọn B Dấu ''  '' xảy f  x   kx nên k  x d x  31  k   Câu 118: Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm đến cấp 0;2  thỏa f 0  f 1  f 2  Giá trị   f ''  x  nhỏ tích phân d x A B  Lời giải Ta có    0 2 1 2      x   f ''  x  d x    Holder  f ' 1  f 2   f 1 2   f ''  x  Suy 1 2    x f ''  x  d x    Holder 2   f ' 1  f 0  f 1 ;   f ''  x  d x   x  2 d x  f ''  x  d x      u  x 2 d v  f '' x d x D  f ''  x  d x  x d x  f ''  x  d x      ux d v  f '' x d x C d x   f ' 1  f 0  f 1   f ' 1  f 2   f 1 2  f 0  f 1  f 2      2 Chọn B a  b Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a  b2  f x  Câu 119: Cho hàm số 1;3 f  0, có đạo hàm     max f  x   10 Giá trị nhỏ tích 1;3   phân   f '  x  d x A B C 10 Lời giải Vì max f  x   10  x  1;3 cho f  x   10 1;3    x  1;3 f 0 D 20 cho f  x   10 Theo Holder x0 x0 x0  x0  2      f '  x  d x    d x   f '  x  d x   x  1   f '  x  d x    1 2  x0  x0       f  x     f  x   f 12  10 f ' x d x            Mà x0 Từ suy   f '  x    dx  10 x 1 x0  f '  x  d x   f '  x  d x  10  10     x 1  1 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI Chọn B 66 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI TÍCH PHÂN 67 | TY2 ... TẤT GIỎI C 10 D 20 15 | TY2 TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo... liên tục 0;1, thỏa mãn Tích phân 2 B dx  Tích phân A D  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn 2  f '  x  d x   x  1 e x f  x  d x  e  Tính tích phân I  f  x  d x  ... 1  f 2  Giá trị nhỏ tích phân   f ''  x  d x A B C D Câu 120: Cho hàm số f  x  có đạo hàm 1;3 f 1  0, max f  x   10 Giá trị nhỏ tích 1;3 phân   f '  x  d x