120 bài tập tích phân vận dụng cao (1)

TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa f ( x) + f ( 1- x) = 1- x2 Giá trị tích phân �f '( x) dx A B C D Lời giải Ta có �f �( x) dx = f ( x) = f( 1) - ( 0) � � f ( 0) = � � f + = ( ) ( ) � �� Từ f ( x) + f ( 1- x) = 1- x �� f + = ( ) ( ) � � f ( 1) = � � � Vậy I = �f '( x) dx = f( 1) - ( 0) = + = 5 Đáp án C Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn f( 0) = ( 1) = Biết f ( x) + f � dx = ae+ b Tính Q = a ( x) � �e � � � x 2018 + b2018 A Q = 22017 +1 B Q = Ta có 1 / x � � f ( x) + f � dx = � ex f ( x) � ex f ( x) � ( x) � � �dx = � � = ef( 1) �e � � � Suy C Q = Lời giải 0 ( 0) D Q = 22017 - f( 0) = ( 1) =1 = e- a =1 � 2018 � �� Q = a2018 + b2018 = 12018 +( - 1) = � � b= - � Đáp án B Câu Cho hàm số y = f ( x) , y = g( x) có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn �f '( x) g( x) dx = 2, 2 �f ( x) g'( x) dx = A B I = - Ta có / f ( x) g( x) � Tính tích phân I = �� dx / I = C I = Lời giải D I = � � I =� f ( x) g( x) � f '( x) g( x) + f ( x) g'( x) � dx � �dx = � � � 2 = �f '( x) g( x) dx + �f ( x) g'( x) dx = 2+ = 0 Đáp án C Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục [ 0;+�) thỏa x2 �f ( t) dt = x.sin( px) Tính �� 1� p �=- A f � � � �� 4� �� 1� �= B f � � � �� 4� x2 Từ �f ( t) dt = x.sin( px) , đạo hàm hai vế ta �� = C f � � � �� 4� Lời giải 2xf ( x2 ) = sin( px) + px cos( px) Cho x = �� 1� p p p 1� = sin + cos = 1�� = ta f� � � � � � �� 2 4� Đáp án C �� 1� f� � � � �� 4� �� p � �= 1+ D f � � � �� 4� f ( t) x Câu Cho hàm số f ( x) liên tục [ a;+�) với a> thỏa �t dt + = x với x > a Tính f ( 4) a A f ( 4) = x f ( t) �t Từ B f ( 4) = dt + = x , C f ( 4) = Lời giải f ( x) đạo hàm hai vế ta x2 a = x D f ( 4) = 16 � f ( 4) = 4 = Suy f ( x) = x x �� Đáp án C Vấn đề Kỹ thuật đổi biến 2017 Câu Cho �f ( x) dx = e2017 - �x Tính tích phân I = A B I = x f � ln( x2 +1) � dx � +1 � C I = Lời giải I = D I = 2xdx xdx dt � = Đặt t = ln( x +1) , suy dt = �� x +1 x +1 �x = � t = � Đổi cận: � 2017 � �x = e - � t = 2017 2017 2017 1 I = f t d t = ( ) Khi �f ( x) dx = 2.2 = 2� 0 Đáp án A Câu Cho hàm số f ( x) liên tục � f � A I =  Xét � Đổi cận  Xét x B I = f ( x) dx = 4, ( x) dx = Đặt t = x x = 1� t = � � � � �x = � t = x � t2 = x, f �f ( sin x) cosxdx = �f ( sin x) cos xdx = Tính tích phân I = �f ( x) dx 0 C I = Lời giải Suy = � p p D I = 10 suy 2tdt = dx ( x) dx = x 3 � �f ( t) dt = �f ( t) 2dt �� 1 Đặt u = sin x, suy du = cos xdx Đổi cận �x = � u = � � � p � x = � u =1 � � p 0 Suy = �f ( sin x) cos xdx = �f ( t) dt Vậy I = �f ( x) dx = �f ( x) dx + �f ( x) dx = 0 Đáp án C Câu Cho hàm số f ( x) liên tục � A I = Xét B I = p 0 x2 f ( x) �f ( tan x) dx = 4, �x +1 C I = Lời giải p �f ( tan x) dx = Đặt t = tan x, suy dt = dt dx = ( tan2 x +1) dx �� dx = cos x 1+ t2 dx = Tính tích phân I = �f ( x) dx D I = Đổi cận: x = 0� t = � � � � p � �x = � t = � p 1 Khi = �f ( tan x) dx = �f2 ( t) dt = �f2( x) dx 0 t +1 x +1 f ( x) x2 f ( x) dx = + = Từ suy I = �f ( x) dx = � dx + � 1 0 x +1 x +1 Đáp án A Câu Cho hàm số f ( x) liên tục � thỏa mãn p e2 f ( ln2 x) �tan x f ( cos x) dx = 1, � x ln x dx = Tính tích phân e f ( 2x) I =� dx x A I = B I = C I = Lời giải D I = p ● Xét A = �tan x f ( cos2 x) dx = Đặt t = cos2 x � tan xdx =Suy dt =- 2sin x cos xdx =- 2cos2 x tan xdx = - 2t.tan xdx �� Đổi cận: dt 2t �x = �� t =1 � � � p � x = �� t = � � � Khi 1= A = - 1 f ( x) f ( t) f ( t) f ( x) d t = d t = d x �� dx = � � � � 21 t 21 t 21 x x f ( ln x) e2 ● Xét B = � e Suy du = 2 x ln x dx = Đặt u = ln2 x 2ln x 2ln2 x 2u dx du dx = dx = dx �� = x x ln x x ln x x ln x 2u �x = e�� u =1 � Đổi cận: � � �u = �x = e �� 4 f ( x) f ( u) f ( x) = B = d u = d x �� dx = Khi � � � 21 u 21 x x ● Xét tích phân cần tính f ( 2x) I =� dx x Đặt Khi � � � dx = dv � � �v= � �x = �� v = 2x, suy � Đổi cận: � � � v � � x= x = �� v = � � � � � 4 f ( v) f ( x) f ( x) f ( x) I = � dv = � dx = � dx + � dx = 2+ = v x x x 1 1 2 Đáp án D � � � 1� � ;2� , f ( x) + f � � Câu 10 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục � � �= x + x2 + Tính tích phân � � �thỏa �x� � � f ( x) I = �2 dx x +1 A I = B I = C I = D I = Lời giải t Đặt x = , suy dx = - dt t2 � � x = �� t = � � � � � � x = �� t = � � � Đổi cận: �� 1� 1� 1� � � f� � � 2 f �� t � � t x� � - 2� dt = �2 dt = � dx Khi I = � � � �t � t +1 x +1 1 + 2 t2 � � �� 1� 1 � x) + f � ( � 2 f� � 2 x + +2 �� f ( x) �� x� x� Suy 2I = � dx + � dx = � dx = � x dx x +1 x +1 x +1 x +1 1 1 2 2 2 � 1� � � 1� � x +1 � = � dx = � 1+ � dx = � x- � �I = � � = �� x � � x �2 x 1 2 2 Đáp án A Câu 11 Cho hàm số f ( x) liên tục � thỏa f ( x) + f ( - x) = 2+ 2cos2x với x �� 3p Tính I = �f ( x) d x - 3p A I = - B I = � dx = - dt Đổi cận: Đặt t = - x �� - 3p C I = - Lời giải D I = � 3p 3p � x =�t= � � 2 � � � p p � x= � t =� � 2 � 3p 3p �f ( - t) dt = �f ( - t) dt = �f ( - x) dx Khi I =- 3p - 3p - 3p 3p 3p 3p CASIO f ( t) + f ( - t) � dt = � 2+ 2cos2tdt = �2 cost dt = 12 �� I = Suy 2I = �� - 3p - 3p - 3p Đáp án D Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục �, thỏa f ( x + 4x + 3) = 2x +1 với x �� Tích phân �f ( x) dx - A B 10 C 32 D 72 Lời giải Đặt x = t5 + 4t + 3, suy dx = ( 5t + 4) dt Đổi cận Khi 1 - -1 -1 x =- 2� t =- � � � � �x = � t = 4 �f ( x) dx = �f ( t + 4t + 3)( 5t + 4) dt = �( 2t +1) ( 5t + 4) dt = 10 Đáp án B Câu 13 Cho hàm số f ( x) , g( x) liên tục [ 0;1], thỏa m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) với m, n số thực khác �f ( x) dx = �g( x) dx = A m+ n = Tính m+ n B m+ n = C m+ n = D m+ n = Lời giải Từ giả thiết m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) , lấy tích phân hai vế ta 1 m f ( x) + n f ( 1- x) � dx = �g(x)dx �� Suy m+ n�f ( 1- x) dx = (do Xét tích phân �f ( 1- x) dx Khi �f ( x) dx = �g( x) dx = 1) ( 1) 0 �x = � t = � Đặt t = 1- x , suy dt = - dx Đổi cận: � � �x = 1� t = 0 �f ( 1- x) dx = - 1 �f ( t) dt = �f ( t) dt = �f ( x) dx = 1 ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy m+ n = Đáp án C Câu 14 Cho hàm số f ( x) xác định liên tục [ 0;1,] thỏa mãn f '( x) = f '( 1- x) với x �[ 0;1.] Biết f( 0) = 1, ( 1) = 41 Tính tích phân I = �f ( x) dx A I = 41 B I = 21 C I = 41 Lời giải D I = 42 � f ( x) =- f ( 1- x) +C Ta có f '( x) = f '( 1- x) �� f( 0) =1, ( 1) =41 � � C = 42 Suy f( 0) = - ( 1) +C �� f ( x) + f ( 1- x) = 42 Suy f ( x) = - f ( 1- x) + 42 �� 1 0 � �� f ( x) + f ( 1- x) � dx = � 42dx = 42 � � ( 1) ( 2) � �f ( x) dx = �f ( 1- x) dx Vì f '( x) = f '( 1- x) �� 0 Từ ( 1) ( 2) , suy �f ( x) dx = �f ( 1- x) dx = 21 0 Đáp án B Câu 15 Cho hàm số y = f ( x) liên tục � thỏa mãn f ( x) + f ( x) = x với x �� Tính I = �f ( x) dx A I =- B I = C I =- Lời giải Đặt u = f ( x) , ta thu u + u = x Suy ( 3u +1) du = dx �x = � u = Khi I = � u( 3u2 +1) du = � Từ u3 + u = x , ta đổi cận � � �x = � u = Đáp án D Cách khác Nếu tốn cho f ( x) có đạo hàm liên tục ta làm sau: � �f ( 0) + ( 0) = � � �f ( 0) = f x + f x = x �� ( ) ( *) �3 � Từ giả thiết ( ) � � f = f + = ( ) ( ) ( ) � � � 3 Cũng từ giả thiết f ( x) + f ( x) = x , ta có f '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) = x f '( x) 2 0 f '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) � dx = � x f '( x) dx � � �� Lấy tích phân hai vế � �2 � � f ( x) � f ( x) � � � � �+ � �� = xf ( x) �� 0 � � 2 ( *) �f ( x) dx �� f ( x) dx = 0 Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần D I = f ( x) �x f �( x) e dx = Câu 16 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn A I = B I = 11 3 0 C I = 8- ln3 Lời giải � u= x du = dx � � �� Khi � Đặt � f ( x) � dv = f � ( x) e dx � v = ef ( x) � � f( 3) Suy = 3.e - f ( x) f ( 3) = ln3 Tính I = �e dx f ( x) f ( x) �x f �( x) e dx = x.e D I = 8+ ln3 f ( x) �e - dx ( x) �� ef ( x) dx = 9- = �e dx �� Đáp án A � p� 0; � , thỏa mãn Câu 17 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục � � � 2� � p �f ( x) sin2xdx p �f '( x) cos xdx = 10 f ( 0) = Tích phân A I = - 13 B I = - C I = Lời giải D I = 13 p � du = - sin2xdx u = cos2 x � � �� Xét �f '( x) cos xdx = 10 , đặt � � v = f ( x) dv = f '( x) cos xdx � � p p p Khi 10 = �f '( x) cos2 xdx = cos2 xf ( x) + �f ( x) sin2xdx 0 p p 0 � 10 = - f( 0) + � ( x) sin2xdx �� f ( x) sin2xdx = 10 + f ( 0) = 13 Đáp án D Câu 18 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn �f ( x - 1) dx = f ( 1) = Tích phân 1 �x f '( x ) dx A - 1 B - C D Lời giải Ta có �f ( x - 1) dx = �� f ( t) dt = hay �f ( x) dx = t=x- 1 Xét 1 u= x � du = dx � 1 � � tf '( t) dt = � xf '( x) dx Đặt � �� x f '( x ) dx �� d v = f ' x d x v = f ( x) 2 ( ) � � t=x2 0 Khi � 1 1� t= x2 � x f ' x d x �� tf ' t d t = xf ( x) ( ) ( ) � � � 20 2� 0 � 1 � � 1 = [ 4- 3] = � �f ( x) dx� � � Đáp án C Câu 19 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0;2] Biết f ( 0) = ( x3 - 3x2 ) f '( x) f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x với x �[ 0;2] Tính tích phân I = � dx f ( x) A I = - 14 B I = - 32 2x2 - 4x x=2 C I = Lời giải Từ giả thiết f ( x) f ( 2- x) = e �� f ( 2) = 16 D I = - 16 (x Ta có I = � - 3x2 ) f '( x) f ( x) Khi dx Đặt 2 I = ( x3 - 3x2 ) ln f ( x) � u = x3 - 3x2 � � du = ( 3x2 - 6x) dx � � � � �� f '( x) � � dv = dx � v = ln f ( x) � � � � f ( x) � 6x) ln f ( x) dx = - 3� ( x2 - 2x) ln f ( x) dx = - 3J 0 x=2- t ( 2� �� ( x2 - 2x) ln f ( x) dx = Ta có J = � f ( 2) =1 �( 3x - - 2 t) - 2( 2- t) � ln f ( 2- t) d( 2- t) � � 2 � =� ln f ( 2- x) d( 2- x) = � ( 2- x) - 2( 2- x) � ( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx � � � � 2 2 0 ( x2 - 2x) ln f ( x) dx + �( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx = �( x2 - 2x) ln f ( x) f ( 2- x) dx Suy 2J = � 2 32 16 =� �J = ( x2 - 2x) ln e2x - 4xdx = �( x2 - 2x) ( 2x2 - 4x) dx = 15 �� 15 0 16 Vậy I = - 3J = Đáp án D Câu 20 Cho biểu thức � p � � � � � � � 2cot x � S = ln� + sin2 x e d x , với � ( ) � � � � � � n � � � � 4+m2 � khẳng định sau A S = số thực m�0 Chọn khẳng định B S = � p � � � � p � + 2ln� sin � � � � + m2 � � � � + m2 � � p � � p � � � + 2ln� � � � � � � � + m2 � + m2 � C S = 2cot� � � � D S = 2tan� � � � Lời giải p �( 2- Ta có sin2x) e2cot xdx = p p �e 2cot x dx - p 4+m2 p �sin2xe 2cot x dx = p �e 2cot x �sin2xe p 2cot x d( sin2 x) = sin2 x.e = sin2 x.e p p 4+m2 4+m2 p 2cot x dx 4+m2 p 4+m2 ( 1) 2cot x p 4+m2 p Xét p - �sin p � � � x� e2cot xdx � � � � � sin2 x� 4+m2 p +2 p 4+m �e 2cot x ( 2) dx p 4+m2 p 2cot x Từ ( 1) ( 2) , suy I = sin x.e p 2cot p =- 1+ sin e 4+m 4+ m p 4+m2 p � � 2cot � p � � p p � 4+m2 � � � � � � � �� S = ln� sin e = 2cot� + 2ln� sin � � � � 2� � � � � � � � � + m + m + m2 � � � � Đáp án C Vấn đề Tính a, b, c tích phân Câu 21 Biết �ln( 9- x2 ) dx = aln5+ bln2+ c với a, b, c�� Tính P = a + b + c A P = 13 Đặt B P = 18 C P = 26 Lời giải - 2x � � u = ln( 9- x2 ) � du = dx � � �� 9- x2 � � � dv = dx � � � v= x +3 � D P = 34 2 x( x + 3) Khi I = ( x + 3) ln( 9- x ) + 2� = 5ln5- 12ln2- 2( x + 3ln 3- x ) 9- x2 2 � � � � dx = 5ln5- 4ln8+ 2� - 1+ dx � � � � � � x a= � � � � = 5ln5- 6ln2- �� b = - � P = 13 � � � c=- � Đáp án A Nhận xét Ở chọn v = x + thay x để rút gọn cho 9- x2 , giảm thiểu biến đổi � px3 + 2x + ex3 2x 1 e � � m, n, p p+ � � � p + e.2x dx = m+ eln n.ln� � với � � � e + p Câu 22 Biết P = m+ n + p A P = B P = C P = Lời giải �3 px3 + 2x + ex3 2x 2x � � � � d x = x + dx = x4 � x x� � � � p + e.2 p + e.2 � � Ta có I = � +A = + A dx p + e.2x � dt = e.ln2.2x dx �� 2x dx = Đặt t = p + e.2x �� dt eln2 x = 0� t = p+e � � � �x = 1� t = p + 2e � Đổi cận: p+2e dt Khi A = e.ln2 � t = e.ln2 ln t p+e Vậy D P = x Tính A = � số nguyên dương Tính tổng p+2e p+e = � � p + 2e e � ln = ln� 1+ � � � � eln2 p + e eln2 � e+ p � m= � � � � 1 e � � � I = + ln� 1+ �� n = � P = m+ n+ p = � � �� e+ p � eln2 � � � �p = Đáp án C Câu 23 Biết p x2 +( 2x + cosx) cosx +1- sin x � x + cos x dx = ap2 + b- ln A P = B P = c với a, b, c số hữu tỉ Tính P = ac3 + b p C P = D P = Lời giải p Ta có I = �( x2 + 2x cos x + cos2 x) +( 1- sin x) x + cosx p p 2 p dx p d( x + cos x) ( x + cosx) 1- sin x =� dx + � dx = � ( x + cos x) dx + � x + cos x x + cos x x + cosx 0 0 p � �2 2 p 2 =� x + sin x + ln x + cos x � � = p +1+ ln = p +1- ln � � � � � 8 p � � a= � � � � �� b = �� P = ac3 + b = � � � c= � � � � Đáp án C ln Câu 24 Biết �e ln A P =- 2x 1 b dx = 1+ ln + a a a +1- e x B P = b với a, b ��+ Tính P = a+ b C P = Lời giải D P = ln Ta có 2x ln ln  �e dx = e x x +1- e dx = �( ln ) e2x +1 + ex dx = ln ln � e2x +1dx + ln �e dx x ln ln x ln ln �e I = = 2- ln ln  �e 2x +1dx Đặt t = e2x +1 � t2 = e2x +1, suy 2tdt = 2e2xdx � dx = ln tdt tdt = e2x t2 - �x = ln � t = � Đổi cận: � � �x = ln � t = ln Khi � ln 3 3 � t- 1� � t2dt � � � � e2x +1dx = �2 dt = � 1+ � d t = t + ln � = 1+ ln � � � � � � � � � t - 1� � t +1 �2 2 t - 2 a= � �� P = a+ b = � Vậy I = 1+ ln + 2 - �� b= � Đáp án D Câu 25 Biết dx �( x +1) x + x x +1 A P = 12 b- c với a, b, c ��+ Tính P = a+ b+ c B P = 18 Ta có = a- dx I =� x( x +1) ( C P = 24 Lời giải x +1 + x ) =� x +1 + x x( x +1) � � Đặt u = x +1+ x , suy du = � � � x +1 + ( x +1 + x dx � x + x +1 � � dx �� 2du = dx � � x� x( x +1) 3+ �x = � u = + du � Khi I = � = Đổi cận � � � �x = 1� u = +1 2+1 � 3- � - 1� � � = - 2� �= 32 � � � 3- 2- � � ) D P = 46 u u 3+ 2+1 � = - 2� � � � 3+ � � � � � +1� a = 32 � � � � 12 - �� b = 12 �� P = 46 � � � c= � Đáp án D p a Câu 26 Biết � sin4x dx = cos x +1 + sin x +1 A P = 10 +b +c với a, b, c�� Tính P = a + b + c B P = 12 p Ta có I = � p sin4x C P = 14 Lời giải cos x +1 + sin x +1 � dt =- 2sin2xdx Đổi cận: Đặt t = cos2x �� Khi I = - 2� 1 t 3+ t + 3- t 2sin2x cos2x dx = 2� dt = 2� 3+ cos2x + 3- cos2x x = 0� t =1 � � � � p � x= � t=0 � � t 3+ t + 3- t dt = D P = 36 dx �( 3+ t ) 3- t dt a = 16 � � � 2 16 - 12 + 3� � � � ( 3+ t) + ( 3- t) � = = �� b = - 12 � P = 36 � � 3 2� � �0 � � c= � Đáp án D Câu 27 Biết � 4x + A P = - x + ex 2x xe dx = a+ eb - ec với a, b, c�� Tính P = a + b+ c B P = - C P = - D P = Lời giải ( Ta có ) 4 ex + x x + ex e2x + 4x + 4ex x + d x = d x = � 4x � � x dx 4xe2x xe2x 1 2e x ( ) �1 � e +2 x 1� 1� 1 - - � =� x dx = � + x� � dx = � x- x � � � � � � = 1- e4 + e = 1+ e - e � � � � � e e � � e x x 1 x � a =1 � � � �� b = - �� P = a + b+ c = - � � � c=- � Đáp án B 2+ x � 2- Câu 28 Biết x dx = ap + b + c với a, b, c�� Tính P = a+ b+ c A P =- B P = C P = Lời giải D P = � p� 0; � � dx =- 4sin2udu Đặt x = 2cosu với u �� Suy x = 4cos2 u �� 2� � � � p � x = �� u = � � � � � p � x = �� u = � � � Đổi cận p p 4 u cos 2+ 2cosu I = 4� sin2udu = 8� sin u.cosudu u 2cos u p p sin 4 p Khi p p p 4 u = 16� cos2 cosudu = 8� ( 1+ cosu) cosudu = 8�cosudu + 4� ( 1+ cos2u) du p p p p p = 8sin u p2 +( 4x + 2.sin2u) � a =1 � � = p - + �� b � P = � = - �� c= � p p Đáp án C e ln2 x + ln x b + dx = Câu 29 Biết I = � với a, b �� Tính P = b- a a ln x + x + e + ( ) ( ) A P =- B P = - C P = Lời giải e Ta có D P = 10 e ln2 x + ln x ln x +1 ln x �( ln x + x +1) dx = �ln x + x +1 ( ln x + x +1) dx 1 / Đặt � ln x +1 � ln x +1 ln x � t= �� dt = � dx � � �dx = � � ln x + x +1 ln x + x +1� ( ln x + x +1) Đổi cận: � � x = 1� t = � � � � � � x = e � t = � � e+ � e+2 Khi I = - �tdt = - t2 2 e+2 2 = ( e+ 2) Đáp án B p Câu 30 Biết x cos x � 1+ x - p +x dx = a + A P = - 37 p Ta có I = � p p2 3p + b c với a, b, c số nguyên Tính P = a- b+ c B P = - 35 x cos x 1+ x2 + x p ( C P = 35 Lời giải ) p dx = � x cos x 1+ x2 - x dx = � x p p 10 ( D P = 41 ) 1+ x2 - x cos xdx f ( x) Câu 92 Cho hàm số �1+ x A � f '( x) � � �dx = ) f ( x) � 1+ x Tích phân ln( 1+ 2) ln 1+ ( có đạo hàm liên tục [ 0;1], dx C ln 1+ 2- ln 1+ ( B ) ( f( 0) = 0, ( 1) = thỏa mãn ) D ( ) ( ) - ln 1+ Lời giải Tương tự trước, ta có �f '( x) dx = f ( x) 0 = f( 1) - ( 0) = 1+ x2 � f '( x) � � � Do ta có hàm dấu tích phân f '( x) nên liên kết với bình phương � a � � � �1+ x f '( x) + � 1+ x2 � � 1 � f '( x) = Ta tìm a =- ln 1+ �� ln( 1+ 2) 1+ x2 ( ) �� f ( x) = ( ) ln 1+ � dx = 1+ x ( � f ( x) = Mà f( 0) = 0, ( 1) = 1� C = �� f ( x) Vậy � 1+ x2 dx = = ( ) ln 1+ ( ln 1+ ( ( ln x + 1+ x2 � 2) ln2 x + 1+ x2 1+ x ) ) ln 1+ ( ) ln x + 1+ x2 +C ( ln x + 1+ x2 ( ) ln 1+ ) dx = ( ) 1 �ln( x + 2) ln 1+ ) ( ) � � 1+ x2 d � ln x + 1+ x2 � � � = ln 1+ ( ) Đáp án C Cách Theo Holder 1 �1 � dx � 2 � � � � 12 = � f ' x d x = + x f ' x d x � + x f ' x d x ( ) � ( ) � � � � � ( )� � � � � �0 � 1+ x 1+ x2 0 = ( ) ln 1+ ( ) ln 1+ = 1 Câu 93 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [- 1;1,] thỏa mãn f ( - 1) = 0, f '( x) � �� dx = 112 - 1 �x f ( x) dx = - A 16 Tính tích phân I = �f ( x) dx 84 I = - B 35 I = C I = 35 D I = 168 Lời giải �x Như trước, ta chuyển f ( x) dx = - 16 thơng tin f '( x) cách tích phân phần Đặt � du = f '( x) dx � � u = f ( x) � � � � � x3 � � dv = x2dx � v= � � � � Khi �x f ( x) dx = - x3 f ( x) - 1 - 1 1 x3 f '( x) dx = f( 1) + ( - 1) - �x3 f '( x) dx � 3- 3 3- giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau 35 Tới ta bị vướng f ( 1) � du = f '( x) dx � � u = f ( x) � � � � � x3 � � dv = x2dx � v= +k � � � � 1 � � �x3 � x3 � � � � �f '( x) dx x f x d x = + k f x ( ) ( ) � � + k� � � � � � � � � - �3 � �3 � Khi - với k số - � � =� + k� f ( 1) � � � � � � �1 � � - + k� � � �f ( - 1) � � � 1443 444424 444443 � � x3 � � + k� f '( x) dx � � �� 3 � - =0 f ( - 1) =0 1 +k = � k =- 3 Ta chọn k cho Khi 1 16 =� x2 f ( x) dx = - � x3 - 1) f '( x) dx �� x3 - 1) f '( x) dx = - 16 ( ( -1 3- - 2 � f '( x) � f '( x) + a ( x3 - 1) � Hàm dấu tích phân � � � �, ( x - 1) f '( x) nên ta liên kết với � � f '( x) = - 7( x3 - 1) � f ( x) = - 7� Ta tìm a = �� ( x3 - 1) dx = 35 35 �� C = �� f ( x) =- x4 + 7x + 4 f ( - 1) =0 Vậy I = �f ( x) dx = - x + 7x +C 84 Cách Theo Holder �1 � 2 16 � 3 � � � x f ' x d x � x d x f '( x) � dx = 112 = 256 ( - 16) = � ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � -1 - - Câu 94 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa mãn f ( 1) = 0, f '( x) � �� dx = - 2ln2 f ( x) �( x +1) dx = 2ln2- A 1- ln2 �f ( x) dx Tích phân B 1- 2ln2 C 3- 2ln2 D 3- 4ln2 Lời giải f ( x) Như trước, ta chuyển �( x +1) dx = 2ln2- thông tin f '( x) cách tích phân � u = f ( x) � du = f '( x) dx � � � � � �� phần Đặt � dv = dx � � v= � � � � ( x +1) x +1 � � 1 f ( x) f ( x) f '( x) f( 1) ( 0) f '( x) d x = + d x = + +� dx Khi � x +1 � x +1 x +1 ( x +1) 0 thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau � u = f ( x) � du = f '( x) dx � � Khi f ( 1) =0 = � � � �� với k d v = d x � � v=+k � � � � x + ( ) x +1 � � 1 f ( x) � � � � � + k� f ( x) - � + k� f '( x) dx = � � � � �( x +1) dx = � � � � � � x +1 � � x +1 � 0 - ( - 1+ k) f ( 0) - � Tới ta bị vướng f ( 0) giả số � + k� �f '( x) dx � �� x +1 � Ta chọn Khi k cho 2ln2- - 1+ k = � k = 1 f ( x) =� dx = ( x +1) 1 x x �� f '( x) dx = - 2ln2 �x +1 f '( x) dx �� x +1 0 36 x f '( x) x +1 f '( x) � Hàm dấu tích phân � � �, Ta tìm � f '( x) + a nên ta liên kết với � � � x x a = - 1�� f '( x) = � f ( x) = � dx = x - ln x +1 +C x +1 x +1 f ( 1) =0 ��C = ln2- 1�� f ( x) = x - ln( x +1) + ln2- �f ( x) dx = Vậy x � � � x +1� 1- 2ln2 Đáp án B Cách Theo Holder Câu 95 Cho 2 1 � �x � � � � � � � � x 3 � � � � � � � � � 2ln2 = f ' x d x � d x f '( x) � - 2ln2� - 2ln2� ( ) � � � � � � � � � � � � � �dx = � � � � � � � � � � � � � � � � � x + x + 2 0 � � hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2], đồng biến [1;2], thỏa mãn f� ( x) � �� dx = �f ( x) f '( x) dx = 1 A Tích phân �f ( x) dx khai triển vướng C 2 � � f� ( x) � � �, f ( x) f ( x) B Hàm dấu tích phân f ( x) � �� dx f ( 1) = , 2 D 2 Lời giải f� ( x) + a f ( x) � nên ta liên kết với bình phương � � � Nhưng nên hướng khơng khả thi Ta có 1= �f ( x) f '( x) dx = f ( x) 2 1 = f2 ( 2) - ( 1) = f ( 2) - �� f ( 2) = (do đồng biến [1;2] nên f( 2) > ( 1) = ) Từ f ( 1) = f ( 2) = ta nghĩ đến �f '( x) dx = f ( x) = f( 2) - ( 1) = - = 2 � � f� f� ( x) � ( x) + a � Hàm dấu tích phân � � �, f ( x) nên ta liên kết với � � f ( 1) =0 � f '( x) = �� f ( x) = 2x +C �� C = - Ta tìm a = - �� Vậy f ( x) = 2x - 2 �� f ( x) dx = Đáp án A f ( x) Câu 96 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 1) = , �f ( x) dx = f� ( x) � �� f ( x) dx = Giá trị f ( 2) A - B C ( 12 Lời giải 2 f ( x) f� ( x) � Hàm dấu tích phân � � �f ( x) � f� ( x) f ( x) + a f ( x) � � � ) ( 12 Nhưng khai triển vướng nên ta liên kết với bình phương �f ( x) f '( x) dx nên hướng không khả thi �f ( x) dx = 1 kết hợp với f ( 1) = 0, ta �xf ( x) f '( x) dx = Hàm dấu tích phân 2 � f� ( x) � � �f ( x) xf ( x) f '( x) nên ta liên kết với bình phương � f ( x) f '( x) + a x� � � ) 1 Tích phân phần D - � f ( x) f '( x) = Ta tìm a = �� f ( x) 3 x � �f ( x) f '( x) dx = - � xdx � = - x2 +C 2 37 ( ) �� C = f =0 3 �� f ( x) = ( 1- x2 ) �� f2 ( 2) = - Đáp án A f ( x) Câu 97 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;2], thỏa mãn f ( 2) = , �x f ( x) dx = 32 f '( x) � �� dx = Giá trị tích phân A - 15 �f ( x) dx 2 B - Hàm dấu tích phân tìm khơng � x2 f ( x) f '( x) � � � Tích phân phần �x f ( x) dx = C - 15 D Lời giải Lời khun đừng có cố liên kết với bình phương nào, có kết hợp với f ( 2) = , ta �x f� ( x) dx = 32 Áp dụng Holder lần ta 4 2 �2 � �2 � �2 �� 32� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � = x f x d x = x xf x d x � x d x x2 � f '( x) � dx� ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �5 � � � � � � � � � �0 � �0 � �0 ��0 � 2 �2 � �2 � � � � 4 � � � � �� x d x � x d x f '( x) � dx� � � � � � � � � � � � � � � � �0 � �0 � �2 � 1048576 � 32� � � � � � � � =� x d x � f ' x d x = = ( ) � � � � � �� 5 � � 625 �0 � 2 Dấu '' = '' xảy ra, tức xf '( x) = kx � f '( x) = kx thay vào f '( x) � �� dx = �� f '( x) = x � f ( x) = � xdx = 32 tìm k = x2 f ( 2) =1 +C �� C = - 2 Vậy f ( x) = x2 - 1�� f ( x) dx =- Đáp án B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có 4 4 � f '( x) � � �+ x + x + x �4x f '( x) Do 2 0 f '( x) � x4dx �4� x3 f � ( x) dx �� dx + 3� Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu '' = '' xảy nên f '( x) = x (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM Câu 98 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 1) = ef ( 0) 1 dx f '( x) � �f ( x) + �� dx �2 0 A f ( 1) = 2e e- Mệnh đề sau ? B f ( 1) = 2( e- 2) e- C f ( 1) = 2e2 e2 - Lời giải � f '( x) 2 � AM - GM dx � �dx = � + � �� + f ' x f ' x d x � ( ) ( ) �f ( x) �� f ( x) � �� f ( x) dx 0 � � Ta có = 2ln f ( x) 1 = 2ln f( 1) - 2ln ( 0) = 2ln f ( 1) f ( 0) = 2ln e= 38 D f ( 1) = 2( e- 2) e- Mà 1 dx f '( x) � �f ( x) + �� dx �2 0 nên dấu '' = '' xảy ra, tức f '( x) = f ( x) � f ( x) f '( x) = f ( x) �� f ( x) f '( x) dx = � xdx � = x +C �� f ( x) = 2x + 2C Theo giả thiết f ( 1) = ef ( 0) nên ta có 2+ 2C = e 2C � 2+ 2C = e2 2C � C = e- �� f ( x) = 2x + 2 2e � f ( 1) = 2+ = e- e- e- Đáp án C Câu 99 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1,] có đạo hàm dương liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 0) = 1 3� � f ( x) + � f '( x) � dx �3�f '( x) f ( x) dx � �� 0 A I = 2( e- 1) B I = 2( e - 1) Tính I = �f ( x) dx e- C I = D I = e2 - Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương ta có 3 f ( x) f ( x) 3 f ( x) f ( x) �= � �+ � � f ( x) + � f ' x f ' x + � f ' x = f '( x) f ( x) ( ) ( ) ( ) � � � � � � Suy �3 � f ( x) + � f '( x) � dx � 3�f '( x) f �� Mà 2 ( x) dx �3 � f ( x) + � f '( x) � dx �3�f '( x) f �� ( x) dx nên dấu '' = '' xảy ra, tức 4� f '( x) � � �= �� f '( x) f ( x) = f ( x) = f ( x) � f '( x) = f ( x) f '( x) x+C 1 �� dx = � dx � ln f ( x) = x +C �� f ( x) = e2 f ( x) 2 Theo giả thiết x ( f ( 0) = 1� C = � f ( x) = e2 �� f ( x) dx = ) e- Đáp án A Câu 100 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1], có đạo hàm dương liên tục [ 0;1], thỏa mãn � xf '( x) f ( x) dx �1 �� f ( 0) = 1, f ( 1) = e Tính giá trị f � � � �� 2� �� = A f � � � �� 2� Hàm dấu tích phân f '( x) f ( x) �� = B f � � � �� 2� xf '( x) f ( x) = x � �= e C f � � � �� 2� Lời giải f '( x) f ( x) , " x �[ 0;1 ] �� = e D f � � � �� 2� Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: f '( x) f ( x) + mx �2 m xf '( x) f ( x) với m�0 x �[ 0;1.] Do ta cần tìm tham số m�0 cho � � f '( x) xf '( x) � � + m x d x � m ��f ( x) � f ( x) dx � � � hay ln f ( x) +m x2 �2 m.1� ln f( 1) - ln 39 ( 0) + m m �2 m � 2- 0+ �2 m 2 m = m � m= f '( x) = 4x f ( x) Để dấu '' = '' xảy ta cần có 2- 0+ Với m= đẳng thức xảy nên f '( x) �� dx = � 4xdx � ln f ( x) = 2x2 +C � f ( x) = e2x +C f ( x) � � �� 1� �f ( 0) = � C = �� f ( x) = e2x �� f� = e � Theo giả thiết � � � � �� 2� f = e � �( ) Đáp án C Cách Theo Holder 2 1 �1 xf '( x) � �1 f '( x) � f '( x) f ( 1) � � � � � � � � �� dx� = x d x � x d x dx = ln = � � � � � � � � � � � � f ( x) f ( x) � f ( x) f ( 0) �0 �0 � � � f '( x) Vậy đẳng thức xảy nên ta có f x = kx, thay vào ( ) � xf '( x) f ( x) dx = ta k = f '( x) Suy f x = 4x (làm tiếp trên) ( ) Câu 101 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa mãn f ( x) f '( x) � �� dx �1 f ( 0) = 1, f ( 1) = �� Tính giá trị f � � � �� 2� �� = A f � � � �� 2� �� = B f � � � �� 2� �� = e �= e C f � D f � � � � � �� 2� 2� Lời giải Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với f x f' x f ( x) f '( x) � Hàm dấu tích phân � � � Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm ( ) ( ) , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: � f ( x) f '( x) � � �+ m�2 m f ( x) f '( x) với m�0 Do ta cần tìm tham số m�0 cho f ( x) f '( x) � �( � � �+ m) dx �2 m�f ( x) f '( x) dx hay 1+ m�2 m f ( x) � 1+ m�2 m Để dấu '' = '' xảy ta cần có 1+ m= m � m= � f ( x) f '( x) = �= � � f x f ' x ( ) ( ) Với m= đẳng thức xảy nên � � � � f ( x) f '( x) =- � 1 � �f ( x) f '( x) dx = f ( x) f '( x) =- 1��  �dx � f ( x) 0 f ( x) f '( x) = 1�� f ( x) f '( x) dx = � dx � f ( x) =- x � 1= - = x +C �� f ( x) = 2x + 2C � � �� 1� �f ( 0) = � C = �� f ( x) = 2x +1 �� f� �= Theo giả thiết � � � � �� 2� � �f ( 1) = Đáp án A f ( x) 1 f x f ' x d x = = � f ( 1) - ( 0) � = ( ) ( ) Cách Ta có � � � (vô lý) Theo Holder 40 1 �1 � � � � =� f ( x) f '( x) dx� �� 12 dx.� f ( x) f '( x) � � � � � �dx �1.1= � � � �0 � 0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '( x) f ( x) = k, thay vào �f ( x) f '( x) dx = ta k = Suy f '( x) f ( x) = (làm tiếp trên) Câu 102 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục [1;2], thỏa mãn � f '( x) � � �xf ( x)�dx �24 f ( 1) = 1, f ( 2) = 16 Tính giá trị f ( 2) A f ( 2) = B f ( 2) = C f ( 2) = Lời giải D f ( 2) = � f '( x) � � f '( x) � Hàm dấu tích phân � �= � � Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm xf ( x) x f ( x) muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: � f '( x) � � �+ mx �2 m f '( x) với m�0 x �[1;2] xf ( x) f ( x) Do ta cần tìm tham số m�0 cho f '( x) f ( x) , � � � f '( x) � � � f '( x) � � � � � + m x d x � m dx � � �� xf ( x) � f ( x) � � hay 24 + 2m �4 m f ( x) � 24 + Để dấu '' = '' xảy ta cần có 24 + 2m �4 m � f( 2) � � � 24 + ( 1) � � � 2m �12 m � m= 16 2m = 12 m � m= 16 Với m= 16 � f '( x) � f '( x) = 2x đẳng thức xảy nên � �= 16x � xf ( x) f ( x) f '( x) �� dx = � 2xdx � f ( x) �f ( 1) = � Theo giả thiết � � �f ( 2) = 16 f ( x) = x2 +C �� f ( x) = ( x2 +C ) � C = �� f ( x) = x4 �� f ( 2) = Đáp án D Cách Ta có f '( x) � f '( x) dx = 2.� dx = f ( x) f ( x) f ( x) = 2� � f( 2) � = ( 1) � � � Theo Holder 2 2 � �2 f ' x � �1 � 2 f '( x) � � � f ' x ( ) ( ) � � � � � �dx � x 24 = 36 � � � =� d x = x d x � x d x � � � � � � � � � � � xf ( x) �1 xf ( x) � � � � �1 f ( x) � � � Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '( x) f ( x) = 4x f '( x) xf ( x) =k x � f '( x) f ( x) = kx, thay vào f '( x) � f ( x) dx = ta k = Suy (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân � ( x) �ex + x f � ( 2) = 2e, Câu 103 Cho hàm số f ( x) liên tục �, có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f � f ( 0) = e2 Mệnh đề sau đúng? A f ( 2) �4e- B f ( 2) �2e+ e C f ( 2) �e - 2e 41 D f ( 2) > 12 Lời giải � ( x) �e + x ta có Từ giả thiết x f � x 2 �x f ��( x) dx ��( e + x) dx ( 1) x u= x du = dx � � �� Đặt � ‫�۾‬ dv = f ( x) � v = f ( x) � Khi �x x2 � � f� x) dx �� e + � ( 1) � x f � ( x) - � ( � � � � 2� � 2 �x x2 � �2 � x f � e + � ( x) - f ( x) �� 2� 0 � �0 2 �� f� - � f( 2) - ( 0) � �e2 + 2- ( 2) - � ( 0) � � � � � ‫ۣ۾‬f ( 2) 4e- (do f � ( 2) = 2e, f ( 0) = e2 ) Chọn A f ( x) = 2, f ( x) = biểu thức Câu 104 Cho hàm số f ( x) dương liên tục [1;3], thỏa max [1;3] [1;3] 3 S = �f ( x) dx.� dx f ( x) 1 đạt giá trị lớn nhất, tính I = �f ( x) dx A B C D Lời giải Từ giả Suy thiết ta có � f ( x) �2 , suy � � � � f x +��+‫�۾‬ d x dx ( ) �� f ( x) � � f ( x) + � f ( x) 3 � � 5Khi S = �f ( x) dx.� dx ��f ( x) dx.� � � f x ( ) � 1 3 3 �f ( x) dx �f ( x) dx �f ( x) dx �f ( x) dx � 25 � � f x d x � ( ) � � � � � � 5� � 25 25 t + � ) � (dạng t( 5- t) = - t2 + 5t = - � � � � � 2� Dấu " = " xảy 4 �f ( x) dx = Đáp án D ( x) �1 với x �� f ( 0) = Câu 105 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục �, thỏa mãn f ( x) + f � Giá trị lớn f ( 1) A e- B e- e C e e- D e Từ giả thiết Lời giải f ( x) + f � ( x) �1, nhân thêm hai vế cho ex � ex f ( x) +�"‫�۾‬ ex f"� ( x) ex , x Suy � -�-�x ex f ( x) � �� e dx � �dx � ( ) �� f ( 1) � f =0 � � x � ex f ( x) � � � e, x � ex f ( x) � � � e để thu đạo hàm � � ef( 1) ( 0) � � �0 e e- e Đáp án B ( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn Câu 106 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f � 1 � dx + � f� dx ( x) � f( 1) = 2018 ( 0) Giá trị nhỏ biểu thức M = � � � � f ( x) � � � A ln2018 B 2ln2018 C m= 2e D m= 2018e Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 42 1 f� ( x) � �dx �2 � M =� d x + f x dx = 2ln f ( x) ( ) � � � � f ( x) � f ( x) � � 0 � = 2ln f ( 1) f ( 0) x) f � ( x) dx = - = 2ln2018 Đáp án B Câu 107 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] �( 1- thức f ( x) � �� dx - f ( 0) Giá trị nhỏ nhật biểu A B C - D - Lời giải ( 1- x) f � ( x) dx = Tích phân phần � 1 , f ( 0) - ta = 2� ( 1- x) f ( x) dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 0 2 2� f ( x) � ( 1- x) f ( x) dx �� ( 1- x) dx + �� dx Từ suy f ( x) � ( 1�� dx �2� ۳ f ( x) � �� dx f ( 0) - x) f ( x) dx - �( 1- 0 Vậy f ( x) � �� dx - ( 1- x) + 3 x) dx f ( 0) �- Đáp án D Câu 108 Cho hàm số f (x) liên tục [0; 1] thỏa mãn �xf ( x) dx = f ( x) = Tích phân max [0; 1] � 3� � - ; � � � � � � 2� D ( e- 1; +�) �e f ( x) dx x thuộc khoảng khoảng sau đây? A � 5� � - �; - � � � � � � 4� B � � ; e� � � � 1� � � � C Lời giải Với số thực x �e f ( x) dx = a �� ta có = �f ( x) ( e x �a xf ( x) dx a x) dx ��f ( x) ex - a x dx ��ex - a x dx Suy x �e f ( x) dx - 1 a� � x x e f x d x � e a x d x � ex - a x dx = � e- 1- �= e- ( ) � a �� a �[ 0;1] � a �[ 0;1] � � 2� � 0 Đáp án C x Câu 109 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục [ 0;1.] Đặt g( x) = 1+ �f ( t) dt Biết g( x) � f ( x) với x �[ 0;1] , tích phân �g( x) dx có giá trị lớn A B 2 C D Lời giải �g( 0) = � Từ giả thiết g( x) = 1+ �f ( t) dt, ta có � g( x) > 0, " x �[ 0;1.] � �g'( x) = f ( x) x f ( x) g( x) Theo giả thiết g( x) ��۳۳ g'( x) g'( x) g( x) 43 g'( x) g2 ( x) t Suy g'( x) �g ( x) Do t g( x) dx �"ά��-��-+�‫۾‬ �1dx, t [ 0;1] t g( t) t x 0 t g( t) t 1 �g( x) dx ��( 1- x) dx = 0 Đáp án B Câu 110 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1], thỏa mãn x f ( x) �1+ 3�f ( t) dt = g( x) với x �[ 0;1] , tích phân � g( x) dx có giá trị lớn A g( 0) B C D Lời giải �g( 0) = � Từ giả thiết g( x) = 1+ 3�f ( t) dt, ta có � g( x) > 0, " x �[ 0;1.] � �g'( x) = f ( x) x � g'( x) � � � f ( x) g( x) Theo giả thiết g( x) ��‫�۾‬ t g'( x) t �2 dx, t [ 0;1+] Suy �2 g( x) dx �"ά��-�‫۾‬ 0 g( x) t g'( x) 2 g( x) x t g( t) g( 0) t g( t) t 1 Do � � g x d x � dx = ( ) � � x +1� � �� 0 Đáp án B x Câu 111 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1], thỏa mãn f ( x) �2018+ 2�f ( t) dt với x �[ 0;1.] Biết giá trị lớn tích phân �f ( x) dx có dạng ae2 + b với a, b�� Tính a+ b A B 1009 C 2018 Lời giải D 2020 �g( 0) = 2018 � Đặt g( x) = 2018+ 2�f ( t) dt, ta có � g( x) > 0, " x �[ 0;1.] � �g'( x) = f ( x) g'( x) g'( x) f ( x) g( x) Theo giả thiết g( x) ��‫�۾‬ g( x) t t t t g'( x) d x �"ά�� 2dx, t [ 0;1] ln g( x) 2x Suy � � g( x) 0 0 �-‫�۾‬ ln ‫۾‬+ g( t) ln g( 0) 2t ln g( t) 2t ln2018 g( t) 2018.e2t x Do 1 2x 2x �f ( x) dx ��g( x) dx �2018�e dx = 1009e 0 = 1009e2 - 1009 Đáp án A x2 Câu 112 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1.] Đặt g( x) = 1+ �f ( t) dt Biết g( x) �2xf ( x2 ) với x �[ 0;1] , tích phân �g( x) dx có giá trị lớn A B C Lời giải e- � � �g( 0) = Từ giả thiết g( x) = 1+ �f ( t) dt, ta có � g( x) > 0, " x �[ 0;1.] � g' x = 2xf ( x2 ) � �( ) x2 2xf ( x2 ) Theo giả thiết g( x) ��‫�۾‬ g( x) g'( x) g'( x) g( x) 44 D e+1 t Suy g'( x) �g( x) �-‫�۾۾‬ ln g( t) t dx �"ά�� 1dx, t [ 0;1] ln g( x) ln g( 0) ln g( t) t g( t) t t t x 0 t e �g( x) dx ��e dx = e- x Do 0 Đáp án B 0; x2 � Nhận xét Gọi F ( t) nguyên hàm hàm số f ( t) đoạn � � � Khi g( x) = 1+ F ( t) x2 / / = 1+ F ( x2 ) - F ( 0) �� g'( x) = � F x2 �= x2 F / ( x2 ) = 2xf ( x2 ) �( ) � ( ) Câu 113 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa f '( x) � f ( x) > 0, " x �[ 0;1.] Giá trị lớn 1 f ( 0) � dx f ( x) biểu thức A B e- e C f '( x) e+1 e D e- Lời giải Từ giả thiết f '( x) � f ( x) > 0, " x �[ 0;1] ta có f x �1, " x �[ 0;1.] ( ) f '( x) t Suy �f ( x) t dx �"ά��-�۳ �1dx, t [ 0;1] ln f ( x) t x t ln f ( t) ln f ( 0) t f ( t) f ( 0) et 1 e- f ( 0) � dx ��x dx = f x e e ( ) 0 Do Đáp án B p Câu 114 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;p], thỏa mãn p �f ( x) dx = �cosxf ( x) dx = Giá trị nhỏ tích p phân �f ( x) dx A p B p C p 2p D Lời giải Theo Holder p p p � � p �� cos2 xdx f ( x) dx = p f ( x) dx cos xf x d x ( 1) = � ( ) � � � � � 2� 0 � � p Suy �f 2 p ( x) dx � (Đến bạn đọc chọn A) p Dấu '' = '' xảy f ( x) = k cos x thay vào �f ( x) dx = ta p p 1= �f ( x) dx = k� cos xdx = k.sin x 0 p = 0 Điều hoàn tồn vơ lý Lời giải Ta có � p � a= � acos xf ( x) dx � p p � � � �� p �f ( x) dx = �cos xf ( x) dx = 1�� 0 � b= � bf ( x) dx � � � a, b �� 2 với � � Theo Holder p p � � p �� ( acos x + b) dx f ( x) dx a cos x + b f x d x ( a + b) = � ( ) ( ) � � � � � 0 � � 45 a +b > � Lại có p �( acosx + b) p �f Từ suy ( x) dx � 2( a+ b) dx = p( a2 + 2b2 ) 2 với a, b�� a2 + b2 > p( a2 + 2b2 ) �( a + b) � 2 � �= f x d x � max ( ) �2 2� � � � p a + b � � p � � p Do Đáp án B Nhận xét:  Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số ( a + b)  Cách tìm giá trị lớn P = ta làm sau: a + 2b � P = (chính đáp án sai mà làm trên) Nếu b = �� a� a � �+ +1 t= ab � � ( a+ b) �� t + 2t +1 b� b b �0 �� P = = = 2 a + 2b t2 + �� a� � �+ � � �� b� Nếu dị tìm Kết thu GTLN P Tới ta khảo sát hàm số dùng MODE a b � = � a = 2b t = �� a = 2b � � Vậy dấu '' = '' để toán xảy � thay ngược lại điều kiện, ta � �f ( x) = b( 2cos x +1) p � f ( x) = �b( 2cosx +1) dx = � b = p �� p Lúc 2cos x +1 p p �f � 2cos x +1� � dx = � � � p � p � ( x) dx = � � � Cách khác Đưa bình phương 2 f ( x) + a cos x + b� Hàm dấu tích phân f ( x) , f ( x) , cos xf ( x) nên ta liến kết với � � � Với số thực a, b ta có p p p p 0 2 f ( x) + a cosx + b� ( a cosx + b) f ( x) dx + � ( a cosx + b) dx �� = �f ( x) dx + 2� p p = �f ( x) dx + 2( a + b) + a + pb2 p Ta cần tìm a, b cho 2( a + b) + a + pb2 đạt giá trị nhỏ Ta có 2 � 1� p p � 2� � � � 2( a + b) + a + pb2 = � a + + p b + � �� p� � p� � 2� ; b =p p Vậy với a = - 3 �- p p ta có p p � 1� � � f x cos x = f ( x) dx - ( ) �� p p� p � 0 p Suy p � 1� 3 f x d x = f ( x) - cos x - �+ � ( ) � �� p p� � p p 0 � Dấu '' = '' xảy f ( x) = p Câu 115 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;p], thỏa mãn 2cos x +1 p p �sin xf ( x) dx = �cosxf ( x) dx = Giá trị nhỏ p tích phân �f ( x) dx A p B p C 46 p D 2p Lời giải f ( x) + a sin x + b cosx� Liên kết với bình phương � � � p f ( x) + a sin x + b cos x� �� dx Ta có p p 0 p 2 � =� f ( x) � ( a sin x + b cosx) f ( x) dx + � ( a sin x + b cosx) dx � �dx + 2� p 2 pa pb � =� f ( x) � � �dx + 2( a + b) + + 2( a + b) + Phân tích pa pb2 p � 2� p � 2� + = � a+ � + � b+ � - � � � � � p� � p� � 2� � p 2 2� Đáp án C Câu 116 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn x �f ( x) dx = �e f ( x) dx = 1 tích phân Gọi m giá trị nhỏ f ( x) � �� dx Mệnh đề sau đúng? A < m< Từ giả thiết, ta có B 1< m< C < m< Lời giải D < m< � � a= � aex f ( x) dx � � � � � � � � b= � bf ( x) dx � � � Theo Holder 1 � � 2 x x � � a + b = ae + b f x d x � ae + b d x ( ) � ( ) ( ) � �( ) �f ( x) dx � � � 0 Lại có 1 x 2x x �( ae + b) dx = �( a e + 2abe + b ) dx = Suy Do �f ( x) dx � ( a+ b) ( e - 1) a2 + 2( e- 1) ab+ b2 2 với a, b�� a2 + b2 > e - 1) a2 + 2( e- 1) ab+ b2 ( � � � � � � a + b ( ) 1 � � f x d x � max + �3,1316 ( ) � �= - 1+ � � � 3- e e- 2� � e a + e ab + b ( ) ( ) � � �2 � � Đáp án D Câu 117 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] thỏa mãn �f ( x) dx = � x f ( x) dx = Giá trị nhỏ tích phân �f ( x) dx A B C Lời giải Từ giả thiết, ta có � � a= � a x f ( x) dx � � � � � � � � b= � bf ( x) dx � � � Theo Holder 47 D 1 �1 � � � a x + b f ( x) dx� ��a x + b dx.�f ( x) dx ( a + b) = � � � � � � � �0 � 0 ( ) ( ) Lại có �( a ) x + b dx = ( a+ b) �f Suy ( x) dx � a2 4ab + +b 2 a 4ab với a, b�� a + b > + +b � � � � � � a + b ( ) � � � � �= Do �f ( x) dx �max� � � a 4ab 2� � + +b � � � � � �2 Đáp án D f ( x) + a x + b� Cách Liên kết với bình phương � � � p f ( x) + a �� Ta có x + b�dx � p p ( p ) ( ) � =� f ( x) � � �dx + 2�a x + b f ( x) dx + �a x + b dx 0 p 2 a � =� f ( x) � � �dx + 2( a + b) + + ab + b Phân tích 2( a + b) + � � a2 + ab + b = � b + a +1� + ( a + 6) - � � � � � � 3 18 Câu 118 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2], thỏa �x f ( x) dx = 31 Giá trị nhỏ tích phân �f ( x) dx A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta D 923521 2� 2 � �2 � � �� 2 �� 2 � � � � � � � � � � � 4 2 4 � � � � � � � � � 31 = � =� �� x f ( x) dx� �x xf ( x) dx� �x dx�� x f ( x) dx� �x dx� �f ( x) dx � � � � � � � � � � � � � � � � �1 � � � � � 1 1 �1 � Suy 314 f x d x � = 3875 ( ) � �2 � � � � � � �x dx� � � � �1 � � f ( x) = 5x2 Dấu '' = '' xảy f ( x) = kx nên k�x dx = 31� k = �� Đáp án B Câu 119 Cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm đến cấp [ 0;2] thỏa f( 0) - ( 1) + f ( 2) = Giá trị nhỏ tích phân f ''( x) � �� dx A 3 B C D Lời giải Ta có � � � x f '' x dx� � f ''( x) � x dx.� f ''( x) � ( ) � � � �� dx = 3� � �dx � 3� � � � �0 � 0 1 2 Holder 48 { udv==x f ''( x) dx = 3� f'( 1) + ( 0) - f ( 1) � � �; 2 �2 � Holder 2 � � � �dx = ( x - 2) dx � �dx � 3� � f '' x f '' x x f '' x d x ( ) ( ) ( ) ( ) � � �� 1 1 { ud=v=x-f ''2( x) dx = 3� - f'( 1) + ( 2) - f ( 1) � � � Suy � f ''( x) � f'( 1) + �� dx �3� � - '( 1) + f( 2) ( 0) - f( 1) � �+ 3� ( 1) � � � f( 0) - ( 1) + f ( 2) � �= �3 � 2 Đáp án B ( a + b) Nhận xét: Bài giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a2 + b2 � Câu 120 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm [1;3] f '( x) � �� dx f ( x) = 10 f ( 1) = 0, max [1;3] Giá trị nhỏ tích phân A B C 10 Lời giải max f x = 10 �� $ x � ;3 ( ) [ ] f x Vì [1;3] cho ( ) = 10 f ( 1) =0 ��$x0 �( 1;3] D 20 cho f ( x0 ) = 10 Theo Holder x0 x0 �x0 � x0 2 � � � � � � f ' x d x � d x f ' x d x = x f '( x) � dx ( ) � ( )� ( ) �� 1 � 1 Mà �x0 � � � � �= � � f '( x) dx� �f ( x) � � � � � � � � � �1 � x0 Từ suy 2 � � � = ( f ( x0 ) - f ( 1) ) = 10 � � � 10 0- f '( x) � �� dx � x x0 x0 2 10 10 � � �� f '( x) � f '( x) � � �dx �� dx � x - �3- 1 Đáp án B 49 ... ( x) dx �� ( ) � 3 1 �f ( x)dx Tích phân A 8ln2 27 ln2 27 B C D Lời giải Nhận thấy có tích phân khác cận �f ( x) dx Bằng cách đổi biến x = t3 ta thu tích phân 2 1 3� t2 f ( t3 ) dt = 3�... x) dx = Tích phân A �f ( x) dx B Hàm dấu tích phân C 2 � f� ( x) � � �, x f ( x) �x f ( x) dx = 1 x3 f ( x) - � x3 f '( x) dx 30 suy �x D Lời giải khơng có mối liên hệ với Dùng tích phân phần... x) dx = Tích p �xf ( x) dx phân A - p B - p C p D p Lời giải Hàm dấu tích phân f ( x) f '( x) sin x , khơng thấy liên kết p Do ta chuyển thông tin f '( x) sin x f ( x) cách tích phân phần