120 bài tập tích phân vận dụng cao

TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa f ( x) + f ( 1- x) = 1- x2 Giá trị tích phân ị f '( x) dx A B C D Lời giải Ta có ị f ¢( x) dx = f ( x) = f( 1) - ( 0) ìï f( 0) + ( 1) = f ( x) + f ( 1- x) = 1- x2 ắắ đ ùớ ùù f( 1) + ( 0) = ỵ Từ Vậy I = ò f '( x) dx = f( 1) - f ( x) ( 0) = + = Đáp án C Câu Cho hàm số ìï ïï f ( 0) = - ï íï ïï ïï f ( 1) = ïỵ có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn f( 0) = ( 1) = Biết ò e éëf ( x) + f ¢( x) ùûdx = ae+ b Tính Q = a x 2018 + b2018 A Q = 22017 +1 B Q = Ta có 1 / x x x ị e éëf ( x) + f ¢( x) ùûdx = ị éêëe f ( x) ùúû dx = éêëe f ( x) ùúû = ef( 1) Suy C Q = Lời giải 0 ( 0) D Q = 22017 - f( 0) = ( 1) =1 = e- ïìï a = 2018 ¾¾ ® Q = a2018 + b2018 = 12018 +( - 1) = í ïïỵ b = - Đáp án B Câu Cho hàm số y = f ( x) , y = g( x) có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn ò f '( x) g( x) dx = 2, 2 ò f ( x) g'( x) dx = A B I = - Ta có / ù Tính tích phân I = ị é ëf ( x) g( x) û dx / I = C I = Lời giải D I = ù é ù I = òé ëf ( x) g( x) û dx = ò ëf '( x) g( x) + f ( x) g'( x) ûdx 2 = ò f '( x) g( x) dx + ò f ( x) g'( x) dx = 2+ = 0 Đáp án C Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục [ 0;+¥ ) thỏa x2 ị f ( t) dt = x.sin( px) Tính ổ1ử p ữ =- ữ A f ỗỗỗố ứ ữ ổ1ử ữ= B f ỗỗỗố ÷ ø 4÷ x2 Từ ò f ( t) dt = x.sin( px) , đạo hàm hai vế ta c ổ1ử ữ= C f ỗỗỗố ữ ứ 4ữ Lời giải 2xf ( x2 ) = sin( px) + px cos( px) Cho x = ỉ1÷ ỉ1÷ p p p = sin + cos = 1ắắ đ ỗ = ữ ữ ta c fỗỗố ỗ ữ ữ ỗ4ứ ố ỗ4ứ 2 ỏp ỏn C ổ1ữ fỗ ữ ỗ ữ ỗ ố4ứ ổ1ử p ữ= 1+ D f ỗỗỗố ữ ứ 4ữ x Câu Cho hàm số f ( x) liên tục [ a;+¥ ) với a> thỏa ò f ( t) a A f ( 4) = x ò Từ a f ( t) B f ( 4) = dt + = x , t2 đạo hàm hai vế ta t2 dt + = x C f ( 4) = Lời giải f ( x) x2 = x với x > a Tính f ( 4) D f ( 4) = 16 ® f ( 4) = 4 = Suy f ( x) = x x ¾¾ Đáp án C Vấn đề Kỹ thuật đổi biến 2017 Câu Cho ò f ( x) dx = e2017 - Tính tích phân I = A ị B I = x f éln( x2 +1) ù dx ú ë û x2 +1 ê C I = Lời giải I = D I = 2xdx xdx dt ® = Đặt t = ln( x +1) , suy dt = ¾¾ x +1 x +1 ìï x = ® t = Đổi cận: ïíï 2017 ïỵ x = e - ® t = 2017 2017 2017 1 I = f t d t = ( ) Khi ị f ( x) dx = 2.2 = 2ò 0 Đáp án A Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ ò f A I =  Xét ò  Xét x B I = f ( x) dx = Đặt t = x Đổi cận ( x) dx = 4, ïìï x = 1® t = í ùùợ x = đ t = x ị t2 = x, f ò f ( sin x) cos xdx = ò f ( sin x) cos xdx = Tính tích phân I = ò f ( x) dx 0 C I = Lời giải Suy = ò p p D I = 10 suy 2tdt = dx ( x) dx = x 3 ® ò f ( t) dt = ò f ( t) 2dt ¾¾ 1 Đặt u = sin x, suy du = cos xdx Đổi cận ìï x = ® u = ïï í ùù x = p đ u = ùợ p 0 Suy = ò f ( sin x) cos xdx = ò f ( t) dt Vậy I = ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = 0 Đáp án C Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ A I = Xét B I = p 0 ò f ( tan x) dx = 4, ò x2 f ( x) x2 +1 C I = Lời giải p ò f ( tan x) dx = Đặt t = tan x, suy dt = dt dx = ( tan2 x +1) dx ¾¾ ® dx = cos x 1+ t2 dx = Tính tích phân I = ò f ( x) dx D I = Đổi cận: ïìï x = ® t = ï í ïï x = p ® t = ỵï p 1 Khi = ò f ( tan x) dx = ò f2 ( t) dt = ò f2( x) dx 1 Từ suy I = ị f ( x) dx = ò 0 f ( x) x +1 dx + ò x2 f ( x) x2 +1 t +1 x +1 dx = + = Đáp án A Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn p e2 ò tan x f ( cos x) dx = 1, ò e I =ò f ( 2x) x ln x dx = Tính tích phân dx x f ( ln2 x) A I = B I = C I = Lời giải D I = p ● Xét A = ò tan x f ( cos2 x) dx = Đặt t = cos2 x ® tan xdx = Suy dt = - 2sin x cos xdx = - 2cos2 x tan xdx = - 2t.tan xdx ¾¾ Đổi cn: dt 2t ỡù x = ắắ đ t =1 ïï í ïï x = p ¾¾ ®t = ïïỵ 2 Khi 1= A = - 1 f ( x) f ( t) f ( t) f ( x) d t = d t = d x ¾¾ ® dx = ò ò ò ò 21 t 21 t 21 x x e2 ● Xét B = ò e Suy du = f ( ln x) 2 x ln x dx = Đặt u = ln2 x 2ln x 2ln2 x 2u dx du dx = dx = dx ắắ đ = x x ln x x ln x x ln x 2u ỡù x = eắắ đ u =1 i cn: ùớù đu= ùợ x = e ¾¾ 4 f ( x) f ( u) f ( x) = B = d u = d x ắắ đ dx = Khi ị ị ị 21 u 21 x x ● Xét tích phân cần tính Đặt Khi I =ị f ( 2x) x dx ìï ìï ïï dx = dv ïï x = ắắ đv= ùù v = 2x, suy í Đổi cận: íï ïï v ïï x = ắắ đ v = ùù x = ïỵ ỵï 4 f ( v) f ( x) f ( x) f ( x) I =ò dv = ò dx = ò dx + ò dx = 2+ = v x x x 1 1 2 Đáp án D é1 ù ë2 û ỉ1÷ = x2 + + Tính tích phân ÷ ÷ xứ x ;2ỳ, f ( x) + f ỗ Cõu 10 Cho hàm số y = f ( x) xác nh v liờn tc trờn ỗ ỗ ỳ thỏa è I =ò f ( x) x2 +1 A I = dx B I = C I = D I = Lời giải t Đặt x = , suy dx =- dt t2 ỡù ùù x = ắắ đt = 2 ïïí ïï ®t = ïï x = ắắ ùợ i cn: ổử ổử ổ1ử 1ữ 1ữ ç ç ÷ fç ÷ ÷ 2 fç ÷ ç ç ÷ỉ 1ư ÷ ÷ çt ø çt ø çxø è è è ÷ ç ç- ÷ dt = ị dt = ị dx Khi I = ũ ữ ỗ ố t ứ t +1 x +1 1 + 2 t2 ổ1ữ ổ1ử ữ ỗ x) + f ỗ ( ữ 2 fỗ ữ 2 x + +2 ỗ ứ ữ ỗ ỗ f ( x) èxø è x÷ x2 Suy 2I = ị dx + ò dx = ò dx = ò dx 2 x +1 x +1 x +1 x +1 1 1 2 =ị 2 2 ỉ 1ư ỉ 1ử x +1 dx = ũỗ 1+ ữ dx = ỗ x- ữ đI = ữ ữ ỗ ỗ = ắắ ữ ữ ỗ ç è x ø è xø x 2 2 Đáp án A Câu 11 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa f ( x) + f ( - x) = 2+ 2cos2x với x Ỵ ¡ 3p Tính I = ò f ( x) d x - 3p A I = - B I = ® dx = - dt Đổi cận: Đặt t = - x ¾¾ - 3p C I = - Lời giải D I = ìï ïï x = - 3p ® t = 3p ïï 2 í ïï 3p 3p ® t =ïï x = 2 ïỵ 3p 3p ò f ( - t) dt = ò f ( - t) dt = ò f ( - x) dx Khi I = - 3p - 3p - 3p 3p 3p 3p CASIO ù ® I = Suy 2I = ò é ëf ( t) + f ( - t) ûdt = ò + 2cos2tdt = ò cost dt = 12 ¾¾ - 3p - 3p - 3p Đáp án D Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ , thỏa f ( x + 4x + 3) = 2x +1 với x Ỵ ¡ Tích phân ị f ( x) dx - A B 10 C 32 D 72 Lời giải Đặt x = t5 + 4t + 3, suy dx = ( 5t + 4) dt Đổi cận Khi 1 - - - ïìï x = - đ t =- ùùợ x = ® t = 4 ị f ( x) dx = ò f ( t + 4t + 3)( 5t + 4) dt = ò( 2t +1) ( 5t + 4) dt = 10 Đáp án B Câu 13 Cho hàm số f ( x) , g( x) liên tục [ 0;1], thỏa m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) với m, n số thực khác ò f ( x) dx = ò g( x) dx = A m+ n = Tính m+ n B m+ n = C m+ n = D m+ n = Lời giải Từ giả thiết m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) , lấy tích phân hai vế ta 1 ò éëm f ( x) + n f ( 1- x) ùûdx = ò g(x)dx Suy m+ nò f ( 1- x) dx = (do Xét tích phân ị f ( 1- x) dx Khi ị f ( x) dx = ò g( x) dx = 1) ( 1) 0 ìï x = ® t = Đặt t = 1- x , suy dt = - dx Đổi cận: ïíï x = 1đ t = ùợ ũ f ( 1- x) dx = - 1 ò f ( t) dt = ò f ( t) dt = ò f ( x) dx = 1 ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy m+ n = Đáp án C Câu 14 Cho hàm số f ( x) xác định liên tục [ 0;1,] thỏa mãn f '( x) = f '( 1- x) với x Ỵ [ 0;1.] Biết f( 0) = 1, ( 1) = 41 Tính tích phân I = ị f ( x) dx A I = 41 B I = 21 C I = 41 Lời giải D I = 42 ® f ( x) = - f ( 1- x) +C Ta có f '( x) = f '( 1- x) ¾¾ f( 0) =1, ( 1) =41 ¾ ¾ ¾¾ ® C = 42 Suy f( 0) = - ( 1) +C ắắ đ f ( x) + f ( 1- x) = 42 Suy f ( x) = - f ( 1- x) + 42 ¾¾ 1 0 ự ắắ đ ũộ ởf ( x) + f ( 1- x) ûdx = ò 42dx = 42 ( 1) ( 2) ® ị f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx Vì f '( x) = f '( 1- x) ¾¾ 0 Từ ( 1) ( 2) , suy ò f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx = 21 0 Đáp án B Câu 15 Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f ( x) = x với x Ỵ ¡ Tính I = ị f ( x) dx A I =- B I = C I =- Lời giải Đặt u = f ( x) , ta thu u + u = x Suy ( 3u +1) du = dx ïì x = ® u = Từ u3 + u = x , ta đổi cận ïíï x = ® u = Khi I = ị u( 3u +1) du = ïỵ Đáp án D Cách khác Nếu tốn cho f ( x) có đạo hàm liên tục ta làm sau: ïìï f3 ( 0) + ( 0) = ïìï f ( 0) = f x + f x = x ắắ đ ®í ( ) ( *) í Từ giả thiết ( ) ïï f ( 2) + ( 2) = ïï f ( 2) = ỵ ïỵ 3 Cũng từ giả thiết f ( x) + f ( x) = x , ta có f '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) = x f '( x) 2 0 ò éêëf '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) ùúûdx = ị x f '( x) dx Lấy tích phân hai vế æéf ( x) ù éf ( x) ự ỗở ữ ỷ +ở ỷữ ữ = xf ( x) ắắ đỗ ỗ ữ ỗ ữ ứ ỗ ữ0 ỗ ố 4 2 - ( *) ò f ( x) dx ắắđ ũ f ( x) dx = 0 Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần D I = f ( x) ị x f ¢( x) e dx = Câu 16 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn A I = B I = 11 ïì u = x ị t ùớù f ( x)  îï dv = f ( x) e dx f( 3) Suy = 3.e - 0 C I = 8- ln3 Lời giải ïì du = dx íï ïï v = ef ( x) Khi ỵ 3 f ( x) f ( 3) = ln3 Tính I = ị e dx f ( x) f ( x) ò x f ¢( x) e dx = x.e D I = 8+ ln3 f ( x) òe - dx ( x) ® ị ef ( x) dx = 9- = ị e dx ¾¾ Đáp án A é pù 0; ú, thỏa mãn Câu 17 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ê ê ë 2ú û p ò f ( x) sin2xdx p ò f '( x) cos xdx = 10 f ( 0) = Tích phân A I = - 13 B I = - C I = Lời giải p ïìï u = cos2 x Þ Xét ò f '( x) cos xdx = 10 , đặt íï dv = f '( x) cos2 xdx ï î p p D I = 13 ïì du = - sin2xdx íï ïï v = f ( x) ỵ p Khi 10 = ò f '( x) cos2 xdx = cos2 xf ( x) + ò f ( x) sin2xdx 0 p p 0 Û 10 = - f( 0) + ũ ( x) sin2xdx ắắ đ ò f ( x) sin2xdx = 10 + f ( 0) = 13 Đáp án D Câu 18 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn ò f ( x - 1) dx = f ( 1) = Tích phân 1 ị x f '( x ) dx A - 1 B - C D Lời giải Ta có ị f ( x - 1) dx = ắắ ắđ ũ f ( t) dt = hay ò f ( x) dx = t=x- 1 Xét 1 ïì u = x 1 ị x f '( x ) dx ắắắđ ũ tf '( t) dt = ò xf '( x) dx Đặt ïíïï dv = f '( x) dx Þ t=x2 0 Khi ỵ 1 1é t=x2 êxf ( x) x f ' x d x ắắắ đ tf ' t d t = ( ) ( ) ê ò ò 20 2ê 0 ë 1 ïìï du = dx í ïï v = f ( x) ỵ ù ú= [ 4- 3] = f x d x ( ) ú ò ú û Đáp án C Câu 19 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0;2] Biết f ( 0) = ( x3 - 3x2 ) f '( x) f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x với x Ỵ [ 0;2] Tính tích phân I = ò dx f ( x) A I = - 14 B I = - 32 2x2 - 4x x=2 C I =Lời giải Từ giả thiết f ( x) f ( 2- x) = e ắắắ đ f ( 2) = 16 D I = - 16 Ta có I = ị (x - 3x2 ) f '( x) dx Đặt f ( x) I = ( x3 - 3x2 ) ln f ( x) Khi ìï u = x3 - 3x2 ïï ùớ ị f '( x) ùù dv = dx ùùợ f ( x) 2 6x) ln f ( x) dx = - 3ò( x2 - 2x) ln f ( x) dx = - 3J 0 x=2- t ị éêë( 2- Ta có J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx = f ( 2) =1 ò( 3x - - ïì du = ( 3x2 - 6x) dx ïíï ïï v = ln f ( x) ïỵ 2 t) - 2( 2- t) ù ln f ( 2- t) d( 2- t) ú û 2 = òé ln f ( 2- x) d( 2- x) = ò( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx ( 2- x) - 2( 2- x) ù ê ú ë û 2 2 0 2 Suy 2J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx + ò( x - 2x) ln f ( 2- x) dx = ò( x - 2x) ln f ( x) f ( 2- x) dx 2 32 16 = ò( x2 - 2x) ln e2x - 4xdx = ò( x2 - 2x)( 2x2 - 4x) dx = ắắ đJ = 15 15 0 16 Vậy I =- 3J =Đáp án D Câu 20 Cho biểu thức p ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 2cot x ữ S = lnỗ 1+ ũ ( 2- sin2x) e dxữ , ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ n ữ ỗ ố 4+m2 ứ vi s thc mạ Chọn khẳng định khẳng định sau A S = B S = æ p ữ ổ p ữ sin ữ+ 2lnỗ ữ ç ÷ ç + m2 ø ø è + m2 ÷ ỉ p ỉ p ÷ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ+ 2lnố ữ ỗ4 + m2 ứ + m2 ứ C S = 2cotỗỗố ç D S = 2tanççè ç Lời giải p ò ( 2- Ta có sin2x) e2cot xdx = p 4+m2 ò p ò e2cot x dx - p p ò sin2xe2cot xdx = p ò 4+m2 p 2cot x e2cot xd( sin2 x) = sin2 x.e 4+m2 p 2cot x = sin2 x.e p p 4+m2 p 4+m2 ( 1) sin2xe2cot xdx p 4+m2 p Xét p - ị p ỉ ữ 2cot x sin2 xỗ e dx ữ ç ÷ ç è sin xø 4+m2 p +2 p 4+m ò ( 2) e2cot x dx p 4+m2 p 2cot x Từ ( 1) ( 2) , suy I = sin x.e p 2cot p = - 1+ sin e 4+m 4+ m p 4+m2 p ỉ 2cot ỉ p ÷ ỉ p p ÷ 4+m2 ữ ữ ỗ ắắ đ S = lnỗ sin e = 2cotỗ sin ữ+ 2lnỗ ữ ữ ç ç ç 2÷ 2÷ ÷ ç ç è ø è ø ÷ + m + m + m ỗ ố ứ ỏp ỏn C Vn đề Tính a, b, c tích phân Câu 21 Biết ò ln( 9- x2 ) dx = aln5+ bln2 + c vi a, b, cẻ  Tớnh P = a + b + c A P = 13 Đặt B P = 18 C P = 26 Lời giải ìï u = ln( 9- x2 ) ïìï du = - 2x dx ïí Þ íï 9- x2 ïï dv = dx ïï ïỵ ïỵ v = x + D P = 34 2 Khi I = ( x + 3) ln( 9- x ) + 2ò x( x + 3) 9- x2 ỉ ữ dx = 5ln5- 4ln8+ 2ũỗ - 1+ ữ ỗ ữdx ỗ ố ứ x ùỡù a = ï = 5ln5- 12ln2- 2( x + 3ln 3- x ) = 5ln5- 6ln2- ắắ đ ùớ b= - đ P = 13 ùù ùùợ c = - 2 Đáp án A Nhận xét Ở chọn v = x + thay x để rút gọn cho 9- x2 , giảm thiểu biến đổi æ px3 + 2x + ex3 2x 1 e ÷ ị p + e.2x dx = m+ eln n.lnỗỗỗốp+ e+ pứữ ữ Cõu 22 Biờt P = m+ n + p A P = Ta có I = ị Tính A = ò B P = C P = Lời giải ỉ3 px3 + 2x + ex3 2x 2x ữ ỗ ữdx = x4 d x = x + ỗ x xữ ũ ữ ỗ p + e.2 p + e.2 ø è +A = D P = + A x dx p + e.2x ® dt = e.ln2.2x dx ắắ đ 2x dx = t t = p + e.2x ¾¾ dt eln2 ïìï x = ® t = p + e í ùùợ x = 1đ t = p + 2e i cận: p+2e dt Khi A = e.ln2 ò t = e.ln2 ln t p+e Vậy với m, n, p số nguyên dương Tính tổng p+2e p+e = ỉ p + 2e e ữ ln = lnỗ 1+ ữ ỗ ữ ỗ eln2 p + e eln2 è e+ p ø ïìï m= ỉ 1 e ï ÷ I = + lnỗ đ ùớ n = ị P = m+ n + p = ữ ỗ1+ ữắắ ùù ố e+ p ứ eln2 ỗ ùùợ p = Đáp án C Câu 23 Biết p ò x2 +( 2x + cos x) cos x +1- sin x x + cos x dx = ap2 + b- ln A P = B P = c p với a, b, c số hữu tỉ Tính P = ac3 + b C P = D P = Lời giải p Ta có I = ị ( x2 + 2x cos x + cos2 x) +( 1- sin x) x + cos x p =ò ( x + cos x) p 2 x + cos x dx + ò p dx p d( x + cos x) 1- sin x dx = ò( x + cos x) dx + ò x + cos x x + cos x 0 p ỉ1 ư2 p 2 =ỗ x + sin x + ln x + cos x ÷ ÷ = p +1+ ln = p +1- ln ỗ ữ ỗ ố2 ứ 8 p ìï ïï a = ïï ï ¾¾ ® í b = ¾¾ ® P = ac3 + b = ïï ïï c = ïï ïỵ Đáp án C ln Câu 24 Biết ị ln A P = - 1 b dx = 1+ ln + a a a e +1- e 2x x B P = b với a, b ẻ  + Tớnh P = a+ b C P = Lời giải D P = ln Ta có I = ị 2x dx = ò( ln ) e2x +1+ ex dx = ln ln ò e2x +1dx + ln ò e dx x ln ln ò e dx = e x x e +1- e ln ln  ln x = 2- ln ln ln  ò e2x +1dx Đặt t = e2x +1 Û t2 = e2x +1, suy 2tdt = 2e2xdx Û dx = ln tdt tdt = e2x t2 - ìï x = ln ® t = ï i cn: ớù ùợ x = ln đ t = ln Khi ị ln Vậy ỉ t- 1÷ ư3 ỉ t2dt ữ ỗt + ln ỗ dt = + d t = ÷ = 1+ ln ữ ỗ ỗ 2 ũ ữ ữ ç ÷ ç è t - 1ø 2 t - è t +1 ø 2 e2x +1dx = ũ ùỡ a = ắắ đ ùớ ắắ đ P = a + b = ïïỵ b = 3 I = 1+ ln + 2 2 Đáp án D Câu 25 Biết dx ò ( x +1) x + x x +1 A P = 12 b- c vi a, b, c ẻ  + Tớnh P = a + b+ c B P = 18 Ta có = a- I =ị dx x( x +1) ( C P = 24 Lời giải x +1+ x =ò ) x +1 + x x( x +1) ổ ỗ t u = x +1+ x , suy du = ỗỗố x +1 + ( x +1+ x ) D P = 46 dx ö x + x +1 ữ ữ dx ắắ đ 2du = dx ữ ÷ xø x( x +1) 3+ ìï x = ® u = + du ï Khi I = ị = i cn ớù ùợ x = 1đ u = +1 2+1 u u 3+ 2+1 æ = - 2ỗ ỗ ỗ ố 3+ ữ ữ ÷ ÷ +1ø ïìï a = 32 ï 12 - ắắ đ ùớ b = 12 ắắ ® P = 46 ïï ïïỵ c = ỉ 3- 2 - 1ử ữ ữ ỗ = - 2ỗ ữ= 32 ỗ ữ ỗ 3- 2- ø è Đáp án D p sin4x Câu 26 Biết ò 2 cos x +1 + sin x +1 A P = 10 dx = a +b + c vi a, b, cẻ  Tính P = a + b + c B P = 12 p Ta có I = ị p sin4x C P = 14 Lời giải cos x +1+ sin x +1 dx = 2ị ® dt = - 2sin2xdx Đổi cận: Đặt t = cos2x ¾¾ Khi I =- 2ị 1 t 3+ t + 3- t dt = 2ò D P = 36 2sin2x cos2x 3+ cos2x + 3- cos2x dx ïìï x = ® t = ï í ïï x = p ® t = ỵï t 3+ t + 3- t dt = 1 ò( 3+ t - ) 3- t dt ïìï a = 16 1 é2 16 - 12 + 3ù ï ê ( 3+ t) + = ¾¾ ® ïí b = - 12 ® P = 36 ( 3- t) ú = ïï ê ú ë3 û0 ïïỵ c = Đáp án D Câu 27 Biết ò A P = - x + ex + dx = a + eb - ec vi a, b, cẻ  Tớnh P = a+ b+ c 2x 4x xe B P = - C P = - D P = Lời giải 4 ị Ta có =ò ( e + x) ( 2e x) x x + ex e2x + 4x + 4ex x + dx = ò dx = ò 2x 4x 4xe2x xe 1 x dx 4 ổ1 ổ 1ử 1ử 1 ữ ỗ dx = ũỗ + xữ ữ d x = x = 1- + = 1+ e- - e- ữ ỗ ỗ xữ ữ ỗ ỗ ữ ố ø e e e e è ø x x 1 ex + x 2ex ìï a = ùù ắắ đ ùớ b = - ¾¾ ® P = a + b+ c = - ïï ïïỵ c = - Đáp án B 2+ x ò Câu 28 Biết 2- x dx = ap + b + c với a, b, cẻ  Tớnh P = a + b+ c A P = - B P = C P = Lời giải D P = é pù 0; ú Suy x = 4cos2 u ¾¾ ® dx = - 4sin2udu Đặt x = 2cosu với u Ỵ ê ê 2û ú ë ìï p ïï x = ắắ đu= ùùớ ùù p đu= ùù x = ắắ ợù i cn p p 4 u cos 2+ 2cosu sin u.cosudu sin2udu = 8ò u 2- 2cosu p sin p p Khi I = 4ò p p p 4 u = 16ò cos2 cosudu = 8ò( 1+ cosu) cosudu = 8ò cosudu + 4ò( 1+ cos2u) du p p p p p = 8sin u p2 +( 4x + 2.sin2u) ìï a = ïï = p - + ắắ đ ùớ b = - ắắ đ P = ùù ùùợ c = p p Đáp án C e Câu 29 Biết I = ò ln2 x + ln x b dx = a ( e+ 2) ( ln x + x +1) A P = - e Ta cú vi a, b ẻ  + Tính P = b- a B P = - ln2 x + ln x ò ( ln x + x +1) e dx = ò C P = Lời giải D P = 10 ln x +1 ln x dx ln x + x +1 ( ln x + x +1) / Đặt ỉ ln x +1 ÷ ln x +1 ln x t= ắắ đ dt = ỗ dx ữ dx =ỗ ỗ ốln x + x +1ữ ứ ln x + x +1 ( ln x + x +1) Đổi cận: ìï ïï x = 1® t = ïï í ïï x = e ® t = ïï e+ ïỵ e+2 Khi I = - ị tdt = - t2 2 e+2 2 = ( e+ 2) Đáp án B p Câu 30 Biết x cos x ò - 1+ x2 + x p dx = a + A P = - 37 p Ta có I = ò p p2 3p + b c với a, b, c số nguyên Tính P = a- b+ c B P = - 35 x cos x 1+ x2 + x p dx = ò x cos x p ( C P = 35 Lời giải ) p 1+ x2 - x dx = ò x p 10 ( D P = 41 ) 1+ x2 - x cos xdx f ( x) Câu 92 Cho hàm số ò A ù 1+ x2 é ëf '( x) û dx = ) f ( x) ị Tích phân ln( 1+ 2) ln 1+ ( có đạo hàm liên tục [ 0;1], 1+ x2 dx C ln 1+ 2- ln 1+ ( B ) ( f( 0) = 0, ( 1) = thỏa mãn ) D ( ) ( ) - ln 1+ Lời giải Tương tự trước, ta có ị f '( x) dx = f ( x) 0 = f( 1) - ( 0) = ù 1+ x2 é ëf '( x) û Do ta có hàm dấu tích phân f '( x) nên liên kết với bình phương é ù ê4 1+ x2 f '( x) + a ú ê ú 1+ x2 û ê ú ë 1 ® f '( x) = Ta tìm a = - ln 1+ ¾¾ ln( 1+ 2) 1+ x2 ( ) ắắ đ f ( x) = ( ) ln 1+ ò dx = 1+ x ( ® f ( x) = Mà f( 0) = 0, ( 1) = 1Þ C = ¾¾ Vậy ị = f ( x) 1+ x ( ) ln 1+ dx = ( ln 1+ ( ò 2) ln2 x + 1+ x2 ( ln x + 1+ x2 1+ x ) ) ln 1+ ( ) ln x + 1+ x2 +C ( ln x + 1+ x2 ( ) ln 1+ ) dx = ( ) 1 ò ln( x + 2) ln 1+ ) ( ) é ù 1+ x2 d êln x + 1+ x2 ú ë û = ln 1+ ( ) Đáp án C Cách Theo Holder ổ1 ữ ữ ỗ 12 = ỗ f ' x d x = 1+ x2 f '( x) dx £ ( ) ÷ ç ị ị ÷ ç ÷ è0 ø 1+ x2 = ( ) ln 1+ ( ò ù 1+ x2 é ëf '( x) û dx.ò dx 1+ x2 ) ln 1+ = 1 Câu 93 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [- 1;1,] thỏa mãn f ( - 1) = 0, ò éëf '( x) ùû dx = 112 - 1 ò x f ( x) dx = - A 16 Tính tích phân I = ò f ( x) dx 84 I = - B 35 I = C I = 35 D I = 168 Lời giải òx Như trước, ta chuyển f ( x) dx = - ìï u = f ( x) ï Þ í ïï dv = x2dx ỵ ị x f ( x) dx = - thông tin f '( x) cách tích phân phần Đặt ìï du = f '( x) dx ïï íï ïï v = x ïïỵ Khi 16 x3 f ( x) - 1 - 1 1 x3 f '( x) dx = f( 1) + ( - 1) - ò x3 f '( x) dx ò 3- 3 3- giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau 35 Tới ta bị vướng f ( 1) ìï du = f '( x) dx ïï ïí ïï v = x + k ïïỵ 1 3 ỉx ỉx ữ ữf ( x) - ũỗ ữf '( x) dx ỗ + kữ ữ ũ x f ( x) dx = ỗỗỗố + kứữ ữ ữ ỗ - è3 ø - - ìï u = f ( x) ï Þ í ïï dv = x2dx ợ Khi ú ổ =ỗ + kữ ữ ç ÷f ( 1) ç è3 ø ỉ1 ç - + kữ ữ ỗ ữf ( - 1) ỗ è ø 1443 444424 444443 với k số ổx3 ữ ữf '( x) dx ũỗỗốỗ + k÷ ÷ ø - =0 f ( - 1) =0 1 +k = Û k =- 3 Ta chọn k cho Khi 1 16 = ị x2 f ( x) dx = - ò( x3 - 1) f '( x) dx ắắ đ ũ( x3 - 1) f '( x) dx = - 16 -1 3- - 2 éf '( x) + a ( x3 - 1) ù ù Hàm dấu tích phân é ê ú ëf '( x) û , ( x - 1) f '( x) nên ta liên kết với ë û ® f '( x) = - 7( x3 - 1) Þ f ( x) = - 7ị( x3 - 1) dx = Ta tìm a = ắắ 35 35 ắắ ắắ đC = ắắ đ f ( x) = - x4 + 7x + 4 f ( - 1) =0 Vậy I = ò f ( x) dx = - x + 7x +C 84 Cách Theo Holder ỉ1 ữ Ê ( - 16) = ỗỗỗũ( x3 - 1) f '( x) dxữ ữ ữ ỗ ữ ố- ø ò( x - 1 16 ù - 1) dx.ò é ëf '( x) û dx = 112 = 256 - 2 Câu 94 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa mãn f ( 1) = 0, ò éëf '( x) ùû dx = - 2ln2 f ( x) ò ( x +1) dx = 2ln2- A ò f ( x) dx Tích phân 1- ln2 B 1- 2ln2 C 3- 2ln2 D 3- 4ln2 Lời giải f ( x) Như trước, ta chuyển ò ( x +1) dx = 2ln2- thông tin f '( x) cách tích phân ìï u = f ( x) ìï du = f '( x) dx ïï ïï ïí phần Đặt ï dv = dx Þ íï ïï ïï v = ( x +1) x +1 ïỵ ïỵ 1 f ( x) f ( x) f '( x) f( 1) ( 0) f '( x) d x = + d x = + +ị dx Khi ị x +1 ò x +1 x +1 ( x +1) 0 thiết không cho Do ta điều chỉnh lại sau ìï u = f ( x) ìï du = f '( x) dx ï ï Khi f ( x) ị ( x +1) f ( 1) =0 = ổ dx = ỗ ỗ ỗ ố - ( - 1+ k) f ( 0) - Ta chọn Khi ú cho 2ln2- ổ ũỗỗỗố0 k ùù ị í dx ïï dv = ïï ( x +1) ợ 1 ổ ỗ + kữ f x ( ) ữ ỗ ũ ữ ỗ ố x +1 ø 0 ï í ïï v = - + k ïïỵ x +1 Tới ta bị vướng f ( 0) giả với k số + k÷ ÷ ÷f '( x) dx = x +1 ø + k÷ ÷f '( x) dx ÷ x +1 ø - 1+ k = Û k = 1 f ( x) =ò dx = ( x +1) 1 x x ò x +1 f '( x) dx ắắđ ũ x +1 f '( x) dx = - 2ln2 0 36 x f '( x) x +1 ù Hàm dấu tích phân é ëf '( x) û , Ta tìm é f '( x) + a nên ta liên kết với ê ê ë x x a = - 1¾¾ ® f '( x) = Þ f ( x) = ò dx = x - ln x +1 +C x +1 x +1 f ( 1) =0 ắắ ắđ C = ln2- 1ắắ đ f ( x) = x - ln( x +1) + ln2- ò f ( x) dx = Vậy x ù ú ú x +1û 1- 2ln2 Đáp án B Cách Theo Holder Câu 95 Cho 2 1 ù ỉ x ư2 ỉ é ỉ3 ưỉ3 x ỳ ữ ữ ỗ ỗ ç ù 2ln2 = f ' x d x £ d x - 2ln2÷ - 2ln2÷ ( ) ÷ êị ữ ũộ ữỗ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỳ ũố ëf '( x) û dx = è ÷ ÷ ÷ ç2 çx +1÷ ç2 ç2 è ø ê0 x +1 ø ø è ø ú 0 ë û hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2], đồng biến [1;2], thỏa mãn 2 ò éëf ¢( x) ùû dx = ị f ( x) f '( x) dx = 1 A Tích phân ị f ( x) dx khai triển vướng C 2 éf ¢( x) ù , f ( x) f ¢( x) ë û B Hàm dấu tích phân f ( 1) = , D 2 Lời giải ù ¢ nên ta liên kết với bình phương é ëf ( x) + a f ( x) û Nhưng ò éëf ( x) ùû dx nên hướng không khả thi Ta có 1= ị f ( x) f '( x) dx = f ( x) 2 1 = f2 ( 2) - ( 1) = f ( 2) - ắắ đ f ( 2) = (do ng biến [1;2] nên f( 2) > ( 1) = ) Từ f ( 1) = f ( 2) = ta nghĩ đến ò f '( x) dx = f ( x) = f( 2) - ( 1) = - = 2 é¢ ù ¢ ù ¢ Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û , f ( x) nên ta liên kết với ëf ( x) + a û f ( 1) =0 đ f '( x) = ắắ ® f ( x) = 2x +C ¾¾ ¾® C = - Ta tìm a = - ¾¾ Vậy f ( x) = 2x - 2 ắắ đ ũ f ( x) dx = Đáp án A f ( x) Câu 96 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 1) = , òf ( x) dx = ị éëf ¢( x) ùû f ( x) dx = Giá trị f ( 2) A - B C ( 12 Lời giải 2 f ( x) ¢ ù Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û f ( x) éf ¢( x) f ( x) + a f ( x) ù ë û ) ( 12 Nhưng khai triển vướng òf ( x) f '( x) dx nên hướng khơng khả thi ị f ( x) dx = 1 kết hợp với f ( 1) = 0, ta ò xf ( x) f '( x) dx = Hàm dấu tích phân éf ¢( x) ù f ( x) ë û xf ( x) f '( x) nên ta liên kết với bình phương éf ( x) f '( x) + a xù ë û ) nên ta liên kết với bình phương Tích phân phần D - ® f ( x) f '( x) = Ta tỡm c a = ắắ xị ò f ( x) f '( x) dx = - ị xdx Þ 37 f ( x) =- x +C ( ) ¾¾ ¾® C = f =0 3 ¾¾ ® f ( x) = ( 1- x2 ) ¾¾ ® f2 ( 2) = - Đáp án A f ( x) Câu 97 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;2], thỏa mãn f ( 2) = , òx f ( x) dx = 32 ò éëf '( x) ùû dx = Giá trị tích phân A - 15 ò f ( x) dx 2 B - 7 C - D Lời giải Hàm dấu tích phân tìm khơng éf '( x) ù ë û x f ( x) Lời khuyên đừng có cố liên kết với bình phương nào, có Tích phân phần ò x f ( x) dx = 15 kết hợp với f ( 2) = , ta ịx f ¢( x) dx = 32 Áp dụng Holder lần ta 4 2 ỉ2 ỉ2 ỉ2 ỉ2 ỉ 32ư ÷ ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ   ỗ ỗ ỗ ỗ = x f x d x = x xf x d x £ x d x x2 é f '( x) ù dx÷ ( ) ( ) ÷ ÷ ữ ữ ỗ ữ ỗũ ỗ ỗ ỗ ũ ũ ũ ỷ ỗ ữ ữ ữ ữ ố5 ứ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ è0 ø è0 ø è0 ø è0 ø 2 ỉ2 ổ2 ữ ỗ 4 ữ ữ ộf '( x) ự dxữ ỗ ỗ Êỗ x d x x d x ữ ỗũ ữ ỗ ũ ũ ỷ ữ ữ ỗ ỗ0 ữ ữ ố0 ø è ø ỉ2 ÷ ÷ ç =ç x d x ´ ç ị ø÷ ÷ ç ÷ è0 4 1048576 ỉ 32ư ÷ ũ ộởf '( x) ựỷ dx = 625 = ỗỗỗố ÷ ÷ ø 2 Dấu '' = '' xảy ra, tức xf '( x) = kx Þ f '( x) = kx thay vào ò ộởf '( x) ựỷ dx = ắắ đ f '( x) = x Þ f ( x) = ị xdx = 32 tìm k = x2 f ( 2) =1 +C ắắ ắđ C = - 2 Vậy f ( x) = x2 - 1ắắ đ ũ f ( x) dx = - Đáp án B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có éf '( x) ù + x4 + x4 + x4 ³ 4x3 f '( x) ë û Do 2 0 ò éëf '( x) ùû dx + 3ò x dx ³ 4ò x f ¢( x) dx Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu '' = '' xảy nên f '( x) = x (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM Câu 98 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 1) = ef ( 0) ò dx + òé f '( x) ù dx £ 2 ë û f ( x) A f ( 1) = 2e e- Mệnh đề sau ? B f ( 1) = 2( e- 2) e- C f ( 1) = 2e2 e2 - Lời giải Ta có ò é AM - GM f '( x) 2ù dx éf '( x) ù dx = ê + éf '( x) ù údx ³ + dx 2 ò ò ò ë û ë û ê ú f ( x) f ( x) êf ( x) ú ë û = 2ln f ( x) 1 = 2ln f( 1) - 2ln ( 0) = 2ln f ( 1) f ( 0) = 2ln e= 38 D f ( 1) = 2( e- 2) e- Mà dx + òé f '( x) ù dx £ 2 ë û f ( x) ò nên dấu '' = '' xảy ra, tức f '( x) = f ( x) Û f ( x) f '( x) = f ( x) ắắ đ ũ f ( x) f '( x) dx = ị xdx Û = x +C ¾¾ ® f ( x) = 2x + 2C Theo giả thiết f ( 1) = ef ( 0) nên ta có 2+ 2C = e 2C Û 2+ 2C = e2 2C Û C = e- ¾¾ ® f ( x) = 2x + 2 2e Þ f ( 1) = 2+ = e- e- e- Đáp án C Câu 99 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1,] có đạo hàm dương liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 0) = 1 3ù é3 ò êëf ( x) + éëf '( x) ùû úûdx £ 3ò f '( x) f ( x) dx 0 A I = 2( e- 1) B I = 2( e - 1) Tính I = ò f ( x) dx e- C I = D I = e2 - Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương ta có 3 f ( x) f ( x) 3 f ( x) f ( x) ù = éf '( x) ù + éf '( x) ù f ( x) + é f ' x + ³ = f '( x) f ( x) ( ) ë û ë û ë û Suy Mà é ( x) + éf '( x) ù3 ùdx £ f '( x) f ( x) dx ò ë ûú û ù 4é ởf '( x) ỷ = ắắ đ ộ ( x) + éf '( x) ù3 ùdx ³ f '( x) f ( x) dx ò ë ûú û ò êëf ò êëf f '( x) f ( x) = Þ ị f '( x) f ( x) dx = f ( x) = f ( x) Û f '( x) = f ( x) x+C 1 d x ị ln f x = x + C ắắ ® f x = e ( ) ( ) ò 2 Theo giả thiết nên dấu '' = '' xảy ra, tức x ( f ( 0) = 1Þ C = Þ f ( x) = e2 ắắ đ ũ f ( x) dx = ) e- Đáp án A Câu 100 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1], có đạo hàm dương liên tục [ 0;1], thỏa mãn ò xf '( x) f ( x) dx ³ ỉư ÷ ÷ f ( 0) = 1, f ( 1) = e Tính giá trị f ỗỗỗố ứ 2ữ ổử ổử ữ ữ= A f ỗỗỗố ứ 2ữ Hm di du tớch phân f '( x) f ( x) ỉư ữ ữ= B f ỗỗỗố ứ 2ữ xf '( x) f ( x) = x ÷ ÷= e C f ỗỗỗố ứ 2ữ Li gii f '( x) f ( x) , " x Ỵ [ 0;1 ] ỉư ữ= e D f ỗỗỗố ữ ứ 2ữ iu làm ta liên tưởng đến đạo hàm , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: f '( x) f ( x) + mx ³ m xf '( x) f ( x) với m³ x Ỵ [ 0;1.] Do ta cần tìm tham số m³ cho éf '( x) ù xf '( x) ê údx ³ m + m x dx ò êêf ( x) ò ú f ( x) ú ë û hay ln f ( x) +m x2 ³ m.1 Û ln f( 1) - ln 39 ( 0) + m m ³ m Û 2- + ³ m 2 m = m Û m= f '( x) = 4x f ( x) Để dấu '' = '' xảy ta cần có 2- 0+ Với m= thỡ ng thc xy nờn ắắ đũ f '( x) f ( x) dx = ò 4xdx Û ln f ( x) = 2x2 +C Þ f ( x) = e2x +C ìï f ( 0) = ổử 1ữ ù ị C = ắắ đ f ( x) = e2x ắắ đ fỗ ữ Theo gi thiờt ớù ỗ ữ= e ỗ ố 2ø f = e ïỵ ( ) Đáp án C Cách Theo Holder 2 æ1 xf '( x) ỉ1 f '( x) ÷ ÷ ç ç ÷ ç £ç d x = x dxữ ữ ữ ỗ ỗ ũ ũ ữ ữÊ ç ç ÷ ÷ f ( x) f ( x) ứ ỗ0 ỗ0 ố ứ ố f '( x) Vậy đẳng thức xảy nên ta có f x = kx, thay vào ( ) ò ò xdx.ò 0 xf '( x) f ( x) f '( x) f ( 1) dx = ln = f ( x) f ( 0) dx = ta k = f '( x) Suy f x = 4x (làm tiếp trên) ( ) Câu 101 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa mãn ò éëf ( x) f '( x) ùû dx £ f ( 0) = 1, f ( 1) = ỉư ÷ Tính giỏ tr ca f ỗỗỗố ữ ứ 2ữ ổử ổử ữ ữ A f ỗỗố ữ= ỗ2ứ ổử ữ= B f ỗỗố ữ ỗ2ữ ứ ổử ữ= e ữ ữ= e C f ỗỗố D f ỗỗỗố ứ ữ ỗ2ữ ứ 2ữ Li gii Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với ù f x f' x Hàm dấu tích phân é ëf ( x) f '( x) û Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm ( ) ( ) , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: éf ( x) f '( x) ù + m³ m f ( x) f '( x) với m³ ë û Do ta cần tìm tham số m³ cho ò( éëf ( x) f '( x) ùû + m) dx ³ 2 mò f ( x) f '( x) dx hay 1+ m³ m f ( x) Û 1+ m³ m Để dấu '' = '' xảy ta cần có 1+ m= m Û m= éf ( x) f '( x) = ù = 1Û ê f x f ' x ( ) ( ) Với m= đẳng thức xảy nên é êf x f ' x = - ë û ê ë( ) ( ) 1 ® ị f ( x) f '( x) dx =  f ( x) f '( x) = - 1¾¾  ị dx Û f ( x) 0 f ( x) f '( x) = 1ắắ đ ũ f ( x) f '( x) dx = ò dx Û f ( x) =- x Û 1= - = x +C ắắ đ f ( x) = 2x + 2C ìï f ( 0) = ổử 1ữ ù ị C = ắắ đ f ( x) = 2x +1 ắắ đ fỗ ữ= Theo gi thiờt ớù ỗ ỗ ố2ữ ứ ùùợ f ( 1) = Đáp án A f ( x) 1 2 f x f ' x d x = = é ( ) ( ) ( 0) ù Cách Ta có ị êf ( 1) ú= ë û (vô lý) Theo Holder 40 ổ1 ữ ỗ =ỗ f ( x) f '( x) dxữ Ê ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ ố0 ứ 1 ò1 dx.ò éëf ( x) f '( x) ùû dx £ 1.1= 0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '( x) f ( x) = k, thay vào ò f ( x) f '( x) dx = ta k = Suy f '( x) f ( x) = (làm tiếp trên) Câu 102 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục [1;2], thỏa mãn éf '( x) ù ò ëxf ( x)û dx £ 24 f ( 1) = 1, f ( 2) = 16 Tính giá trị f ( 2) A f ( 2) = B f ( 2) = C f ( 2) = Lời giải D f ( 2) = éf '( x) ù éf '( x) ù û = ë û Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm Hàm dấu tích phân ë xf ( x) x f ( x) muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: éf '( x) ù ë û + mx ³ m f '( x) với m³ x Ỵ [1;2] xf ( x) f ( x) Do ta cần tìm tham số m³ cho f '( x) f ( x) , ổộf '( x) ự2 ỗ f '( x) ữ ỷ + mxữ ỗ ữ d x m dx ỗ ữ ũỗỗỗ xf ( x) ũ ÷ ÷ f ( x) è ø hay 24 + 2m ³ m f ( x) Û 24 + Để dấu '' = '' xảy ta cần có 24 + 2m ³ mé f( 2) ê ë Û 24 + ( 1) ù ú û 2m ³ 12 m Û m= 16 2m = 12 m Û m= 16 Vi m= 16 ắắ đũ ộf '( x) ù û = 16x Þ f '( x) = 2x đẳng thức xảy nên ë xf ( x) f ( x) f '( x) f ( x) f ( x) = x2 +C ¾¾ ® f ( x) = ( x2 +C ) dx = ị 2xdx Û ìï f ( 1) = ï Theo giả thiết íï ïỵ f ( 2) = 16 ị C = ắắ đ f ( x) = x4 ắắ đf ( 2) = ỏp án D Cách Ta có ị f '( x) f ( x) f '( x) dx = 2.ò f ( x) dx = f ( x) = 2é ê f( 2) ë ( 1) ù ú= û Theo Holder 2 ỉ2 f ' x ỉ1 ÷ f '( x) ( ) ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ =ỗ d x = x d x ỗ ữ ỗ ữÊ ũ ũ ỗ ỗ xf ( x) ữ ữ ữ ỗ f ( x) ữ ỗ1 ố ứ ố ứ Vy ng thc xảy nên ta có f '( x) f ( x) = 4x f '( x) xf ( x) =k x Û f '( x) f ( x) 2 é f '( x) ù x2 x d x ò ò ëxf ( x)û dx £ 1.24 = 36 1 2 = kx, thay vào ò f '( x) f ( x) dx = ta k = Suy (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân x Câu 103 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f ¢¢( x) ³ e + x f ¢( 2) = 2e, f ( 0) = e2 Mệnh đề sau đúng? A f ( 2) £ 4e- B f ( 2) £ 2e+ e C f ( 2) £ e - 2e 41 D f ( 2) > 12 Lời giải Từ giả thiết x f ¢¢( x) ³ e + x ta có x ïì u = x t ùớù dv = f  x ị ( ) îï ò 2 ò ( e + x) dx x f ¢¢( x) dx ³ ( 1) x ïìï du = dx í ïï v = f Â( x) ợ Khi ú ( 1) x f ¢( x) - ị 0 ổx x2 ữ f Â( x) dx ỗ e + ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố ổx x2 ữ x f Â( x) - f ( x) ỗ ỗe + ữ ữ ữ0 ỗ 2ứ 0 ố 2 ự ¢ ¢ ù é Û é ë2 f ( 2) - ( 0) û- ëf( 2) - ( 0) û³ e + 2- Û f ( 2) £ 4e- (do f ¢( 2) = 2e, f ( 0) = e2 ) Chọn A f ( x) = 2, f ( x) = biểu thức Câu 104 Cho hàm số f ( x) dương liên tục [1;3], thỏa max [1;3] [1;3] 3 S = ò f ( x) dx.ò 1 dx f ( x) đạt giá trị lớn nhất, tính I = ị f ( x) dx A B C D Lời giải Từ giả Suy thiết ta có £ f ( x) £ , suy é ù êf ( x) + údx £ dx Û ò êê ò2 f ( x) ú ú ë û 3 3 ò f ( x) dx + ò 1 æ ỗ dx Ê ũ f ( x) dx.ỗ 5ỗ ç f ( x) è Khi S = ò f ( x) dx.ò f ( x) + £ f ( x) dx £ Û f ( x) ò 1 dx £ 5f ( x) ò f ( x) dx 25 ÷ ÷ f x d x £ ( ) ÷ ị ÷ ÷ ø ỉ 5ư ÷ + 25 £ 25 ) (dạng t( 5- t) = - t2 + 5t = - ỗỗỗt - ữ ữ ố Dấu " = " xảy 2ø 4 ò f ( x) dx = Đáp án D Câu 105 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ , thỏa mãn f ( x) + f ¢( x) £ với x Ỵ ¡ f ( 0) = Giá trị lớn f ( 1) A e- B Từ giả thiết e- e C e e- D e Lời giải f ( x) + f ¢( x) £ 1, nhân thêm hai vế cho ex để thu đạo hàm x ù¢£ ex , " x Î ¡ ex f ( x) + ex f ¢( x) £ ex , " x Ỵ ¡ Û é ê ëe f ( x) ú û Suy ¢ x ị éëêe f ( x) ùûú dx £ 1 x x òe dx Û éëêe f ( x) ùûú0 £ e- 1Û éëef( 1) - ( 0) ùû0 £ e- e- ắắ ắđ f ( 1) Ê e f ( 0) =0 Đáp án B Câu 106 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f ¢( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn A ln2018 1 ¢ ù dx + ò é ëf ( x) û dx é ù ëf ( x) û C m= 2e D m= 2018e f( 1) = 2018 ( 0) Giá trị nhỏ biểu thức M = ò B 2ln2018 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 42 M =ò 1 f ¢( x) éf ¢( x) ù dx ³ d x + dx = 2ln f ( x) ò ò ë û f ( x) éf ( x) ù 0 ë û 1 = 2ln f ( 1) f ( 0) x) f ¢( x) dx = - = 2ln2018 Đáp án B Câu 107 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] ò( 1- thức ò éëf ( x) ùû dx - f ( 0) Giá trị nhỏ nhật biểu A B C - D - Lời giải Tích phân phần ị( 1- x) f ¢( x) dx = 1 , f ( 0) - ta = 2ò( 1- x) f ( x) dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2ò( 1- x) f ( x) dx £ Từ suy ị éëf ( x) ùû dx ³ 2ò( 10 Û ò éëf ( x) ùû dx ³ f ( 0) - Vậy ò( 1- ò éëf ( x) ùû dx - ( 1- x) + 3 f ( 0) ³ - x) f ( x) dx - 2 ò( 1- x) dx + ò éëf ( x) ùû dx x) dx Đáp án D Câu 108 Cho hàm số f (x) liên tục [0; 1] thỏa mãn ò xf ( x) dx = max f ( x) = [0; 1] Tích phân ò e f ( x) dx x thuộc khoảng no cỏc khong sau õy? A ổ 5ử ỗ - Ơ ;- ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ B ổ3 ỗ ; eỗ ỗ ố2 1ữ ữ ữ ứ C ổ 3ử ỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ D ( e- 1; +¥ ) Lời giải Với số thực ¡ x ị e f ( x) dx - 1 = ò f ( x) ( e x a x) dx £ x ta có ị e f ( x) dx = ò f ( x) e x a x dx £ ò a xf ( x) dx òe x a x dx Suy 1 a ïü ïì x x e f x d x £ e a x d x £ ex - a x dx = í e- 1- ý = e- ( ) ị ¡ ị a Ỵ [ 0;1] ị a Ỵ [ 0;1] ù 2ỵ ùù ợù 0 ỏp án C x Câu 109 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục [ 0;1.] Đặt g( x) = 1+ ò f ( t) dt Biết g( x) £ f ( x) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân ị g( x) dx có giá trị lớn A B C D Lời giải ìï g( 0) = ï Từ giả thiết g( x) = 1+ ị f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x ẻ [ 0;1.] ùợ g'( x) = f ( x) x ® g( x) £ g'( x) Û Theo giả thiết g( x) £ f ( x) ¾¾ g'( x) g( x) 43 ³ 1Û g'( x) g2 ( x) ³ t Suy g'( x) ò g ( x) t dx ³ Do ị1dx, " t ẻ [ 0;1]ơắđ0 1 ũ g( x) dx Ê ò( 10 Đáp án B Câu 110 Cho hàm số g( x) t 0 x) dx = f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1], thỏa mãn x f ( x) £ 1+ 3ò f ( t) dt = g( x) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân A 1 + ³ tÛ £ 1- t g( t) g( 0) g( t) t ³ x Û - ò g( x) dx có giá trị lớn B C D Lời giải ìï g( 0) = ï Từ giả thiết g( x) = 1+ 3ò f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x ẻ [ 0;1.] ùợ g'( x) = f ( x) x ég'( x) ù û Û g'( x) £ ® g( x) ³ ë Theo giả thiết g( x) ³ f ( x) ¾¾ g( x) t g'( x) t Suy ò g( x) dx £ ũ dx, " t ẻ [ 0;1]ơắđ 0 Do ị g( x) dx £ æ ö g( x) t £ t x Û g( t) - g( 0) £ tÛ g( t) £ t + ữ ũỗỗỗố2 x +1ứữ ữdx = Đáp án B x Câu 111 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1], thỏa mãn f ( x) £ 2018+ 2ò f ( t) dt với x Ỵ [ 0;1.] Biết giá trị lớn tích phân ị f ( x) dx có dạng ae2 + b vi a, bẻ  Tớnh a+ b A B 1009 C 2018 Lời giải D 2020 ìï g( 0) = 2018 ï Đặt g( x) = 2018+ 2ị f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1.] ïỵ g'( x) = f ( x) g'( x) g'( x) ® g( x) ³ Û £ Theo giả thiết g( x) ³ f ( x) ¾¾ g( x) t t t t g'( x) d x Ê 2dx, " t ẻ [ 0;1] ơắ đ ln g( x) £ 2x Suy ò ò g( x) 0 0 Û ln g( t) - ln g( 0) £ 2t Û ln g( t) £ 2t + ln2018 Û g( t) £ 2018.e2t x Do ị f ( x) dx £ 2x 2x ò g( x) dx £ 2018ò e dx = 1009e 0 = 1009e2 - 1009 Đáp án A x2 Câu 112 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1.] Đặt g( x) = 1+ ò f ( t) dt Biết g( x) ³ 2xf ( x2 ) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân ị g( x) dx có giá trị lớn A B C Lời giải e- ì ïï g( 0) = Từ giả thiết g( x) = 1+ ò f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x ẻ [ 0;1.] ùùợ g'( x) = 2xf ( x ) x2 g'( x) ® g( x) ³ g'( x) Û £ Theo giả thiết g( x) ³ 2xf ( x ) ¾¾ g( x) 44 D e+1 t Suy g'( x) ò g( x) t dx £ ò1dx, " t ẻ [ 0;1]ơắđ ln g( x) t Êx t Û ln g( t) - ln g( 0) £ t Û ln g( t) £ t Û g( t) £ e t 1 ò g( x) dx £ Do ị e dx = ex Đáp án B 2ù Nhận xét Gọi F ( t) nguyên hàm hàm số f ( t) đoạn é ê ë0; x ú û Khi g( x) = 1+ F ( t) x2 / ù / / 2 = 1+ F ( x2 ) - F ( 0) ¾¾ ® g'( x) = é êF ( x ) û ú = ( x ) F ( x ) = 2xf ( x ) ë Câu 113 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa f '( x) ³ f ( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1.] Giá trị lớn f ( 0) ò biểu thức dx f ( x) A B e- e C e+1 e D e- Lời giải f '( x) Từ giả thiết f '( x) ³ f ( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1] ta có f x ³ 1, " x Î [ 0;1.] ( ) f '( x) t Suy ị f ( x) Do f ( 0) ò t dx ³ ò1dx, " t Î dx £ f ( x) 1 ũe x t t 0 [ 0;1] ơắđ ln f ( x) ³ x Û ln f ( t) - ln f ( 0) ³ t Û f ( t) ³ f ( 0) et dx = e- e Đáp án B p Câu 114 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;p], thỏa mãn p ò f ( x) dx = ò cosxf ( x) dx = Giá trị nhỏ tích p phân ịf ( x) dx A p B p C p 2p D Lời giải Theo Holder ép ù ú£ cos xf x d x ( 1) = ê ( ) êò ú ê0 ú ë û p Suy òf ( x) dx ³ p p p p p 2 òcos xdx.ò f ( x) dx = 2.ò f ( x) dx 0 (Đến bạn đọc chọn A) p Dấu '' = '' xảy f ( x) = k cos x thay vào ò f ( x) dx = ta p p 1= ò f ( x) dx = kò cos xdx = k.sin x 0 p = 0 Điều hoàn toàn vơ lý Lời giải Ta có p ìï ïï a = acos xf ( x) dx ò ïï p p ï f x d x = cos xf x d x = ắắ đ ( ) ( ) í ị ị p ï ïï 0 ïï b = ị bf ( x) dx ïỵ ïì a, b Ỵ ¡ với ïíï 2 Theo Holder ép ù ú ( a + b) = ê êò( acos x + b) f ( x) dxú £ ê0 ú ë û 45 p p 0 2 ò( acosx + b) dxò f ( x) dx ïỵ a + b > Lại có p ò( acosx + b) 2( a+ b) p òf Từ suy ( x) dx ³ Do ị f ( x) dx ³ dx = p( a2 + 2b2 ) 2 với a, bỴ ¡ a2 + b2 > p( a2 + 2b2 ) p ìï ( a + b) ü ï ï = .max ïí 2ý ïï a + 2b ùù p p ù ợù ỵ ỏp ỏn B Nhn xét:  Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số ( a+ b)  Cách tìm giá trị lớn P = ta làm sau: a + 2b ® P = (chính đáp án sai mà làm trên) Nếu b = ắắ ổử aữ a ỗ ữ + +1 t= ab ỗ ỗbữ ( a+ b) ố ứ t + 2t +1 b b ắắ ®P = = = 2 a + 2b t2 + ổử aữ ỗ ữ+2 ỗ ỗ èb÷ ø Nếu dị tìm Kết thu GTLN P Tới ta khảo sát hàm số dùng MODE a b ® = Û a = 2b t = ¾¾ ïì a = 2b Vậy dấu '' = '' để tốn xảy ïíï f x = b 2cosx +1 thay ngược lại điều kiện, ta ( ) ïỵ ( ) p ịb( 2cosx +1) dx = 1 2cos x +1 ắắ đ f ( x) = p p b= p Lúc p ịf ỉ 2cos x +1ư ÷ dx = ÷ ÷ è ø p p ( x) dx = ũỗỗỗ Cỏch khỏc a v bỡnh phương 2 ù Hàm dấu tích phân f ( x) , f ( x) , cos xf ( x) nên ta liến kết với é ëf ( x) + a cos x + bû Với số thực a, b ta có p p p p 0 2 ò éëf ( x) + a cos x + bùû = ò f ( x) dx + 2ò( a cos x + b) f ( x) dx + ò( a cos x + b) dx p p = ò f ( x) dx + 2( a + b) + a + pb 2 p Ta cần tìm a, b cho 2( a + b) + a + pb2 đạt giá trị nhỏ Ta có 2 ổ 1ử p p ổ 2ữ ữ ỗ 2( a + b) + a + pb = ỗ a + + p b + ữ ữ ç ç ÷ ç ç ø è 2è p÷ pø ; b =p p Vậy với a = - 3 ³ - p p ta có p p é 1ù ê ú f x cos x = f ( x) dx - ( ) ò ëê ò p pú p û 0 p Suy p é 1ù 3 f x d x = ( ) ò ò êêëf ( x) - p cosx - p úúû + p ³ p 0 Dấu '' = '' xảy f ( x) = p Câu 115 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;p], thỏa mãn 2cos x +1 p p ò sin xf ( x) dx = ò cosxf ( x) dx = Giá trị nhỏ p tích phân ịf ( x) dx A p B p C 46 p D 2p Lời giải ù Liên kết với bình phương é ëf ( x) + a sin x + b cosxû p ò éëf ( x) + a sin x + b cosxùû dx Ta có p p 0 p ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2ò( a sin x + b cos x) f ( x) dx + ò( a sin x + b cos x) dx p 2 pa pb ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2( a + b) + + 2( a + b) + Phân tích pa pb p ỉ 2ư p ỉ 2ư + = ỗ a+ ữ b+ ữ ữ+ ỗ ữ ỗ ỗ ữ- p ỗ ỗ ứ 2ố 2 2è p÷ pø Đáp án C Câu 116 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn x ò f ( x) dx = ò e f ( x) dx = 1 tích phân Gọi m giá trị nhỏ ò éëf ( x) ùû dx Mệnh đề sau đúng? A < m< Từ giả thiết, ta có B 1< m< C < m< Lời giải D < m< ìï ïï a = aex f ( x) dx ị ïï ï í ïï ïï b = bf ( x) dx ò ïï ỵ Theo Holder é1 ù x ú a + b = ( ) ê êò( ae + b) f ( x) dxú £ ê ú ë û x ò( ae + b) dxị f ( x) dx 0 Lại có 1 x 2x x ò( ae + b) dx = ò( a e + 2abe + b ) dx = Suy Do ịf ( x) dx ³ ( a + b) ( e - 1) a2 + 2( e- 1) ab+ b2 2 với a, bỴ ¡ a2 + b2 > e - 1) a2 + 2( e- 1) ab+ b2 ( ìï ü ïï ïï ïï a + b ( ) 1 ï + » 3,1316 ý = - 1+ ị f ( x) dx ³ maxíïï ï 3- e e- 2ï e a + e ab + b ( ) ( ) ùù ùù ù ợù ỵ Đáp án D Câu 117 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] thỏa mãn ò f ( x) dx = ò x f ( x) dx = Giá trị nhỏ tích phân ịf ( x) dx A B C Lời giải Từ giả thiết, ta có ìï ïï a = a x f ( x) dx ò ïï ï í ïï ïï b = bf ( x) dx ị ïï ỵ Theo Holder 47 D ỉ1 ÷ £ ( a + b) = ỗỗỗũ a x + b f ( x) dxữ ữ ữ ỗ ữ ố0 ứ ( ) ò( a ) x + b dx.ò f ( x) dx Lại có ị( a ) x + b dx = ( a+ b) òf Suy ( x) dx ³ a2 4ab + +b 2 a 4ab với a, bỴ ¡ a + b > + +b ïìï ïü ïï ïï a + b ( ) ïï ï ý = Do ị f ( x) dx ³ maxíï ïï a + 4ab + b2 ïïï ïỵï ùỵ ù ỏp ỏn D ù Cách Liên kết với bình phương é êf ( x) + a x + bû ú ë p ị éëêf ( x) + a Ta có x + bù ú dx û p p 0 ( p ) ( ) ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2ò a x + b f ( x) dx + ò a x + b dx p a ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2( a + b) + + ab + b Phân tích 2( a + b) + ỉ a2 + ab + b = ç b + a +1÷ + ( a + 6) - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 3 18 Câu 118 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2], thỏa òx f ( x) dx = 31 Giá trị nhỏ tích phân ịf ( x) dx A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta D 923521 2ư 2 ỉ ỉ2 é2 ù÷ ổ2 ổ2 ổ2 ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ỗ 4 2 4 ỗờ ỳ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ 31 = ỗ = ỗờũ x xf ( x) dxỳ ữ Ê ỗ Êỗ ỗ ỗ ỗ ç ị x f ( x) dxø÷ ị x dx÷ ò x f ( x) dx÷ ò x dx÷ ò f ( x) dx ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ố1 ố ứ ố ứ ố ứ ỗờ ỳ 1 1 ûø èë1 Suy ò f ( x) dx ³ 314 ỉ2 ữ ỗ ỗ x4dxữ ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ è1 ø = 3875 ® f ( x) = 5x2 Dấu '' = '' xảy f ( x) = kx nên kò x dx = 31 Û k = ¾¾ Đáp án B Câu 119 Cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm đến cấp [ 0;2] thỏa f( 0) - ( 1) + f ( 2) = Giá trị nhỏ tích phân ò éëf ''( x) ùû dx A 3 B C D Lời giải Ta có 1 ò éëf ''( x) ùû dx = 3ò x dx.ò éëf ''( x) ùû dx 0 Holder ổ ữ ỗ 3ỗ x f ''( x) dxữ ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ ố0 ø 48 { udv==xf ''( x) dx = ù 3é ëf'( 1) + ( 0) - f ( 1) û ; 2 2 1 Holder 2 ò éëf ''( x) ùû dx = 3ò( x - 2) dx.ò éëf ''( x) ùû dx ³ { u=x- dv= f ''( x) dx = ù 3é ë- f'( 1) + ( 2) - f ( 1) û Suy ổ2 ữ ữ ỗ 3ỗ x f '' x d x ( ) ( ) ữ ỗ ũ ữ ỗ1 ữ ố ứ ũ éëf ''( x) ùû dx ³ ù é 3é ëf'( 1) + ( 0) - f( 1) û + 3ë- '( 1) + f( 2) - ( 1) ù û éf( 0) - ( 1) + f ( 2) ù û= ³ ë 2 Đáp án B Nhận xét: Bài giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a2 + b2 ³ Câu 120 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm [1;3] ò éëf '( x) ùû dx ( a + b) f ( x) = 10 f ( 1) = 0, max [1;3] Giá trị nhỏ tích phân A B C 10 Li gii max f x = 10 ắắ ắ đ$ x Ỵ ;3 ( ) [ ] f x Vì [1;3] cho ( ) = 10 f ( 1) =0 ắắ ắđ$x0 ẻ ( 1;3] D 20 cho f ( x0 ) = 10 Theo Holder ổx0 ữ ỗ ỗ f '( x) dxữ ữ ỗ ũ ữÊ ỗ ữ ỗ ố1 ứ ổx0 ổ x0 ỗ ố1 ữ ứ ố ữ ỗ ữ =ỗ f ( x) M ỗỗỗũ f '( x) dxữ ữ ỗ ỗ ỗ x0 T ú suy 2 ự ắắ đ ũộ ởf '( x) û dx ³ x0 1 2 x0 10 x0 - ò éëf '( x) ùû dx ³ x0 2 ò1 dx.ò éëf '( x) ùû dx = ( x0 - 1) ị éëf '( x) ùû dx ÷ ÷ = ( f ( x0 ) - f ( 1) ) = 10 ÷ ÷ ø ị éëf '( x) ùû dx ³ x0 10 10 ³ x0 - 3- Đáp án B 49 ... dx = ò f ( x) dx 3 1 ò f ( x)dx Tích phân A 8ln2 27 ln2 27 B C D Lời giải Nhận thấy có tích phân khác cận ò f ( x) dx Bằng cách đổi biến x = t3 ta thu tích phân 2 1 3ò t2 f ( t3 ) dt = 3ò... 1 ò x f ( x) dx = Tích phân A ị f ( x) dx B Hàm dấu tích phân C éf ¢( x) ù , x2 f ( x) ë û ò x f ( x) dx = x3 f ( x) suy ịx D Lời giải khơng có mối liên hệ với Dùng tích phân phần ta có f... x) dx = Tích p ò xf ( x) dx phân A - p B - p C p D p Lời giải Hàm dấu tích phân f ( x) f '( x) sin x , không thấy liên kết p Do ta chuyển thơng tin f '( x) sin x f ( x) cách tích phân phần