Thông tin tài liệu
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa f ( x) + f ( 1- x) = 1- x2 Giá trị tích phân ị f '( x) dx A B C D Lời giải Ta có ị f ¢( x) dx = f ( x) = f( 1) - ( 0) ìï f( 0) + ( 1) = f ( x) + f ( 1- x) = 1- x2 ắắ đ ùớ ùù f( 1) + ( 0) = ỵ Từ Vậy I = ò f '( x) dx = f( 1) - f ( x) ( 0) = + = Đáp án C Câu Cho hàm số ìï ïï f ( 0) = - ï íï ïï ïï f ( 1) = ïỵ có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn f( 0) = ( 1) = Biết ò e éëf ( x) + f ¢( x) ùûdx = ae+ b Tính Q = a x 2018 + b2018 A Q = 22017 +1 B Q = Ta có 1 / x x x ị e éëf ( x) + f ¢( x) ùûdx = ị éêëe f ( x) ùúû dx = éêëe f ( x) ùúû = ef( 1) Suy C Q = Lời giải 0 ( 0) D Q = 22017 - f( 0) = ( 1) =1 = e- ïìï a = 2018 ¾¾ ® Q = a2018 + b2018 = 12018 +( - 1) = í ïïỵ b = - Đáp án B Câu Cho hàm số y = f ( x) , y = g( x) có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn ò f '( x) g( x) dx = 2, 2 ò f ( x) g'( x) dx = A B I = - Ta có / ù Tính tích phân I = ị é ëf ( x) g( x) û dx / I = C I = Lời giải D I = ù é ù I = òé ëf ( x) g( x) û dx = ò ëf '( x) g( x) + f ( x) g'( x) ûdx 2 = ò f '( x) g( x) dx + ò f ( x) g'( x) dx = 2+ = 0 Đáp án C Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục [ 0;+¥ ) thỏa x2 ị f ( t) dt = x.sin( px) Tính ổ1ử p ữ =- ữ A f ỗỗỗố ứ ữ ổ1ử ữ= B f ỗỗỗố ÷ ø 4÷ x2 Từ ò f ( t) dt = x.sin( px) , đạo hàm hai vế ta c ổ1ử ữ= C f ỗỗỗố ữ ứ 4ữ Lời giải 2xf ( x2 ) = sin( px) + px cos( px) Cho x = ỉ1÷ ỉ1÷ p p p = sin + cos = 1ắắ đ ỗ = ữ ữ ta c fỗỗố ỗ ữ ữ ỗ4ứ ố ỗ4ứ 2 ỏp ỏn C ổ1ữ fỗ ữ ỗ ữ ỗ ố4ứ ổ1ử p ữ= 1+ D f ỗỗỗố ữ ứ 4ữ x Câu Cho hàm số f ( x) liên tục [ a;+¥ ) với a> thỏa ò f ( t) a A f ( 4) = x ò Từ a f ( t) B f ( 4) = dt + = x , t2 đạo hàm hai vế ta t2 dt + = x C f ( 4) = Lời giải f ( x) x2 = x với x > a Tính f ( 4) D f ( 4) = 16 ® f ( 4) = 4 = Suy f ( x) = x x ¾¾ Đáp án C Vấn đề Kỹ thuật đổi biến 2017 Câu Cho ò f ( x) dx = e2017 - Tính tích phân I = A ị B I = x f éln( x2 +1) ù dx ú ë û x2 +1 ê C I = Lời giải I = D I = 2xdx xdx dt ® = Đặt t = ln( x +1) , suy dt = ¾¾ x +1 x +1 ìï x = ® t = Đổi cận: ïíï 2017 ïỵ x = e - ® t = 2017 2017 2017 1 I = f t d t = ( ) Khi ị f ( x) dx = 2.2 = 2ò 0 Đáp án A Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ ò f A I = Xét ò Xét x B I = f ( x) dx = Đặt t = x Đổi cận ( x) dx = 4, ïìï x = 1® t = í ùùợ x = đ t = x ị t2 = x, f ò f ( sin x) cos xdx = ò f ( sin x) cos xdx = Tính tích phân I = ò f ( x) dx 0 C I = Lời giải Suy = ò p p D I = 10 suy 2tdt = dx ( x) dx = x 3 ® ò f ( t) dt = ò f ( t) 2dt ¾¾ 1 Đặt u = sin x, suy du = cos xdx Đổi cận ìï x = ® u = ïï í ùù x = p đ u = ùợ p 0 Suy = ò f ( sin x) cos xdx = ò f ( t) dt Vậy I = ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = 0 Đáp án C Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ A I = Xét B I = p 0 ò f ( tan x) dx = 4, ò x2 f ( x) x2 +1 C I = Lời giải p ò f ( tan x) dx = Đặt t = tan x, suy dt = dt dx = ( tan2 x +1) dx ¾¾ ® dx = cos x 1+ t2 dx = Tính tích phân I = ò f ( x) dx D I = Đổi cận: ïìï x = ® t = ï í ïï x = p ® t = ỵï p 1 Khi = ò f ( tan x) dx = ò f2 ( t) dt = ò f2( x) dx 1 Từ suy I = ị f ( x) dx = ò 0 f ( x) x +1 dx + ò x2 f ( x) x2 +1 t +1 x +1 dx = + = Đáp án A Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn p e2 ò tan x f ( cos x) dx = 1, ò e I =ò f ( 2x) x ln x dx = Tính tích phân dx x f ( ln2 x) A I = B I = C I = Lời giải D I = p ● Xét A = ò tan x f ( cos2 x) dx = Đặt t = cos2 x ® tan xdx = Suy dt = - 2sin x cos xdx = - 2cos2 x tan xdx = - 2t.tan xdx ¾¾ Đổi cn: dt 2t ỡù x = ắắ đ t =1 ïï í ïï x = p ¾¾ ®t = ïïỵ 2 Khi 1= A = - 1 f ( x) f ( t) f ( t) f ( x) d t = d t = d x ¾¾ ® dx = ò ò ò ò 21 t 21 t 21 x x e2 ● Xét B = ò e Suy du = f ( ln x) 2 x ln x dx = Đặt u = ln2 x 2ln x 2ln2 x 2u dx du dx = dx = dx ắắ đ = x x ln x x ln x x ln x 2u ỡù x = eắắ đ u =1 i cn: ùớù đu= ùợ x = e ¾¾ 4 f ( x) f ( u) f ( x) = B = d u = d x ắắ đ dx = Khi ị ị ị 21 u 21 x x ● Xét tích phân cần tính Đặt Khi I =ị f ( 2x) x dx ìï ìï ïï dx = dv ïï x = ắắ đv= ùù v = 2x, suy í Đổi cận: íï ïï v ïï x = ắắ đ v = ùù x = ïỵ ỵï 4 f ( v) f ( x) f ( x) f ( x) I =ò dv = ò dx = ò dx + ò dx = 2+ = v x x x 1 1 2 Đáp án D é1 ù ë2 û ỉ1÷ = x2 + + Tính tích phân ÷ ÷ xứ x ;2ỳ, f ( x) + f ỗ Cõu 10 Cho hàm số y = f ( x) xác nh v liờn tc trờn ỗ ỗ ỳ thỏa è I =ò f ( x) x2 +1 A I = dx B I = C I = D I = Lời giải t Đặt x = , suy dx =- dt t2 ỡù ùù x = ắắ đt = 2 ïïí ïï ®t = ïï x = ắắ ùợ i cn: ổử ổử ổ1ử 1ữ 1ữ ç ç ÷ fç ÷ ÷ 2 fç ÷ ç ç ÷ỉ 1ư ÷ ÷ çt ø çt ø çxø è è è ÷ ç ç- ÷ dt = ị dt = ị dx Khi I = ũ ữ ỗ ố t ứ t +1 x +1 1 + 2 t2 ổ1ữ ổ1ử ữ ỗ x) + f ỗ ( ữ 2 fỗ ữ 2 x + +2 ỗ ứ ữ ỗ ỗ f ( x) èxø è x÷ x2 Suy 2I = ị dx + ò dx = ò dx = ò dx 2 x +1 x +1 x +1 x +1 1 1 2 =ị 2 2 ỉ 1ư ỉ 1ử x +1 dx = ũỗ 1+ ữ dx = ỗ x- ữ đI = ữ ữ ỗ ỗ = ắắ ữ ữ ỗ ç è x ø è xø x 2 2 Đáp án A Câu 11 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa f ( x) + f ( - x) = 2+ 2cos2x với x Ỵ ¡ 3p Tính I = ò f ( x) d x - 3p A I = - B I = ® dx = - dt Đổi cận: Đặt t = - x ¾¾ - 3p C I = - Lời giải D I = ìï ïï x = - 3p ® t = 3p ïï 2 í ïï 3p 3p ® t =ïï x = 2 ïỵ 3p 3p ò f ( - t) dt = ò f ( - t) dt = ò f ( - x) dx Khi I = - 3p - 3p - 3p 3p 3p 3p CASIO ù ® I = Suy 2I = ò é ëf ( t) + f ( - t) ûdt = ò + 2cos2tdt = ò cost dt = 12 ¾¾ - 3p - 3p - 3p Đáp án D Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ , thỏa f ( x + 4x + 3) = 2x +1 với x Ỵ ¡ Tích phân ị f ( x) dx - A B 10 C 32 D 72 Lời giải Đặt x = t5 + 4t + 3, suy dx = ( 5t + 4) dt Đổi cận Khi 1 - - - ïìï x = - đ t =- ùùợ x = ® t = 4 ị f ( x) dx = ò f ( t + 4t + 3)( 5t + 4) dt = ò( 2t +1) ( 5t + 4) dt = 10 Đáp án B Câu 13 Cho hàm số f ( x) , g( x) liên tục [ 0;1], thỏa m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) với m, n số thực khác ò f ( x) dx = ò g( x) dx = A m+ n = Tính m+ n B m+ n = C m+ n = D m+ n = Lời giải Từ giả thiết m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) , lấy tích phân hai vế ta 1 ò éëm f ( x) + n f ( 1- x) ùûdx = ò g(x)dx Suy m+ nò f ( 1- x) dx = (do Xét tích phân ị f ( 1- x) dx Khi ị f ( x) dx = ò g( x) dx = 1) ( 1) 0 ìï x = ® t = Đặt t = 1- x , suy dt = - dx Đổi cận: ïíï x = 1đ t = ùợ ũ f ( 1- x) dx = - 1 ò f ( t) dt = ò f ( t) dt = ò f ( x) dx = 1 ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy m+ n = Đáp án C Câu 14 Cho hàm số f ( x) xác định liên tục [ 0;1,] thỏa mãn f '( x) = f '( 1- x) với x Ỵ [ 0;1.] Biết f( 0) = 1, ( 1) = 41 Tính tích phân I = ị f ( x) dx A I = 41 B I = 21 C I = 41 Lời giải D I = 42 ® f ( x) = - f ( 1- x) +C Ta có f '( x) = f '( 1- x) ¾¾ f( 0) =1, ( 1) =41 ¾ ¾ ¾¾ ® C = 42 Suy f( 0) = - ( 1) +C ắắ đ f ( x) + f ( 1- x) = 42 Suy f ( x) = - f ( 1- x) + 42 ¾¾ 1 0 ự ắắ đ ũộ ởf ( x) + f ( 1- x) ûdx = ò 42dx = 42 ( 1) ( 2) ® ị f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx Vì f '( x) = f '( 1- x) ¾¾ 0 Từ ( 1) ( 2) , suy ò f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx = 21 0 Đáp án B Câu 15 Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f ( x) = x với x Ỵ ¡ Tính I = ị f ( x) dx A I =- B I = C I =- Lời giải Đặt u = f ( x) , ta thu u + u = x Suy ( 3u +1) du = dx ïì x = ® u = Từ u3 + u = x , ta đổi cận ïíï x = ® u = Khi I = ị u( 3u +1) du = ïỵ Đáp án D Cách khác Nếu tốn cho f ( x) có đạo hàm liên tục ta làm sau: ïìï f3 ( 0) + ( 0) = ïìï f ( 0) = f x + f x = x ắắ đ ®í ( ) ( *) í Từ giả thiết ( ) ïï f ( 2) + ( 2) = ïï f ( 2) = ỵ ïỵ 3 Cũng từ giả thiết f ( x) + f ( x) = x , ta có f '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) = x f '( x) 2 0 ò éêëf '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) ùúûdx = ị x f '( x) dx Lấy tích phân hai vế æéf ( x) ù éf ( x) ự ỗở ữ ỷ +ở ỷữ ữ = xf ( x) ắắ đỗ ỗ ữ ỗ ữ ứ ỗ ữ0 ỗ ố 4 2 - ( *) ò f ( x) dx ắắđ ũ f ( x) dx = 0 Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần D I = f ( x) ị x f ¢( x) e dx = Câu 16 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn A I = B I = 11 ïì u = x ị t ùớù f ( x)  îï dv = f ( x) e dx f( 3) Suy = 3.e - 0 C I = 8- ln3 Lời giải ïì du = dx íï ïï v = ef ( x) Khi ỵ 3 f ( x) f ( 3) = ln3 Tính I = ị e dx f ( x) f ( x) ò x f ¢( x) e dx = x.e D I = 8+ ln3 f ( x) òe - dx ( x) ® ị ef ( x) dx = 9- = ị e dx ¾¾ Đáp án A é pù 0; ú, thỏa mãn Câu 17 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ê ê ë 2ú û p ò f ( x) sin2xdx p ò f '( x) cos xdx = 10 f ( 0) = Tích phân A I = - 13 B I = - C I = Lời giải p ïìï u = cos2 x Þ Xét ò f '( x) cos xdx = 10 , đặt íï dv = f '( x) cos2 xdx ï î p p D I = 13 ïì du = - sin2xdx íï ïï v = f ( x) ỵ p Khi 10 = ò f '( x) cos2 xdx = cos2 xf ( x) + ò f ( x) sin2xdx 0 p p 0 Û 10 = - f( 0) + ũ ( x) sin2xdx ắắ đ ò f ( x) sin2xdx = 10 + f ( 0) = 13 Đáp án D Câu 18 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn ò f ( x - 1) dx = f ( 1) = Tích phân 1 ị x f '( x ) dx A - 1 B - C D Lời giải Ta có ị f ( x - 1) dx = ắắ ắđ ũ f ( t) dt = hay ò f ( x) dx = t=x- 1 Xét 1 ïì u = x 1 ị x f '( x ) dx ắắắđ ũ tf '( t) dt = ò xf '( x) dx Đặt ïíïï dv = f '( x) dx Þ t=x2 0 Khi ỵ 1 1é t=x2 êxf ( x) x f ' x d x ắắắ đ tf ' t d t = ( ) ( ) ê ò ò 20 2ê 0 ë 1 ïìï du = dx í ïï v = f ( x) ỵ ù ú= [ 4- 3] = f x d x ( ) ú ò ú û Đáp án C Câu 19 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0;2] Biết f ( 0) = ( x3 - 3x2 ) f '( x) f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x với x Ỵ [ 0;2] Tính tích phân I = ò dx f ( x) A I = - 14 B I = - 32 2x2 - 4x x=2 C I =Lời giải Từ giả thiết f ( x) f ( 2- x) = e ắắắ đ f ( 2) = 16 D I = - 16 Ta có I = ị (x - 3x2 ) f '( x) dx Đặt f ( x) I = ( x3 - 3x2 ) ln f ( x) Khi ìï u = x3 - 3x2 ïï ùớ ị f '( x) ùù dv = dx ùùợ f ( x) 2 6x) ln f ( x) dx = - 3ò( x2 - 2x) ln f ( x) dx = - 3J 0 x=2- t ị éêë( 2- Ta có J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx = f ( 2) =1 ò( 3x - - ïì du = ( 3x2 - 6x) dx ïíï ïï v = ln f ( x) ïỵ 2 t) - 2( 2- t) ù ln f ( 2- t) d( 2- t) ú û 2 = òé ln f ( 2- x) d( 2- x) = ò( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx ( 2- x) - 2( 2- x) ù ê ú ë û 2 2 0 2 Suy 2J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx + ò( x - 2x) ln f ( 2- x) dx = ò( x - 2x) ln f ( x) f ( 2- x) dx 2 32 16 = ò( x2 - 2x) ln e2x - 4xdx = ò( x2 - 2x)( 2x2 - 4x) dx = ắắ đJ = 15 15 0 16 Vậy I =- 3J =Đáp án D Câu 20 Cho biểu thức p ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 2cot x ữ S = lnỗ 1+ ũ ( 2- sin2x) e dxữ , ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ n ữ ỗ ố 4+m2 ứ vi s thc mạ Chọn khẳng định khẳng định sau A S = B S = æ p ữ ổ p ữ sin ữ+ 2lnỗ ữ ç ÷ ç + m2 ø ø è + m2 ÷ ỉ p ỉ p ÷ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ+ 2lnố ữ ỗ4 + m2 ứ + m2 ứ C S = 2cotỗỗố ç D S = 2tanççè ç Lời giải p ò ( 2- Ta có sin2x) e2cot xdx = p 4+m2 ò p ò e2cot x dx - p p ò sin2xe2cot xdx = p ò 4+m2 p 2cot x e2cot xd( sin2 x) = sin2 x.e 4+m2 p 2cot x = sin2 x.e p p 4+m2 p 4+m2 ( 1) sin2xe2cot xdx p 4+m2 p Xét p - ị p ỉ ữ 2cot x sin2 xỗ e dx ữ ç ÷ ç è sin xø 4+m2 p +2 p 4+m ò ( 2) e2cot x dx p 4+m2 p 2cot x Từ ( 1) ( 2) , suy I = sin x.e p 2cot p = - 1+ sin e 4+m 4+ m p 4+m2 p ỉ 2cot ỉ p ÷ ỉ p p ÷ 4+m2 ữ ữ ỗ ắắ đ S = lnỗ sin e = 2cotỗ sin ữ+ 2lnỗ ữ ữ ç ç ç 2÷ 2÷ ÷ ç ç è ø è ø ÷ + m + m + m ỗ ố ứ ỏp ỏn C Vn đề Tính a, b, c tích phân Câu 21 Biết ò ln( 9- x2 ) dx = aln5+ bln2 + c vi a, b, cẻ  Tớnh P = a + b + c A P = 13 Đặt B P = 18 C P = 26 Lời giải ìï u = ln( 9- x2 ) ïìï du = - 2x dx ïí Þ íï 9- x2 ïï dv = dx ïï ïỵ ïỵ v = x + D P = 34 2 Khi I = ( x + 3) ln( 9- x ) + 2ò x( x + 3) 9- x2 ỉ ữ dx = 5ln5- 4ln8+ 2ũỗ - 1+ ữ ỗ ữdx ỗ ố ứ x ùỡù a = ï = 5ln5- 12ln2- 2( x + 3ln 3- x ) = 5ln5- 6ln2- ắắ đ ùớ b= - đ P = 13 ùù ùùợ c = - 2 Đáp án A Nhận xét Ở chọn v = x + thay x để rút gọn cho 9- x2 , giảm thiểu biến đổi æ px3 + 2x + ex3 2x 1 e ÷ ị p + e.2x dx = m+ eln n.lnỗỗỗốp+ e+ pứữ ữ Cõu 22 Biờt P = m+ n + p A P = Ta có I = ị Tính A = ò B P = C P = Lời giải ỉ3 px3 + 2x + ex3 2x 2x ữ ỗ ữdx = x4 d x = x + ỗ x xữ ũ ữ ỗ p + e.2 p + e.2 ø è +A = D P = + A x dx p + e.2x ® dt = e.ln2.2x dx ắắ đ 2x dx = t t = p + e.2x ¾¾ dt eln2 ïìï x = ® t = p + e í ùùợ x = 1đ t = p + 2e i cận: p+2e dt Khi A = e.ln2 ò t = e.ln2 ln t p+e Vậy với m, n, p số nguyên dương Tính tổng p+2e p+e = ỉ p + 2e e ữ ln = lnỗ 1+ ữ ỗ ữ ỗ eln2 p + e eln2 è e+ p ø ïìï m= ỉ 1 e ï ÷ I = + lnỗ đ ùớ n = ị P = m+ n + p = ữ ỗ1+ ữắắ ùù ố e+ p ứ eln2 ỗ ùùợ p = Đáp án C Câu 23 Biết p ò x2 +( 2x + cos x) cos x +1- sin x x + cos x dx = ap2 + b- ln A P = B P = c p với a, b, c số hữu tỉ Tính P = ac3 + b C P = D P = Lời giải p Ta có I = ị ( x2 + 2x cos x + cos2 x) +( 1- sin x) x + cos x p =ò ( x + cos x) p 2 x + cos x dx + ò p dx p d( x + cos x) 1- sin x dx = ò( x + cos x) dx + ò x + cos x x + cos x 0 p ỉ1 ư2 p 2 =ỗ x + sin x + ln x + cos x ÷ ÷ = p +1+ ln = p +1- ln ỗ ữ ỗ ố2 ứ 8 p ìï ïï a = ïï ï ¾¾ ® í b = ¾¾ ® P = ac3 + b = ïï ïï c = ïï ïỵ Đáp án C ln Câu 24 Biết ị ln A P = - 1 b dx = 1+ ln + a a a e +1- e 2x x B P = b với a, b ẻ  + Tớnh P = a+ b C P = Lời giải D P = ln Ta có I = ị 2x dx = ò( ln ) e2x +1+ ex dx = ln ln ò e2x +1dx + ln ò e dx x ln ln ò e dx = e x x e +1- e ln ln ln x = 2- ln ln ln ò e2x +1dx Đặt t = e2x +1 Û t2 = e2x +1, suy 2tdt = 2e2xdx Û dx = ln tdt tdt = e2x t2 - ìï x = ln ® t = ï i cn: ớù ùợ x = ln đ t = ln Khi ị ln Vậy ỉ t- 1÷ ư3 ỉ t2dt ữ ỗt + ln ỗ dt = + d t = ÷ = 1+ ln ữ ỗ ỗ 2 ũ ữ ữ ç ÷ ç è t - 1ø 2 t - è t +1 ø 2 e2x +1dx = ũ ùỡ a = ắắ đ ùớ ắắ đ P = a + b = ïïỵ b = 3 I = 1+ ln + 2 2 Đáp án D Câu 25 Biết dx ò ( x +1) x + x x +1 A P = 12 b- c vi a, b, c ẻ  + Tớnh P = a + b+ c B P = 18 Ta có = a- I =ị dx x( x +1) ( C P = 24 Lời giải x +1+ x =ò ) x +1 + x x( x +1) ổ ỗ t u = x +1+ x , suy du = ỗỗố x +1 + ( x +1+ x ) D P = 46 dx ö x + x +1 ữ ữ dx ắắ đ 2du = dx ữ ÷ xø x( x +1) 3+ ìï x = ® u = + du ï Khi I = ị = i cn ớù ùợ x = 1đ u = +1 2+1 u u 3+ 2+1 æ = - 2ỗ ỗ ỗ ố 3+ ữ ữ ÷ ÷ +1ø ïìï a = 32 ï 12 - ắắ đ ùớ b = 12 ắắ ® P = 46 ïï ïïỵ c = ỉ 3- 2 - 1ử ữ ữ ỗ = - 2ỗ ữ= 32 ỗ ữ ỗ 3- 2- ø è Đáp án D p sin4x Câu 26 Biết ò 2 cos x +1 + sin x +1 A P = 10 dx = a +b + c vi a, b, cẻ  Tính P = a + b + c B P = 12 p Ta có I = ị p sin4x C P = 14 Lời giải cos x +1+ sin x +1 dx = 2ị ® dt = - 2sin2xdx Đổi cận: Đặt t = cos2x ¾¾ Khi I =- 2ị 1 t 3+ t + 3- t dt = 2ò D P = 36 2sin2x cos2x 3+ cos2x + 3- cos2x dx ïìï x = ® t = ï í ïï x = p ® t = ỵï t 3+ t + 3- t dt = 1 ò( 3+ t - ) 3- t dt ïìï a = 16 1 é2 16 - 12 + 3ù ï ê ( 3+ t) + = ¾¾ ® ïí b = - 12 ® P = 36 ( 3- t) ú = ïï ê ú ë3 û0 ïïỵ c = Đáp án D Câu 27 Biết ò A P = - x + ex + dx = a + eb - ec vi a, b, cẻ  Tớnh P = a+ b+ c 2x 4x xe B P = - C P = - D P = Lời giải 4 ị Ta có =ò ( e + x) ( 2e x) x x + ex e2x + 4x + 4ex x + dx = ò dx = ò 2x 4x 4xe2x xe 1 x dx 4 ổ1 ổ 1ử 1ử 1 ữ ỗ dx = ũỗ + xữ ữ d x = x = 1- + = 1+ e- - e- ữ ỗ ỗ xữ ữ ỗ ỗ ữ ố ø e e e e è ø x x 1 ex + x 2ex ìï a = ùù ắắ đ ùớ b = - ¾¾ ® P = a + b+ c = - ïï ïïỵ c = - Đáp án B 2+ x ò Câu 28 Biết 2- x dx = ap + b + c với a, b, cẻ  Tớnh P = a + b+ c A P = - B P = C P = Lời giải D P = é pù 0; ú Suy x = 4cos2 u ¾¾ ® dx = - 4sin2udu Đặt x = 2cosu với u Ỵ ê ê 2û ú ë ìï p ïï x = ắắ đu= ùùớ ùù p đu= ùù x = ắắ ợù i cn p p 4 u cos 2+ 2cosu sin u.cosudu sin2udu = 8ò u 2- 2cosu p sin p p Khi I = 4ò p p p 4 u = 16ò cos2 cosudu = 8ò( 1+ cosu) cosudu = 8ò cosudu + 4ò( 1+ cos2u) du p p p p p = 8sin u p2 +( 4x + 2.sin2u) ìï a = ïï = p - + ắắ đ ùớ b = - ắắ đ P = ùù ùùợ c = p p Đáp án C e Câu 29 Biết I = ò ln2 x + ln x b dx = a ( e+ 2) ( ln x + x +1) A P = - e Ta cú vi a, b ẻ  + Tính P = b- a B P = - ln2 x + ln x ò ( ln x + x +1) e dx = ò C P = Lời giải D P = 10 ln x +1 ln x dx ln x + x +1 ( ln x + x +1) / Đặt ỉ ln x +1 ÷ ln x +1 ln x t= ắắ đ dt = ỗ dx ữ dx =ỗ ỗ ốln x + x +1ữ ứ ln x + x +1 ( ln x + x +1) Đổi cận: ìï ïï x = 1® t = ïï í ïï x = e ® t = ïï e+ ïỵ e+2 Khi I = - ị tdt = - t2 2 e+2 2 = ( e+ 2) Đáp án B p Câu 30 Biết x cos x ò - 1+ x2 + x p dx = a + A P = - 37 p Ta có I = ò p p2 3p + b c với a, b, c số nguyên Tính P = a- b+ c B P = - 35 x cos x 1+ x2 + x p dx = ò x cos x p ( C P = 35 Lời giải ) p 1+ x2 - x dx = ò x p 10 ( D P = 41 ) 1+ x2 - x cos xdx f ( x) Câu 92 Cho hàm số ò A ù 1+ x2 é ëf '( x) û dx = ) f ( x) ị Tích phân ln( 1+ 2) ln 1+ ( có đạo hàm liên tục [ 0;1], 1+ x2 dx C ln 1+ 2- ln 1+ ( B ) ( f( 0) = 0, ( 1) = thỏa mãn ) D ( ) ( ) - ln 1+ Lời giải Tương tự trước, ta có ị f '( x) dx = f ( x) 0 = f( 1) - ( 0) = ù 1+ x2 é ëf '( x) û Do ta có hàm dấu tích phân f '( x) nên liên kết với bình phương é ù ê4 1+ x2 f '( x) + a ú ê ú 1+ x2 û ê ú ë 1 ® f '( x) = Ta tìm a = - ln 1+ ¾¾ ln( 1+ 2) 1+ x2 ( ) ắắ đ f ( x) = ( ) ln 1+ ò dx = 1+ x ( ® f ( x) = Mà f( 0) = 0, ( 1) = 1Þ C = ¾¾ Vậy ị = f ( x) 1+ x ( ) ln 1+ dx = ( ln 1+ ( ò 2) ln2 x + 1+ x2 ( ln x + 1+ x2 1+ x ) ) ln 1+ ( ) ln x + 1+ x2 +C ( ln x + 1+ x2 ( ) ln 1+ ) dx = ( ) 1 ò ln( x + 2) ln 1+ ) ( ) é ù 1+ x2 d êln x + 1+ x2 ú ë û = ln 1+ ( ) Đáp án C Cách Theo Holder ổ1 ữ ữ ỗ 12 = ỗ f ' x d x = 1+ x2 f '( x) dx £ ( ) ÷ ç ị ị ÷ ç ÷ è0 ø 1+ x2 = ( ) ln 1+ ( ò ù 1+ x2 é ëf '( x) û dx.ò dx 1+ x2 ) ln 1+ = 1 Câu 93 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [- 1;1,] thỏa mãn f ( - 1) = 0, ò éëf '( x) ùû dx = 112 - 1 ò x f ( x) dx = - A 16 Tính tích phân I = ò f ( x) dx 84 I = - B 35 I = C I = 35 D I = 168 Lời giải òx Như trước, ta chuyển f ( x) dx = - ìï u = f ( x) ï Þ í ïï dv = x2dx ỵ ị x f ( x) dx = - thông tin f '( x) cách tích phân phần Đặt ìï du = f '( x) dx ïï íï ïï v = x ïïỵ Khi 16 x3 f ( x) - 1 - 1 1 x3 f '( x) dx = f( 1) + ( - 1) - ò x3 f '( x) dx ò 3- 3 3- giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau 35 Tới ta bị vướng f ( 1) ìï du = f '( x) dx ïï ïí ïï v = x + k ïïỵ 1 3 ỉx ỉx ữ ữf ( x) - ũỗ ữf '( x) dx ỗ + kữ ữ ũ x f ( x) dx = ỗỗỗố + kứữ ữ ữ ỗ - è3 ø - - ìï u = f ( x) ï Þ í ïï dv = x2dx ợ Khi ú ổ =ỗ + kữ ữ ç ÷f ( 1) ç è3 ø ỉ1 ç - + kữ ữ ỗ ữf ( - 1) ỗ è ø 1443 444424 444443 với k số ổx3 ữ ữf '( x) dx ũỗỗốỗ + k÷ ÷ ø - =0 f ( - 1) =0 1 +k = Û k =- 3 Ta chọn k cho Khi 1 16 = ị x2 f ( x) dx = - ò( x3 - 1) f '( x) dx ắắ đ ũ( x3 - 1) f '( x) dx = - 16 -1 3- - 2 éf '( x) + a ( x3 - 1) ù ù Hàm dấu tích phân é ê ú ëf '( x) û , ( x - 1) f '( x) nên ta liên kết với ë û ® f '( x) = - 7( x3 - 1) Þ f ( x) = - 7ị( x3 - 1) dx = Ta tìm a = ắắ 35 35 ắắ ắắ đC = ắắ đ f ( x) = - x4 + 7x + 4 f ( - 1) =0 Vậy I = ò f ( x) dx = - x + 7x +C 84 Cách Theo Holder ỉ1 ữ Ê ( - 16) = ỗỗỗũ( x3 - 1) f '( x) dxữ ữ ữ ỗ ữ ố- ø ò( x - 1 16 ù - 1) dx.ò é ëf '( x) û dx = 112 = 256 - 2 Câu 94 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa mãn f ( 1) = 0, ò éëf '( x) ùû dx = - 2ln2 f ( x) ò ( x +1) dx = 2ln2- A ò f ( x) dx Tích phân 1- ln2 B 1- 2ln2 C 3- 2ln2 D 3- 4ln2 Lời giải f ( x) Như trước, ta chuyển ò ( x +1) dx = 2ln2- thông tin f '( x) cách tích phân ìï u = f ( x) ìï du = f '( x) dx ïï ïï ïí phần Đặt ï dv = dx Þ íï ïï ïï v = ( x +1) x +1 ïỵ ïỵ 1 f ( x) f ( x) f '( x) f( 1) ( 0) f '( x) d x = + d x = + +ị dx Khi ị x +1 ò x +1 x +1 ( x +1) 0 thiết không cho Do ta điều chỉnh lại sau ìï u = f ( x) ìï du = f '( x) dx ï ï Khi f ( x) ị ( x +1) f ( 1) =0 = ổ dx = ỗ ỗ ỗ ố - ( - 1+ k) f ( 0) - Ta chọn Khi ú cho 2ln2- ổ ũỗỗỗố0 k ùù ị í dx ïï dv = ïï ( x +1) ợ 1 ổ ỗ + kữ f x ( ) ữ ỗ ũ ữ ỗ ố x +1 ø 0 ï í ïï v = - + k ïïỵ x +1 Tới ta bị vướng f ( 0) giả với k số + k÷ ÷ ÷f '( x) dx = x +1 ø + k÷ ÷f '( x) dx ÷ x +1 ø - 1+ k = Û k = 1 f ( x) =ò dx = ( x +1) 1 x x ò x +1 f '( x) dx ắắđ ũ x +1 f '( x) dx = - 2ln2 0 36 x f '( x) x +1 ù Hàm dấu tích phân é ëf '( x) û , Ta tìm é f '( x) + a nên ta liên kết với ê ê ë x x a = - 1¾¾ ® f '( x) = Þ f ( x) = ò dx = x - ln x +1 +C x +1 x +1 f ( 1) =0 ắắ ắđ C = ln2- 1ắắ đ f ( x) = x - ln( x +1) + ln2- ò f ( x) dx = Vậy x ù ú ú x +1û 1- 2ln2 Đáp án B Cách Theo Holder Câu 95 Cho 2 1 ù ỉ x ư2 ỉ é ỉ3 ưỉ3 x ỳ ữ ữ ỗ ỗ ç ù 2ln2 = f ' x d x £ d x - 2ln2÷ - 2ln2÷ ( ) ÷ êị ữ ũộ ữỗ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỳ ũố ëf '( x) û dx = è ÷ ÷ ÷ ç2 çx +1÷ ç2 ç2 è ø ê0 x +1 ø ø è ø ú 0 ë û hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2], đồng biến [1;2], thỏa mãn 2 ò éëf ¢( x) ùû dx = ị f ( x) f '( x) dx = 1 A Tích phân ị f ( x) dx khai triển vướng C 2 éf ¢( x) ù , f ( x) f ¢( x) ë û B Hàm dấu tích phân f ( 1) = , D 2 Lời giải ù ¢ nên ta liên kết với bình phương é ëf ( x) + a f ( x) û Nhưng ò éëf ( x) ùû dx nên hướng không khả thi Ta có 1= ị f ( x) f '( x) dx = f ( x) 2 1 = f2 ( 2) - ( 1) = f ( 2) - ắắ đ f ( 2) = (do ng biến [1;2] nên f( 2) > ( 1) = ) Từ f ( 1) = f ( 2) = ta nghĩ đến ò f '( x) dx = f ( x) = f( 2) - ( 1) = - = 2 é¢ ù ¢ ù ¢ Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û , f ( x) nên ta liên kết với ëf ( x) + a û f ( 1) =0 đ f '( x) = ắắ ® f ( x) = 2x +C ¾¾ ¾® C = - Ta tìm a = - ¾¾ Vậy f ( x) = 2x - 2 ắắ đ ũ f ( x) dx = Đáp án A f ( x) Câu 96 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 1) = , òf ( x) dx = ị éëf ¢( x) ùû f ( x) dx = Giá trị f ( 2) A - B C ( 12 Lời giải 2 f ( x) ¢ ù Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û f ( x) éf ¢( x) f ( x) + a f ( x) ù ë û ) ( 12 Nhưng khai triển vướng òf ( x) f '( x) dx nên hướng khơng khả thi ị f ( x) dx = 1 kết hợp với f ( 1) = 0, ta ò xf ( x) f '( x) dx = Hàm dấu tích phân éf ¢( x) ù f ( x) ë û xf ( x) f '( x) nên ta liên kết với bình phương éf ( x) f '( x) + a xù ë û ) nên ta liên kết với bình phương Tích phân phần D - ® f ( x) f '( x) = Ta tỡm c a = ắắ xị ò f ( x) f '( x) dx = - ị xdx Þ 37 f ( x) =- x +C ( ) ¾¾ ¾® C = f =0 3 ¾¾ ® f ( x) = ( 1- x2 ) ¾¾ ® f2 ( 2) = - Đáp án A f ( x) Câu 97 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;2], thỏa mãn f ( 2) = , òx f ( x) dx = 32 ò éëf '( x) ùû dx = Giá trị tích phân A - 15 ò f ( x) dx 2 B - 7 C - D Lời giải Hàm dấu tích phân tìm khơng éf '( x) ù ë û x f ( x) Lời khuyên đừng có cố liên kết với bình phương nào, có Tích phân phần ò x f ( x) dx = 15 kết hợp với f ( 2) = , ta ịx f ¢( x) dx = 32 Áp dụng Holder lần ta 4 2 ỉ2 ỉ2 ỉ2 ỉ2 ỉ 32ư ÷ ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ   ỗ ỗ ỗ ỗ = x f x d x = x xf x d x £ x d x x2 é f '( x) ù dx÷ ( ) ( ) ÷ ÷ ữ ữ ỗ ữ ỗũ ỗ ỗ ỗ ũ ũ ũ ỷ ỗ ữ ữ ữ ữ ố5 ứ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ è0 ø è0 ø è0 ø è0 ø 2 ỉ2 ổ2 ữ ỗ 4 ữ ữ ộf '( x) ự dxữ ỗ ỗ Êỗ x d x x d x ữ ỗũ ữ ỗ ũ ũ ỷ ữ ữ ỗ ỗ0 ữ ữ ố0 ø è ø ỉ2 ÷ ÷ ç =ç x d x ´ ç ị ø÷ ÷ ç ÷ è0 4 1048576 ỉ 32ư ÷ ũ ộởf '( x) ựỷ dx = 625 = ỗỗỗố ÷ ÷ ø 2 Dấu '' = '' xảy ra, tức xf '( x) = kx Þ f '( x) = kx thay vào ò ộởf '( x) ựỷ dx = ắắ đ f '( x) = x Þ f ( x) = ị xdx = 32 tìm k = x2 f ( 2) =1 +C ắắ ắđ C = - 2 Vậy f ( x) = x2 - 1ắắ đ ũ f ( x) dx = - Đáp án B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có éf '( x) ù + x4 + x4 + x4 ³ 4x3 f '( x) ë û Do 2 0 ò éëf '( x) ùû dx + 3ò x dx ³ 4ò x f ¢( x) dx Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu '' = '' xảy nên f '( x) = x (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM Câu 98 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 1) = ef ( 0) ò dx + òé f '( x) ù dx £ 2 ë û f ( x) A f ( 1) = 2e e- Mệnh đề sau ? B f ( 1) = 2( e- 2) e- C f ( 1) = 2e2 e2 - Lời giải Ta có ò é AM - GM f '( x) 2ù dx éf '( x) ù dx = ê + éf '( x) ù údx ³ + dx 2 ò ò ò ë û ë û ê ú f ( x) f ( x) êf ( x) ú ë û = 2ln f ( x) 1 = 2ln f( 1) - 2ln ( 0) = 2ln f ( 1) f ( 0) = 2ln e= 38 D f ( 1) = 2( e- 2) e- Mà dx + òé f '( x) ù dx £ 2 ë û f ( x) ò nên dấu '' = '' xảy ra, tức f '( x) = f ( x) Û f ( x) f '( x) = f ( x) ắắ đ ũ f ( x) f '( x) dx = ị xdx Û = x +C ¾¾ ® f ( x) = 2x + 2C Theo giả thiết f ( 1) = ef ( 0) nên ta có 2+ 2C = e 2C Û 2+ 2C = e2 2C Û C = e- ¾¾ ® f ( x) = 2x + 2 2e Þ f ( 1) = 2+ = e- e- e- Đáp án C Câu 99 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1,] có đạo hàm dương liên tục [ 0;1], thỏa mãn f ( 0) = 1 3ù é3 ò êëf ( x) + éëf '( x) ùû úûdx £ 3ò f '( x) f ( x) dx 0 A I = 2( e- 1) B I = 2( e - 1) Tính I = ò f ( x) dx e- C I = D I = e2 - Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương ta có 3 f ( x) f ( x) 3 f ( x) f ( x) ù = éf '( x) ù + éf '( x) ù f ( x) + é f ' x + ³ = f '( x) f ( x) ( ) ë û ë û ë û Suy Mà é ( x) + éf '( x) ù3 ùdx £ f '( x) f ( x) dx ò ë ûú û ù 4é ởf '( x) ỷ = ắắ đ ộ ( x) + éf '( x) ù3 ùdx ³ f '( x) f ( x) dx ò ë ûú û ò êëf ò êëf f '( x) f ( x) = Þ ị f '( x) f ( x) dx = f ( x) = f ( x) Û f '( x) = f ( x) x+C 1 d x ị ln f x = x + C ắắ ® f x = e ( ) ( ) ò 2 Theo giả thiết nên dấu '' = '' xảy ra, tức x ( f ( 0) = 1Þ C = Þ f ( x) = e2 ắắ đ ũ f ( x) dx = ) e- Đáp án A Câu 100 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1], có đạo hàm dương liên tục [ 0;1], thỏa mãn ò xf '( x) f ( x) dx ³ ỉư ÷ ÷ f ( 0) = 1, f ( 1) = e Tính giá trị f ỗỗỗố ứ 2ữ ổử ổử ữ ữ= A f ỗỗỗố ứ 2ữ Hm di du tớch phân f '( x) f ( x) ỉư ữ ữ= B f ỗỗỗố ứ 2ữ xf '( x) f ( x) = x ÷ ÷= e C f ỗỗỗố ứ 2ữ Li gii f '( x) f ( x) , " x Ỵ [ 0;1 ] ỉư ữ= e D f ỗỗỗố ữ ứ 2ữ iu làm ta liên tưởng đến đạo hàm , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: f '( x) f ( x) + mx ³ m xf '( x) f ( x) với m³ x Ỵ [ 0;1.] Do ta cần tìm tham số m³ cho éf '( x) ù xf '( x) ê údx ³ m + m x dx ò êêf ( x) ò ú f ( x) ú ë û hay ln f ( x) +m x2 ³ m.1 Û ln f( 1) - ln 39 ( 0) + m m ³ m Û 2- + ³ m 2 m = m Û m= f '( x) = 4x f ( x) Để dấu '' = '' xảy ta cần có 2- 0+ Với m= thỡ ng thc xy nờn ắắ đũ f '( x) f ( x) dx = ò 4xdx Û ln f ( x) = 2x2 +C Þ f ( x) = e2x +C ìï f ( 0) = ổử 1ữ ù ị C = ắắ đ f ( x) = e2x ắắ đ fỗ ữ Theo gi thiờt ớù ỗ ữ= e ỗ ố 2ø f = e ïỵ ( ) Đáp án C Cách Theo Holder 2 æ1 xf '( x) ỉ1 f '( x) ÷ ÷ ç ç ÷ ç £ç d x = x dxữ ữ ữ ỗ ỗ ũ ũ ữ ữÊ ç ç ÷ ÷ f ( x) f ( x) ứ ỗ0 ỗ0 ố ứ ố f '( x) Vậy đẳng thức xảy nên ta có f x = kx, thay vào ( ) ò ò xdx.ò 0 xf '( x) f ( x) f '( x) f ( 1) dx = ln = f ( x) f ( 0) dx = ta k = f '( x) Suy f x = 4x (làm tiếp trên) ( ) Câu 101 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa mãn ò éëf ( x) f '( x) ùû dx £ f ( 0) = 1, f ( 1) = ỉư ÷ Tính giỏ tr ca f ỗỗỗố ữ ứ 2ữ ổử ổử ữ ữ A f ỗỗố ữ= ỗ2ứ ổử ữ= B f ỗỗố ữ ỗ2ữ ứ ổử ữ= e ữ ữ= e C f ỗỗố D f ỗỗỗố ứ ữ ỗ2ữ ứ 2ữ Li gii Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với ù f x f' x Hàm dấu tích phân é ëf ( x) f '( x) û Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm ( ) ( ) , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: éf ( x) f '( x) ù + m³ m f ( x) f '( x) với m³ ë û Do ta cần tìm tham số m³ cho ò( éëf ( x) f '( x) ùû + m) dx ³ 2 mò f ( x) f '( x) dx hay 1+ m³ m f ( x) Û 1+ m³ m Để dấu '' = '' xảy ta cần có 1+ m= m Û m= éf ( x) f '( x) = ù = 1Û ê f x f ' x ( ) ( ) Với m= đẳng thức xảy nên é êf x f ' x = - ë û ê ë( ) ( ) 1 ® ị f ( x) f '( x) dx = f ( x) f '( x) = - 1¾¾ ị dx Û f ( x) 0 f ( x) f '( x) = 1ắắ đ ũ f ( x) f '( x) dx = ò dx Û f ( x) =- x Û 1= - = x +C ắắ đ f ( x) = 2x + 2C ìï f ( 0) = ổử 1ữ ù ị C = ắắ đ f ( x) = 2x +1 ắắ đ fỗ ữ= Theo gi thiờt ớù ỗ ỗ ố2ữ ứ ùùợ f ( 1) = Đáp án A f ( x) 1 2 f x f ' x d x = = é ( ) ( ) ( 0) ù Cách Ta có ị êf ( 1) ú= ë û (vô lý) Theo Holder 40 ổ1 ữ ỗ =ỗ f ( x) f '( x) dxữ Ê ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ ố0 ứ 1 ò1 dx.ò éëf ( x) f '( x) ùû dx £ 1.1= 0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '( x) f ( x) = k, thay vào ò f ( x) f '( x) dx = ta k = Suy f '( x) f ( x) = (làm tiếp trên) Câu 102 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục [1;2], thỏa mãn éf '( x) ù ò ëxf ( x)û dx £ 24 f ( 1) = 1, f ( 2) = 16 Tính giá trị f ( 2) A f ( 2) = B f ( 2) = C f ( 2) = Lời giải D f ( 2) = éf '( x) ù éf '( x) ù û = ë û Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm Hàm dấu tích phân ë xf ( x) x f ( x) muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: éf '( x) ù ë û + mx ³ m f '( x) với m³ x Ỵ [1;2] xf ( x) f ( x) Do ta cần tìm tham số m³ cho f '( x) f ( x) , ổộf '( x) ự2 ỗ f '( x) ữ ỷ + mxữ ỗ ữ d x m dx ỗ ữ ũỗỗỗ xf ( x) ũ ÷ ÷ f ( x) è ø hay 24 + 2m ³ m f ( x) Û 24 + Để dấu '' = '' xảy ta cần có 24 + 2m ³ mé f( 2) ê ë Û 24 + ( 1) ù ú û 2m ³ 12 m Û m= 16 2m = 12 m Û m= 16 Vi m= 16 ắắ đũ ộf '( x) ù û = 16x Þ f '( x) = 2x đẳng thức xảy nên ë xf ( x) f ( x) f '( x) f ( x) f ( x) = x2 +C ¾¾ ® f ( x) = ( x2 +C ) dx = ị 2xdx Û ìï f ( 1) = ï Theo giả thiết íï ïỵ f ( 2) = 16 ị C = ắắ đ f ( x) = x4 ắắ đf ( 2) = ỏp án D Cách Ta có ị f '( x) f ( x) f '( x) dx = 2.ò f ( x) dx = f ( x) = 2é ê f( 2) ë ( 1) ù ú= û Theo Holder 2 ỉ2 f ' x ỉ1 ÷ f '( x) ( ) ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ =ỗ d x = x d x ỗ ữ ỗ ữÊ ũ ũ ỗ ỗ xf ( x) ữ ữ ữ ỗ f ( x) ữ ỗ1 ố ứ ố ứ Vy ng thc xảy nên ta có f '( x) f ( x) = 4x f '( x) xf ( x) =k x Û f '( x) f ( x) 2 é f '( x) ù x2 x d x ò ò ëxf ( x)û dx £ 1.24 = 36 1 2 = kx, thay vào ò f '( x) f ( x) dx = ta k = Suy (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân x Câu 103 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f ¢¢( x) ³ e + x f ¢( 2) = 2e, f ( 0) = e2 Mệnh đề sau đúng? A f ( 2) £ 4e- B f ( 2) £ 2e+ e C f ( 2) £ e - 2e 41 D f ( 2) > 12 Lời giải Từ giả thiết x f ¢¢( x) ³ e + x ta có x ïì u = x t ùớù dv = f  x ị ( ) îï ò 2 ò ( e + x) dx x f ¢¢( x) dx ³ ( 1) x ïìï du = dx í ïï v = f Â( x) ợ Khi ú ( 1) x f ¢( x) - ị 0 ổx x2 ữ f Â( x) dx ỗ e + ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố ổx x2 ữ x f Â( x) - f ( x) ỗ ỗe + ữ ữ ữ0 ỗ 2ứ 0 ố 2 ự ¢ ¢ ù é Û é ë2 f ( 2) - ( 0) û- ëf( 2) - ( 0) û³ e + 2- Û f ( 2) £ 4e- (do f ¢( 2) = 2e, f ( 0) = e2 ) Chọn A f ( x) = 2, f ( x) = biểu thức Câu 104 Cho hàm số f ( x) dương liên tục [1;3], thỏa max [1;3] [1;3] 3 S = ò f ( x) dx.ò 1 dx f ( x) đạt giá trị lớn nhất, tính I = ị f ( x) dx A B C D Lời giải Từ giả Suy thiết ta có £ f ( x) £ , suy é ù êf ( x) + údx £ dx Û ò êê ò2 f ( x) ú ú ë û 3 3 ò f ( x) dx + ò 1 æ ỗ dx Ê ũ f ( x) dx.ỗ 5ỗ ç f ( x) è Khi S = ò f ( x) dx.ò f ( x) + £ f ( x) dx £ Û f ( x) ò 1 dx £ 5f ( x) ò f ( x) dx 25 ÷ ÷ f x d x £ ( ) ÷ ị ÷ ÷ ø ỉ 5ư ÷ + 25 £ 25 ) (dạng t( 5- t) = - t2 + 5t = - ỗỗỗt - ữ ữ ố Dấu " = " xảy 2ø 4 ò f ( x) dx = Đáp án D Câu 105 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ , thỏa mãn f ( x) + f ¢( x) £ với x Ỵ ¡ f ( 0) = Giá trị lớn f ( 1) A e- B Từ giả thiết e- e C e e- D e Lời giải f ( x) + f ¢( x) £ 1, nhân thêm hai vế cho ex để thu đạo hàm x ù¢£ ex , " x Î ¡ ex f ( x) + ex f ¢( x) £ ex , " x Ỵ ¡ Û é ê ëe f ( x) ú û Suy ¢ x ị éëêe f ( x) ùûú dx £ 1 x x òe dx Û éëêe f ( x) ùûú0 £ e- 1Û éëef( 1) - ( 0) ùû0 £ e- e- ắắ ắđ f ( 1) Ê e f ( 0) =0 Đáp án B Câu 106 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f ¢( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn A ln2018 1 ¢ ù dx + ò é ëf ( x) û dx é ù ëf ( x) û C m= 2e D m= 2018e f( 1) = 2018 ( 0) Giá trị nhỏ biểu thức M = ò B 2ln2018 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 42 M =ò 1 f ¢( x) éf ¢( x) ù dx ³ d x + dx = 2ln f ( x) ò ò ë û f ( x) éf ( x) ù 0 ë û 1 = 2ln f ( 1) f ( 0) x) f ¢( x) dx = - = 2ln2018 Đáp án B Câu 107 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] ò( 1- thức ò éëf ( x) ùû dx - f ( 0) Giá trị nhỏ nhật biểu A B C - D - Lời giải Tích phân phần ị( 1- x) f ¢( x) dx = 1 , f ( 0) - ta = 2ò( 1- x) f ( x) dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2ò( 1- x) f ( x) dx £ Từ suy ị éëf ( x) ùû dx ³ 2ò( 10 Û ò éëf ( x) ùû dx ³ f ( 0) - Vậy ò( 1- ò éëf ( x) ùû dx - ( 1- x) + 3 f ( 0) ³ - x) f ( x) dx - 2 ò( 1- x) dx + ò éëf ( x) ùû dx x) dx Đáp án D Câu 108 Cho hàm số f (x) liên tục [0; 1] thỏa mãn ò xf ( x) dx = max f ( x) = [0; 1] Tích phân ò e f ( x) dx x thuộc khoảng no cỏc khong sau õy? A ổ 5ử ỗ - Ơ ;- ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ B ổ3 ỗ ; eỗ ỗ ố2 1ữ ữ ữ ứ C ổ 3ử ỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ D ( e- 1; +¥ ) Lời giải Với số thực ¡ x ị e f ( x) dx - 1 = ò f ( x) ( e x a x) dx £ x ta có ị e f ( x) dx = ò f ( x) e x a x dx £ ò a xf ( x) dx òe x a x dx Suy 1 a ïü ïì x x e f x d x £ e a x d x £ ex - a x dx = í e- 1- ý = e- ( ) ị ¡ ị a Ỵ [ 0;1] ị a Ỵ [ 0;1] ù 2ỵ ùù ợù 0 ỏp án C x Câu 109 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục [ 0;1.] Đặt g( x) = 1+ ò f ( t) dt Biết g( x) £ f ( x) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân ị g( x) dx có giá trị lớn A B C D Lời giải ìï g( 0) = ï Từ giả thiết g( x) = 1+ ị f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x ẻ [ 0;1.] ùợ g'( x) = f ( x) x ® g( x) £ g'( x) Û Theo giả thiết g( x) £ f ( x) ¾¾ g'( x) g( x) 43 ³ 1Û g'( x) g2 ( x) ³ t Suy g'( x) ò g ( x) t dx ³ Do ị1dx, " t ẻ [ 0;1]ơắđ0 1 ũ g( x) dx Ê ò( 10 Đáp án B Câu 110 Cho hàm số g( x) t 0 x) dx = f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1], thỏa mãn x f ( x) £ 1+ 3ò f ( t) dt = g( x) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân A 1 + ³ tÛ £ 1- t g( t) g( 0) g( t) t ³ x Û - ò g( x) dx có giá trị lớn B C D Lời giải ìï g( 0) = ï Từ giả thiết g( x) = 1+ 3ò f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x ẻ [ 0;1.] ùợ g'( x) = f ( x) x ég'( x) ù û Û g'( x) £ ® g( x) ³ ë Theo giả thiết g( x) ³ f ( x) ¾¾ g( x) t g'( x) t Suy ò g( x) dx £ ũ dx, " t ẻ [ 0;1]ơắđ 0 Do ị g( x) dx £ æ ö g( x) t £ t x Û g( t) - g( 0) £ tÛ g( t) £ t + ữ ũỗỗỗố2 x +1ứữ ữdx = Đáp án B x Câu 111 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1], thỏa mãn f ( x) £ 2018+ 2ò f ( t) dt với x Ỵ [ 0;1.] Biết giá trị lớn tích phân ị f ( x) dx có dạng ae2 + b vi a, bẻ  Tớnh a+ b A B 1009 C 2018 Lời giải D 2020 ìï g( 0) = 2018 ï Đặt g( x) = 2018+ 2ị f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1.] ïỵ g'( x) = f ( x) g'( x) g'( x) ® g( x) ³ Û £ Theo giả thiết g( x) ³ f ( x) ¾¾ g( x) t t t t g'( x) d x Ê 2dx, " t ẻ [ 0;1] ơắ đ ln g( x) £ 2x Suy ò ò g( x) 0 0 Û ln g( t) - ln g( 0) £ 2t Û ln g( t) £ 2t + ln2018 Û g( t) £ 2018.e2t x Do ị f ( x) dx £ 2x 2x ò g( x) dx £ 2018ò e dx = 1009e 0 = 1009e2 - 1009 Đáp án A x2 Câu 112 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1.] Đặt g( x) = 1+ ò f ( t) dt Biết g( x) ³ 2xf ( x2 ) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân ị g( x) dx có giá trị lớn A B C Lời giải e- ì ïï g( 0) = Từ giả thiết g( x) = 1+ ò f ( t) dt, ta có íï g( x) > 0, " x ẻ [ 0;1.] ùùợ g'( x) = 2xf ( x ) x2 g'( x) ® g( x) ³ g'( x) Û £ Theo giả thiết g( x) ³ 2xf ( x ) ¾¾ g( x) 44 D e+1 t Suy g'( x) ò g( x) t dx £ ò1dx, " t ẻ [ 0;1]ơắđ ln g( x) t Êx t Û ln g( t) - ln g( 0) £ t Û ln g( t) £ t Û g( t) £ e t 1 ò g( x) dx £ Do ị e dx = ex Đáp án B 2ù Nhận xét Gọi F ( t) nguyên hàm hàm số f ( t) đoạn é ê ë0; x ú û Khi g( x) = 1+ F ( t) x2 / ù / / 2 = 1+ F ( x2 ) - F ( 0) ¾¾ ® g'( x) = é êF ( x ) û ú = ( x ) F ( x ) = 2xf ( x ) ë Câu 113 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa f '( x) ³ f ( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1.] Giá trị lớn f ( 0) ò biểu thức dx f ( x) A B e- e C e+1 e D e- Lời giải f '( x) Từ giả thiết f '( x) ³ f ( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1] ta có f x ³ 1, " x Î [ 0;1.] ( ) f '( x) t Suy ị f ( x) Do f ( 0) ò t dx ³ ò1dx, " t Î dx £ f ( x) 1 ũe x t t 0 [ 0;1] ơắđ ln f ( x) ³ x Û ln f ( t) - ln f ( 0) ³ t Û f ( t) ³ f ( 0) et dx = e- e Đáp án B p Câu 114 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;p], thỏa mãn p ò f ( x) dx = ò cosxf ( x) dx = Giá trị nhỏ tích p phân ịf ( x) dx A p B p C p 2p D Lời giải Theo Holder ép ù ú£ cos xf x d x ( 1) = ê ( ) êò ú ê0 ú ë û p Suy òf ( x) dx ³ p p p p p 2 òcos xdx.ò f ( x) dx = 2.ò f ( x) dx 0 (Đến bạn đọc chọn A) p Dấu '' = '' xảy f ( x) = k cos x thay vào ò f ( x) dx = ta p p 1= ò f ( x) dx = kò cos xdx = k.sin x 0 p = 0 Điều hoàn toàn vơ lý Lời giải Ta có p ìï ïï a = acos xf ( x) dx ò ïï p p ï f x d x = cos xf x d x = ắắ đ ( ) ( ) í ị ị p ï ïï 0 ïï b = ị bf ( x) dx ïỵ ïì a, b Ỵ ¡ với ïíï 2 Theo Holder ép ù ú ( a + b) = ê êò( acos x + b) f ( x) dxú £ ê0 ú ë û 45 p p 0 2 ò( acosx + b) dxò f ( x) dx ïỵ a + b > Lại có p ò( acosx + b) 2( a+ b) p òf Từ suy ( x) dx ³ Do ị f ( x) dx ³ dx = p( a2 + 2b2 ) 2 với a, bỴ ¡ a2 + b2 > p( a2 + 2b2 ) p ìï ( a + b) ü ï ï = .max ïí 2ý ïï a + 2b ùù p p ù ợù ỵ ỏp ỏn B Nhn xét: Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số ( a+ b) Cách tìm giá trị lớn P = ta làm sau: a + 2b ® P = (chính đáp án sai mà làm trên) Nếu b = ắắ ổử aữ a ỗ ữ + +1 t= ab ỗ ỗbữ ( a+ b) ố ứ t + 2t +1 b b ắắ ®P = = = 2 a + 2b t2 + ổử aữ ỗ ữ+2 ỗ ỗ èb÷ ø Nếu dị tìm Kết thu GTLN P Tới ta khảo sát hàm số dùng MODE a b ® = Û a = 2b t = ¾¾ ïì a = 2b Vậy dấu '' = '' để tốn xảy ïíï f x = b 2cosx +1 thay ngược lại điều kiện, ta ( ) ïỵ ( ) p ịb( 2cosx +1) dx = 1 2cos x +1 ắắ đ f ( x) = p p b= p Lúc p ịf ỉ 2cos x +1ư ÷ dx = ÷ ÷ è ø p p ( x) dx = ũỗỗỗ Cỏch khỏc a v bỡnh phương 2 ù Hàm dấu tích phân f ( x) , f ( x) , cos xf ( x) nên ta liến kết với é ëf ( x) + a cos x + bû Với số thực a, b ta có p p p p 0 2 ò éëf ( x) + a cos x + bùû = ò f ( x) dx + 2ò( a cos x + b) f ( x) dx + ò( a cos x + b) dx p p = ò f ( x) dx + 2( a + b) + a + pb 2 p Ta cần tìm a, b cho 2( a + b) + a + pb2 đạt giá trị nhỏ Ta có 2 ổ 1ử p p ổ 2ữ ữ ỗ 2( a + b) + a + pb = ỗ a + + p b + ữ ữ ç ç ÷ ç ç ø è 2è p÷ pø ; b =p p Vậy với a = - 3 ³ - p p ta có p p é 1ù ê ú f x cos x = f ( x) dx - ( ) ò ëê ò p pú p û 0 p Suy p é 1ù 3 f x d x = ( ) ò ò êêëf ( x) - p cosx - p úúû + p ³ p 0 Dấu '' = '' xảy f ( x) = p Câu 115 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;p], thỏa mãn 2cos x +1 p p ò sin xf ( x) dx = ò cosxf ( x) dx = Giá trị nhỏ p tích phân ịf ( x) dx A p B p C 46 p D 2p Lời giải ù Liên kết với bình phương é ëf ( x) + a sin x + b cosxû p ò éëf ( x) + a sin x + b cosxùû dx Ta có p p 0 p ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2ò( a sin x + b cos x) f ( x) dx + ò( a sin x + b cos x) dx p 2 pa pb ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2( a + b) + + 2( a + b) + Phân tích pa pb p ỉ 2ư p ỉ 2ư + = ỗ a+ ữ b+ ữ ữ+ ỗ ữ ỗ ỗ ữ- p ỗ ỗ ứ 2ố 2 2è p÷ pø Đáp án C Câu 116 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1], thỏa mãn x ò f ( x) dx = ò e f ( x) dx = 1 tích phân Gọi m giá trị nhỏ ò éëf ( x) ùû dx Mệnh đề sau đúng? A < m< Từ giả thiết, ta có B 1< m< C < m< Lời giải D < m< ìï ïï a = aex f ( x) dx ị ïï ï í ïï ïï b = bf ( x) dx ò ïï ỵ Theo Holder é1 ù x ú a + b = ( ) ê êò( ae + b) f ( x) dxú £ ê ú ë û x ò( ae + b) dxị f ( x) dx 0 Lại có 1 x 2x x ò( ae + b) dx = ò( a e + 2abe + b ) dx = Suy Do ịf ( x) dx ³ ( a + b) ( e - 1) a2 + 2( e- 1) ab+ b2 2 với a, bỴ ¡ a2 + b2 > e - 1) a2 + 2( e- 1) ab+ b2 ( ìï ü ïï ïï ïï a + b ( ) 1 ï + » 3,1316 ý = - 1+ ị f ( x) dx ³ maxíïï ï 3- e e- 2ï e a + e ab + b ( ) ( ) ùù ùù ù ợù ỵ Đáp án D Câu 117 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] thỏa mãn ò f ( x) dx = ò x f ( x) dx = Giá trị nhỏ tích phân ịf ( x) dx A B C Lời giải Từ giả thiết, ta có ìï ïï a = a x f ( x) dx ò ïï ï í ïï ïï b = bf ( x) dx ị ïï ỵ Theo Holder 47 D ỉ1 ÷ £ ( a + b) = ỗỗỗũ a x + b f ( x) dxữ ữ ữ ỗ ữ ố0 ứ ( ) ò( a ) x + b dx.ò f ( x) dx Lại có ị( a ) x + b dx = ( a+ b) òf Suy ( x) dx ³ a2 4ab + +b 2 a 4ab với a, bỴ ¡ a + b > + +b ïìï ïü ïï ïï a + b ( ) ïï ï ý = Do ị f ( x) dx ³ maxíï ïï a + 4ab + b2 ïïï ïỵï ùỵ ù ỏp ỏn D ù Cách Liên kết với bình phương é êf ( x) + a x + bû ú ë p ị éëêf ( x) + a Ta có x + bù ú dx û p p 0 ( p ) ( ) ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2ò a x + b f ( x) dx + ò a x + b dx p a ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2( a + b) + + ab + b Phân tích 2( a + b) + ỉ a2 + ab + b = ç b + a +1÷ + ( a + 6) - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 3 18 Câu 118 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2], thỏa òx f ( x) dx = 31 Giá trị nhỏ tích phân ịf ( x) dx A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta D 923521 2ư 2 ỉ ỉ2 é2 ù÷ ổ2 ổ2 ổ2 ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ỗ 4 2 4 ỗờ ỳ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ 31 = ỗ = ỗờũ x xf ( x) dxỳ ữ Ê ỗ Êỗ ỗ ỗ ỗ ç ị x f ( x) dxø÷ ị x dx÷ ò x f ( x) dx÷ ò x dx÷ ò f ( x) dx ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ố1 ố ứ ố ứ ố ứ ỗờ ỳ 1 1 ûø èë1 Suy ò f ( x) dx ³ 314 ỉ2 ữ ỗ ỗ x4dxữ ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ è1 ø = 3875 ® f ( x) = 5x2 Dấu '' = '' xảy f ( x) = kx nên kò x dx = 31 Û k = ¾¾ Đáp án B Câu 119 Cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm đến cấp [ 0;2] thỏa f( 0) - ( 1) + f ( 2) = Giá trị nhỏ tích phân ò éëf ''( x) ùû dx A 3 B C D Lời giải Ta có 1 ò éëf ''( x) ùû dx = 3ò x dx.ò éëf ''( x) ùû dx 0 Holder ổ ữ ỗ 3ỗ x f ''( x) dxữ ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ ố0 ø 48 { udv==xf ''( x) dx = ù 3é ëf'( 1) + ( 0) - f ( 1) û ; 2 2 1 Holder 2 ò éëf ''( x) ùû dx = 3ò( x - 2) dx.ò éëf ''( x) ùû dx ³ { u=x- dv= f ''( x) dx = ù 3é ë- f'( 1) + ( 2) - f ( 1) û Suy ổ2 ữ ữ ỗ 3ỗ x f '' x d x ( ) ( ) ữ ỗ ũ ữ ỗ1 ữ ố ứ ũ éëf ''( x) ùû dx ³ ù é 3é ëf'( 1) + ( 0) - f( 1) û + 3ë- '( 1) + f( 2) - ( 1) ù û éf( 0) - ( 1) + f ( 2) ù û= ³ ë 2 Đáp án B Nhận xét: Bài giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a2 + b2 ³ Câu 120 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm [1;3] ò éëf '( x) ùû dx ( a + b) f ( x) = 10 f ( 1) = 0, max [1;3] Giá trị nhỏ tích phân A B C 10 Li gii max f x = 10 ắắ ắ đ$ x Ỵ ;3 ( ) [ ] f x Vì [1;3] cho ( ) = 10 f ( 1) =0 ắắ ắđ$x0 ẻ ( 1;3] D 20 cho f ( x0 ) = 10 Theo Holder ổx0 ữ ỗ ỗ f '( x) dxữ ữ ỗ ũ ữÊ ỗ ữ ỗ ố1 ứ ổx0 ổ x0 ỗ ố1 ữ ứ ố ữ ỗ ữ =ỗ f ( x) M ỗỗỗũ f '( x) dxữ ữ ỗ ỗ ỗ x0 T ú suy 2 ự ắắ đ ũộ ởf '( x) û dx ³ x0 1 2 x0 10 x0 - ò éëf '( x) ùû dx ³ x0 2 ò1 dx.ò éëf '( x) ùû dx = ( x0 - 1) ị éëf '( x) ùû dx ÷ ÷ = ( f ( x0 ) - f ( 1) ) = 10 ÷ ÷ ø ị éëf '( x) ùû dx ³ x0 10 10 ³ x0 - 3- Đáp án B 49 ... dx = ò f ( x) dx 3 1 ò f ( x)dx Tích phân A 8ln2 27 ln2 27 B C D Lời giải Nhận thấy có tích phân khác cận ò f ( x) dx Bằng cách đổi biến x = t3 ta thu tích phân 2 1 3ò t2 f ( t3 ) dt = 3ò... 1 ò x f ( x) dx = Tích phân A ị f ( x) dx B Hàm dấu tích phân C éf ¢( x) ù , x2 f ( x) ë û ò x f ( x) dx = x3 f ( x) suy ịx D Lời giải khơng có mối liên hệ với Dùng tích phân phần ta có f... x) dx = Tích p ò xf ( x) dx phân A - p B - p C p D p Lời giải Hàm dấu tích phân f ( x) f '( x) sin x , không thấy liên kết p Do ta chuyển thơng tin f '( x) sin x f ( x) cách tích phân phần
Ngày đăng: 29/12/2020, 22:51
Xem thêm: