Ôn thi Toán THPT 2019 Phương trình bất phương trình Logarit

Bộ GDĐT đã đưa ra bộ đề thi mẫu cho 14 môn học giúp học sinh xác định được cấu trúc và dạng bài cần ôn tập. Dựa trên đề Toán mẫu, nhiều giáo viên tổ Toán đã xây dựng bảng phân tích ma trận kiến thức thi THPT quốc gia 2019 môn Toán. Các phân tích cụ thể này sẽ hỗ trợ học sinh trong việc tự học và ôn thi THPT quốc gia 2019. Mỗi bản phân tích ma trận kiến thức gồm có các nội dung: cấu trúc, dạng bài, so sánh đề thi 2018 và định hướng, lưu ý dành cho các thí sinh.

Câu 1: [2D2-6-4] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Gọi S tập hợp tất m giá trị cho phương trình 10m  2log mx5  x  5x    log mx 5 x  x   có nghiệm Tìm số phần tử S A 15 B 14 C 13 D 16 Lời giải Chọn A Ta có: x  x   với x nên phương trình 2log mx5  x  5x    log mx 5 x  x   tương đương với  mx    mx   mx     mx   2 x  x     x2 2 x  x   x  x      x  Phương trình có nghiệm tương đương với ta nhận nghiệm x  loại x  nhận nghiệm x  loại x  + Trường hợp 1: Nhận nghiệm x  loại x  Điều tương đương với    m   m      2m   m  (vơ lí)  5m   m 1     5m     m   + Trường hợp 2: Nhận nghiệm x  loại x  Điều tương đương với     m  m 1    5m    1  m      5m   m    2m       m       2m  m     m  Suy ra: 10m  30  10  10m  25    m  12 nên 10m 11;13;14 ; 25  30 Vì 10m  Trong tập hợp có 15 phần tử nên tập hợp S có 15 phần tử 11 13 14 25   30  Chú ý: m   ; ; ;     10 10 10 10  10  Câu 2: [2D2-6-4] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho phương trình     log x  x  log x  x   log x  x  Biết phương trình có   logb c a  a  logb c (với a , c 2 số nguyên tố a  c ) Khi giá trị a  2b  3c bằng: nghiệm nghiệm lại có dạng x  A B C D Lời giải Chọn B 1  x  Điều kiện   *  x  x       log x  x  log x  x   log x  x     log x  x  log3 x  x 1      log x  x        log x  x  log 6.log x  x   log x  x        log x  x  log3 6.log x  x   1      log x  x     log 6.log x  x     1  x    1 2  x  x    x2 1  x    2  x  x   x         log  x     x  log  1  log x  x   log  x  x 1  2 x log6  log6  x   log6 x   x 1    x   log6  2 log6  log6  log6 3 (thỏa mãn * ) Như phương trình cho có nghiệm x  , x    log6  log6 3 Khi a  , b  , c  Vậy a  2b  3c  Câu 3: [2D2-6-4] [THPT Đô Lương - Nghệ An - 2018 - BTN] Xét số thực dương x, y x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị lớn thỏa mãn log x  y  xy  3x  y  P x y6 B A C D Lời giải Chọn B Ta có log x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2  log  x  y    x  y    log  log  x  y    x  y   log 3 x  log  log 3  x  y    x  y   log x  y  xy     x  y  xy   x  y  xy     x  y  xy    y  xy     x2  y  xy   * Xét hàm số f  t   log t  t , với t  có f   t     , t  t.ln Vậy hàm số f  t  liên tục đồng biến khoảng  0;   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y    x  y 1  Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   Đẳng thức xảy x  y  Do từ 1 , suy ra:  x  y  1 x   x  y   3 x  y   Đặt t  x  y , t  2 x  y 1 x  Suy ra: P  x y6 Ta có: f   t    t  1 2t    t  3t  t 6 3t  36t  135 t  6  3t  22t   f t  t  6   t  (nhận) Bảng biến thiên t  f  t    f t  Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3   0;  x  y 1 x    x  y   y  Câu 4: [2D2-6-4] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2-2018) Trong tất cặp  x; y  thỏa mãn  x; y  log x2  y2 2  x  y    Tìm m để tồn cặp cho x2  y  x  y   m  B 13  A 13  13  C  13   D    13  13   Lời giải Chọn D Điều kiện x  y   Ta có log x2  y2 2  x  y     x  y   x  y    x  1   y    2 Tập hợp cặp số  x; y  hình tròn  C1  có tâm I1 1; 2  , bán kính R1  Mặt khác ta lại có x  y  x  y   m    x  1   y  1  m 2 Khi m  khơng tồn cặp số  x; y   x  1  x  1 2 Khi m   x  1   y  1    Do cặp số  y 1 y 1 không thỏa mãn bất phương trình  x  1   y    nên c  không thỏa mãn 2 Khi m   x  1   y  1  m đường tròn  C2  có tâm 2 I  1;1 , bán kính R2  m  1  1  1    13 Để tồn cặp  x; y  hai đường tròn  C1   C2  phải Ta có I1 I  2  I1 I  R1  R2 tiếp xúc với   I1 I  R1  R2 Khi I1I  R1  R2  13   m  m  13   m  Khi I1I  R1  R2  13      13  m 3  m  m    m   13  m   13 Câu 5: [2D2-6-4] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần - 2018) Cho phương trình  log3 x   3m log3  3x   2m2  2m   Gọi S tập hợp tất số tự nhiên m mà phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1  x2  10 Tính tổng phần tử S A B C D 10 Lời giải Chọn C Điều kiện: x  PT:  log3 x   3m log3  3x   2m2  2m     log3 x   3m log3 x  2m2  m   1 Đặt t  log x , ta được: t  3mt  2m  m     Để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1  x2    có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa 3t1  3t2  10 +   có hai nghiệm phân biệt:   9m2   2m2  m  1   m  4m    m  + Khi   có hai nghiệm phân biệt t1  m  t2  2m  10 Ta có: 3t1  3t2  10 10 10  3 m 1  32 m 1    2m  m 3.3 3 3   m 10     3   m  m         Mà m Câu 6: [2D2-6-4] nên không tồn m (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần - 2018) Cho a, x số thực dương, a  thỏa mãn log a x  log  a x  Tìm giá trị lớn a B log  2e  1 A C e ln10 e D 10 log e e Lời giải Chọn D Ta  có: log a x  log  a x   log a x  x log a  log x  x log a log a log x   log a  x Giá trị a lớn log a lớn log x với x  x  ln x Ta có f   x   ; f  x   x  e x ln10 Ta có bảng biến thiên Xét hàm số f  x   Từ bảng biến thiên suy  log a  lớn log e Khi e log e log e log e  a  10 e  log a  e e Câu 7: [2D2-6-4] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình  log a   log3  x  5x  m   log3  x   có tập nghiệm chứa khoảng  2;   Tìm khẳng định A S   7;   B S   6;   C S   ;  D S   ;5 Lời giải Chọn A x   x   log3  x  5x  m   log3  x     2 x m    x x  m   x x   2   Bất phương trình log3  x  5x  m   log3  x   có tập nghiệm chứa khoảng  2;    m   x  x  có nghiệm với x   2;   Xét hàm số f ( x)   x  x   2;   Ta có f   x   2 x  , f   x    x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có: m   x  x  có nghiệm với x   2;    m  Câu 8: [2D2-6-4](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Gọi a giá trị nhỏ  log3  log3 3 log3   log3 n  f n  , với n , n  Có số n 9n để f  n   a ? A C B vô số Lời giải Chọn A log  n  1 log n 9  f  n   f  n  1 Do a giá trị nhỏ f  n  nên f  n   a    f  n   f  n  1 Ta có f  n  1  f  n  , f  n   f  n  1 D  log  n  1  f  n   f  n  log  n  1  9  39   n  39   log n   f  n  1 log n  f  n  1  Vậy có giá trị n thỏa yêu cầu toán Câu 9: [2D2-6-4] (THPT Đồn Thượng - Hải Phòng - Lân - 2017 - 2018 - BTN) Tìm giá trị gần tổng nghiệm bất phương trình sau:     22 22  log x  log x   13  log x  log x    24 x  x  27 x  x  1997 x  201 22 22   3   A 12, B 12 C 12,1 D 12, Lời giải Chọn C Điều kiện:  x  Ta có 24 x  x5  27 x  x3  1997 x  2016   x3  x2    x3  1  22 x6  26 x4  1997 x2  2015  , x 2 Do bất phương trình cho tương đương với     22 22  log x  log x   13  log x  log x    22 22   3   Đặt t  log x 22 , ta có bất phương trình 2t  2t   2t  4t   13 2  1 3  t        2  2 1  t   12  13 13  3 Đặt u   t  ;  v  1  t ;1 Ta có u  v  u  v   2 4 22     2t    3t  t   x  Dấu xảy    12, 06 1 t   t Nghiệm thỏa điều kiện nên ta Chọn C Câu 10: [2D2-6-4] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số  an  thỏa mãn a1  an  10an 1  1, n  Tìm giá trị nhỏ n để log an  100 A 100 B 101 C 102 D 103 Lời giải Chọn C 1  an  10an1   an   10  an1   (1) 9  1 Đặt bn  an   b1  a1   Từ (1)  bn  10bn 1 , n  9 Dãy  bn  cấp số nhân với công bội q  10 Nên bn  b1.q n 1  10n 1 Do an  bn  n 1  10  , n  1, 2, 9 Ta có log an  100  a n  10100  10n 1   10100 9 Vậy giá trị nhỏ n để log an  100 n  102 Câu 11: [2D2-6-4] [SGD – HÀ TĨNH] Biết tập nghiệm bất phương trình log3   x  x    log  x  x     a; b  Khi tổng a  2b A B C D Lời giải Chọn C Xét hàm số f  x   log3   f   x    x  1  2  Dễ đánh giá    x  x    log  x  x    x2  x   g  x  x       x  x  ln  x  x  5 ln    x2  x    0, x  x  ln  x  x  5 ln  Bảng biến thiên: x  y –   y 4 Có f    f 1  dựa vào bảng biến thiên ta có f  x    x   0;1 Vậy a  0; b  ; suy a  2b  Câu 12: [2D2-6-4] (SGD Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số  un  thỏa mãn log3  2u5  63  2log  un  8n  8 , n  nguyên dương lớn n thỏa mãn A 18 * Đặt Sn  u1  u2   un Tìm số un S2 n 148  u2 n Sn 75 B 17 C 16 D 19 Lời giải Chọn A Ta có n  * , log3  2u5  63  2log  un  8n  8  log3  2u5  63  log  un  8n  8 t t   2u5  63  2u5  63    3t  2.2t Đặt t  log3  2u5  63    t t   un  8n   u5  32   t   un  8n   Sn  u1  u2   un  4n2 Do Câu 13: un S n  8n   16n 148    n  19 u2 n Sn 16n   4n 75 [2D2-6-4] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Cho phương trình 2x 1   log  x    x   log  1    x  , gọi S tổng tất x  x nghiệm Khi đó, giá trị S A S  2 S B S   13  13 Lời giải Chọn D C S  D 1  2  x    Điều kiện  x  Xét hàm số f  t   log t   t  1 , t  Ta có f   t   ln 2.t  ln 2.t    t  1   , t  , hàm số f  t  t ln t.ln đồng biến khoảng  0;   Mặt khác ta có: 2x 1   log  x    x   log  1    x  2 x  x  log x    f     1   x    log         1 x   x    2  1  x   f 2  x   x2  2 x  x3  x  x     x  1   13   x    x   13   x  1  13 Kết hợp với điều kiện ta  Vậy S   x   13  Câu 14: [2D2-6-4] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho bất phương trình:  log5  x  1  log5  mx  x  m  1 Tìm tất giá trị m để 1 nghiệm với số thực x : A  m  m  B  m  C 3  m  Lời giải D m  ; Chọn B Điều kiện mx  x  m  Ta có  log5  x  1  log5  mx  x  m   log5  x  1  log5  mx  x  m    x  1  mx  x  m    m  x  x   m  Để 1 nghiệm với số thực x f    m   4  m   5  m  4    m 2     m  Tập xác định D  Câu 15: [2D2-6-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Cho phương trình  4m   1 Hỏi có giá trị  m  1 log 21  x  1   m  5 log 3 x 1   m ngun âm để phương trình 1 có nghiệm thực đoạn   ;  ?   A B C Lời giải Chọn D Ta có 1   m  1 log 21  x  1   m  5 log  x  1  4m   3   m  1 log 21  x  1   m   log  x  1  m   3   Đặt t  log  x  1 , với x    ; 2 1  t  Ta có phương trình:    m 1 t   m  5 t  m 1   m t  t  1  t  5t  m t  5t  t2  t 1  2 Xét hàm số f  t   t  5t  với 1  t  t2  t 1 D Ta có f   t   f  1  t 4t   t  1 t  0 t  1 , f 1  3 Do f  t   3 max f  t   1;1  1;1   Phương trình cho có nghiệm thực đoạn   ;  phương trình   f  t   m  max f  t   3  m    có nghiệm t   1;1   1;1    1;1 Như vậy, giá trị nguyên âm m để phương trình 1 có nghiệm thực đoạn     ;  3; 2; 1 Câu 16: [2D2-6-4] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2017 - 2018 - BTN) Có số nguyên m để phương trình 3x  3x  m  log  x2  5x   m 2x  x 1 Có hai nghiệm phân biệt lớn A B Vô số C Lời giải D Chọn C Điều kiện: x  x  m   - Ta có: log 3x  3x  m   x2  5x   m 2x2  x   3x  3x  m    log   1  x  5x   m 2 x  x    3x  3x  m   log  x2  5x   m 4x  2x   log  3x2  3x  m  1  log  x  x     x  x    3x  3x  m  1  log  3x2  3x  m  1   3x  3x  m  1  log  x  x     x  x   1 Xét hàm số: f  t   t  log t D   0;   , có f   t     , t  D , t.ln Do hàm số f  t  đồng biến D  1  f  x  x    f  3x  3x  m  1  x  x   3x  3x  m   x  x  m    - Xét hàm số: g  x   x  x , có g   x   x   g   x    x  - Bảng biến thiên: - Theo bảng biến thiên ta thấy: phương trình   có hai nghiệm phân biệt lớn 25 21  m   4    m  3 , m nên m  5; 4 , hay 4 có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 17: [2D2-6-4] (SGD - Quảng Nam - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Có giá trị nguyên thuộc khoảng  9;9  tham số m để bất phương trình    3log x  log m x  x  1  x   x có nghiệm thực? B A C 10 D 11 Lời giải Chọn B 0  x   0  x  0  x   Điều kiện    1  x   m x  1  x    m  m x  x  1  x   x  x  Bất phương trình cho tương đương  log x3  log m x  x  1  x   x   x3  m x  x  1  x   x    x x  m x  x  1  x   x   m x x  1  x   x x  x2  x 1 x  1 x x Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có  x   1 x   1 x     x   x  1 x   1 x   x  Vì m  x   x Khảo sát hàm số f  x   x   x  0;1 ta f  x    1, 414 Vậy m nhận giá trị 2,3, 4,5, 6, 7,8 Câu 18: [2D2-6-4] Tập tất giá trị m để phương trình   2 x1 log2 x2  x   xm log2  x  m   có ba nghiệm phân biệt là: 1 2   3 2 3 2 B  ;1;  A  ; 1;  1 2 3 2 C  ;1;   D 1   ;1;  2 2 Lời giải Chọn D Ta có 2 x1 log2  x2  x  3  xm log2  x  m   1 2  2 x 1 log  x  1    2 x  m log  x  m       t Xét hàm số f  t   log  t   , t  Vì f   t   0, t   hàm số đồng biến  0;   2 Khi    f  x  1   f  x  m    x  1  x  m    x  x   2m      x  2m  1  Phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: +) PT  3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT   m , thay vào PT   thỏa mãn +) PT   có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT  3 m , thay vào PT  3 thỏa mãn +) PT   có hai nghiệm phân biệt PT  3 có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm hai PT trùng  4  x   2m  ,với  m  Thay vào PT  3 tìm m  2 KL: m   ;1;  2 2 BÌNH LUẬN B1: Đưa phương trình dạng f  u   f  v  với u , v hai hàm theo x B2: Xét hàm số f  t  , t  D B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số f  t  , t  D tăng giảm nghiêm ngặt D B4: f  u   f  v   u  v Câu 19: [2D2-6-4] (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số  un  thỏa mãn ln  u12  u22  10   ln  2u1  6u2  un   un  2un 1  với n  Giá trị nhỏ n để un  5050 A 100 B 99 C 101 D 102 Lời giải Chọn D Ta có : ln  u12  u22  10   ln  2u1  6u2   u12  u22  10  2u1  6u2 u1  2   u1  1   u2  3    u2  Đặt  un 1  un với n   v1  u2  u1  Theo giả thiết: un   un  2un 1   un  un1  un1  un   vn1   , n  Suy   cấp số cộng có cơng sai d    v1   n  1 d  n  Ta có: un1  un1  un  un  un1   u3  u2  u2  u1  u1  Sn  u1 vn1 Với Sn  v1  v2    Suy : un 1  v2 v1 n  n  1 n  v1    2 n  n  1  n  1 n      un  2 Ta có : un  5050   n  1 n     5050  n2  3n  10096   n  101,99 Vậy số n nhỏ thỏa yêu cầu 102 Câu 20: [2D2-6-4] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Biết x1 , x2 hai nghiệm  x2  x   phương trình log    x   x x 1 x2  a  b với a , b 2x   hai số nguyên dương Tính a  b  A a  b  16 a  b  13 C a  b  14 B a  b  11  D Lời giải Chọn C x   Điều kiện   x    x  12   x2  x   Ta có log    4x2  4x   2x   x   x  log   2x    2x   log7  x  1   x  1  log7 x  x 1 2 Xét hàm số f  t   log t  t  f   t     với t  t ln Vậy hàm số đồng biến  3 x   f  x    x  1  x    3 x   Phương trình 1 trở thành f  2x 1  9   Vậy x1  x2   9     a  9; b   a  b    14 l   tm  ... x2  2015  , x 2 Do bất phương trình cho tương đương với     22 22  log x  log x   13  log x  log x    22 22   3   Đặt t  log x 22 , ta có bất phương trình 2t  2t   2t...   Phương trình cho có nghiệm thực đoạn   ;  phương trình   f  t   m  max f  t   3  m    có nghiệm t   1;1   1;1    1;1 Như vậy, giá trị nguyên âm m để phương trình. ..  13 Câu 5: [2D2-6-4] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần - 2018) Cho phương trình  log3 x   3m log3  3x   2m2  2m   Gọi S tập hợp tất số tự nhiên m mà phương trình có hai nghiệm phân