Ôn thi Toán THPT 2019 Bài Toán tiếp tuyền sự tiếp xúc

Bộ GDĐT đã đưa ra bộ đề thi mẫu cho 14 môn học giúp học sinh xác định được cấu trúc và dạng bài cần ôn tập. Dựa trên đề Toán mẫu, nhiều giáo viên tổ Toán đã xây dựng bảng phân tích ma trận kiến thức thi THPT quốc gia 2019 môn Toán. Các phân tích cụ thể này sẽ hỗ trợ học sinh trong việc tự học và ôn thi THPT quốc gia 2019. Mỗi bản phân tích ma trận kiến thức gồm có các nội dung: cấu trúc, dạng bài, so sánh đề thi 2018 và định hướng, lưu ý dành cho các thí sinh.

Câu 1: [2D1-7-3] [THPT Chuyên NBK(QN) – 2017] Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị  C  x 1 Tiếp tuyến với đồ thị  C  M  2;5  cắt hai đường tiệm cận E F Khi độ dài EF B 10 A 10 D 13 C 13 Lời giải Chọn B Tiệm cận đứng đồ thị  C  là: x  Tiệm cận ngang đồ thị  C  là: y  Ta có y   3  x  12 Tiếp tuyến với  C  M  2;5  là: y  y   x     y  3   12  x  2   y  3x  11 Gọi E giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy E 1;8  Gọi F giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy F  3;  Vậy EF    1    8  40  10 2 Câu 2: [2D1-7-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm x 1 Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số Khoảng cách 2x  từ I đến tiếp tuyến đồ thị hàm số cho đạt giá trị lớn A d  B d  C d  D d  số y  Lời giải Chọn A 3 1 Tọa độ giao điểm I   ;  2 2  x 1  Gọi tọa độ tiếp điểm  x0 ;  Khi phương trình tiếp tuyến  với đồ thị  x0    x 1  hàm số điểm  x0 ;  là:  x0   y  x0  3  x  x0   x0   x   x0  3 y  x02  x0   x0  Khi đó: d  I ,     x0  3  x02  x0  2   x0  3  2 x0    x0  3  x0   x0  3  (Theo bất đẳng thức Cô si)  x0    x0  2  Dấu "  " xảy  x0  3     x0   1  x0  Vậy max d  I ,    x có x đồ thị  C  , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y   x cho qua M Câu 3: [2D1-7-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần - 2017 - 2018) Cho hàm số y có hai tiếp tuyến  C  với hai tiếp điểm tương ứng A , B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định K Độ dài đoạn thẳng OK A 34 B 10 C 29 D 58 Lời giải Chọn D Vì M  d nên M  m;1  2m  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến  Tiếp tuyến  qua M có dạng y  k  x  m    2m Vì  tiếp xúc với  C  nên hệ phương trình x3  x   k  x  m    2m 1  có nghiệm  4   k     x  1 Thay   vào 1 ta x3 4 x3 4  x  m    2m    x    m    2m  x   x  1 x   x  12  x   4   m  1  1  2m  x  1   x 1 x x Mặt khác y x y , thay vào  3 ta x   4   m  1 y  1  1  2m  x  1  2mx   m  1 y  m   Vậy phương trình đường thẳng AB là: 2mx   m  1 y  m   Gọi K  x0 ; y0  điểm cố định mà đường thẳng AB qua Ta có 2mx0   m  1 y0  m     x0  y0  1 m  yo   Vì đẳng thức ln với 2 xo  y0    x0  3   K  3;    y   y     m nên ta có Vậy OK  58 Câu 4: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y  x3  3x có đồ thị  C  điểm A  a;  Gọi S tập hợp tất giá trị thực a để có ba tiếp tuyến  C  qua A Tập hợp S A S   ; 1 B S   2  C S   ;     2;   \ 1 3    D S    ; 2   Lời giải Chọn C Giả sử  đường thẳng qua A có hệ số góc k , phương trình đường thẳng  y  k  x  a    x3  3x  k  x  a   1 C   Để tiếp tuyến hệ phương trình  có 3x   k   nghiệm   vào 1 Thay ta x3  3x   x  1  x  a   x 1     x  1  x   3a   x   3a     x   3a   x   3a    *  C  phương trình * có hai nghiệm Để từ A kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị  a  1 2  1   3a   1  3a        9a  12a  12  phân biệt x  1 a  1      a      a  2  S   ;     2;   \ 1 3  Vậy x2 có đồ thị x 1  C  Gọi d khoảng cách từ giao điểm I hai tiệm cận đồ thị  C  đến Câu 5: [2D1-7-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa-2017] Cho hàm số y  tiếp tuyến tùy ý đồ thị  C  Khi giá trị lớn d đạt A 2 B C D 3 Lời giải Chọn B Ta có I  1;1 y '  1  x  1  x 2 1 Giả sử M  x0 ;  điểm thuộc  C  , x0  1 Suy ra: y '  x0   x0    x0  1  Khi phương trình tiếp tuyến M là: y 1  x0  1 x  x0    x0  x0  x0  x   y   2 x0   x0  1  x0  1  x  y  x0  1   x0  x0     d  1   x0  1   x0  x0   Suy ra: d I ;d     x0  1  2  x0  1   x0  1  x0  1   x0  1 Theo bất đẳng thức Cô-si:   x0  1   x0  1   x0  1 Dấu đẳng thức xảy khi:   x0  1  x0  4 Suy ra: d I ;d   x0   x0  1  Vậy max d I ;d   x0  0; y0  2x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến x2 điểm M thuộc  C  biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang Câu 6: [2D1-7-3] Cho hàm số y  A , B cho cơsin góc ABI 1 A y   x  ; y   x  4 2 1 C y   x  ; y   x  4 2 17 , với I  2;  1 B y   x  ; y   x  4 2 1 D y   x  ; y   x  4 2 Lời giải Chọn D  2x   I  2;  , gọi M  x0 ;   (C ) , x0  x0    Phương trình tiếp tuyến  M : y   2x  ( x  x0 )  x0  ( x0  2)  2x   Giao điểm  với tiệm cận: A  2;  , B(2x0  2; 2)  x0   IA  IB2  16.IA2  ( x0  2)4  16  Do cos ABI  nên tan ABI   IB 17 x0  x0   3 Tại M  0;  phương trình tiếp tuyến: y   x   2  5 Tại M  4;  phương trình tiếp tuyến: y   x   3 Câu 7: [2D1-7-3] Cho hàm số y  x  x  có đồ thị C  Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với C  hai điểm phân biệt A y  2 x B y  2x  C y  2 Lời giải Chọn C Ta có y '  x  x Gọi A( x0 ; y0 )  (C) Tiếp tuyến C  A có phương trình  : y  (4 x03  x0 )( x  x0 )  y0 Giả sử  tiếp tuyến tiếp xúc với C  hai điểm phân biệt D y  4 M(m; m4  2m2  1) N(n; n4  2n2  1) với m  n Ta có phương trình  : y  y '(m)( x  m)  y(m)  : y  y '(n)( x  n)  y(n) 3   y '( m)  y '(n)  4n  4n  m  m Suy   4  m.y '( m)  y( m)  n.y '(n)  y(n) 3m  2m   3n  2n  2  (n  m)(n2  mn  n2 )  (n  m)  n  mn  n     2 2 (n  m)  3(n2  m2 )    (*) 3(n  m )(n  m )  2(n  m )    Từ (*) ta có: m  n  n2  m2   m  n   m  n  n   n  1  mn    vô nghiệm  m  n2     ( m  n)   Vậy y  2 tiếp tuyến cần tìm 2x  có đồ thị  C  Tìm điểm M thuộc  C  cho x 1 tiếp tuyến  C  M vng góc với IM , I tâm đối xứng  C  Câu 8: [2D1-7-3] Cho hàm số y  A y  x  1, y  x  C y  x  1, y  x  B y  x  3, y  x  D y  x  1, y  x  Lời giải Chọn D Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M y 2x  1 ( x  x0 )  x0  ( x0  1)  1  Đường thẳng  có VTCP u   1; , IM  ( x0  1; )   x0   ( x0  1)  IM    x0     x0  0, x0  ( x0  1)3 Từ ta tìm tiếp tuyến: y  x  1, y  x  x  x  3x có đồ thị  C  Tìm phương trình 4 4 đường thẳng qua điểm A  ;  tiếp xúc với đồ thị  C  hàm số 9 3 Câu 9: [2D1-7-3] Cho hàm số y      : y  3x  : y  x   4 A   : y  x B   : y  x  C   3   5 128  : y   x   : y   x  9 81 81     : y  x   : y  D    : y   x  81     : y  3x   : y    128  : y   x  81  Lời giải Chọn D  4 Phương trình đường thẳng ∆ qua A với hệ số góc k có dạng: y  k  x    9  ∆ tiếp xúc với  C  điểm có hồnh độ x hệ phương trình 1  4 (1)  x  x  3x  k  x    9 có nghiệm x 3  x  4x   k (2)  Thế (2) vào (1), được:  4 x  2x2  3x  ( x2  4x  3)  x     x(3x2  11x  8)  9  (2)   x   k    : y  3x  (2)   x  1 k    : y   (2)  5 128 x   k     : y   x  9 81  Câu 10: [2D1-7-3] Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  x4  x2  qua điểm cực tiểu đồ thị 16 59 16 59 x ;y  x A y  3 ; y   9 3 16 16 59 x ;y  x B y  3 ; y   9 3 3 16 59 x x ;y  9 3 16 59 16 59 x x D y  3 ; y   ;y  9 3 3 Lời giải C y  9 ; y   16 Chọn D Điểm cực tiểu  C  A  0; 3  Phương trình tiếp tuyến d  C  có dạng : y  y '( x0 )( x  x0 )  y( x0 ) ( x0 hồnh độ tiếp điểm d với  C  ) y  ( 4 x03  x0 )( x  x0 )  x04  x02   ( 4 x03  x0 )x  3x04  x02  A(0; 3)  d  3  3x04  x02   3x04  x02   x0  x0   Với x0  phương trình d: y  3 Với x0   phương trình d: y   16 x 59 3 16 59 x Với x0  phương trình d: y  3 16 16 59 59 x x Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y  3 , y   ,y  9 3 3 x3 Câu 11: [2D1-7-3] Tìm m để  Cm  : y    m   x  2mx  tiếp xúc với đường thẳng y        m  0; ;6   A m  0; ;2     B m  4; ;6 C m 0;4;6 D Lời giải Chọn D  Cm  tiếp xúc đường thẳng y  điểm có hồnh độ x0 hệ sau có nghiệm x0  x03   (m  2) x0  2mx0   (a) 3  x  (m  2) x  2m  (b)  Ta có: (b)  x0   x0  m Thay x0  vào  a  ta được: m  Thay x0  m vào  a  ta được:   Cm  tiếp xúc đường thẳng m3  m2   m   m    ;6   y   m  0; Câu 12: [2D1-7-3] Cho hàm số y  x3  3x  Tìm đường thẳng d : y  điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với  C  A ( 1; 4) ;  7;  ; (2; 4) B ( 1; 4) ;  7;  ; (9; 4) C ( 2; 4) ;  5;  ; (2; 4)   D ( 1; 4) ;   ;  ; (2; 4)   Lời giải Chọn D Gọi M  m;   d Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: y  k  x  m    tiếp tuyến  C   hệ phương trình sau có nghiệm x :  x3  3x   k ( x  m)   3x   k (1) (2)  * Thay   vào 1 ta được: ( x  1)  x  (3m  2) x  3m       x  1 x  (3m  2) x  3m     Theo tốn  * có nghiệm x , đồng thời   có giá trị k khác nhau, tức phương trình  3 có nghiệm x phân biệt thỏa mãn giá trị k khác + TH1:   có nghiệm phân biệt, có nghiệm 1  m  1 + TH2:   có nghiệm kép khác 1  m   m    Vậy điểm cần tìm là: ( 1; 4) ;   ;  ; (2; 4)   Câu 13: [2D1-7-3] Cho hàm số y   x  3x  Tìm đường thẳng  d  : y  điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  m  2  m  M m ;  d A B M  m;   d với m  7   với  m   m  3  m  C M  m;   d với   m   m  1  m   m  Lời giải D M  m;   d với Chọn D Gọi M (m; 2)  (d ) Phương trình đường thẳng  qua điểm M có dạng: y  k ( x  m)   tiếp tuyến  C   hệ phương trình sau có nghiệm x :  x3  3x   k ( x  m)   3x  x  k (1) (2)  * Thay (2) (1) ta được: x3  3(m  1) x  6mx    ( x  2) 2 x  (3m  1) x  2   x  f ( x)  x  (3m  1) x    3 Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C   hệ * có nghiệm x phân biệt đồng thời   có giá trị k khác   3 có hai nghiệm phân biệt khác có giá trị x thỏa phương trình  2 có giá trị k khác    m  1  m     f (2)   m   m  1  m  Vậy M  m;   d với  kẻ tiếp tuyến với  C  m  Câu 14: [2D1-7-3] Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị  H  : y   x2  1 hàm số điểm phân biệt A y  x B y  C y  x  D y  Lời giải Chọn B Phương trình đường thẳng  d  qua M có hệ số góc k : y  kx  m   Giả sử d đường thẳng tiếp xúc với  H  điểm M m;  m  1 Khi đường thẳng d có phương trình: y  2m  m2  1  x  m    m2  1 Đường thẳng d tiếp xúc với  H  điểm phân biệt hệ phương trình: Chọn D Phương pháp tự luận  x 2 Gọi M  x0 ;    C  ,  x0  1 , I  1;1 Phương trình tiếp tuyến M x0    có dạng x 2 : y  ( x  x0 )  x0   x0  1  x 5 Giao điểm  với tiệm cận đứng A  1;  x0    Giao điểm  với tiệm cận ngang B  x0  1;1 Ta có IA  , IB  x0   IA.IB  12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp x0   IAB S IAB  pr , suy r SIAB IA.IB IA.IB IA.IB    2 3 2 p IA  IB  AB IA  IB  IA  IB IA.IB  2.IA.IB Suy  xM  1   y0   rmax    IA  IB  x0      xM  1   y0   IM   3;   IM  Phương pháp trắc nghiệm IA  IB   IAB vuông cân I  IM    x  1   yM   cxM  d   ad  bc  xM       M  xM  1   yM    IM  Câu 42: [2D1-7-3] Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Biết tiếp tuyến điểm x2 M  C  cắt hai tiệm cận  C  A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB A B C D 2 Lời giải Chọn D   Lấy điểm M  m;     C  với m  Ta có y '  m    m2   m  2 Tiếp tuyến M có phương trình d : y    m  2  x  m   m2   Giao điểm d với tiệm cận đứng A  2;   m2  Giao điểm d với tiệm cận ngang B  2m  2;    Ta có AB   m     , suy AB  2 Dấu “=” xảy 2  m      m  2  , nghĩa m  m  1 Câu 43: [2D1-7-3] (PTNK Cơ Sở - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho đồ thị  C  : y  x3  3x2  x  10 điểm A  m;  10  Gọi S tập tất giá trị thực m để có tiếp tuyến  C  qua A Tổng giá trị tất phần tử S A B C 19 D Lời giải Chọn C Gọi d đường thẳng qua A  m;  10  có hệ số góc k Suy d : y  k  x  m   10 d tiếp tuyến  C  hệ phương trình sau có nghiệm   x  3x  x  10  k  x  m   10 1   3x  x   k Thế k vào (1), ta x3   3m  3 x  6mx  9m  20  (*) Để có tiếp tuyến  C  qua A phương trình (*) có nghiệm Suy đồ thị hàm số f  x   x3   3m  3 x  6mx  9m  20 có cực trị, có cực trị thuộc trục hồnh Ta có f   x   x   3m  3 x  6m  x   f 1  12m  21 f  x     x  m  f  m   m  3m  9m  20  m   12m  21  Khi   m   m  3m  9m  20    m  1  21   1  21 1  21 19  1  21    Vậy S   ; 4;   Suy T    4 2   4  Câu 44: [2D1-7-3] (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y  x3  x   m  1 x  2m có đồ thị  Cm  Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị  Cm  vng góc với đường thẳng  : y  x  2018 A m  B m  C m  D m Lời giải Chọn C 2  7  Ta có y  3x  x  m    x    m   m  , dấu "  " xảy  x  3  Tiếp tuyến d  Cm  có hệ số góc nhỏ m    7 3 Bài d   nên  m    1  m  Vậy m  Câu 45: [2D1-7-3] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số x2 y có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  Tiếp x2 tuyến  C  cắt hai đường tiệm cận  C  hai điểm A , B Giá trị nhỏ chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB A 2 B 8 C 2 Hướng dẫn giải Chọn A D 4 Tập xác định: D  \ 2 ; y  4  x  2 lim y    tiệm cận đứng đường thẳng x  ; lim y   tiệm cận ngang x 2 x  đường thẳng y  , suy I  2;1 Phương trình tiếp tuyến  C  có dạng: d : y  4  x0    x  x0   x0  x0  Tiếp tuyến  C  cắt hai đường tiệm cận  C  hai điểm A , B nên  x 1  A  2;  , B  x0  2;1  x0   Do tam giác IAB vng I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AB R Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: P  AB. Chu vi bé AB nhỏ     Ta có AB    x0 ;  ; AB    x0     x0     x0   2     x0       4.64   x0   Vậy Pmin  2. Câu 46: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Tiếp 4x  tuyến đồ thị hàm số y  với tiệm cận tạo thành tam giác có 2x 1 diện tích bằng: A B C D Lời giải Chọn C Gọi M  x0 ; y0  điểm nằm đồ thị hàm số , x0   y  10  x  1 Phương trình tiếp tuyến M : y  f ( x0 )  x  x0   y0 y 10  x0  1  x  x0   x0  x0  1 Tiệm cận đứng: x   , tiệm cận ngang: y  2 Gọi A giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng  x A    yA   4x     x0  x0   Vậy A   ;     x0    x0  1   x0  x0   2 x0   10 Gọi B giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngang  yB  2 10  x0  1  xB  x0   x0   4x    xB  x0  Vậy B  ;  2 x0      Giao điểm tiệm cận I   ;     10  10 Ta có: IA   0;    IA  x0   x0   IB   x0  1;0   IB  x0  Tam giác IAB vuông I nên S IAB  1 10 IA.IB  x0   2 x0  x 1 có x2 đồ thị  C  đường thẳng d : y  2 x  m  ( m tham số thực) Gọi k1 , k2 Câu 47: [2D1-7-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần – 2018) Cho hàm số y  hệ số góc tiếp tuyến giao điểm d  C  Khi k1.k A B C Lời giải Chọn B Ta có y  x 1  y  x2  x  2 Hoành độ giao điểm d  C  nghiệm phương trình: D x 1  2 x  m   x    m  x   m  1 ( ln có hai nghiệm phân x2 biệt)  x1  x2   m     Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình 1   x x    2m    Khi hệ số góc k1  y  x1   Nên k1.k2   x1    x1   x2     , k2  y  x2   3    m  m   4 2   x2   4 (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số y  x3  3x  3mx   m Có giá trị thực m để đồ thị tiếp xúc với Ox Câu 48: [2D1-7-3] A B C D Lời giải Chọn B Vì hàm số cho hàm số bậc ba nên đồ thị hàm số cho tiếp xúc với trục hoành phương trình x  x  3mx   m  có hai nghiệm phân biệt x3  3x   m có hai nghiệm phân biệt ( x  khơng thỏa mãn phương trình)  3x Đặt f  x   x3  3x  6 x3  12 x  x  , f  x  , f   x   có  3x 1  3x  nghiệm x0  1,565 Bảng biến thiên x -∞ f'(x) 1/3 + + +∞ f(x) -∞ x0 - +∞ f(x0) -∞ -∞ Dựa vào bảng biến thiên, có giá trị m thỏa mãn toán Câu 49: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x  m  3x  3m  2x  2m tiếp xúc với trục Ox A m  ; m  m  B m  ; m  C m  2 ; m  1 D m  2 ; Lời giải Chọn B Ta có y   x    x  1  m  x  m y  Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox  Hệ phương trình sau có nghiệm   y    x    2   x  1  m  x  m      x    x  1  m  x  m       x  1  m  x  m     x  1  m  x  m   x   x   m     m  x    x   x     m  m     m   x   x     m   1  m   4m   Vậy m  m  đồ thị hàm số tiếp xúc Ox điểm A2; 0 , B1; 0 * Tổng quát: Đồ thị hàm số bậc ba có điểm chung với trục Ox điểm A  a;0  tiếp xúc với Ox ta có cách giải tổng qt: + Phân tích y  x  a Ax  Bx  C  + Đồ thị hàm số tiếp xúc Ox  Phương trình Ax  Bx  C  có nghiệm kép nhận x  a làm nghiệm Câu 50: [2D1-7-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y  x3  3mx   m2  1 x  m3 , với m tham số; gọi  C  đồ thị hàm số cho Biết m thay đổi, điểm cực đại đồ thị  C  nằm đường thẳng d cố định Xác định hệ số góc k đường thẳng d B k  A k   C k  3 D k  Lời giải Chọn C Tập xác định D  Ta có y  3x  6mx   m2  1 y  x  6m Khi y   3x  6mx   m2  1    9m2   m2  1  nên hàm số ln có hai điểm cực trị x  x 3m   m  3m   m 1 y  m  1   m  1  6m  6   x  m 1 điểm cực đại hàm số  A  m  1;  3m   điểm cực đại đồ thị  C   xA  m   y A  3xA  Ta có   y A  3m   A thuộc đường thẳng d có phương trình y  3 x  Do hệ số góc k đường thẳng d 3 Câu 51: [2D1-7-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 2x y có đồ thị  C  điểm M  x0 ; y0    C   x0   Biết khoảng cách x2 từ I  2;  đến tiếp tuyến  C  M lớn nhất, mệnh đề sau đúng? B x0  y0  A x0  y0  C x0  y0  2 D x0  y0  4 Lời giải Chọn D Phương trình tiếp tuyến  C  M có dạng d : y  y  x0   x  x0   y0 Ta có M  x0 ; y0    C   y0  Lại có y   x  2 Do d : y  2 x0 x0   y  x0    x0    x0    x  x0   x0 x0   d : y  x0    x  x0  x0  x0    d : x   x0   y  x02  2 8   x0    x02  d I;d     x0   16  x0   x0    16   x0    16  x0   Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có  x0    16  x0   2  x0   Dấu “  ” xảy   x0    16  x0   16  x0   2    d  I ; d    x0    x0       x0  4 Bài x0  nên x0  4  y0   x0  y0  4 Câu 52: [2D1-7-3] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Đường thẳng d : y  x  cắt đồ thị  C  ba điểm A , B , C  0;  Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến  C  A B Tính k1.k A B 27 C 81 D 81 Lời giải Chọn D Ta có: y  3x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị  C  : x  x3  3x   x   x  x     x  2 Vậy đường thẳng d cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt: A  2;  , B  2;  C  0;  Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến  C  A B , ta có: k1  y  2   , k2  y    Vậy k1k2  81 Câu 53: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Với giá trị m đường thẳng y  x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số 2x  y x 1 A m  2 B m    m  2 Lời giải Chọn D C m  2 D Đường thẳng y  x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  2x  hệ phương x 1 trình sau có nghiệm:   x     x  m      x  1    x      2x   m  x   x 2 x  m  x  x 1  Ta có 1   x  1  Với x  1  2 x 1 2  thay vào   ta m  2 Với x    thay vào   ta m  2 Do đó, giá trị cần tìm m : m  2 Câu 54: [2D1-7-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số - 2018 - BTN) Gọi S tập tất giá trị thực tham số m cho đường thẳng d : y  mx  m  cắt đồ thị  C  : y  x3  3x  ba điểm phân biệt A , B , I 1; 3 mà tiếp tuyến với  C  A B vng góc với Tính tổng phần tử S A 1 B C D Lời giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  : x  x   mx  m    x  1  x  x  m  1  (*) Để đường thẳng  d  cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  x  x  m   có hai nghiệm phân biệt x  9    m    2.1   m   m  Do tiếp tuyến với  C  A B vng góc với nên k1.k2  1 Với k1 hệ số góc tiếp tuyến với  C  A , k2 hệ số góc tiếp tuyến với  C  B Ta có y  x  x  k1   x12  x1  ;  k2   x22  x2  k1.k2  1 Do 6x nên  x1  x22  x2   1  36  x1 x2   36 x1 x2  x1  x2   36 x1 x2     x1  x2  Theo định lý vi-et ta có  x x   m 1  2  m 1   m 1   m 1  ta có  36     36     36    1   2      3  m  3  3   9m  9m     Vậy S    1 6  3  m   Câu 55: [2D1-7-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Cho đồ thị hàm số  C  : y  A x 1 Số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A  2; 1 x2 B C D Lời giải Chọn D + TXĐ: D  \ 2 Ta có y   x  2 , x   Gọi tọa độ tiếp điểm M  x0 ;  đồ thị  C  điểm M là: y   x0    với x0  Khi phương trình tiếp tuyến với x0    x0  2  x  x0    x0  x0  Tiếp tuyến qua điểm A  2; 1 nên ta có phương trình: 1   x0     x0    x0   x   x0 1  1    x0  x0  x0  x0   x0  x     Phương trình vơ nghiệm 0   x0   x0  Vậy khơng có tiếp tuyến thỏa mãn u cầu toán Câu 56: [2D1-7-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 2x  có đồ thị  C  Gọi M  x0 ; y0  (với x0  ) điểm thuộc  C  , biết tiếp 2x  tuyến  C  M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B y  cho SOIB  8SOIA (trong O gốc tọa độ, I giao điểm hai tiệm cận) Tính giá trị S  x0  y0 A S  B S  17 C S  23 D S  Lời giải Chọn A Ta có y  2  2x  2 , TCĐ: x   d1  , TCN: y   d  , I 1;1 Phương trình tiếp tuyến  điểm M  x0 ; y0  có dạng y 2  x0    x  x0   x0  x0   x  A    d1  A  1;  , B    d  B  x0  1;1 IB   x0  2;0  ,  x0     1 IA   0;  SOIB  8SOIA  1.IB  .1.IA  IB  8IA 2  x0    x0     x0  1   x0  (do x0  )  y0  x0   S  x0  y0    Câu 57: [2D1-7-3] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 2x 1 có đồ thị (C) Gọi M  x0 ; y0  (với x0  ) điểm thuộc (C), biết tiếp 2x  tuyến (C) M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho SOIB  8SOIA (trong O gốc tọa độ, I giao điểm hai tiệm cận) Tính y S  x0  y0 B S  A S  C S  13 D S  2 Lời giải Chọn D (Vì OIA  OIB ) Ta có S OIB  8S OIA  1 IA OI IB.sin OIB  OI IA.sin OIA  IB  IA   2 IB Suy hệ số góc tiếp tuyến M k   y  2  2x  2 Với x  3, y   x  3 y      x  1  y    S  x  y    2 Câu 58: [2D1-7-3] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm thỏa mãn  f  x  1   f 1  x   x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ A y  x  7 y  x 7 B y   x  7 C y  x 7 D Lời giải Chọn B Từ  f  x  1    f 1  x    x (*), cho x  ta có  f 1    f 1   3  f 1    f 1  1 Đạo hàm hai vế (*) ta f  x  1 f   x  1   f 1  x   f  1  x   Cho x  ta f 1 f  1   f 1  f  1   f 1 f  1 4  f 1   (**) Nếu f 1  (**) vơ lý, f 1  1 , (**) trở thành  f  1   3   f  1   Phương trình tiếp tuyến y   1  x  1   y   x  7 Câu 59: [2D1-7-3] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số xb y  ab  2  Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến đồ thị ax  hàm số điểm A 1;   song song với đường thẳng d : x  y   Khi giá trị a  3b A -2 C 1 B D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y  2  ab  ax    y 1  2  ab  a  2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y   nên: y 1  3  2  ab  a  2  3 Mặt khác A 1;   thuộc đồ thị hàm số nên 2  Khi ta có 2  ab  a  2 1 b  b  2a  a2  3  2  a  2a  3  3a  12a  12 , a   a   loai   5a  15a  10    a   Với a   b   a  3b  2 Câu 60: [2D1-7-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Họ parabol  Pm  : y  mx2   m  3 x  m   m   tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A  0; 2  B  0;  C 1;8  D 1; 8 Lời giải Chọn A Gọi H  x0 ; y0  điểm cố định mà  Pm  ln qua Khi ta có: y0  mx02   m  3 x0  m   m  x02  x0  1  x0  y0   , m    x  x0    x  y     Do x02  x0   có nghiệm kép nên  Pm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  x  Ta thấy  0; 2   d ...  tiếp xúc với  d  điểm  0;3 nên m  không thỏa 4 mãn yêu cầu toán Khi m  Khi m  x02   x0  1 , suy  Cm  tiếp xúc với  d  hai điểm ( 1;3 ) Khi m  13 x02   x0   ,suy  Cm  tiếp. .. trình tiếp tuyến: y   x   2  5 Tại M  4;  phương trình tiếp tuyến: y   x   3 Câu 7: [2D1-7-3] Cho hàm số y  x  x  có đồ thị C  Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp. .. (2)   m   m  1  m  Vậy M  m;   d với  kẻ tiếp tuyến với  C  m  Câu 14: [2D1-7-3] Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị  H  : y   x2  1 hàm số điểm phân biệt