tích phân - nguyên hàm

Tích phân là một phần trong phân môn Giải tích lớp 12 và nó cũng thường có trong các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Tích phân không phải đơn giản và nó thường gây lúng túng cho các bạn học sinh. Để góp phần giúp cho các bạn học sinh giảm bớt sự lúng túng khi “đụng độ” với tích phân. Trong e-book này đã đưa ra những vấn đề liên quan đến tích phân, nhắc lại một số kiến thức đã học ở lớp dưới, các công thức tính tích phân, một số dạng bài toán tích phân... và đặc biệt là thầy đã đưa ra một số bài toán về tích phân kèm theo lời giải cụ thể, trong đó là một số bài trong các đề thi đại học trong các năm trước. Đây thật sự là một e-book mà các bạn học sinh lớp 12 nên có.

Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x0 sinx lim1 x Hệ quả: ® = x0 x lim1 sinx ® = u(x)0 sinu(x) lim1 u(x) ® = u(x)0 u(x) lim1 sinu(x) b) x x 1 lim1e,xR x ®¥ ỉư +=Ỵ ç÷ èø Hệ quả: 1 x x0 lim(1x)e. ® += x0 ln(1x) lim1 x ® + = x x0 e1 lim1 x ® - = 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1 (x)'x aa- =a 1 (u)'uu' aa- =a 2 11 ' xx ỉư =- ç÷ èø 2 1u' ' uu ỉư =- ç÷ èø ( ) 1 x' 2x = ( ) u' u' 2u = xx (e)'e= uu (e)'u'.e= xx (a)'a.lna= uu (a)'a.lna.u'= 1 (lnx)' x = u' (lnu)' u = a 1 (logx') x.lna = a u' (logu)' u.lna = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 2 2 1 (tgx)'1tgx cosx ==+ 2 2 u' (tgu)'(1tgu).u' cosu ==+ 2 2 1 (cotgx)'(1cotgx) sinx - ==-+ 2 2 u' (cotgu)'(1cotgu).u' sinu - ==-+ 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b)Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho xx(a;b)+DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Só Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a)f(x)vàF'(b)f(b) +- == 2. Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx. ò Do đó viết: f(x)dxF(x)C=+ ò Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( ) f(x)dx'f(x)= ò · af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹ òò · [ ] f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+ òòò · [ ] [ ] f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+= òò 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. §Bài 1: NGUYÊN HÀM Trần Só Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dxxC=+ ò duuC=+ ò 1 x xdxC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò 1 u uduC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò dx lnxC(x0) x =+¹ ò du lnuC(uu(x)0) u =+=¹ ò xx edxeC=+ ò uu edueC=+ ò x x a adxC(0a1) lna =+<¹ ò u u a aduC(0a1) lna =+<¹ ò cosxdxsinxC=+ ò cosudusinuC=+ ò sinxdxcosxC=-+ ò sinuducosuC=-+ ò 2 2 dx (1tgx)dxtgxC cosx =+=+ òò 2 2 du (1tgu)dutguC cosu =+=+ òò 2 2 dx (1cotgx)dxcotgxC sinx =+=-+ òò 2 2 du (1cotgu)ducotguC sinu =+=-+ òò dx xC(x0) 2x =+> ò du uC(u0) 2u =+> ò 1 cos(axb)dxsin(axb)C(a0) a +=++¹ ò 1 sin(axb)dxcos(axb)C(a0) a +=-++¹ ò dx1 lnaxbC axba =++ + ò axbaxb 1 edxeC(a0) a ++ =+¹ ò dx2 axbC(a0) a axb =++¹ + ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2 F(x)ln(xxa)=++ với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 2 1 f(x) xa = + trên R. Giải: Ta có: 2 2 2 22 2x 1 (xxa)' 2xa F'(x)[ln(xxa)]' xxaxxa + ++ + =++== ++++ 2 222 xax1 f(x) xa(xxa)xa ++ === ++++ Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: x 2 ekhix0 F(x) xx1khix0 ì ³ ï = í ++< ï ỵ Là một nguyên hàm của hàm số x ekhix0 f(x) 2x1khix0 ì ³ = í +< ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x0¹ , ta có: x ekhix0 F'(x) 2x1khix0 ì > = í +< ỵ b/ Với x = 0, ta có: Trần Só Tùng Tích phân Trang 5 · Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x 0 = 0. 20 x0x0 F(x)F(0)xx1e F'(0)limlim1. x0x -- - ®® -++- === - · Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x 0 = 0. x0 x0x0 F(x)F(0)ee F'(0)limlim1. x0x ++ + ®® -- === - Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1. -+ ==Þ= Tóm lại: x ekhix0 F'(x)f(x) 2x1khix0 ì ³ == í +< ỵ Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Þ giá trò của tham số. Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. Tích phân Trần Só Tùng Trang 6 Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: 2 xkhix1 F(x) axbkhix1 ì £ = í +> ỵ là một nguyên hàm của hàm số: 2xkhix1 f(x) 2khix1 £ ì = í > ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x1¹ , ta có: 2xkhix1 F'(x) 2khix1 < ì = í > ỵ b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : x1x1 limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1) -+ ®® ==Û+=Û=- · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 2 x1 x1 f(x)F(1)x1 F'(1)=limlim2. x1x1 - ® ® -- == -- · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 = 0. x1x1x1 F(x)F(1)axb1ax1a1 F'(1)limlimlima. x1x1x1 +++ + ®®® -+-+-- ==== --- Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2. -+ Û=Û= (2) Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: - =++ 22x F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của 22x F(x)(2x8x7)e - =--+ trên R. Giải: Ta có: 2x22x F'(x)(2axb)e2(axbxc)e -- =+-++ 22x 2ax2(ab)xb2ce - éù =-+-+- ëû Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R F'(x)f(x),xRÛ="Ỵ Û-+-+-=-+-"Ỵ 22 2ax2(ab)xb2c2x8x7,xR a1a1 ab4b3 b2c7c2 == ìì ïï Û-=Û=- íí ïï -=-= ỵỵ Vậy - =-+ 22x F(x)(x3x2)e . Trần Só Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số x F(x)lntg 24 p ỉư =+ ç÷ èø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1 f(x) cosx = . Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 2 ln(x1) ,x0 F(x) x 0,x0 ì + ¹ ï = í ï = ỵ là một nguyên hàm của hàm số 2 22 2ln(x1) ,x0 f(x) x1x 1,x0 ì + -¹ ï = + í ï = ỵ Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số 2x F(x)(axbxc).e - =++ là một nguyên hàm của hàm số 2x f(x)(2x5x2)e - =-+ trên R. ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 32 2 x3x3x7 F(x)củaf(x)vàF(0)8. (x1) ++- == + b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2 x f(x)sinvàF. 224 pp ỉư == ç÷ èø ĐS: a/ 2 x8 F(x)x; 2x1 =++ + b/ 1 F(x)(xsinx1) 2 =-+ Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 2 F(x)(axbxc)2x3=++- là một nguyên hàm của hàm số: 2 20x30x73 f(x)trênkhoảng; 2 2x3 -+ ỉư =+¥ ç÷ èø - b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. ĐS: a/ a4;b2;c1;==-= b/ 2 G(x)(4x2x10)2x322.=-+-- Tích phân Trần Só Tùng Trang 8 Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dxF(x)C=+ ò thì 1 f(axb)dxF(axb)Cvớia0. a +=++¹ ò Giải: Ta luôn có: 1 f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0. a +=++¹ Áp dụng tính chất 4, ta được: 11 f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm) aa +=++++ òò . Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x)=+Þ=+= òò Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 3 (2x3)dx+ ò b/ 4 cosx.sinxdx ò c/ x x 2e dx e1+ ò d/ 2 (2lnx1) dx x + ò Giải: a/ Ta có: 44 33 11(2x3)(2x3) (2x3)dx(2x3)d(2x3).CC. 2248 ++ +=++=+=+ òò b/ Ta có: 5 44 cosx cosx.sinxdxcosxd(cosx)C 5 =-=-+ òò c/ Ta có: xx x xx 2ed(e1) dx22ln(e1)C e1e1 + ==++ ++ òò d/ Ta có: 2 23 (2lnx1)11 dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C. x22 + =++=++ òò Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2 x 2sindx 2 ò b/ 2 cotgxdx ò c/ tgxdx ò d/ 3 tgx dx cosx ò Giải: a/ Ta có: 2 x 2sindx(1cosx)dxxsinxC 2 =-=-+ òò b/ Ta có: 2 2 1 cotgxdx1dxcotgxxC sinx ỉư =-=--+ ç÷ èø òò c/ Ta có: sinxd(cosx) tgxdxdxlncosxC cosxcosx ==-=-+ òòò Trần Só Tùng Tích phân Trang 9 d/ Ta có: 3 3443 tgxsinxd(cosx)11 dxdxcosxCC. cosxcosxcosx33cosx - ==-=-+=-+ òòò Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2 x dx 1x+ ò b/ 2 1 dx x3x2-+ ò Giải: a/ Ta có: 2 2 22 x1d(1x)1 dxln(1x)C 1x21x2 + ==++ ++ òò b/ Ta có: 2 1111 dxdxdx x3x2(x1)(x2)x2x1 ỉư ==- ç÷ -+----èø òòò x2 lnx2lnx1ClnC. x1 - =---+=+ - BÀI TẬP Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ 2 x f(x)cos; 2 = b/ 3 f(x)sinx. ĐS: a/ 1 (xsinx)C; 2 ++ b/ 3 1 cosxcosxC. 3 -++ Bài 7. Tính các tích phân bất đònh : a/ xx e(2e)dx; - - ò b/ x x e dx; 2 ò c/ 2xxx x 2.3.5 dx 10 ò . d/ 25x x e1 dx; e - + ò e/ x x e dx e2+ ò ĐS: a/ x 2exC;-+ b/ x x e C; (1ln2)2 + - c/ x 6 C ln6 + d/ 26xx 1 eeC; 6 -- --+ e/ x ln(e2)C++. Bài 8. Tính các tích phân bất đònh : a/ 44 xx2dx - ++ ò ; b/ 3 5 xxdx ò ; c/ 2 xx1dx+ ò ; d/ 2001 (12x)dx;- ò e/ 34lnx dx x - ò ĐS: a/ 3 x1 C; 3x -+ b/ 57 5 xC; 7 + c/ 22 1 (x1)x1C 3 +++ ; d/ 2002 1(12x) .C; 22002 - -+ e/ 1 (34lnx)34lnxC. 6 +++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 10 Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng mình từ một vài minh hoạ sau: · Với 3263 f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.=-=-+ · Với 2 x4x52 f(x)thìviếtlạif(x)x3 x1x1 -+ ==-+ -- . · Với 2 111 f(x)thìviếtlạif(x) x5x6x3x2 ==- -+-- · Với 11 f(x)thìviếtlạif(x)(32x2x1) 2 2x132x ==--+ ++- · Với xx2xxx f(x)(23)thìviếtlạif(x)42.69.=-=-+ · Với 3 f(x)8cosx.sinxthìviếtlạif(x)2(cos3x3cosx).sinx==+ 2cos3x.sinx6cosx.sinxsin4xsin2x3sin2xsin4x2sin2x.=+=-+=+ · 22 tgx(1tgx)1=+- · 22 cotgx(1cotgx)1=+- · n2 n 22 x(1x)11 x 1x1x ++ =+ ++ . Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình. Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: 2002 Ix(1x)dx.=- ò Giải: Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x) ta được: 2002200220022003 x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x).-=---=--- Khi đó: 2002200320022003 20032004 I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x) (1x)(1x) C. 20032004 =---=---+-- -- =-++ òòòò Tổng quát: Tính tích phân bất đònh: Ix(axb)dx,vớia0 a =+¹ ò Sử dụng đồng nhất thức: 11 x.ax[(axb)b] aa ==+- . > 0 là m t nguyên h m của h m số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR h m số: x 2 ekhix0 F(x) xx1khix0 ì ³ ï = í ++< ï ỵ Là m t nguyên h m của h m số x ekhix0. Đạo h m bên trái của h m số tại đi m x 0 = 0. 20 x0x0 F(x)F(0)xx1e F'(0)limlim1. x0x -- - ®® -++- === - · Đạo h m bên phải của h m số tại đi m x 0