Bài tập Nguyên Hàm Tích Phân

I Tìm ngun hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số x f(x) = x2 – 3x + 2x + x2 x −1 f(x) = x ( x − 1) f(x) = x2 f(x) = f(x) = x + x + x − x x ( x − 1) f(x) = x x −1 f(x) = f(x) = 3 ĐS F(x) = x + 3x + x + C ĐS F(x) = x − 33 x + C ĐS F(x) = x − x + ln x + C ĐS F(x) = x − x + C x f(x) = sin x 3x − + ln x + C 2x3 − +C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = lnx + + C x x − 2x + + C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C sin x cos x cos x 14 f(x) = sin x cos x 13 f(x) = ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C ĐS F(x) = − cos x − cos x + C ĐS F(x) = e x − e x + C ĐS F(x) = − cos 3x + C 15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 + 1 x + sin x + C e−x ) cos x 19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 2a x x + +C ln a ln ĐS F(x) = e x +1 + C ĐS F(x) = 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = x − x3 +1 x x x 40 − − 3 x + + 2x − ĐS f(x) = x f’(x) = x − x f(4) = f’(x) = x - ĐS f(x) = + f(1) = x2 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + b f’(x) = ax + , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = x x2 + + ĐS f(x) = x II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx  I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx ∫ (3 − x) ∫ (5 x − 1)dx ∫ (2 x + 1) xdx 3x ∫ dx ∫ (x 10 + 5) x dx x (1 + x ) sin x 13 ∫ sin x cos xdx 14 ∫ dx cos x dx dx 17 ∫ 18 ∫ sin x cos x + 2x e x dx 21 ∫ 25 29 ∫ cos x sin xdx 11 ∫ 15 ln x ∫ x dx 2x −1 x dx ∫ x +5 16 e tgx ∫ cos x dx 23 ∫ 26 dx ∫ 1+ x2 27 30 ∫x x − 1.dx ∫ 24 x dx 1− x2 dx 31 ∫ x e +1 28 32 dx tgxdx x ∫ 20 − x dx x +1 ∫ cos ∫ tgxdx 22 ∫ x.e 12 ∫ cot gxdx dx ∫ x + 1.xdx 19 2 ∫ x − x dx e −3 x − x dx dx ∫ ∫ ∫x ∫ e x x dx dx − x2 ∫x dx + x +1 x + 1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I Hay ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau: 2 ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ ( x + 5) sin xdx ∫ ( x + x + 3) cos xdx ∫ x sin xdx ∫ x ln xdx 10 ∫ x cos xdx ∫ ln xdx ∫ x.e dx ln xdx 11 ∫ x x ∫ ln xdx 12 ∫e x dx 13 17 21 x ∫ xtg 14 x 22 18 ∫ cos x dx ∫ e cos xdx ∫ x lg xdx ∫x e xdx 15 x2 dx ∫ sin x dx 19 ∫ x ln(1 + x ∫ ln( x + 1)dx 20 ∫ xdx 24 ∫ x cos xdx 16 )dx ln(1 + x) ∫ x ln(1 + x)dx 23 ∫ x dx TÍCH PHÂN x I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 ∫ ( x + x + 1)dx e ∫ ( x + ∫ x − dx π ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx π 3 ∫ ( x + x x )dx π ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π ∫ 1 + + x )dx x x x + 1dx 1 x ∫ (e + x )dx ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 1 x ∫ (e + x + 1)dx 2 10 ∫ ( x + x x + x )dx 11 ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 12 ∫ ( x + 1).dx 13 −1 -1 e2 7x − x − dx 14 ∫ x ( x + 1).dx 16 ∫ x + x ln x 15 x.dx +2 ∫x ∫ dx x+2 + x−2 π cos3 x.dx 17 ∫ sin x π 18 π tgx dx cos2 x ∫ 20 e x dx ∫ e x + e− x ln ∫ 22 dx e + e− x x 24 ∫ (2 x + x + 1)dx −1 e x − e− x dx 19 ∫ x e + e− x 21 ∫ 22 π dx 4x + 8x dx ∫ + sin x 2 3 25 ∫ (2 x − x − )dx 26 ∫ x( x − 3)dx −2   28 ∫  + dx x  1 x 27 ∫ ( x − 4)dx −3 x − 2x dx 29 ∫ x3 1 e ∫ 30 e 16 dx x 31 ∫ x dx e2 x + − 7x dx 32 ∫ x   33 ∫  x − dx    x  II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π ∫ sin xcos xdx π π sin x ∫ + 3cosx dx π 4 ∫ cot gxdx ∫ sin xcos xdx π π tgxdx ∫ π 6 π ∫ ∫x ∫x ∫x − x dx x + 1dx x2 x + 1dx ∫ 10 ∫ x − x dx 1 ∫ 1+ x dx 14 ∫ x +1 dx sin x 16 ∫ e cosxdx π x 18 ∫ e +2 xdx π sin x 20 ∫ e cosxdx π ∫x dx dx x3 + 1 dx 13 ∫ x + 2x + −1 11 1 π x3 + 1 12 + 4sin xcosxdx π 15 ∫ (1 + 3x 2 ) dx π cosx 17 ∫ e sin xdx π π 19 ∫ sin xcos xdx π π cosx 21 ∫ e sin xdx π x 22 ∫ e +2 π 23 ∫ sin xcos xdx xdx π π 24 ∫ sin xcos xdx 25 π π π π 27 ∫ cot gxdx 26 tgxdx ∫ 28 π π ∫ + 4sin xcosxdx 29 30 ∫ x − x dx x ∫ 34 dx ∫x x +1 sin(ln x) dx 36 ∫ x 38 ∫ e 33 e 35 dx x dx 40 ∫ cos (1 + ln x) e 42 ∫ x dx 2x +1 44 dx x +1 + x ∫ 46 x +1 dx x ∫ e 47 sin(ln x) dx x ∫ e 49 ∫ e ∫ cos e + 3ln x ln x dx x ∫ 1 + ln x dx 39 ∫ x ln x e 41 ∫ 1+ x dx x −1 43 ∫x x + 1dx 45 dx x +1 − x ∫ e ∫ 46 e 48 ∫ 1 + ln x dx x + 3ln x ln x dx x e2 dx 50 + ln x ∫ x ln x dx e e2 51 + ln x dx x ∫ e 37 2ln x +1 x − x dx e2 2ln x +1 ∫x e e x + 1dx dx 3 x +1 ∫x e 31 x + 1dx 1 ∫x 0 32 sin x ∫ + 3cosx dx dx (1 + ln x) 52 ∫ x x + 5dx π 53 ∫ ( sin x + 1) cos xdx 54 0 55 ∫ − x dx 56 0 57 ∫ e −1 dx + x2 ∫ x +3 dx x 59 ∫ (2x + 1)3 dx 61 ∫ x − xdx 2x − 63 ∫ x2 − 4x + 4dx π 65 ∫ (sin6 x + cos6 x)dx π 67 ∫ + sin 2xdx cos x ∫ − x dx π + sin 2x + cos 2x dx 69 ∫ sin x + cos x π −x 58 ∫ e dx 60 x dx 2x + ∫ 4x + 11 62 ∫ x2 + 5x + 6dx x3 64 ∫ x2 + 2x + 1dx π 66 ∫ 4sin x dx + cos x π 68 ∫ cos4 2xdx 1 70 ∫ ex + 1dx π 71 ∫ (cos x − sin x)dx π 73 ∫ sin 3x dx cos x + 2x + dx 75 ∫ x + 2x − −2 π 77 ∫ cos3 x sin xdx π 72 ∫ cos x dx π cos x dx − sin x dx 76 ∫ −1 x + 2x + 74 ∫ 78 π 79 ∫ sin 4x dx + cos2 x π 81 ∫ sin 2x(1 + sin x)3dx 83 ∫ 1 + ln x dx x π ∫ cos xdx 80 ∫ x − x dx 82 e + sin x π ∫ cos 84 π 4 x dx ∫ cos xdx e + ln x dx 85 ∫ x 86 ∫ x (1 − x ) dx π cos x 87 ∫ dx − 5sin x + sin x π 89 ∫ cos x + sin x dx + sin x dx 91 ∫ x −x −3 ln e + 2e ln π 3 ∫ 88 π π sin x dx ( + sin x ) 92 ∫ + sin x dx 97 ∫ sin x cos x dx + cos x x dx 99 ∫ 11+ x −1 π 101 ∫ − sin x dx + sin x 1 103 ∫ + x dx 105 ∫ x2 − x + 1dx π 107 ∫ dx + cos x + sin x 109 ∫ x − x dx π 96 ∫ sin x + sin x dx π 98 ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 1 102 ∫ ∫ + 3x dx x2 ∫ 1 x x2 −1 1+ x dx dx −1 x + 2x + 117 ∫ ∫ dx − x2 x 106 ∫ x + x2 + dx 104 108 2 x2 ∫ − x2 110 ∫x 112 114 ∫ π ∫ π 115 ∫ + x dx − x dx 113 + ln x ln x dx x e 100 ∫ 101 + cos x π dx 94 ∫ (1 − tg x)dx sin x − cos x π cos x + sin x 95 ∫ sin x 90 ∫ π ln(tgx) dx ∫ 93 π sin x π tg x dx cos 2x 116 ∫ 118 ∫ dx dx x2 − 1− x dx (1 + x )5 cos x dx + cos x cos x + cos2 x dx + + 3x dx x x −1 dx 119 ∫ x−5 121 ∫ x3 1+ x ln 123 ∫ e +2 x 120 ∫ x x +1 dx 122 ∫x dx + x dx dx 124 ∫ x +1 dx 3x + dx 3 125 ∫ x x + 1dx 126 ∫ x x2 + II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv sin ax    @ Dạng ∫ f ( x) cosax dx α e ax    u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax        β β ∫ f ( x) ln(ax)dx @ Dạng 2: α dx  u = ln(ax ) du = x ⇒ Đặt   dv = f ( x)dx v = f ( x)dx  ∫ β ax sin ax  @ Dạng 3: ∫ e  dx cosax  α Ví dụ 1: tính các tích phân sau u = x e x x xe  dx đặt  a/ ∫ dx ( x + 1)  dv = ( x + 1)  1 u = x x dx  b/ ∫ x3 dx đặt  ( x − 1) dv =  ( x − 1)3  dx + x2 − x2 dx x dx =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I c/ ∫ (1 + x )2 (1 + x ) + x (1 + x ) 0 dx bằng phương pháp đổi biến số + x2 Tính I1 = ∫ x dx Tính I2 = ∫ bằng phương pháp từng phần : đặt (1 + x )2 u = x  x  dv = dx  (1 + x )  Bài tập e e ln x ∫ dx x e ∫ x ln( x e + 1)dx ln x dx x3 ∫ x ln( x + 1)dx ∫ x ln xdx ∫x 10 ln xdx ∫ ln( x + x )dx 12 ∫ xdx π ln x dx x5 14 ∫ x cos xdx π ∫ ∫ x tan π ( x + ) ln xdx ∫ x π 15 e ( x + cosx) s inxdx ∫ 13 ln xdx π 11 e ∫x e ∫ ∫ x ln xdx xe x dx 16 ∫ e x cos xdx Tính tích phân sau 1) ∫ x.e dx 3x 2) ∫ ( x − 1) cos xdx 3) ∫ x ln xdx 6) ∫ (1 − x ∫ (x ) ln x.dx 7) + 1).e dx x 10) ∫ x cos x.dx ∫ x ln x.dx 8) 11) π ∫x cos x.dx ∫ x ln(3 + x ).dx π 4) x sin xdx ∫ ∫ (2 − x) sin 3xdx π e 9) π e 5) π 12) π ∫ (x + x) sin x.dx π 2 ln x 13) ∫ dx x e 14) ∫ x cos2 xdx 18) ∫ x + sin xdx 17) ∫ x ln xdx cos x ln(1 + x) dx 21) ∫ x2 e π ln x π 20) ∫ x(2 cos2 x − 1)dx 26) ∫ xtg xdx 19) ∫ x sin x cos xdx ln x 25) ∫ ( x + 1)2 dx 29) ∫ π 2x 22) ∫ (x + 1) e dx e 16) ∫ sin xdx e 15) ∫ e sin xdx π π2 x π e 23) ∫ (x ln x) dx 24) ∫ cos x.ln(1 + cos x)dx 1 27) ∫ ( x − 2)e x dx 28) ∫ x ln(1 + x )dx dx 30) ( x + cos x ) sin xdx ∫ x 0 31) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 32) ∫ ln( x − x)dx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x −1 dx ∫ x − 3x + x + x +1 ∫ x + dx b a x2 dx ∫ (3 x + 1) 1− x ∫ x(1 + x 2008 ) dx x4 dx ∫ 2 ( x − 1) x3 + x + ∫ x + dx ∫ ( x + 2) 2x − 6x + 9x + ∫ x − 3x + dx −1 x n −3 dx 10 ∫ (1 + x ) n 11 x2 − ∫ x( x + 3x + 2) dx 1 ∫ x(1 + x 1 x ∫1+ x 15 ∫4+ x 12 13 ∫x 2 dx dx − 2x + dx 17 ∫ x − 2x + x 14 4 ) dx dx 16 x ∫ (1 + x ) dx 3x + x + dx 18 ∫ x − 3x + 2 1− x2 dx 19 ∫ 1+ x dx ( x + 3) 2 2008 ∫ ( x + a)( x + b) dx 20 ∫1+ x dx − x4 dx 22 ∫ 1+ x 24 x6 + x5 + x4 + dx 21 ∫ x6 + 23 + x dx ∫ + x6 1 ∫ x + 11 dx x + 5x + 25 ∫ dx x2 + x + 26 x+2 ∫ x − dx  2x −  − dx 27 ∫  x +1  0  x−2  − x + 1dx 2x −  −1 28 ∫   3x −  − x − 1dx 29 ∫  x+2  0 x + 2x + dx 30 ∫ x+3  x2 + x +1  31 ∫   x − − x + 1dx   −1  2x + x −  − x + 1dx 32 ∫    x +1  0 33 ∫x dx + 4x + IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π sin x cos xdx ∫ π sin x cos xdx ∫ π 2 sin x cos xdx ∫ π (sin x + cos ) dx ∫ π π 0 cos x(sin x + cos x)dx (2 sin x − sin x cos x − cos x) dx ∫ ∫ π dx ∫ π sin x π dx ∫ − cos x π (sin 10 x + cos10 x − cos x sin x)dx ∫ 10 11 13 π sin x ∫ + cos x dx π ∫ sin 15 π 2 π ∫ + sin x dx π 12 ∫ π sin dx x cos x dx x + sin x cos x − cos x cos x 16 cos x ∫ + cos x dx π sin x 17 ∫ − cos x dx 14 π ∫ + sin x dx π π cos x ∫ + cos x dx 0 18 ∫ sin x + cos x + dx π 19 π cos xdx ∫ π (1 − cos x ) 20 − 21 tg xdx ∫ 22 25 ∫ 27 24 ∫ dx + sin x dx 31 33 26 xdx π ∫ + tgx dx π sin x + cos x + ∫ sin x + cos x + dx 28 29 π cos x cos( x + ) 2π ∫ cot g π 23 ∫ tg xdx π π π π π sin x − cos x + ∫π sin x + cos x + dx π dx ∫ sin x + cos x + π 30 + cos x + sin x dx ∫ sin x + cos x sin x ∫ + cos x dx π π sin 3x ∫ + cos x dx π sin x ∫ cos x dx 34 sin x(1 + sin x) dx ∫ π 3 π 35 ∫ cos x sin x dx ∫ 36 π π 37 dx ∫ + sin x + cos x 38 39 ∫ cos x sin xdx 43 π 40 π dx ∫ sin x + ∫ π sin dx x cos x π dx sin x sin( x + sin xdx x ∫ + cos π ∫ π dx π π sin x − sin x dx sin xtgx ∫ sin x + π 41 dx ∫ π sin x − sin x 32 π π 13 π π ) ∫ π dx sin x cos( x + π ) π 45 π π 46 ∫ tgxtg ( x + )dx π sin xdx cos x ∫ π π sin xdx 47 ∫ (sin x + cos x) 48 − π 49 sin x dx ∫ 50 51 sin x.e x +1 dx ∫ 52 sin x sin x dx 53 ∫ π tgx + cot g x 54 55 ∫ cos(ln x )dx 56 cos xdx + sin x ∫ + cos x e π ∫ sin ∫ π π x dx sin xdx x − sin x + ln(sin x ) dx cos x π 57 (2 x − 1) cos xdx ∫ 58 π ∫ x sin x cos xdx 0 π 2x 60 ∫ e sin xdx ∫ xtg xdx 0 π 61 e sin x sin x cos xdx ∫ 62 π dx ∫ (sin x + cos x) 64 π π 4sin x dx + cos x ∫ π ∫π sin x sin xdx − π 71 sin xdx ∫ π (1 − sin x ) cos x ∫ (1 + sin x)(2 − cos x) dx π 66 − ∫ ln(1 + tgx)dx π ∫ sin x sin xdx π 0 69 π π 67 ∫x 65 π π 63 π 59 sin x ∫π (2 + sin x) ∫ cos x(sin x + cos x) dx π 68 ∫π cos x cos 3xdx − π 70 sin x cos xdx ∫ V TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong R(x, f(x)) có dạng: a ax ) Đặt x = a cos2t, t [0; ] a+x a − x ) §Ỉt x = a sin t hc x = a cos t +) R(x, +) R(x, +) R(x, n ax + b ) Đặt t = cx + d +) R(x, f(x)) = n ax + b cx + d (ax + b) αx + β x + γ Víi ( αx + βx + γ )’ = k(ax+b) Khi đặt t = x + x + , đặt t = ax + b +) R(x, a + x ) Đặt x = a tgt , t [− ; ] 2 +) R(x, +) R ( n1 x a ) Đặt x = n2 ni ) a cos x π , t ∈ [0; π ] \ { } x ; x ; ; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni) §Ỉt x = tk ∫ dx x x2 + ∫ (2 x + 3) − dx x + 12 x + x + 2008dx 2 ∫ x + x dx ∫x 1 ∫ x + 2008 x2 +1 x +1 dx dx (1 + x ) ∫ ∫ + x dx π ∫ (1 − x ) dx 10 2 ∫ 12 2 ∫ 15 dx ∫ 1 13 x3 + 1 11 dx ∫x ∫ x x2 −1 dx ∫ 14 2 ∫ cos xdx + cos x π 1+ x dx 1− x dx (1 − x ) x dx 1− x2 16 sin x cos x − cos x dx ∫ 17 π ∫ 25 1+ x2 22 15 24 ∫ x + 3x dx − cos x sin x cos xdx 26 ln ∫ 0 27 ln dx ∫1+ x + ∫ e 12 x − x − 8dx ∫ x5 + x3 1+ x2 32 dx 34 cos x + 3tgx cos x dx cos x 37 π cos xdx ∫ 39 ∫ x+2 x+3 ∫ ex +1 x − x + x dx 36 ln x ln x ln x + ln ∫ 38 + cos x e x dx −1 ∫ ∫ ln 33 ∫ x(e x + x + 1)dx 35 ex +1 π dx + ln x ln x dx x 30 ∫ 31 ∫ 28 x2 +1 −1 29 x2 +1 2x + + ∫ x+ x dx dx ∫ ∫ 2x + 1 + cos x 20 ∫ x 10 − x dx xdx ∫ π x dx 23 ∫ + cos x 21 18 sin x + sin x dx cos xdx ∫ 19 π π ∫ dx e x dx (e x + 1) cos xdx + cos x 2a 40 dx ∫ x + a dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a −a Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó: Ví dụ: +) Cho f(x) liên tơc trªn [- − ∫π f ( x)dx +) TÝnh ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 3π 3π ; ] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2 3π TÝnh: a x + sin x dx ∫ −1 + x − cos x , a f ( x)dx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: = a Ví dô: TÝnh: ∫ ln( x + + x )dx −1 π ∫π cos x ln( x + + x )dx a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: f ( x)dx a ∫x VÝ dô: TÝnh π ∫ x dx −1 − x2 +1 − π a = ∫ f ( x)dx x + cos x dx − sin x a a f ( x) dx = f ( x)dx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], ®ã: ∫ x − a1 + b (1 ≠ b>0, ∀ a) π x2 +1 dx VÝ dô: TÝnh: ∫ 1+ 2x −3 ∫π − sin x sin x cos x dx 1+ ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0; ], Ví dụ: TÝnh π π ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 π π sin 2009 x ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx ∫ sin x sin x + cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 20 π π x dx VÝ dô: TÝnh ∫ + sin x b b a Bài toán 6: a f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx π VÝ dô: TÝnh x sin x ∫ + cos x x sin x ∫ + cos x dx b ⇒ dx b 0 ∫ f (b − x)dx = ∫ f ( x)dx π ∫ sin x ln(1 + tgx)dx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T thì: a +T T a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx Ví dụ: Tính 2008 Các tập ¸p dông: − cos x dx nT ⇒ T 0 ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx 1− x dx 1+ 2x ∫ −1 ∫ (1 + e π −1 x − dx )(1 + x ) 1− x )dx ∫ cos x ln( 1+ x − π x + cos x dx x ∫π − sin − 2π ∫ sin(sin x + nx)dx π sin x ∫ ∫π x7 − x5 + x3 − x + dx cos x −π + cos x tga dx cot ga e e xdx ∫ 1+ x2 + ∫ dx =1 (tga>0) x(1 + x ) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ∫ x − 1dx −3 ∫x − x + dx π ∫ x x − m dx ∫π sin x dx − π ∫π − sin x dx π − ∫ π tg x + cot g x − 2dx 3π ∫ sin x dx 2π π ∫ ( x + − x − )dx −2 ∫ + cos x dx x 10 ∫ − dx π 3 11 ∫ cos x cos x − cos x dx 12 2) π − 2 15 ∫2 x − 4dx 2π 17 ∫ − 3x + 2dx − 2dx x2 14 ∫ x2 + 16 ∫ + cos 2xdx −3 −1 13 ∫ ( x + − x − )dx ∫x π + sin xdx 2 18 ∫ x − x dx VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = π Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = π Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đờng có diƯn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x vµ phÝa díi 0x b»ng x − x Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn y = o ≤ x ≤ y = Có hai phần diện tích Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích phần x + 2ax + 3a y=   1+ a4 Bài 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn Tìm a để y = a − ax  1+ a4  diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 6: Tính diện tích hình phẳng sau:  x2 y = 4−   1) (H1):  y = x   4) 7) y = x  (H4):  x = −y  ln x  y = x   (H7): y = x = e  x =   y = x − 4x +  2) (H2) :  y = x +  −3x −  y = x −  3) (H3): y = x =   y = x  5) (H5):  y = − x  y2 + x − = 6) (H6):  x + y − =  y = x − 2x  8) (H8) :   y = − x + 4x  3  y = x + x − 2 9) (H9):  y = x  (C ) : y = x  y − 2y + x =  10) (H10):  11) (d ) : y = − x x + y = (Ox)   y = 2x + 13)  y = x −1 y = − − x2  14)  x + y =  (C ) : y = e x  12) (d ) : y = (∆) : x =  y = x  x + y − = y =  15)  x2 y=   y = 2x  16  17  18)  y = x, y = 0, y = y =  1+ x2  1   y = sin x ; y = cos x  19  20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp π π x = ; x =    y = x − 4x +  21)  y = −2 x +  y = x − 11   y = / x − 1/ 24)   y = / x /+ y = x + 27)  y = − x y = x3  30)  y =  x = −2; x =   y = x + 2x 33)  y = x + 2  y = 2x  36)  y = x − x − y =   y = / x − 5x + / 38)  y = x +1 y = eÏ  −x 41)  y = e x =   y = −x + 6x −  22)  y = − x + x −  y = x − 15   y = x 25)  y = x   y = x − 2x +  28)  y = x + x + y =   y = sin x − cos x  31)  y =  x = 0; x = π   y = 2x − 2x  34)  y = x + 3x −  x = 0; x =   y = ln x, y =   x = e , x = e  tun cđa (p) ®i qua M(5/6,6) y = x  y =  x 23)  y =  x = e   y = −3 x − / x / + y = 26)   y = / x −1/  29)   y = −x +   y = x + + x 32)  y =   y = / x − 5x + / 35)  y =  y = / x − 3x + / 37)  y = 2   y = / x − 3x + / 39)  y = −x2  40)   x2 y=  42)  x2 − x6  x = 0; x =  43)   y = / x − 4x + / y =  y = sin/ x /  y = / x /− π  y = 2x  44)  y = x − x − y =   y = ( x + 1)  y = 2x  45) 2 x + y + = y =   y = x (a − x ) 46)  a   x = ( y + 1) x = / y − 1/  49)  32)  y = sin x x = x =   y = / x − 1/ x = 2 47)  48)   x = sin πy    x2  x = 0; y = −   33)  34)  x = 2 y = x    x  ;y =0 y = 1− x4  y =  35)  y = 36)  x = 0; y = − x  x −2  y = 6x    x + y = 16   y =   37)  y =   y =  x2 x2 27 27 x  y = (4 − x)  38)  39)  y = 4x    y = / log x /  y =   x = , x = 10 10  ax = y  40)  (a>0) ay = x  y = x  y = 2x   41)  y = sin x + x 42)  43) x2/25+y2/9 = vµ hai 27 y = 8( x − 1) 0 ≤ x ≤ π   tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn (p) (d) nhá nhÊt  y = x3 − 2x + 4x − 45)  y = TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Cơng thức: O y x=a a x=b (C ) : y = f ( x) y=0 b x y b x=0 a O y=b (C ) : x = f ( y ) y=a x b b V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x)] dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y = x; y = − x; y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y = (x − 2)2 y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y = − x ; y = x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường : y = x2 ;y = x2 + Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x e ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x ln(1 + x ) ; y = ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox  y = ( x − 2) 1)  y =  y = x , y = 4x 2)  y =  y = x +1 3)   y = 0, x = 0, x =   y = 2x − x 4)  y =  y = x ln x  5)  y =  x = 1; x = e  quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x;  y = x ( x > 0)  6) (D)  y = −3x + 10 y =   y = x 7)  y = x  quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2 quay quanh trục a) 0x; 8) Miền hình tròn (x 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 9) MiÒn (E):  y = xe Ï  10)  y =  x = 1, ;0 ≤ x ≤  x2 y2 + =1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc 0x;   y = cos x + sin x  11)  y = quay quanh trôc 0x;  π x = ; x = π  y = x2 12)  quay quanh trôc 0x;  y = 10 − 3x 13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y    14)  y = x−4   x = 0; x =  y = x −1  15)  y =  x = 0; y =  quay quanh trôc 0x; quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ... 1dx 126 ∫ x x2 + II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần : ∫ u( x)v''(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u ''( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv sin... ∫ xdx 24 ∫ x cos xdx 16 )dx ln(1 + x) ∫ x ln(1 + x)dx 23 ∫ x dx TÍCH PHÂN x I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 ∫ ( x + x + 1)dx e ∫ ( x + ∫ x − dx π ∫ (2sin x... PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u '' ( x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '' ( x)dx  I = ∫ f [u ( x)].u '' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm